Прямая называется перпендикулярной к плоскости если рисунок. Сбор и использование персональной информации

В планиметрии построение перпендикуляра основано на том, что он соединяет данную точку и точку, симметричную с ней относительно рассматриваемой прямой. Если мы хотим составить понятие о перпендикуляре к плоскости, то можно взять любую точку, лежащую вне этой плоскости, отразить эту точку в данной плоскости, как в зеркале, и соединить данную точку с ее отражением; тогда получим перпендикуляр к плоскости. Следует, однако, заметить, что в случае отражения относительно прямой все дело сводилось к сгибу плоскости вдоль данной прямой, т. е. к движению, хотя и производимому в пространстве. Отражение же в плоскости уже не сводится к движению. Поэтому изложение вопроса о перпендикуляре к плоскости сложнее соответствующего изложения вопроса о перпендикуляре к прямой в планиметрии, оно опирается на следующее известное читателю

Определение. Прямая называется перпендикуляром к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Так как угол между двумя скрещивающимися прямыми равен по определению углу между пересекающимися прямыми, параллельными данным, то прямая а (рис. 337), перпендикулярная ко всем прямым плоскости К, проходящим через точку пересечения прямой а с плоскостью К, будет перпендикулярна и к плоскости К. Действительно, она образует прямой угол с любой прямой в плоскости так как она перпендикулярна к прямой b, проведенной в этой плоскости через точку параллельно b.

В действительности имеет место гораздо более простой Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая, перпендикулярная к двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство. Пусть на рис. 338 прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым , лежащим в плоскости Х. В силу сделанного выше замечания мы можем, не нарушая общности, предположить, что прямая а проходит через точку пересечения прямых тип. Требуется доказать, что прямая а перпендикулярна и к любой прямой плоскости в силу того же замечания можно предположить, что прямая проходит через точку . Сделаем следующие вспомогательные построения: на прямой а возьмем произвольную точку М и точку М на продолжении по другую сторону плоскости Я на расстоянии от точки Три прямые в плоскости X пересечем какой-либо прямой с, не проходящей через точки пересечения обозначим соответственно Р, Q, R. Соединим точки М и М с точками Р, Q, R. Треугольники равны, так как они прямоугольные, катеты равны по построению, а катет общий; значит, равны и их гипотенузы: (можно еще проще заметить, что МР - МР, как наклонные с равными проекциями). Отрезки MQ, MQ также равны. Значит, равны треугольники MPQ и MPQ (по трем сторонам). Отсюда заключаем, что равны треугольники MQR и у них между равными сторонами MQ и MQ и общей стороной QR заключены равные углы: (соответственные углы в равных треугольниках). Теперь уже видно, что равны и треугольники трем сторонам). Таким образом, углы MMUR и равны, и так как они смежные, то каждый из них прямой. Утверждение доказано.

К любой прямой можно провести перпендикулярную плоскость.

В самом деле, возьмем произвольную прямую и в любой ее точке проведем к ней два каких-либо перпендикуляра (лежащие в каких-либо двух плоскостях, проведенных через эту прямую). Через них, как через две пересекающиеся прямые, проходит плоскость. По предыдущему, данная прямая служит перпендикуляром к этой плоскости.

Из проведенных рассуждений также следует вывод: все прямые, перпендикулярные к данной прямой в одной из ее точек, лежат в одной плоскости, перпендикулярной к этой прямой.

В любой точке плоскости также можно восставить перпендикуляр к ней.

Для этого достаточно провести через данную в плоскости точку две прямые, лежащие в этой плоскости, а затем построить в той же точке две плоскости, перпендикулярные к проведенным прямым. Имея общую точку, эти две плоскости пересекутся по прямой, которая будет одновременно перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в плоскости и, следовательно, перпендикулярна к самой плоскости.

В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.

Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.

Определение.

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .

В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.

В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.

Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.

На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.

При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Пусть - направляющий вектор прямой a , а - нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось и : , где t – некоторое действительное число.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, - направляющий вектор прямой .

Коэффициенты при переменных x , y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, - нормальный вектор плоскости .

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .

Пример.

Перпендикулярны ли прямая и плоскость .

Решение.

Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Направляющим вектором прямой является

План-конспект урока по геометрии в 10 классе на тему «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Цели урока:

обучающие

введение признака перпендикулярности прямой и плоскости;

формировать представления учащихся о перпендикулярности прямой и плоскости, их свойствах;

формировать умения учащихся решать типичные задачи по теме, умения доказывать утверждения;

развивающие

развивать самостоятельность, познавательную активность;

развивать умение анализировать, делать выводы, систематизировать полученную информацию,

развивать логическое мышление;

развивать пространственное воображение.

воспитательные

воспитание культуры речи учащихся, усидчивости;

прививать учащимся интерес к предмету.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления знаний.

Формы работы учащихся: фронтальный опрос.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

Литература: «Геометрия 10-11», Учебник. Атанасян Л.С. и др.

(2009, 255с.)

План урока:

Организационный момент (1 минуты);

Актуализация знаний (5 минут);

Изучение нового материала (15 минут);

Первичное закрепление изученного материала (20 минуты);

Подведение итогов (2 минуты);

Домашнее задание (2 минуты).

Ход урока.

Организационный момент (1 минуты)

Приветствие учеников. Проверка готовности учащихся к уроку: проверка наличия тетрадей, учебников. Проверка отсутствующих на уроке.

Актуализация знаний (5 минут)

Учитель. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

Ученик. Прямая перпендикулярная любой прямой лежащей в этой плоскости называется прямой перпендикулярной этой плоскости.

Учитель. Как звучит лемма о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей?

Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель. Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости.

Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель. Как звучит теорема обратная данной?

Ученик. Если две прямые перпендикулярный одной и той же плоскости, то они параллельны.

Проверка домашнего задания

Домашнее задание проверяется, если у учеников возникли трудности при его решении.

Изучение нового материала (15 минут)

Учитель. Мы с вами знаем, что если прямая перпендикулярная к плоскости, то она будет перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, но в определении перпендикулярность прямой к плоскости дается как факт. На практике же часто приходится определить будет ли являться прямая перпендикулярной к плоскости или нет. Такие примеры можно привести из жизни: при строительстве зданий сваи вбивают перпендикулярно поверхности земли, иначе конструкция может рухнуть. Определением прямой перпендикулярной плоскости в этом случае воспользоваться невозможно. Почему? Сколько прямых можно провести в плоскости?

Ученик. В плоскости можно провести бесконечно много прямых

Учитель. Правильно. И проверить перпендикулярность прямой к каждой отдельной плоскости невозможно, так как это займет бесконечно много времени. Для того чтобы понять является ли прямая перпендикулярной к плоскости введем признак перпендикулярности прямой и плоскости. Запишите в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Запись в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель. Таким образом нам нет необходимости проверять перпендикулярность прямой для каждой прямой плоскости, достаточно проверить перпендикулярность лишь для двух прямых этой плоскости.

Учитель. Давайте докажем это признак.

Дано: p и q – прямые, p ∩ q = O , a ⊥ p , a ⊥ q , p ϵ α, q ϵ α.

Доказать: a ⊥ α.

Учитель. И все таки для доказательства воспользуемся определением прямой перпендикулярной плоскости, как оно звучит?

Ученик. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости.

Учитель. Правильно. Начертим в плоскости α любую прямую m . Проведем через точку О прямую l ║ m . На прямой a отметим точки А и В так чтобы точка О была серединой отрезка АВ. Проведем прямую z таким образом, чтобы она пересекала прямые p , q , l , точки пересечения этих прямых обозначим P , Q , L соответственно. Соединим концы отрезка АВ с точками P ,Q и L .

Учитель. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APQ и ∆BPQ ?

Ученик. Эти треугольники будут равны (по 3 признаку равенства треугольников).

Учитель. Почему?

Ученик. Т.к. прямые p и q – серединные перпендикуляры, то AP = BP , AQ = BQ , а сторона PQ – общая.

Учитель. Правильно. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APL и ∆BPL ?

Ученик. Эти треугольники тоже будут равны (по 1 признаку равенства треугольников).

Учитель. Почему?

Ученик. AP = BP , PL – общая сторона,  APL =  BPL (из равенства ∆ APQ и ∆ BPQ )

Учитель. Правильно. А значит AL = BL . Значит каким будет ∆ALB ?

Ученик. Значит ∆ALB будет равнобедренным.

Учитель. LO – медиана в ∆ALB , значит чем она будет являться в этом треугольнике?

Ученик. Значит LO будет являться еще и высотой.

Учитель. Следовательно прямая l будет перпендикулярна прямой a . А так как прямая l – любая прямая принадлежащая плоскости α, то по определению прямая a ⊥ α. Что и требовалось доказать.

Доказывается при помощи призентации

Учитель. А что делать если прямая a не пересекает точку О, но остается перпендикулярной к прямым p и q ? Если прямая а пересекает любую другую точку данной плоскости?

Ученик. Можно построить прямую а 1 , которая будет параллельна прямой а, будет пересекать точку О, а по лемме о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей можно доказать, что a 1 ⊥ p , a 1 ⊥ q .

Учитель. Правильно.

Первичное закрепление изученного материала (20 минут)

Учитель. Для того чтобы закрепить изученный нами материал решим номер 126. Прочтите задание.

Ученик. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD , где D – произвольная точка прямой АС.

Рисунок.

Дано: ∆ ABC , MB ⊥ BA , MB ⊥ BC , D ϵ AC .

Найти: ∆MBD.

Решение.

Учитель. Можно через вершины треугольника провести плоскость?

Ученик. Да, можно. Плоскость можно провести по трем точкам.

Учитель. Как будут расположены прямые ВА и СВ относительно этой плоскости?

Ученик. Эти прямые будут лежать в этой плоскости.

Учитель. Получается, что мы имеем плоскость, и в ней две пересекающиеся прямые. Как относится прямая МВ к этим прямым?

Ученик. Прямая МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС.

Запись на доске и в тетрадях. Т.к. МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС

Учитель. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то прямая будет относится к этой плоскости?

Ученик. Прямая МВ будет перпендикулярна плоскости АВС.

⊥ АВС.

Учитель. Точка D – произвольная точка на отрезке АС, значит как будет относится прямая BD к плоскости АВС?

Ученик. Значит BD принадлежит плоскости АВС.

Запись на доске и в тетрадях. Т.к. BD ϵ ABC

Учитель. Какими относительно друг друга будут являться прямые МВ и BD ?

Ученик. Эти прямые будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.

Запись на доске и в тетрадях. ↔ МВ ⊥ BD

Учитель. Если МВ перпендикулярно BD , то каким будет треугольник MBD ?

Ученик. Треугольник MBD будет прямоугольным.

Запись на доске и в тетрадях. ↔ ∆MBD – прямоугольный.

Учитель. Правильно. Решим номер 127. Прочтите задание.

Ученик. В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC . Докажите, что CD ⊥ AC.

Ученик выходит к доске. Рисует чертеж.

Запись на доске и в тетради.

Дано: ∆ ABC ,  A +  B = 90°, BD ⊥ ABC .

Докажите: CD ⊥ AC .

Доказательство:

Учитель. Чему равна сумма углов треугольника?

Ученик. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Учитель. Чему будет равен угол C в треугольнике ABC ?

Ученик. Угол C в треугольнике ABC будет равен 90°.

Запись на доске и в тетрадях.  C = 180° -  A -  B = 90°

Учитель. Если угол С равен 90°, то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и ВС?

Ученик. Значит АС ⊥ ВС.

Запись на доске и в тетрадях. ↔ АС ⊥ ВС

Учитель. Прямая BD перпендикулярна плоскости ABC . Что из этого следует?

Ученик. Значит BD перпендикулярно любой прямой из ABC .

BD ⊥ ABC ↔ BD перпендикулярно любой прямой из ABC (по определению)

Учитель. В соответствии с этим, как будут относится прямые BD и AC ?

Ученик. Значит эти прямые будут перпендикулярны.

BD ⊥ AC

Учитель. АС перпендикулярно двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости DBC , но АС не проходит через точку пересечения. Как это исправить?

Ученик. Через точку В проведем прямую а параллельную АС. Так как АС перпендикулярно BC и BD , то и а будет перпендикулярно BC и BD по лемме.

Запись на доске и в тетрадях. Через точку В проведем прямую а ║АС ↔ а ⊥ BC , а ⊥ BD

Учитель. Если прямая а будет перпендикулярно BC и BD , то что можно сказать о взаимном расположении прямой а и плоскости BDC ?

Ученик. Значит прямая а будет перпендикулярна плоскости BDC , а значит и прямая АС будет перпендикулярна BDC .

Запись на доске и в тетрадях. ↔ а ⊥ BDC ↔ АС ⊥ BDC .

Учитель. Если АС перпендикулярна BDC , то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и DC ?

Ученик. АС и DC будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.

Запись на доске и в тетрадях. Т.к. АС ⊥ BDC ↔ АС ⊥ DC

Учитель. Молодец. Решим номер 129. Прочитайте задание.

Ученик. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD , диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перепендикулярна к плоскости AMO ; б) MO ⊥ BD .

К доске выходит ученик. Рисует чертеж.

Запись на доске и в тетради.

Дано: ABCD – квадрат, AM ⊥ ABCD , AC ∩ BD = O

Доказать: BD ⊥ AMO, MO ⊥ BD

Доказательство:

Учитель. Нам нужно доказать чтопрямая BD ⊥ AMO . Какие условия для этого должны выполняться?

Ученик. Нужно чтобы прямая BD была перпендикулярна хотябы двум пересекающимся прямым из плоскости AMO .

Учитель. В условии сказано что BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым из AMO ?

Ученик. Нет.

Учитель. Но мы знаем, что AM перпендикулярна ABCD . Какой вывод можно из этого сделать?

Ученик. Значит, что AM перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, тоесть AM перпендикулярна BD .

AM ⊥ ABCD ↔ AM ⊥ BD (по определению).

Учитель. Одна прямая перпендикулярна BD есть. Обратите внимание на квадрат, как будут распологаться относительно друг друга прямые AC и BD ?

Ученик. AC будет перпендикулярна BD по свойству диагоналей квадрата.

Запись на доске и в тетради. Т.к. ABCD – квадрат, то AC ⊥ BD (по свойству диагоналей квадрата)

Учитель. Мы нашли две пересекающиеся прямые лежащие в плоскости AMO перпендикулярные прямой BD . Что из этого следует?

Ученик. Значит, что BD перпендикулярна плоскости AMO .

Запись на доске и в тетрадях. Т.к. AC ⊥ BD и AM ⊥ BD ↔ BD ⊥ AMO (по признаку)

Учитель. Какая прямая называется прямой перпендикулярной к плоскости?

Ученик. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Учитель. А значит как взаимо расположены прямые BD и OM ?

Ученик. Значит BD перпендикулярно OM . Что и требовалось доказать.

Запись на доске и в тетрадях. ↔ BD ⊥ MO (по определению). Что и требовалось доказать.

Подведение итогов (2 минуты)

Учитель. Сегодня мы изучили признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как он звучит?

Ученик. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна этой плоскости.

Учитель. Правильно. Мы научились применять этот признак при решении задач. Кто отвечал у доски и помогал с места молодцы.

Домашнее задание (2 минуты)

Учитель. Параграф 1, пункты 15 -17, учить: лемму, определение и все теоремы. №130, 131.

Видеоурок 2: Теорема о трех перпендикулярах. Теория

Видеоурок 3: Теорема о трех перпендикулярах. Задача

Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах

Давайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.

Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.

Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.

Свойства:

• Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.

• Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
• Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.

Наклонная

Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной .

Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.

На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.

Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.

АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.

Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией .

В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.

Теорема о трёх перпендикулярах

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости. Точка Н – основание перпендикуляра. Отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости. Точка М – основание наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной АМ на плоскость.

Расстояние от точки до плоскости 1.Построим плоскость, проходящую через точку W перпендикулярно какой – нибудь прямой m 1, лежащей в плоскости. 2.Найдем прямую m 2 - линию пересечения плоскостей и. 3.На прямой m 2 выберем какие – нибудь точки U 1 и U 2. 4.Длина высоты WH треугольника WU 1 U 2 - искомое расстояние от точки W до плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми 1.На одной из двух заданных прямых p и q, например на прямой q, выберем некоторую точку Т. Построим плоскость через прямую р и точку Т. 2.В плоскости через точку Т проведем прямую р 1 p. 3.Построим плоскость через пересекающиеся прямые р 1 и q. 4.Выберем на прямой р точку W и найдем расстояние WH от точки W до плоскости. WH – искомое расстояние. SV – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых p и q.

Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции на эту плоскость

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Фигуру, образованную двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, с общей ограничивающей их прямой называют двугранным углом. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. Общая граница полуплоскостей называется ребром двугранного угла.

Угол, который получается в сечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру, называют линейным углом двугранного угла. На рисунке а) – угол АОВ- линейный угол двугранного угла АСDB. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу (рис.б).

Перпендикулярность в пространстве. ЛИТЕРАТУРА. 1.Геометрия Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – М. : Просвещение, Решение типовых задач по геометрии. Книга для учителя / В.Н. Литвиненко - М. : Просвещение, Изучение геометрии в классах. Методические рекомендации / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов – М. : Просвещение,

Главная » Артикли » Прямая называется перпендикулярной к плоскости если рисунок. Сбор и использование персональной информации