Статград диагностические работы.

с развёрнутым ответом.

наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

1 Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3500 рублей. До установки счётчиков за воду платили 1700 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 1100 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

2 На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного

периода выпадало не менее 3 миллиметров осадков.

Ответ: ___________________________.

Ответ: ___________________________.

© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена

4 На олимпиаде по физике 450 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 180 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Ответ: ___________________________.

Ответ: ___________________________.

6 Площадь ромба равна 52. Одна из его диагоналей равна 4. Найдите другую диагональ.

Ответ: ___________________________.

10 К источнику с ЭДС ε 55 В и внутренним сопротивлением r 0,5 Ом хотят

подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаётся формулойU R ε R r . При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 50 В? Ответ выразите в омах.

Ответ: ___________________________.

11 На изготовление 780 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 840 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Ответ: ___________________________.

© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена

Ответ: ___________________________.

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

14 Дана правильная треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 , все рёбра которой равны 4. Через точкиA ,С 1 и серединуT ребраА 1 В 1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостьюABC .

15 Решите неравенство

log 2 13 4 log2 13 5 2x .

16 СтороныKN иLM трапецииKLMN параллельны, прямыеLM иMN - касательные к окружности, описанной около треугольникаKLN .

а) Докажите, что треугольники LMN иKLN подобны.

б) Найдите площадь треугольника KLN , если известно, чтоKN = 3 ,

а LMN = 120 .

© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена

17 По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний прое кт 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравне нию с началом года. Начисленные проце нты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения:целое числоn млн рублей в первый и второй годы, а такжецелое числоm млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значенияn иm , при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

18 Найдите все значения параметра b , при каждом из которых уравнение

x 3 + 2x 2 −x log2 (b −1) + 4 = 0

имеет единственное решение на отрезке [ −1; 2] .

© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс

Выполнена: ФИО _________________________________класс ______

Инструкция по выполнению работы

На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий.

Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня сложности

с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности

с развёрнутым ответом.

Ответы к заданиям 1–12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение на отдельном листе бумаги.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать

наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена

Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.

1 Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2500 рублей. До установки счётчиков за воду платили 800 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 600 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Ответ: ___________________________.

2 На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Якутске с 18 по 29 октября 1986 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного

периода выпадало от 0,1 до 0,6 миллиметров осадков.

3 Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: ___________________________.

© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

согласия СтатГрад запрещена

4 На олимпиаде по истории 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 150 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Ответ: ___________________________.

Ответ: ___________________________.

6 Площадь ромба равна 27. Одна из его диагоналей равна 6. Найдите другую диагональ.

8 Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: ___________________________.

10 К источнику с ЭДС ε 130 В и внутренним сопротивлением r 1 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлениемR Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаётся формулойU R ε R r . При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 120 В? Ответ выразите в омах.

Ответ: ___________________________.

11 На изготовление 575 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Ответ: ___________________________.

© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена

Задание 1

Задачу №13 правильно решили 399 человек, что составляет \(19\%\) выпускников города. Сколько всего выпускников в этом городе?

Так как 399 человек – это \(19\%\) , то \(1\%\) – это \(399:19=21\) человек. Следовательно, \(100\%\) – это \(21\cdot 100=2100\) человек.

Ответ: 2100

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Ялте за каждый месяц 1990 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по приведенной диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1990 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Вторая половина года – это все месяцы с июля по декабрь. Из диаграммы видно, что наименьшая температура была в декабре и равнялась \(2^\circ C\) .

Ответ: 2

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен треугольник \(ABC\) . Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины \(B\) .

Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный (\(BA=BC\) ). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины \(B\) , будет также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса \(BH\) равна \(3\) :

Ответ: 3

Задание 4

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

Найдем, сколько выступлений должно состояться в третий день. В первый день 12 выступлений, всего 75, следовательно, в последние три дня \(75-12=63\) выступления. Следовательно, в третий день \(63:3=21\) выступление.
Таким образом, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день, равна \[\dfrac{21}{75}=\dfrac7{25}=0,28\]

Ответ: 0,28

Задание 6

Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(55^\circ\) . Найдите угол между высотой \(CH\) и медианой \(CM\) , проведенными из вершины прямого угла \(C\) . Ответ дайте в градусах.

Так как медиана, опущенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы, то \(\triangle BMC\) – равнобедренный, то есть \(BM=CM\) . Следовательно, \(\angle BCM=\angle B=55^\circ\) .
\(\angle BCH=90^\circ-\angle B=35^\circ\) . Следовательно, \(\angle HCM=55^\circ-35^\circ=20^\circ\) .

Ответ: 20

Задание 7

На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\) . Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) .

Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox. Рассмотрим \(\triangle ABC\) :


Угол наклона касательной равен \(180^\circ-\angle ABC\) . Из \(\triangle ABC\) видно, что \(\mathrm{tg}\,\angle ABC=10:8=1,25\) . Так как \(\mathrm{tg}\,(180^\circ-\angle ABC)=-\mathrm{tg}\,\angle ABC\) , то ответ: \(-1,25\) .

Ответ: -1,25

Задание 8

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны \(6\) , а высота равна \(4\sqrt3\) .

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{\sqrt3}4a^2\) . Следовательно, \(S=9\sqrt3\) . Тогда объем равен \(V=\frac13Sh=\frac13\cdot 9\sqrt3\cdot 4\sqrt3=36\) .

Ответ: 36

Задание 9

Найдите значение выражения \[\dfrac{-10\sin 97^\circ\cdot \cos 97^\circ}{\sin 194^\circ}\]

Заметим, что \(97^\circ\cdot 2=194^\circ\) . Следовательно: \[\dfrac{-10\sin 97^\circ\cdot \cos 97^\circ}{\sin (2\cdot 97^\circ)}= \dfrac{-10\sin 97^\circ\cdot \cos 97^\circ}{2\sin 97^\circ\cdot \cos97^\circ}=-5\]

Ответ: -5

Задание 10

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \ где \(p\) – давление в газе в паскалях, \(V\) – объем газа в кубических метрах, \(k=\frac43\) . Найдите, какой объем \(V\) (в куб. м) будет занимать газ при давлении \(p\) , равном \(2\cdot 10^5\) Па.

Подставим данные в формулу: \

Ответ: 125

Задание 11

Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до С. Ответ дайте в километрах.

Пусть \(x\) км/ч – скорость автомобиля. Пусть \(y\) км – расстояние от города A до города C. Тогда время, которое затратил автомобиль на путь AC, равно \(\dfrac yx\) (ч). Время, которое затратил мотоцикл на этот же путь, равно \(\dfrac y{90}\) (ч). Так как мотоцикл выехал на час позже, то он затратил на 1 час меньше времени, следовательно, \[\dfrac yx-1=\dfrac y{90}\] Это первое уравнение.
На весь путь от A до B автомобиль затратил \(\dfrac{403}x\) (ч). Мотоцикл затратил на путь из C в A столько же времени, сколько на путь из A в C (так как обратно он ехал с той же скоростью, что и в C). Следовательно, на путь от A до C и обратно мотоцикл затратил \(\dfrac {2y}{90}\) . Заметим, что в сумме мотоцикл двигался также на 1 час меньше времени, чем автомобиль: \[\dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90}\] Это второе уравнение. Составим систему: \[\begin{cases} \dfrac yx-1=\dfrac y{90}\\ \dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90} \end{cases}\] Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x=\dfrac{90y}{90+y}\) и подставим во второе уравнение, получим: \ Дискриминант \(D=313^2+2\cdot 4\cdot 403\cdot 90=388\,129\) . Извлечем корень из данного числа. Так как \(600^2=360\,000\) , а \(700^2=490\,000\) , то \(600<\sqrt{388\,129}<700\) . Так как \(61^2=3721\) , \(62^2=3844\) , \(63^2=3969\) , то \(620<\sqrt{388\,129}<630\) . Подберем последнюю цифру: на конце дают \(9\) следующие цифры, возведенные в квадрат: \(3\) и \(7\) (\(3^2=9, 7^2=49\) ). Проверим: \(623^2=388\,129\) . Таким образом, \(\sqrt{D}=623\) .
Найдем корни: \ Так как \(y\) – расстояние, то есть величина неотрицательная, то подходит только корень \(y=234\) .

Ответ: 234

Задание 12

Найдите точку максимума функции \

1 способ.

Заметим, что \ Следовательно, \(y=\sqrt{-(x+9)^2+2}\) . Так как \((x+9)^2\geqslant 0\) , то \(-(x+9)^2+2\leqslant 2\) .
Заметим, что при \(x<-9\) функция \(y(x)\) является возрастающей, так как при увеличении \(x\) значение \(y(x)\) также растет. А при \(x>-9\) функция является убывающей. Следовательно, \(x=-9\) – точка максимума.

2 способ.

Найдем производную функции, чтобы схематично построить график этой функции.

\ Найдем нули производной: \ Заметим, что \(x=-9\) подходит по ОДЗ (\(-79-18x-x^2\geqslant 0\) ). Найдем знаки производной справа и слева от точки \(x=-9\) :

Таким образом, по определению точка \(x=-9\) является точкой максимума.

Ответ: -9

Задание 13

а) Решите уравнение \

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left.\)

а) По формулам приведения \(\sin(\pi+x)=-\sin x, \ \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos x\) . Тогда уравнение примет вид \[-2\sin x\cos x=\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\&\cos x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Корнями уравнений будут являться \(x=\pi n\) и \(x=\pm\dfrac{2\pi}3+2\pi k\) , \(n,k\in\mathbb{Z}\) .

б) Отберем корни. \(2\pi\leqslant \pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 2\leqslant n\leqslant 3,5\quad\Rightarrow\quad n=2;3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; 3\pi\) \(2\pi\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac23\leqslant k\leqslant \dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{8\pi}3\) \(2\pi\leqslant -\frac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac43\leqslant k\leqslant \dfrac{25}{12}\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{10\pi}3\)

Ответ:

а) \(\pi n, \ \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)

б) \(2\pi, \ \dfrac{8\pi}3, \ 3\pi, \ \dfrac{10\pi}3\)

Задание 14

В основании правильной пирамиды \(PABCD\) лежит квадрат \(ABCD\) со стороной \(6\) . Сечение пирамиды проходит через вершину \(B\) и середину ребра \(PD\) перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию равен \(60^\circ\) .
б) Найдите площадь сечения пирамиды.

а) По свойству правильной пирамиды \(PD=PB\) . Так как \(PD\) перпендикулярно плоскости \(\alpha\) сечения, то оно перпендикулярно любой прямой из плоскости \(\alpha\) . Следовательно, \(PD\perp BK\) . Тогда \(BK\) – медиана и высота в \(\triangle BPD\) , следовательно, этот треугольник равнобедренный и \(BP=BD\) . Следовательно, \(\triangle BPD\) – равносторонний и \(\angle PDB=60^\circ\) . Но это и есть угол между боковым ребром \(PD\) и плоскостью основания, чтд.

б) Проведем еще одну прямую, пересекающую \(BK\) и перпендикулярную \(PD\) . Тогда плоскость, проходящая через эту прямую и прямую \(BK\) , и будет плоскостью \(\alpha\) .
Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то \(AC\perp BD\) . Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная \(PD\) также будет перпендикулярна \(AC\) .
Следовательно, если провести через точку пересечения \(PO\) и \(BK\) прямую \(MN\) параллельно \(AC\) , то \(MN\perp PD\) . Проведем:


Таким образом, \(BMKN\) – искомое сечение.
Заметим, что аналогично по теореме о трех перпендикулярах \(BK\perp MN\) . Следовательно, \(S_{BMKN}=\frac12BK\cdot MN\cdot \sin\angle BQN\) , а \(\sin\angle BQN=1\) , следовательно, \ Рассмотрим \(\triangle BKD\) . \(BD=6\sqrt2\) , \(KD=0,5PD=0,5BD=3\sqrt2\) . Следовательно, по теореме Пифагора \ Так как \(PO\) и \(BK\) – медианы в \(\triangle BPD\) , то \(PQ:QO=2:1\) , следовательно, \(PQ:PO=2:3\) .
Так как \(\triangle APC\sim MPN\) , то \ Следовательно, \

Ответ:

б) \(12\sqrt3\)

Задание 15

Решите неравенство \[\log_{(x+4)^2}\left(3x^2-x-1\right)\leqslant 0\]

Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} (x+4)^2>0\\ (x+4)^2\ne 1\\3x^2-x-1>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-5)\cup(-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left(-3;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;+\infty\right)\] Решим неравенство на ОДЗ. Воспользуемся методом рационализации: \[((x+4)^2-1)\cdot (3x^2-x-1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x+5)(x-1)(3x+2)\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Следовательно, \\cup\left[-\dfrac23;1\right]\] Пересечем полученный ответ с ОДЗ и найдем итоговый ответ: \\]

Ответ:

\((-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left[-\dfrac23;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;1\right]\)

Задание 16

Окружность с центром \(O\) проходит через вершины \(B\) и \(C\) большей боковой стороны прямоугольной трапеции \(ABCD\) и касается боковой стороны \(AD\) в точке \(K\) .
а) Докажите, что угол \(BOC\) вдвое больше угла \(BKC\) .
б) Найдите расстояние от точки \(K\) до прямой \(BC\) , если основания трапеции \(AB\) и \(CD\) равны 4 и 9 соответственно.

а) Угол \(BOC\) – центральный, опирающийся на дугу \(BC\) ; угол \(BKC\) – вписанный и опирающийся на ту же дугу, следовательно, \(\angle BOC=2\angle BKC\) , чтд.

б) Проведем \(KH\perp BC\) . Так как угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle DKC=0,5\buildrel\smile\over{KC}=\angle KBC\) . Аналогично \(\angle AKB=\angle KCB\) :

Следовательно, \(\triangle AKB\sim \triangle KHC, \triangle KDC\sim \triangle KHB\) как прямоугольные по острому углу. Тогда: \[\begin{aligned} &\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{KH}{CD}\\ &\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{KH}{AB}\end{aligned}\] Отсюда \

Ответ:

Задание 17

В июле планируется взять кредит на сумму \(69\,510\) рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Пусть \(A\) – сумма кредита в рублях. Пусть \(x\) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на три года, \(y\) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на два года. Так как по условию платежи аннуитетные, то, если кредит взят на три года, то в конце третьего года долг будет равен \ Если кредит взят на два года, то в конце второго года долг будет равен \ Если вы не понимаете, почему так, можете ознакомиться с теорией по ссылке https://сайт/theory/44 В первом случае клиент выплатит банку за все года \(3x\) рублей, во втором – \(2y\) рублей. Следовательно, нужно найти \(3x-2y\) . Найдем: \(3x-2y=\dfrac{3\cdot 1,1^3\cdot A}{1,1^2+1,1+1}-\dfrac{2\cdot 1,1^2\cdot A} {1,1+1}=\) \(=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac{3\cdot 1,1^2+3\cdot 1,1-2\cdot 1,1^2-2\cdot 1,1-2}{2,1\cdot 3,31}=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac{0,31}{2,1\cdot 3,31}=\) \(=\dfrac{11\cdot 11\cdot 6951\cdot 31}{21\cdot 331}=11\cdot 11\cdot 31=3\,751\) .

Ответ: 3751

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]

имеет ровно два решения.

1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\) : \ Дискриминант равен \(D=9y^2\) , следовательно, \ Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\ &y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\) и радиусом \(R=\sqrt5a^2\) . Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\) :


Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\) .

2) Так как у прямой \(y=kx\) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(k\) , то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\) равен \(0,5\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\) ), прямой \(y=2x\) – равен \(2\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\) ). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta=1\) , следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\) . Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Это значит, что угол между \(y=2x\) и положительным направлением \(Oy\) равен углу между \(y=0,5x\) и положительным направлением \(Ox\) :


А так как прямая \(y=x\) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\) и \(Oy\) равны по \(45^\circ\) ), то углы между \(y=x\) и прямыми \(y=2x\) и \(y=0,5x\) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\) и \(y=0,5x\) симметричны друг другу относительно \(y=x\) , следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\) , то окружность вырождается в точку \((0;0)\) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:


Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\) , а в третьей \(a<0\) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.


Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\) , \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Тогда \ Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\] Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\, 45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot \mathrm{tg}\,\alpha}\] следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}} \quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\) . Следовательно, ответ: \ . Тогда: \ Если взять, например, \(x=2\) , \(y=1\) , то получим последовательность: \(2, 1, 3, 4, 7, \dots\) Следовательно, такое возможно.

б) Аналогично пункту а): \ Следовательно, один из \(x\) или \(y\) должен быть отрицательным (оба они не могут быть равны \(0\) , так как последовательность состоит из натуральных чисел). Но это невозможно, так как последовательность состоит из натуральных чисел. Следовательно, ответ: нет.

в) Отметим основные свойства последовательности, где \(a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\) при натуральных \(n\geqslant 2\) . Заметим, что первые два элемента этой последовательности задаются произвольно, а вот каждый следующий, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Следовательно, так как последовательность состоит из натуральных чисел, то каждый элемент, начиная с третьего, больше предыдущего, то есть \(a_{n+1}:a_n>1\) при \(n\geqslant 2\) .
Это же свойство можно переформулировать по-другому: каждый элемент, начиная со второго, меньше следующего: \(a_n:a_{n+1}<1\) при \(n\geqslant 2\) .
Но тогда \[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}<1+1=2, \quad n\geqslant 3\] (каждый элемент, начиная с 4-ого, менее чем в два раза больше предыдущего)

Предположим, что равенство \(6na_{n+1}=(n^2+24)a_n\) вплоть до какого-то большого \(n\) (то есть \(n\geqslant 3\) ). Тогда \[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n^2+24}{6n}<2\] Решим неравенство: \[\dfrac{n^2+24}{6n}<2\quad\Rightarrow\quad n^2-12n+24<0 \quad\Leftrightarrow\quad n\in (6-\sqrt{12};6+\sqrt{12})\] Так как \(n\) – натуральное, а \(9<6+\sqrt{12}<10\) , то \(n\leqslant 9\) .
Следовательно, наибольший элемент, для которого может быть выполнено равенство из пункта в), это \(a_{10}\) .
Попробуем привести пример. Для этого нам понадобиться равенство \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) использовать в виде \(a_n=a_{n+2}-a_{n+1}\) , а также то, что каждый элемент последовательности, начиная с третьего, должен быть больше предыдущего.

Пусть \(n=9\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 9\cdot a_{10}=105a_9\\ &18a_{10}=35a_9\quad\Rightarrow\\ &a_{10}=35k\\ &a_9=18k\\ &a_8=17k\\ &a_7=k\\ &a_6=16k\end{aligned}\] Получили, что \(a_6>a_7\) – противоречие.

Пусть \(n=8\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 8\cdot a_9=88a_8\\ &6a_9=11a_8\quad\Rightarrow\\ &a_9=11k\\ &a_8=6k\\ &a_7=5k\\ &a_6=k\\ &a_5=4k\end{aligned}\] Получили противоречие.

Пусть \(n=7\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 7\cdot a_8=73a_7\quad\Rightarrow\\ &a_8=73k\\ &a_7=42k\\ &a_6=31k\\ &a_5=11k\\ &a_4=20k\end{aligned}\] Получили противоречие.

Пусть \(n=6\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 6\cdot a_7=60a_6\\ &3a_7=5a_6\quad\Rightarrow\\ &a_7=5k\\ &a_6=3k\\ &a_5=2k\\ &a_4=k\\ &a_3=k\end{aligned}\] Получили противоречие.

Пусть \(n=5\) . Тогда \[\begin{aligned} &6\cdot 5\cdot a_6=49a_5\quad\Rightarrow\\ &a_6=49k\\ &a_5=30k\\ &a_4=19k\\ &a_3=11k\\ &a_2=8k\\ &a_1=3k\end{aligned}\] Противоречия нет, следовательно, наибольшее возможное \(n\) – это \(n=5\) . Пример: \(3; 8; 11; 19; 30; 49\) .

Главная » Английский алфавит » Статград диагностические работы.