Как определить что треугольник равнобедренный. Равнобедренный треугольник и его свойства

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части. А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в , а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники. И прежде всего, что же такое - равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?

Посмотри, как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основанием .

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона - одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание - третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть - нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

И, значит, ! Почему? Да мы просто найдём и, и из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что)

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

А уж по трём сторонам - самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Видишь, как интересно? Получилось, что:

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

(Вспоминаем тут, что медиана - линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса - угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то:

Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
Если дано, что два угла равны , то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….(Дом, который построил Джек…).
Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник - равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
Если оказалось, что высота разделила угол полам - тоже равнобедренный!
Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана - угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике

Давай посмотрим, как выглядит в задачах.

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике стороны и равны, а. Найти.

Решаем:

Сначала рисунок.

Что здесь - основание? Конечно, .

Вспоминаем, что если, то и.

Обновлённый рисунок:

Обозначим за. Чему там равна сумма углов треугольника? ?

Пользуемся:

Вот и ответ: .

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему )

В треугольнике, . Найти.

Решаем:

Треугольник-то - равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Теперь «вычёркиваем из жизни» , рассмотрим только.

Итак, в имеем:

Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)

Осталось найти: .

Ответ: .

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы , «Равнобедренный треугольник» и в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

Равнобедренный треугольник. Средний уровень.

Эти две равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основание равнобедренного треугольника.

Посмотри на рисунок: и - боковые стороны, - основание равнобедренного треугольника.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки высоту.

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

Всё! Одним махом (высотой) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни : чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в оказались равны и.

Проведём высоту. Тогда

2. a) Теперь пусть в каком-то треугольнике совпадают высота и биссектриса .

2. б) А если совпадают высота и медиана ? Все почти так же, ничуть не сложнее!

- по двум катетам

2. в) А вот если нет высоты , которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

Но выход есть - читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.

Подытожим:

Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник - равнобедренный.

Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы

Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого есть две равные стороны.

Признаки равнобедренного треугольника:

Если в некотором треугольнике два угла равны , то он - равнобедренный.
Если в некотором треугольнике совпадают :
а) высота и биссектриса или
б) высота и медиана или
в) медиана и биссектриса ,
проведённые к одной стороне, то такой треугольник - равнобедренный.

Равнобедренный треугольник - это треугольник , в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Свойства

Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы , медианы и высоты , проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).

Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, α и β - соответствующие углы, R - радиус описанной окружности , r - радиус вписанной .

Стороны могут быть найдены следующим образом:

Углы могут быть выражены следующими способами:

Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:

Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:

(формула Герона).

Признаки

Два угла треугольника равны.
Высота совпадает с медианой.
Высота совпадает с биссектрисой.
Биссектриса совпадает с медианой.
Две высоты равны.
Две медианы равны.
Две биссектрисы равны (теорема Штейнера - Лемуса).

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Равнобедренный треугольник" в других словарях:

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, имеющий две равные по длине стороны; углы при этих сторонах также равны … Научно-технический энциклопедический словарь

И (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова

РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ая, ое: равнобедренный треугольник имеющий две равные стороны. | сущ. равнобедренность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

треугольник - ▲ многоугольник имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка

треугольник - ТРЕУГОЛЬНИК1, а, м чего или с опр. Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Она перебирала письма мужа пожелтевшие фронтовые треугольники. ТРЕУГОЛЬНИК2, а, м… … Толковый словарь русских существительных

У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

Треугольник (многоугольник) - Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Энциклопедический словарь

треугольник - а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений

А; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь

В котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Терминология

Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом , а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании .

Свойства

Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы , медианы и высоты , проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, h - высота равнобедренного треугольника

$a = \frac b {2 \cos \alpha}$ (следствие теоремы косинусов);
$b = a \sqrt {2 (1 - \cos \beta)}$ (следствие теоремы косинусов);
$b = 2a \sin \frac \beta 2$ ;
$b = 2a \cos \alpha$ (теорема о проекциях)

Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:

$r=\frac b2 \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$
$r=\frac{bh}{b+\sqrt{4h^2+b^2}}$
$r=\frac{h}{1+\frac{a}{\sqrt{a^2-h^2}}}$
$r=\frac b2 \operatorname{tg} \left (\frac{\alpha}{2} \right)$
$r=a\cdot \cos(\alpha)\cdot \operatorname{tg} \left (\frac{\alpha}{2} \right)$

Углы могут быть выражены следующими способами:

$\alpha = \frac {\pi - \beta} 2;$
$\beta = \pi - 2\alpha;$
$\alpha = \arcsin \frac a {2R}, \beta = \arcsin \frac b {2R}$ (теорема синусов).
Угол может также найден без ${\pi}$ и $R$ . Треугольник делится медианой пополам, и в полученных двух равных прямоугольных треугольниках вычисляется углы:

y = \cos\alpha =\frac {b}{c}, \arccos y = x

Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами:

$P = 2a + b$ (по определению);
$P = 2R (2 \sin \alpha + \sin \beta)$ (следствие теоремы синусов).

Площадь треугольника находится следующими способами:

$S = \frac 1 2bh;$

$S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac {b^2}{4 \tan \frac \beta 2};$ $S = \frac 1 2 b \sqrt {\left(a + \frac 1 2 b \right) \left(a - \frac 1 2 b \right)};$ $S = \frac 2 1 a \sqrt \beta = \frac 2 1 ab \cos \alpha = \frac {b^1}{2 \sin \frac \beta 1};$

Смотри также

Напишите отзыв о статье "Равнобедренный треугольник"

Примечания

Отрывок, характеризующий Равнобедренный треугольник

На Марью Дмитриевну, хотя и боялись ее, смотрели в Петербурге как на шутиху и потому из слов, сказанных ею, заметили только грубое слово и шепотом повторяли его друг другу, предполагая, что в этом слове заключалась вся соль сказанного.
Князь Василий, последнее время особенно часто забывавший то, что он говорил, и повторявший по сотне раз одно и то же, говорил всякий раз, когда ему случалось видеть свою дочь.
– Helene, j"ai un mot a vous dire, – говорил он ей, отводя ее в сторону и дергая вниз за руку. – J"ai eu vent de certains projets relatifs a… Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [Элен, мне надо тебе кое что сказать. Я прослышал о некоторых видах касательно… ты знаешь. Ну так, милое дитя мое, ты знаешь, что сердце отца твоего радуется тому, что ты… Ты столько терпела… Но, милое дитя… Поступай, как велит тебе сердце. Вот весь мой совет.] – И, скрывая всегда одинаковое волнение, он прижимал свою щеку к щеке дочери и отходил.
Билибин, не утративший репутации умнейшего человека и бывший бескорыстным другом Элен, одним из тех друзей, которые бывают всегда у блестящих женщин, друзей мужчин, никогда не могущих перейти в роль влюбленных, Билибин однажды в petit comite [маленьком интимном кружке] высказал своему другу Элен взгляд свой на все это дело.
– Ecoutez, Bilibine (Элен таких друзей, как Билибин, всегда называла по фамилии), – и она дотронулась своей белой в кольцах рукой до рукава его фрака. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Послушайте, Билибин: скажите мне, как бы сказали вы сестре, что мне делать? Которого из двух?]
Билибин собрал кожу над бровями и с улыбкой на губах задумался.
– Vous ne me prenez pas en расплох, vous savez, – сказал он. – Comme veritable ami j"ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (это был молодой человек), – он загнул палец, – vous perdez pour toujours la chance d"epouser l"autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Вы меня не захватите врасплох, вы знаете. Как истинный друг, я долго обдумывал ваше дело. Вот видите: если выйти за принца, то вы навсегда лишаетесь возможности быть женою другого, и вдобавок двор будет недоволен. (Вы знаете, ведь тут замешано родство.) А если выйти за старого графа, то вы составите счастие последних дней его, и потом… принцу уже не будет унизительно жениться на вдове вельможи.] – и Билибин распустил кожу.
– Voila un veritable ami! – сказала просиявшая Элен, еще раз дотрогиваясь рукой до рукава Билибипа. – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Вот истинный друг! Но ведь я люблю того и другого и не хотела бы огорчать никого. Для счастия обоих я готова бы пожертвовать жизнию.] – сказала она.
Билибин пожал плечами, выражая, что такому горю даже и он пособить уже не может.
«Une maitresse femme! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois», [«Молодец женщина! Вот что называется твердо поставить вопрос. Она хотела бы быть женою всех троих в одно и то же время».] – подумал Билибин.

Проверка домашнего задания

№ 111.

Дано: CD = BD , 1 = 2

Доказать: А B С - равнобедренный

№ 107.

сторона A С в 2 раза меньше АВ

Р = 50 см,

Р = 50 см

х + 2х + 2х = 50

х = 10

2 х

АС = 10 см,

АВ = ВС = 20 см

Какие из треугольников являются равнобедренными? Для равнобедренных треугольников назовите основание и боковые стороны.

Дано: AD - биссектриса ∆ BAC , BAC = 74 0 . Найти: BA D. (Рис.1)

Дано: КL - высота ∆ KMN. Найти: KLN . (Рис.2)

Дано: QS - медиана ∆ PQR , PS = 5,3см. Найти: PR. (Рис.3)

Дано: ∆ АВС равнобедренный с основанием АС, ВК биссектриса, АС = 46см. Найти: АК. (Рис.4)
Дано: ∆ АВС равнобедренный с основанием АС, ВК высота, АВС=46 0 . Найти: АВК. (Рис.5)
Дано: ∆ С BD равнобедренный с основанием B С, DA медиана, ВDС=120 0 . Найти: ADB . (Рис.6)