Отрезок. Единицы измерения длины
Смакотина Лидия Александровна,
учитель математики
Геометрия 7 класс
Тема: «Отрезок. Измерение отрезков»
(с применением лабораторно-практических работ)
Цели: систематизировать знания учащихся об отрезке; развивать наглядные
геометрические представления, научить изображать, измерять на рисунке
отрезки; привитие интереса к предмету геометрия через практическую
деятельность; формирование логического мышления учащихся.
Оборудование: измерительная линейка, цветные карандаши, компьютер
для показа слайдов.
Ход урока:
I.1. Проверка письменного домашнего задания.
2. Работа по вопросам:
а) Сколько прямых можно провести через две точки?
б) Сколько общих точек могут иметь две прямые?
3. Работа по слайду № 1.
Сколько общих точек имеют прямые, изображенные на рисунках? Записать через знаки «принадлежит», «не принадлежит», «не пересекаются».
II. Изучение нового материала
Практическая работа № 1
Начертите отрезок. Измерьте длину отрезка линейкой. Результаты запишите. Сделайте вывод.
(Например: А В, АВ = 3 см, АВ 0)
Начертите отрезок АС = 6 см. Точка В принадлежит отрезку. Длина отрезка
А В С АВ = 4 см. Измерьте длину отрезка ВС. Запишите результат. Сделайте вывод:
АС = 6см, АВ = 4 см, ВС = 2 см, АС = АВ + ВС
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Практическая работа № 2.
Проведите прямую а
Нанесите три точки, принадлежащие этой прямой
Трое учащихся выходят к доске. Они играют роль букв А, В и С. (На груди у них приколоты соответствующие буквы) Встают в том порядке, в каком написаны буквы на прямой а.
Объясните, где стоит буква А?
Где расположена эта буква на прямой а?
Можно ли сказать, что буквы В и С стоят по разные стороны от буквы А?
Кроме точки А, лежит ли еще какая-нибудь точка между двумя другими?
Сделать вывод: Мы получили важное свойство расположения точек на прямой. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Выделите часть прямой между точками В и С цветным карандашом
Как называется выделенная часть прямой? Как обозначается отрезок?
Лабораторная работа «Единицы измерения отрезков»
Начертите произвольный отрезок СД. Возьмите за единицу измерения 1 см и измерьте отрезок СД.
У кого длина отрезка получилась целым числом сантиметров?
Назовите единицу измерения меньше 1 см.
Измерьте длину отрезка СД в мм. Сравните полученные результаты измерения в см и мм. Сделайте вывод. (Равные отрезки имеют одинаковую длину)
Какие единицы измерения вы еще знаете для измерения отрезков в тетради, на школьной доске, на местности, мелких предметов?
Что мы будем называть серединой отрезка? Как найти середину отрезка?
III. Закрепление изученного материала.
Решить задачу (она записана на слайде № 2). При решении данной задачи показать правильную запись в тетради; показать, что задачи могут иметь несколько решений и учить учащихся рассматривать все возможные случаи.
Задача: Точки М, А и В расположены на одной прямой, причем отрезок АМ вдвое больше отрезка ВМ. Найти отрезок АМ, если АВ = 6 см.
По условию, АВ = 6 см. АМ = 2 МВ, АМ = АВ = 4 см.
Имеем: АМ + АВ + ВМ. По условию. АВ + 6 см, АМ = 2 МВ, АМ + 2 АВ = 12см.
А по условию АМ ВМ, А ВМ.
Ответ: задача имеет два решения. Длина отрезка АМ равна 4 см или 12 см.
IV. Подведение итогов урока.
Повторение теоретического материала по слайду № 3.
| Свойства измерения отрезков |
Познакомить учащихся с процедурой измерения отрезков, рассмотреть свойства длин отрезка, познакомить с различными единицами измерения и инструментами для измерения отрезков,
Развивать умение измерять без инструментов.
Скачать:
Предварительный просмотр:
МБОУ «Апраксинская СОШ»
Урок по теме
“Измерение отрезков»
(геометрия, 7 класс)
(с презентацией)
Подготовила и провела: Алякина Е.И.
2017
Разработка урока геометрии в 7 классе.
Тема урока: Измерение отрезков
Цели:
- Познакомить учащихся с процедурой измерения отрезков, рассмотреть свойства длин отрезка, познакомить с различными единицами измерения и инструментами для измерения отрезков,
- Развивать умение измерять без инструментов.
Оборудование: компьютер, проектор, экран; линейки, циркуль, рулетка.
Урок сопровождается презентацией
Ход урока
1. Организационный момент. Слайд 1
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос. Слайд 2
1. Сколько прямых можно провести через две точки?
2. Сколько общих точек могут иметь две прямые?
3. Объясни, что такое отрезок.
4. Объясни, что такое луч. Как обозначаются лучи?
5. Какая фигура называется углом? Объясни, что такое вершина и стороны угла.
6. Какой угол называется развернутым?
7. Какие фигуры называются равными?
8. Объясните, как сравнить два отрезка?
9. Какая точка называется серединой отрезка?
10. Объясните, как сравнить два угла?
11. Какой луч называется биссектрисой угла?
3. Мотивация к деятельности. Определение темы и цели урока.
Слайд 3
Один средневековый философ Марсилио Сичино сказал: « Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» Как вы понимаете это высказывание? (Обсуждение)
Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка, скорость и многое другое. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Слайд 4
Запись темы урока: Измерение отрезков
Слайд 5
Постановка цели: познакомиться с процедурой измерения отрезков, рассмотреть свойства длин отрезка, познакомиться с различными единицами измерения длины и инструментами для измерения отрезков, узнать, как можно измерять без инструментов.
Измерения производят в определённых единицах: длину – измеряют в единицах длины, вес – в единицах веса и т.д.
Слайд 6
– Ч то значит измерить какую-то величину?
Это значит – сравнить ее с неким эталоном.
Измерение - это сравнивание объекта измерения с выбранной единицей измерения.
Слайд 7
Как известно, герои одного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. Для обитателей тропического леса, в котором живет попугай, эта единица ничуть не хуже других. Но длина в попугаях ничего не скажет жителям тайги.
Слайд 8
Эта история из мультфильма не такая уж нелепая. Правители разных стран любили устанавливать свои меры, часто связанные с собственной персоной.
Слайд 9
Например, английский король Генрих I ввел в качестве единиц длины ЯРД – расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки.
Более демократична по происхождению другая английская единица длины ФУТ, что по-английски означает «ступня». 16 англичан выстраивались в цепочку таким образом, что каждый следующий касался концами пальцев своих ног пяток предыдущего. 1/16 такой цепочки и составляла 1 фут.
Слайд 10
На Руси в старину мерой длины был ШАГ, ПЯДЬ: Малая пядь равнялась расстоянию между концами растянутых пальцев, большего и указательного (~19 см), большая пядь – расстояние между раздвинутым большим пальцем и мизинцем (~ 23 см),
Слайд 11
ЛАДОНЬ – ширина кисти руки, ЛОКОТЬ – расстояние от локтя до конца среднего пальца.
Слайд 12
Большие расстояния измерялись ПОЛЕТОМ СТРЕЛЫ.
Несколько позже появился АРШИН, с персидского – локоть (~71 см), существовал персидский аршин, турецкий аршин и др., отсюда и появилась поговорка «Мерить на свой аршин».
Аршин делился на 16 вершков,
Слайд 13
3 аршина составляли САЖЕНЬ – расстояние от ступни до конца среднего пальца вытянутой вверх руки, 500 саженей – составляли ВЕРСТУ (или поприще), 7 верст – МИЛЮ.
Слайд 14
С развитием производства и торговли люди убедились в том, что не всегда удобно измерять расстояния шагами или прикладыванием локтя, так как длина локтя или шага у разных людей различная, а мера длины должна быть постоянной. Так появился метр.
Метр, принятий за эталон, сейчас хранится в одном из французских музеев.
Так что же значит «измерить»?
Слайд 15
Коротко можно ответить так: «Измерить – значит сравнить с эталоном».
4. Инструменты
Слайд 16
А чем мы обычно измеряем? Сравниваем?
К древнейшим геометрическим инструментам относятся циркуль и линейка . Сначала изобрели линейку, а циркуль был изобретен значительно позже. Фигуры папируса Ахмеса, например, свидетельствует о применении линейки, но не циркуля. Циркуль был изобретен в Древней Греции.
Слайд 17
В техническом черчении употребляют масштабную миллиметровую линейку. Для измерения диаметра трубки используют штангенциркуль.
Слайд 18
Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой.
«Рулетка» - термин французского происхождения (rouler – свертывать, катать).
5. Свойства длины отрезка.
Слайд 19
Попробуем выяснить некоторые свойства длины.
1. Какие отрезки нельзя начертить? а) 2,5 см, б) 7 см, в) - 4 см.
Длина отрезка выражается положительным числом.
2. Что можно сказать о длине двух равных отрезков?
Равные отрезки имеют равные длины.
3. Если начертить отрезок АВ, поставить на нём точку С, то получатся отрезки АС и СВ. Что можно узнать, сложив длины отрезков АС и СВ?
Длина всего отрезка равна сумме длин отрезков, из которых он состоит.
6. Решение задач
Слайд 20
Решим несколько задач на измерение отрезков.
1) (устно) На отрезке КМ поставлена точка О, КО = 7,9дм, ОМ=4,5дм. Найдите длину КМ.
2) (письменно) На отрезке АВ лежит точка С, АС = 3,6см, АВ = 9,8см. Найдите длину СВ.
Слайд 21
Образец оформления
Слайд 22
3) (устно) Определите длину отрезка MN, если LN=7,6см.
4. (устно) Отрезок ВС = 7м и РК = 0,8ВС, Найдите длину отрезка РК.
5. (устно) Отрезок DE = 13мм и DE = 0,1RT. Найдите RT.
Слайд 23
Решить самостоятельно
1) Точка М лежит на прямой ЕF между Е и F. Чему равна длина отрезка МF, если EF = 8,3cм, EM = 3,3cм? (Решение оформляется по образцу предыдущего) Ответ: MF=5см.
2) Отрезок АI, длина которого равна 8дм, разделен на равные части. Найти длину отрезка DH. Ответ: DH=4дм.
3) На отрезке LS лежат точки K и R так, что К лежит между L и R,
LK = 5,2см, LS = 18см и LK = KR. Найти RS. (Учитель проверяет решение и оформление каждого) Ответ: RS=7,6см.
Слайд 24
Решить задачи
6. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ=9см, ВС=11,5см.
Какой может быть длина отрезка АС?
Ответ: АС=20,5см или АС=2,5см
7. АС = 10мм, ВD=14мм, АD=16мм. Найдите ВС
Ответ: ВС=8мм.
8. АВ=4,6м, ВС=9,26м, DA=24,76м. Найдите CD
Ответ: CD=10,9м
8. Практическая работа «Живой метр».
Учтите: для обмеривания мелких расстояний следует помнить длину между концами расставленных большого пальца и мизинца. Должно быть известно вам наибольшее расстояние между концами указательного и среднего пальцев. Надо, наконец, знать и ширину своих пальцев, длину стопы, размах рук.
Измерьте следующие расстояния и запишите в тетрадь.
- пядь – расстояние между концами растянутых пальцев, большего и указательного (~19 см),
- локоть – расстояние от локтя до конца среднего пальца (~71 см).
- косая сажень (248см) – расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки,
- маховая сажень (176см) – расстояние между концами пальцев расставленных в стороны рук
- фут (ступня), рост, длина пояса и т.п.
Теперь давайте измерим окружающие нас предметы (по желанию: длину, ширину и высоту парты, тетрадь, доску, классную комнату и др.) тремя способами:
- Сначала определим длину «на глаз» без измерительных приборов;
- Затем измерим, зная «собственные» длины частей тела;
- Проверим с помощью измерительных инструментов, насколько ошиблись.
Обсуждение.
Ребята, полезно уметь не только измерять расстояния без мерной линейки, шагами, но и оценивать их прямо на глаз. Этот навык можно выработать только путём упражнений.
Попробуйте, выйдя с товарищами на дорогу, наметить какой-нибудь придорожный предмет и прикинуть – сколько до него шагов. Затем посчитайте шаги, чтобы определить, чья оценка ближе к истинной, тот и выиграл.
9. Итог урока. Рефлексия
– Что нового вы сегодня узнали?
Слайд 25
– Нам удалось реализовать цель урока?
Слайды 26, 27, 28
А теперь мини-тест «Дополни предложения».
– Какие знания, полученные на уроке, вы сможете в дальнейшем применять в жизни?
Слайд 29
10. Домашняя работа. Выставление оценок.
пп. 7-8 (стр. 13-16), №24, №25, №32, №33.
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
« Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» А.С. Пушкин
1. Сколько прямых можно провести через две точки? 2. Сколько общих точек могут иметь две прямые? 3. Объясни, что такое отрезок. 4. Объясни, что такое луч. Как обозначаются лучи? 5. Какая фигура называется углом? Объясни, что такое вершина и стороны угла. 6. Какой угол называется развернутым? 7. Какие фигуры называются равными? 8. Объясните, как сравнить два отрезка? 9. Какая точка называется серединой отрезка? 10. Объясните, как сравнить два угла? 11. Какой луч называется биссектрисой угла? Устный опрос:
Марсилио Сичино Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром.
Измерение отрезков Геометрия – 7кл. Измеряй все доступное измерению и делай не доступное измерению доступным”. Г.Галилей
Цель: познакомиться с процедурой измерения отрезков, рассмотреть свойства длин отрезка, познакомиться с различными единицами измерения длины, познакомиться с инструментами для измерения отрезков, узнать, как можно измерять без инструментов.
ЗАДАДИМ СЕБЕ ВОПРОС: “ Что значит – измерить какую-то величину? ” Это значит – сравнить ее с неким эталоном. Измерение - это сравнивание объекта измерения с выбранной единицей измерения.
В попугаях длина удава была 38 попугаев, в мартышках - 5 мартышек, а в слонёнках - только 2 слонёнка. Естественно удаву больше нравилось то, что в попугаях он длиннее. Значит в измерении очень важно выбрать единицу измерения. Хорошее представление об измерении дает милый мультфильм "38 попугаев". В нём была решена проблема измерения длины удава. Если нужно измерить длину двух удавов, то обоих надо мерить или в попугаях, или в мартышках, или в слонёнках. « 38 попугаев»
Единицы измерения с древности до наших дней Первые единицы длины были приблизительными. Они были связаны с размерами частей тела человека. Наука начинается с тех пор как начинают измерять. Д.И. Менделеев
А нглийский король Генрих I ввел в качестве единиц длины ЯРД – расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки. Единицы измерения с древности до наших дней Другая английская единица длины ФУТ, что по-английски означает «ступня». 16 англичан выстраивались в цепочку таким образом, что каждый следующий касался концами пальцев своих ног пяток предыдущего. 1/16 такой цепочки и составляла 1 фут.
На Руси в старину мерой длины был ШАГ и ПЯДЬ: малая пядь равнялась расстоянию между концами растянутых пальцев, большего и указательного (~19 см), большая пядь – расстояние между раздвинутым большим пальцем и мизинцем (~ 23 см) Единицы измерения с древности до наших дней
Единицы измерения с древности до наших дней ЛАДОНЬ – ширина кисти руки, ЛОКОТЬ – расстояние от локтя до конца среднего пальца (~71 см).
АРШИН в переводе с персидского – локоть. Существовал персидский аршин, турецкий аршин и др., отсюда и появилась поговорка «Мерить на свой аршин». Большие расстояния измерялись ПОЛЕТОМ СТРЕЛЫ. Единицы измерения с древности до наших дней
3 аршина составляли САЖЕНЬ Единицы измерения с древности до наших дней В Древней Руси в качестве единиц измерения длины применялись: косая сажень (248см) – расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки, маховая сажень (176см) – расстояние между концами пальцев расставленных в стороны рук, локоть (45см) – расстояние от концов пальцев до локтя согнутой руки.
Длина локтя или шага у разных людей различная, а мера длины должна быть одинаковой. появился м е т р Единицы измерения с древности до наших дней Образец меры – метр, принятий за эталон, сейчас хранится в одном из французских музеев.
Вернемся к вопросу, заданному в начале: «Что значит измерить?» Коротко можно ответить так: «Измерить – значит сравнить с эталоном». Единицы измерения с древности до наших дней
Инструменты К древнейшим геометрическим инструментам относятся циркуль и линейка. Сначала изобрели линейку, а циркуль был изобретен позже – в I веке в Древней Греции. - А чем мы обычно измеряем?
В техническом черчении употребляют масштабную миллиметровую линейку. Инструменты Для измерения диаметра трубки используют штангенциркуль.
Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой. «Рулетка» - с французского (rouler – свертывать, катать). Инструменты
Свойства длины отрезка 1. Какие отрезки нельзя начертить? а) 2,5 см, б) 7 см, в) - 4 см. Вывод 1: длина отрезка выражается положительным числом. 2. Что можно сказать о длине двух равных отрезков? Вывод 2: равные отрезки имеют равные длины. 3. Если начертить отрезок АВ, поставить на нём точку С, то получатся отрезки АС и СВ. Что можно узнать, сложив длины отрезков АС и СВ? Вывод 1: длина всего отрезка равна сумме длин отрезков, из которых он состоит.
Решение задач 1.(устно) На отрезке КМ поставлена точка О, КО = 7,9 дм, ОМ = 4,5 дм. Найдите длину КМ. 2.(письменно) На отрезке АВ лежит точка С, АС = 3,6 см, АВ = 9,8 см. Найдите длину СВ.
2. На отрезке АВ лежит точка С, АС = 3,6 см, АВ = 9,8 см. Найдите длину СВ. Дано: отрезок АВ, С АВ, АС=3,6см, АВ=9,8см. Найти: СВ. Решение. СВ = АВ – АС, СВ = 9,8 – 3,6 = 6,2 (см). Ответ: СВ=6,2см. Образец оформления
4. (устно) Отрезок ВС = 7м и РК = 0,8ВС, Найдите длину отрезка РК. Решение задач 3. (устно) Определите длину отрезка NM , если LN = 7,6 см. 5. (устно) Отрезок DE = 13 мм и DE = 0, 1RT . Найдите RT .
Решить самостоятельно 1. Точка М лежит на прямой ЕF между Е и F. Чему равна длина отрезка МF, если EF = 8,3cм, EM = 3,3cм? 2. Отрезок А I , длина которого равна 8дм, разделен на равные части. Найти длину отрезка DH . 3. На отрезке LS лежат точки K и R так, что К лежит между L и R, LK = 5,2 см, LS = 18 см и LK = KR. Найти RS. Ответ: MF =5см. Ответ: DH =4дм. Ответ: RS =7,6см.
7. АС = 10мм, В D =14мм, А D =16мм. Найдите ВС. Решение задач 6. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 9 см, ВС = 11,5 см. Какой может быть длина отрезка АС? 8. АВ=4,6м, ВС=9,26м, DA =24,76м. Найдите CD . Ответ: АС=20,5см или АС=2,5см. Ответ: ВС=8мм. Ответ: CD =10,9м.
познакомиться с процедурой измерения отрезков, рассмотреть свойства длин отрезка, познакомиться с различными единицами измерения длины и инструментами для измерения отрезков, узнать, как можно измерять без инструментов. Вернёмся к цели урока
Дополни предложения 1. Английский король Генрих I ввел в качестве единиц длины ЯРД – расстояние от … кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки. 2. ФУТ, что по-английски означает … «ступня» 3. ЛОКОТЬ приближённо равен … 71 см 4. МАХОВАЯ САЖЕНЬ – расстояние между… вытянутыми в стороны руками
5. Длина отрезка выражается … числом положительным 6. Равные отрезки имеют … равные длины 7. Длина всего отрезка равна сумме длин отрезков, из … которых он состоит 8. Эталон метра хранится в… одном из французских музеев 9. Измерить – значит сравнить с … эталоном Дополни предложения
10. К древнейшим геометрическим инструментам относятся… циркуль и линейка миллиметровую линейку штангенциркуль рулеткой 11. В техническом черчении употребляют масштабную … 12. Для измерения диаметра трубки используют… 13. Для измерения расстояний на местности пользуются… Дополни предложения
>>Геометрия: Измерение отрезков. Полные уроки
Измерение отрезков
Д.И. Менделеев писал: "Наука начинается с тех пор, как начинают измерять: точная наука немыслима без меры ".
Человек столкнулся с необходимостью измерений в глубокой древности, на раннем этапе своего развития – в практической жизни, в земледелии, строительстве своего жилья, дворцов своих властителей, храмов, в торговле. Людям потребовалось измерять расстояния, площади, объемы, веса, и, разумеется, время.
Первые единицы длины были весьма приблизительными. Они были связаны с размерами частей тела человека. В Англии и США до сих пор используются единицы длины "ступня " - фут (31 см), "большой палец " - дюйм (25,4 мм) и ярд (91 см.). Он был равен расстоянию от кончика носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки. 1фут=12 дюймам.
Изучение в курсе математики школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.
ВЕЛИЧИНА
- это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами.
Например, длина стола и дли на комнаты - это однородные величины.
Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.
- Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны , либо одна меньше (больше ) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно », «меньше », «больше » и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.
- Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС, то длина отрезка АС - с, есть сумма длин отрезков АВ и ВС. (Рис.1)
- Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют произведением величины а на число x. Например, если a - длину отрезка АВ умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС.(Рис.2)
(Рис.2)
- Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а - длина отрезка АB, b - длина отрезка BC, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ. (Рис.1)
- Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что а= х b. Чаще это число - называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2. (Рис.2).
Длина отрезка
определена единственным образом и является неотрицательным числом, равным расстоянию между его концевыми точками.
Сейчас самое время восстановить в памяти четыре определения, которые помогут нам понять способ измерения отрезков.
- Если точка A расположена на размеченной прямой, которая называется в этом случае "числовая прямая" (например линейка), то число, соответствующее этой точке, называется ее координатой.
- Расстояние между точками А и В на прямой - это модуль разности их координат.
- Длина отрезка, определенного A и B, есть модуль разности координат точек A и B.
- Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину.
Пусть дан отрезок AB. Если считать линейку частью числовой прямой и расположить AB вдоль линейки так, чтобы точка А совпала с нулем, то точка В будет расположена напротив числа, равного длине AB. Длина AB обозначается АВ.
Из определений Вам должно быть известно, что если ни один из концов отрезка не совпадает с нулем, то для вычисления длины отрезка необходимо найти модуль разности координат концевых точек.
При измерении длины отрезка мы предполагаем, что она определена единственным образом. То есть существует единственное число на числовой прямой такое, что если один из концов отрезка совместить с нулем, то второй совпадет с этим число Это предположение оправдано следующими аксиомами.
Расстояние между двумя точками A и B на числовой прямой определяется единственным образом.
Если один из концов данного отрезка совпадает с нулем, то координата второго определяется единственным образом.
Следующая аксиома позволяет нам складывать длины двух отрезков, чтобы получить длину третьего.
Если точка Q расположена между точками A и B, тогда сумма длин AQ и QB равняется длине AB.
Точка Р, лежащая между точками А и В, называется серединой отрезка AB, если АР = PB.
Середина отрезка единственна.
Измерить отрезок
- это значит установить его длину в определенных единицах. Единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км). Между единицами длины (единичными отрезками) принято такое соотношение:
- 1 см - 10 мм;
- 1 дм - 10 см - 100 мм;
- 1 м - 10 дм- 100 см- 1 000 мм;
- 1 км - 1 000 м.
Наиболее распространенными инструментами для измерения длин отрезков являются: линейка
(с разметкой в сантиметрах и миллиметрах
) и рулетка
(с сантиметровой, дециметровой и метровой разметкой
). Для построения отрезков школьники применяют линейки с миллиметровой и сантиметровой разметкой.
Чтобы построить отрезок заданной длины, необходимо совместить точку начала отрезка и цифру 0 на линейке. Затем по шкале разметки на линейке надо найти длину отрезка и отметить точку конца отрезка. Начало и конец отрезка соединяют с помощью карандаша, не убирая линейки.
отрезок заданной длины
На этой линейке цифрами обозначено количество отрезков в сантиметрах (единичные отрезки в 1 см), мелкие деления - это единичные отрезки в 5 мм. Длина построенного отрезка - 50 мм, или 5 см 0 мм.
Кроссворд
По горизонтали:
1. Луч, делящий угол пополам.
4. Элемент треугольника.
5, 6, 7. Виды треугольника (по углам).
11. Математик древности.
12. Часть прямой.
15. Сторона прямоугольного треугольника.
16. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
По вертикали:
2. Вершина треугольника.
3. Фигура в геометрии.
8. Элемент треугольника.
9. Вид треугольника (по сторонам).
10. Отрезок в треугольнике.
13. Треугольник, у которого две стороны равны.
14. Сторона прямоугольного треугольника.
17. Элемент треугольника.
Ответы:
По горизонтали:
1. Биссектриса.
4. Сторона.
5. Прямоугольный.
6. Остроугольный.
7. Тупоугольный.
11. Пифагор.
12. Отрезок.
15. Гипотенуза.
16. Медиана.
По вертикали:
2. Точка.
3. Треугольник.
8. Вершина.
9. Равносторонний.
10. Высота.
13. Равнобедренный.
14. Катет.
17. Угол.
Вопросы:
- Что люди измеряли в глубокой древности?
- Назовите еденицы длены в Англии и США.
- Что такое длина отрезка?
- Чему равен 1 децеметр?
- Назовите приборы для измерения длены.
Прямая
Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.
Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).
Полученную линию мы и будем называть прямой . Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.
Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).
Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:
Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.
Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.
Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.
Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:
- Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
- Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
- Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.
В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.
Отрезок
Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда
Определение 1
Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.
Определение 2
Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.
Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).
Сравнение отрезков
Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.
Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.
Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:
Длина отрезка
Помимо сравнения одних отрезков с другими также часто необходимо измерение отрезков. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу (к примеру отрезок, длина которого равняется 1 сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти. Рассмотрим пример.
Пример 1
Найти длину следующего отрезка
если следующий отрезок равняется 1
Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:
Ответ: $6$ см.
Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:
Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.
Аксиома 6: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, мы можем для любого положительного числа найти отрезок, у которого длина равняется данному числу.
После определения длины отрезков у нас появляется второй способ для сравнения отрезков. Если при одном и том же выборе единицы длины отрезок $1$ и отрезок $2$ будут иметь одинаковую длину, то такие отрезки будут называться равными. Если же, без ограничения общности, отрезок 1 будет иметь длину по числовому значению меньше длины отрезка $2$, то отрезок $1$ будет меньше отрезка $2$.
Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.
Пример 2
Записать длины следующих отрезков:
Измерим их с помощью линейки:
- $4$ см.
- $10$ см.
- $5$ см.
- $8$ см.
Приветствую вас в четвертом уроке по теме “Измерение отрезков”. С этого урока начинается все самое интересное)) Если вы будете внимательно изучать уроки и прорешивать все задачи, то влюбитесь в этот предмет так же как и я.
Ниже представлены задачи предложенные по этой теме (в учебнике по геометрии Л.С. Атанасян). Перед тем как посмотреть решение той или иной задачи, попробуйте решить ее самостоятельно))
Условие задачи:
Измерьте ширину и длину учебника геометрии и выразите их в сантиметрах и в миллиметрах.
Текстовое решение:
Длина учебника: 22 см. =220 мм
Ширина учебника: 14,6 см.=146 мм
1 см = 10 мм
Ответ: 220 мм, 146 мм.
Условие задачи:
Измерив толщину учебника геометрии без обложки, найдите толщину одного листа.
Текстовое решение:
Толщина учебника без обложки: 1,7 см.=17 мм.
Количество страниц в учебнике: 384 стр.
1) 384:2=192 листа
2) 17 мм: 192 л =0,0885… ~ 0.09 мм =0,009 см
Ответ: 0,09 мм (0,009 см)
Условие задачи:
Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 1., если за единицу измерения принят отрезок: а) KL б) AB
Текстовое решение:
а) KL – единичный отрезок, тогда AB=2KL, PQ=3KL, EF=5KL, CD=6KL
б) AB – единичный отрезок, тогда KL=0.5AB, PQ=1.5AB, EF=2.5AB, CD=3AB
Условие задачи:
Начертите отрезок AB и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины которых равны 2AB, 0.5AB и 0.25AB.
Текстовое решение:
1) Чертим отрезок AB.
2) Чертим луч h.
3) Отложим от начала луча h отрезок CD, длина которого равна 2AB.
4) Отложим от начала луча h отрезок CF, длина которого равна 0.5AB.
5) Отложим от начала луча h отрезок CQ, длина которого равна 0.25AB.
Условие задачи:
Начертите прямую и отметьте на ней точки A и B. С помощью масштабной линейки отметьте точки С и D так, чтобы точка B была серединой отрезка AC, а точка D – серединой отрезка BC.
Текстовое решение:
1) Чертим прямую и отмечаем на ней точки A, B.
2) Отмечаем на прямой точку С так, чтобы B была серединой отрезка AC.
3) Отмечаем на прямой точку D так, чтобы точка D была серединой отрезка BC.
P.S. Задача расписана по шагам, все обозначения необходимо выполнить на одном рисунке. В результате выполнения всех шагов вы получите последний рисунок.
Условие задачи:
Начертите прямую AB. С помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку C, такую, что AC=2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой AB.
Текстовое решение:
1) Чертим прямую AB.
2) Отмечаем на прямой AB точку С так, чтобы AC= 2 см.
Мы можем отложить точку С на 2 см от точки A двумя способами: вправо и влево.
Ответ: 2 точки.
Условие задачи:
Точка B делит отрезок AC на два отрезка. Найдите длину отрезка AC, если AB=7,8 см., BC=25 мм.
Текстовое решение:
1) Чертим отрезок AC и отмечаем на нем точку B, причем длина отрезка AB больше, чем длина отрезка BC (по условию).
3) Длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC: AC=AB+BC
Складывать можно только одинаковые величины, переведем длину отрезка BC в сантиметры: BC=25 мм.=2,5 см.
=> AC=7.8+2.5=10.3 см.
Ответ: 10,3 см.
Условие задачи:
Точка B делит отрезок AC на два отрезка. Найдите длину отрезка BC, если: а) AB=3,7 см., AC=7,2 см. б) AB=4 мм., AC=4 см.
Текстовое решение:
1) Чертим отрезок AC и отмечаем на нем точку B.
2) Длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC: AC=AB+BC => BC=AC-AB
а) AB=3,7 см., AC=7,2 см. => BC=7,2-3,7=3,5 см.
б) AB=4 мм., AC=4 см. => Переведем длину отрезка AB в сантиметры: AB=4 мм.=0,4 см.
BC=4-0,4=3,6 см.
Ответ: а) 3,5 см. б) 3,6 см.
Условие задачи:
Точки A, B, С лежат на одной прямой. Известно, что AB=12 см, BC=13,5 см. Какой может быть длина отрезка AC
Текстовое решение:
Когда неизвестно в каком порядке расположены точки на прямой, задача имеет два решения. Точки могут располагаться таким образом:
Тогда AC=BC-AB, AC=13.5-12=1.5 см.
Давайте рассмотрим другое расположение точек:
Тогда AC=AB+BC, AC=12+13.5=25.5 см.
Давайте убедимся, что точка С не может располагаться внутри отрезка AB:
Как вы можете убедиться по рисунку, длина отрезка AB не может быть меньше длины отрезка BC, находящегося внутри отрезка AB.
Ответ: 1,5 см. или 25,5 см.
Условие задачи:
Точки B, D, M лежат на одной прямой. Известно, что BD=7 см., MD=16 см. Каким может быть расстояние BM
Текстовое решение:
Не спешите смотреть решение. Еще раз изучите решение предыдущей задачи и попробуйте решить эту задачу самостоятельно. А потом проверите ответ))
Сначала давайте расположим точки так, чтобы по середине оказалась точка B:
А теперь расположим точки так, чтобы по середине оказалась точка D:
MB=16+7=23 см.
Ну и все таки стоит убедиться, что точка M не может лежать между точками B и D, т.к. отрезок BD меньше отрезка MD.
Ответ: 9 см. или 23 см.
Условие задачи:
Точка С – середина отрезка AB, равного 64 см. На луче CA отмечена точка D так, что CD=15 см. Найдите длины отрезков BD и DA.
Оформление задачи:
Решение:
“Правильно построенный чертеж – это половина решенной задачи” – так любила говорить моя любимая учительница по математики, Агриппина Ивановна.
Поэтому все, что нам дано – мы отмечаем на нашем рисунке.
1) AC=CB (по условию) => AC=CB=0.5AB=64:2=32 см.
2) BD=DC+CB, BD=15+32=47 см.
3) AD можно найти двумя способами: AD=AB-BD или AD=AC-DC. Я использую второй способ.
AD=32-15=17 см.
Ответ: 47 см., 17 см.
Условие задачи:
Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км. Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в 170 км. от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и С.-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.
Оформление задачи:
Решение:
MP=MT+TP => TP=MP-MT, TP=650-170=480 км.
Ответ: 480 км.
Условие задачи:
Лежат ли точки A, B, С на одной прямой, если AC=5 см., AB=3 см., BC=4 см.
Текстовое решение:
Если точки лежат на одной прямой, то больший отрезок состоит из двух других отрезков. Самый большой отрезок – AC: AC=AB+BC, но
Ответ: точки A, B и С не лежат на одной прямой.
Условие задачи:
Точка С – середина отрезка AB, точка O – середина отрезка AC. а) Найдите AC, CB, AO и OB, если AB=2 см. б) найдите AB, AC, AO и OB, если CB=3,2 м.
Оформление решения:
Решение:
а) AB=2 см. (по условию)
AC=CB=AB:2=2:2=1 см.
AO=OC=AC:2=1:2=0,5 см.
OB=OC+CB => OB=0,5+1=1,5 см.
б) CB=3,2 см. (по условию)
AC=CB=3,2 см. => AB=2*CB=2*3,2=6,4 см.
AO=OC=AC:2=3,2:2=1,6 см.
Ответ:
а) 1 см., 1 см., 0,5 см., 1,5 см.
б) 3,2 см., 6,4 см., 1,6 см., 1,6 см.
Условие задачи:
На прямой отмечены точки O, A и B так, что OA=12 см, OB=9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков OA и OB, если точка O: а) лежит на отрезке AB б) не лежит на отрезке AB
Текстовое решение:
Условие задачи:
Отрезок, длина которого равна a, разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.
Текстовое решение:
Условие задачи:
Отрезок, равный 28 см., разделен на три неравных отрезка. Расстояние между середниами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.
Текстовое решение:
