Векторные силы. Направление вектора силы тяжести

Разбирая второй закон Ньютона и возникшую по его поводу дискуссию, употребляли два возможных определения силы (в прямолинейном движении):

Оба эти закона вполне справедливы и равноправны, но все же представляют довольно существенные различия между собой. Первое определение, основанное на дифференцировании количества движения, легко можно распространить и на общий случай пространственного движения точки; достаточно лишь выразить это равенство в векторной форме:

Что касается второго определения, то, поскольку кинетическая энергия не является векторной величиной, выразить его так сразу нельзя; придется создать специальный математический аппарат.

Таким образом, имеется два различных возможных направления развития: векторное и скалярное. Родоначальником скалярного направления является Лагранж, в механике которого кинетическая и потенциальная энергии имеют большое значение.

Во втором направлении развития - школе количества движения, или геометрической школе, - основным понятием является изображение силы в виде вектора.

В настоящее время понятие Силы-вектора настолько применимо, что трудно даже представить иной термин. В действительности, конечно, дело было совсем не так просто. В древности понятие силы как мощности вообще исключало идею о направлении; в средние века можно было различать «тяжесть в зависимости от положения» (gravitas secundum situs ), но это было лишь зародышем идеи о направлении.

Направление силы вполне определилось, когда силу стали выражать через количество движения, но и вектор, изображающий, силу, по существу, определял даже не скорость, а геометрический отрезок прямой линии, представлявший путь, пройденный телом за определенный промежуток времени, большей частью принятый за его единицу. Оба элемента силы - величина и направление - мыслились совершенно независимо одна от другой.

Чтобы убедиться в этом, проследим, каким образом рассматривал это Лагранж. Определяя направление силы, он рассматривал точку приложения силы, затем на прямой, по которой действовала сила, он брал точку, называемую центром действия (идея эта, вероятно, восходит к Ньютону и к его центростремительным силам); к этой точке была направлена приложенная сила. Расстояние от точки приложения силы до центра ее действия представлялось скалярной величиной, уменьшавшейся во время действия силы; поэтому виртуальные моменты Лагранжа и получались отрицательными. Таким образом, величина силы Р и определявший ее направление отрезок существовали вполне независимо и соединялись только при образовании виртуального момента.

Современное изображение силы отрезком, который одновременно давал и величину силы, и ее направление, появилось, позже а притом еще без стрелки - направление определялось последовательностью букв при начале и конце отрезка.

Какие же принципы были определяющими для такого представления силы? Прежде всего это требование наглядности, необходимой для массового распространения механических знаний среди новой инженерной профессии, начало которой положил Монж в начертательной геометрии. Но, кроме того, были и другие причины.

В XVIII в. в математике большое распространение получила идея о применении мнимого числа. В XVII в. можно было не применять мнимые числа, так как при решении алгебраических уравнений существенное значение имели лишь действительные числа; но так называемый неприводимый случай (casus irreductibilis ) в решении кубического уравнения с тремя действительными корнями требовал особого рассмотрения. В течение же XVIII в., когда после работ Эйлера выяснилось, что показательные и тригонометрические функции восходят к общему корню и различаются лишь теми значениями, действительными или мнимыми, которые принимает аргумент, положение существенно изменилось. Мнимые числа уже начали становиться (тоже в какой-то степени) такими же реальными, как и действительные. Встал вопрос о каком-то реальном их изображении.

Отметим, что постановка и правильное решение этого вопроса были сделаны не специалистом-математиком; это был норвежец Гаспар Вессель (1745-1818), геодезист по специальности, работа которого «Об аналитическом представлении направлений» («Оm directionens analytiske Betegning ») была напечатана в 1799 г. в «Трудах» Датской Академии наук. Он показал, что при помощи комбинаций четырех взаимно перпендикулярных единиц 1, -1, i и -i можно представить любое направление на плоскости; таким образом, комплексное число где х и у - любые положительные или отрицательные числа, а , может на плоскости представить любой отрезок и по величине, и по направлению.

Хотя работа Весселя , написанная на датском языке и помещенная в малораспространенном издании, была правильно оценена только во второй половине XIX в., но аналогичные представления были развиты и другими математиками; в частности, на это в конце XVIII в. обратил внимание Гаусс. Проводивший измерения на плоскости, Вессель легко выполнял свою работу пользуясь комплексными числами, зависящими только от двух единиц.

В механике при переходе к пространству трех измерений можно было бы добавить еще одну единицу, но, к сожалению, дело вышло не так просто: оказалось невозможным построить систему комплексных чисел на основе трех единиц, не нарушая законов, которым должны удовлетворять правила действия над числами при их дальнейших обобщениях. Особые трудности возникли при определении операции умножения.

Основных законов было пять:

1. Произведение двух чисел должно быть числом того же рода, что и перемножаемые.

Это значит, что произведение двух прямолинейных отрезков должно быть тоже отрезком, а не площадью прямоугольника, построенного на этих отрезках.

2. Переместительный закон: .

3. Сочетательный закон .

4. Распределительный закон .

5. Произведение двух чисел может равняться нулю, если равен нулю один из множителей.

Эти законы выполняются для всех чисел, рассматриваемых в алгебре, включая и обыкновенные комплексные числа с мнимой и действительной единицами. При дальнейшем обобщении нельзя было сохранить все эти законы. Можно было пренебречь переместительным и сочетательным законами, поскольку они требовали лишь определенной последовательности совершения операций. Но остальные законы сохранить было необходимо.

Что касается первого закона, то важность его сохранения поняли еще древние греки, так как в геометрии они должны были ограничиваться перемножением только двух отрезков (площадь) или трех (объем).

Необходимость распределительного закона очевидна: без него была бы невозможной алгебра.

Пятый закон позволяет решать алгебраические уравнения высших степеней путем разложения их на множители и последовательного приравнивания к нулю каждого из множителей.

Покажем, что для комплексных чисел вида

пятый закон не может быть удовлетворен.

Пусть даны два числа

где a, b, c - заданные действительные числа, х, у, z - какие угодно числа, не равные одновременно нулю. Перемножая А и X по правилу умножения многочленов, получаем девять членов с произведениями ii , ij , ik и т. д. Так как произведение должно содержать только три члена и все единичные векторы имеют абсолютную величину, равную единице, то каждое из девяти произведений их должно равняться какому-либо из векторов i, j, k с коэффициентом ± 1.

Рассмотренное произведение имеет вид

где коэффициенты A, В , С - известные числа из ряда а, b, с ,помноженные на ±1. Для равенства нулю этого произведения необходимо, чтобы

Эти уравнения имеют тривиальные решения или они являются неопределенными, если равен нулю детерминант из коэффициентов

Так как каждый из коэффициентов А , В, С является линейной функцией от а, b, с , то, считая два из них, например b и c , известными и раскрывая детерминант, получаем относительно а уравнение третьей степени, которое всегда имеет один действительный корень - пусть а 0 . Тогда число

помноженное на любое число , даст в пр оизведении нуль, хотя ни один из множителей не равен нулю. Отсюда следуй что комплексное число с тремя (или вообще с 2n + 1) единицами не удовлетворяет приведенным основным законам. Для этого нужно было бы, чтобы все корни уравнения, полученного из разложения детерминанта, были мнимыми, а это возможно лишь в том случае, если степень этого уравнения будет четной, что легко можно проверить для обыкновенных комплексных чисел вида а + W.

Когда это было установлено, то Гамильтон (1805-1865) попробовал взять комплексное число с четырьмя единицами вида

так называемый кватернион. Первое слагаемое (действительное число) он называл скаляром, а совокупность трех остальных - вектором. Достаточно рассмотреть лишь правило умножения векторных частей:

Произведения одинаковых единичных векторов Гамильтон положил равными -1:

Для произведения неравных единичных векторов Гамильтон отказался от закона переместительности и вывел известные теперь формулы для векторного произведения:

После этого произведение приняло вид

Получен кватернион, первая часть которого, взятая со знаком минус, получила теперь название скалярного произведения двух векторов:

а вторая, векторная часть получила название векторного произведения .

Нетрудно проверить, что для произведения двух кватернионов пятый основной закон выполняется, так что кватернионы, а следовательно, и их частные случаи - векторы, имеют право на существование в качестве обобщенных комплексных чисел (с некоторыми ограничениями - произведение двух векторов есть кватернион).

То обстоятельство, что вектор можно рассматривать как некоторое обобщенное число, позволяет упростить ряд операций с силами, если доказать, что сила есть вектор.

Типическим вектором - комплексным числом является так называемый радиус-вектор, т. е. отрезок, имеющий размерность длины, проведенный из начала координат к заданной точке, координаты которой х, у, z :

Приращение этого вектора является тоже вектором. Если разделить его на скалярную величину dt , то векторная природа его не изменится: направление остается таким же и изменяется лишь величина. Это показывает, что

где v - скорость, т. е. вектор.

Аналогично покажем, что ускорение а тоже является вектором. Но по второму закону Ньютона сила равняется произведению вектора ускорения на массу, являющуюся скаляром. Тогда сила тоже является вектором и подчиняется всем правилам действия над ними, в том числе и сложению. Таким образом, закон параллелограмма сил доказывать не надо; он уже доказан тем, что сила является вектором.

Не надо, однако, считать, что все величины, которые складываются по правилу сложения векторов, тоже являются векторами. Дело в том, что координаты радиуса вектора изменяются при изменении осей координат, хотя вектор как геометрический образ остается неизменным. Таким образом, координаты вектора (проекции силы) при изменении координатных осей (при том же начале) должны изменяться так же, как и координаты точки. Это характерно для проекций силы, но для вектора - момента силы этого нет.

Отложим от начала координат отрезок, изображающий вектор-момент, и отметим геометрические координаты его конца. Если изменить направление координатных осей на прямо противоположные, то проекции г и F изменят знаки, но проекции выражения останутся такими же. Это показывает, что вектор-момент есть псевдовектор, а если так, то закон параллелограмма моментов надо доказывать; это и делается в теореме Вариньона.

Обычно векторное изображение применяют только к свободным векторам, но можно обобщить его и для скользящих векторов.

Сила - вектор. Единицы измерения сил

Материальная точка. Абсолютно твердые и деформируемые тела

Остановимся на основных понятиях статики, которые вошли в науку как результат многовековой практической деятельности человека.

Одно из таких основных понятий - понятие материальной точки. Тело можно рассматривать как материальную точку, т. е. его можно представить геометрической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела, в том случае, когда размеры тела не имеют значения в рассматриваемой задаче. Например, при изучении движения планет и спутников их считают материальными точками, так как размеры планет и спутников пренебрежимо малы по сравнению с размерами орбит. С другой стороны, изучая движение планеты (например, Земли) вокруг оси, ее уже нельзя считать материальной точкой. Тело можно считать материальной точкой во всех случаях, когда при движении все его точки имеют одинаковые траектории.

Системой называется совокупность материальных точек, движения и положения которых взаимозависимы. Из этого следует, что любое физическое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

При изучении равновесия тела считают абсолютно твердыми, недеформируемыми (или абсолютно жесткими), т. е. предполагают, что никакие внешние воздействия не вызывают изменения их размеров и формы и что расстояние между любыми двумя точками тела всегда остается неизменным. В действительности все тела под влиянием силовых воздействий со стороны других тел изменяют свои размеры и форму. Так, если стержень, например, из стали или дерева, сжать, его длина уменьшится, а при растяжении она соответственно увеличится (рис. 1, а). Изменяется также форма стержня, лежащего на двух опорах, при действии нагрузки, перпендикулярной его оси (рис. 1, б). Стержень при этом изгибается.

В подавляющем большинстве случаев деформации тел (деталей), из которых состоят машины, аппараты и сооружения, очень малы, и при изучении движения и равновесия этих объектов деформациями можно пренебречь. Таким образом, понятие абсолютно твердого тела является условным (абстракцией). Это понятие вводят с целью упрощения исследования законов равновесия и движения тел. Лишь изучив механику абсолютно твердого тела, можно приступить к изучению равновесия и движения деформируемых тел, жидкостей и др. При расчетах на прочность, рассматриваемых после изучения статики абсолютно твердого тела, необходимо учитывать деформации тел. В этих расчетах деформации играют существенную роль и пренебрегать ими нельзя.

Сила - вектор. Единицы измерения сил

В механике вводится понятие силы, которое чрезвычайно широко используется и в других науках. Физическая сущность этого понятия ясна каждому человеку непосредственно из опыта.

Рис.1.Деформация тел под действием силы:

а - деформации сжатия – растяжения;

б - деформация изгиба.

Остановимся на определении силы для абсолютно твердых тел. Эти тела могут вступать во взаимодействие, в результате которого изменяется характер их движения. Сила–это мера взаимодействия тел. Например, взаимодействие планет и Солнца определяется силами тяготения, взаимодействие Земли и различных тел на ее поверхности - силами тяжести и т. д.

Следует подчеркнуть, что при взаимодействии реальных, а не абсолютно твердых тел, возникающие силы могут не только приводить к изменению характера их движения, но и вызывать изменение формы или размеров этих тел. Иными словами, в реальных физических телах силы служат причиной возникновения деформаций.

Механика рассматривает и изучает не природу действующих сил, а производимый ими эффект. Эффект действия силы определяется тремя факторами, полностью её определяющими:

2. Численным значением (модулем);

3. Точкой приложения.

Иными словами, сила является векторной величиной.

Кроме сил, в механике часто встречаются другие векторные величины - в частности, скорость, ускорение.

Величина, не имеющая направления, называется скаляром, или скалярной величиной, К скалярным величинам относятся, например, время, температура, объем и др.

Вектор изображается отрезком, на конце которого ставится стрелка. Направление стрелки указывает направление вектора, длина отрезка - величину вектора, отложенную в выбранном масштабе.

Рис.1.Деформация тел под действием силы:

а - деформации сжатия – растяжения;

б - деформация изгиба.

2. Численным значением (модулем);

3. Точкой приложения.

Иными словами, сила является векторной величиной.

Кроме сил, в механике часто встречаются другие векторные величины - в частности, скорость, ускорение.

Рис. 2. Изображение векторов сил на чертежах.

Вектор, имеющий начало в точке В и конец в точке С (рис. 2, а ), можно обозначить теми же буквами, но с черточкой наверху: , причем на первом месте ставят букву, стоящую в начале вектора, а затем букву, стоящую в конце вектора. Иногда вектор обозначают буквой: , , и т. д. (рис. 2, б ).

Линией действия силы называют прямую, на которой лежит вектор силы (рис. 2, в).

Если необходимо показать на чертеже величину век
тора, его изображают стрелкой, рядом с которой записы-
вают величину, или модуль. Величина вектора обозначается той же буквой, что и сам вектор, но без черточки наверху (рис. 2, г).

Модуль, или величина силы, является количественной характеристикой меры взаимодействия тел. Величина силы в Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах (Н). Применяют также и более крупные единицы измерения: 1 килоньютон (1 кН = 10 3 Н), 1 меганьютон (1 МН = 10 6 Н).

А) Угол между векторами Сил от 0˚ до 90˚.

В этом случае происходит своего рода суммирование Сил, действующих на частицу. Конечно, равнодействующая Сила не будет в точности равна сумме обеих Сил, действующих на частицу. Но она в любом случае окажется больше любой из двух Сил, из векторов которых мы строим параллелограмм. Это вы можете видеть по величине диагонали параллелограмма. И чем острее угол, тем больше величина равнодействующей Силы.

Крайний случай острого угла – 0˚, т.е. отсутствие угла. Векторы Сил на одной прямой, и их направление совпадает. В данном случае параллелограмм построить невозможно. Вместо него – прямая, на ней мы откладываем два отрезка, каждый из которых равен величине одной из действующих Сил. При 0˚ происходит полное суммирование векторов Сил.

Б) Угол между векторами Сил более 90˚.

В данном случае, если вы можете видеть по рисунку, происходит своего рода вычитание Сил. Равнодействующая Сила всегда оказывается больше меньшей из двух Сил и меньше большей. Подтверждение тому – величина диагонали. И чем больше угол, тем меньше величина равнодействующей Силы.

Крайний случай тупого угла – угол 180˚. Векторы Сил лежат на одной прямой. Однако в отличие от угла, равного 0˚, векторы противонаправлены. В этом крайнем случае просто происходит вычитание из вектора большей Силы вектора меньшей. Полученная разность точно соответствует величине равнодействующей Силы.

В любом случае, при любой величине угла вектор равнодействующей Силы всегда в большей мере смещен к вектору большей из двух Сил. Т.е. большая Сила заставляет частицу в большей мере смещаться в своем направлении.

3) И, наконец, приведем информацию о том, насколько зависит Правило Параллелограмма от типа воздействующих на частицу Сил.

А) Даже несмотря на то что источники всех типов Силы разные, их воздействие на частицу можно сопоставлять, так как любая из Сил стремится привести частицу в движение. А поэтому, даже если на частицу действуют Силы разного типа, можно выстроить Параллелограмм Сил на векторах, и его диагональ будет указанием направления, в котором частица будет смещаться.

Величина вектора Силы тем больше, чем больше Сила. А Сила тем больше, чем больше скорость, с которой частица смещалась бы в данном направлении, не действуй на нее еще другая Сила (или другие Силы).

Длина вектора результирующей (равнодействующей) Силы – диагонали – соответствует скорости, с которой частица будет смещаться под действием обеих приложенных к ней Сил.

Б) Мы установили ранее, что основных типов Силы всего четыре. Когда Галилей выводил Правило Параллелограмма, очевидно, что он делал это применительно к тем Силам, с которыми одни тела давят на другие или тащат их, заставляя таким путем перемещаться. Подобный тип Силы назван в этой книге Силой Давления Поверхности Частицы. Мы мало слышали о том, чтобы Правило Параллелограмма использовалось и для Силы Притяжения. Тем более, это ограничение относится к Силе Отталкивания и Силе Инерции, из которых первая наукой почти не признана, а вторая вообще ей не известна.

Но так или иначе, данное Правило имеет универсальный характер и может использоваться для любого из четырех типов Силы – Поверхности Частицы, Притяжения, Отталкивания и Инерции. Однако в неизменном виде оно может применяться только для Силы Давления Поверхности Частицы, т.е. для такого же случая, который описан Галилеем для тел.

На тело с двух сторон воздействуют два тела – либо давят на него, либо тащат. В нашем случае на частицу будут давить две частицы (механически тащить частицу они не могут).

Отдельно взятая, свободная частица никогда не станет оказывать долговременное давление на другую частицу, если только на нее не действует Сила Притяжения со стороны этой частицы. Или же если частицы входят в состав тел, и тела, сдавливая друг друга, давят и на какую-либо частицу между ними. Поэтому в нашем случае речь идет об одномоментном давлении на частицу двух частиц в результате их соударения с ней. После того как с частицей сталкиваются две другие частицы, она начинает двигаться по инерции именно в соответствии с Правилом Параллелограмма. Диагональ (вектор равнодействующей Силы) показывает направление, в котором станет двигаться частица. Как долго продлится инерционное движение, зависит от скорости, с которой двигались частицы в момент соударения с нею, от угла между векторами Сил и еще от качества самой частицы.

В) Единственная сложность, с которой мы столкнемся при построении Параллелограмма Сил, связана с Силами Притяжения и Отталкивания. Здесь идет речь даже скорее не о сложности, а о непривычности. Источники Сил Притяжения или Отталкивания отстоят от частицы на то или иное расстояние. Однако эффект воздействия этих Сил ощущается частицей непосредственно. Это и неудивительно, ведь гравитационное или антигравитационное взаимодействие распространяется мгновенно. Объясняется эта мгновенность распространения тем, что эфирное «полотно» – это своего рода монолит, который заполняет однородно всю Вселенную. И возникновение в этом полотне любого избытка или недостатка Эфира сразу ощущается на любом расстоянии.

В данном случае, когда типы Силы, действующие на частицу, различны, вектор Силы должен указывать направление, в котором Сила стремится сместить частицу. Так, например, если на частицу действует Сила Притяжения, то вектор будет направлен к объекту, источнику этой Силы, а не от него. А вот в случае с Силой Отталкивания все наоборот. Вектор будет направлен от источника данной Силы.

Что же касается Силы Давления Поверхности Частицы, то здесь все так же, как и в механике тел. В этом случае источник Силы непосредственно контактирует с частицей – соударяется с ней. И вектор этой Силы направлен в том же направлении, что вектор движения частицы, чья поверхность оказывает давление.

И, наконец, последняя из Сил – Инерции. О наличии этой Силы можно говорить только в том случае, если частица инерционно движется. Если частица не движется по инерции, то нет и Силы Инерции. Вектор Силы Инерции всегда совпадает с вектором движения частицы в данный момент. Источник Силы Инерции – испускаемый задним полушарием частицы Эфир.

Г) Никогда не случится, чтобы обе Силы, действующие на частицу, были инерционными, так как частица может двигаться по инерции в каждый момент времени только в одном направлении.

Д) Если одна или обе Силы, действующие на частицу, относятся к типу либо Притяжения, либо Отталкивания, частица будет двигаться по параболе , постепенно смещаясь под действием большей из Сил.

Если одна из Сил, действующих на частицу, относится к типу Притяжения или Отталкивания, а вторая – это Сила Инерции, тогда траектория движения частицы тоже параболическая.

Е) Никогда не бывает, чтобы на частицу одновременно действовали Сила Притяжения и Сила Отталкивания, и при этом векторы их лежали на одной прямой и были бы противонаправлены. Объясняется это тем, что Сила Притяжения и Сила Отталкивания – Силы-антиподы. Вектор Силы Притяжения направлен к источнику Силы. А вектор Силы Отталкивания – от него. Поэтому если источники Сил Притяжения и Отталкивания располагаются по разные стороны от частицы, векторы их Сил будут суммироваться. Если же источники Сил располагаются с одной стороны от частицы, то частица будет ощущать только какую-то одну из Сил – либо Притяжения, либо Отталкивания. А все потому, что Поля Притяжения и Поля Отталкивания экранируют и влияют на величину друг друга.

Но в любом случае, к любой частице можно применить Правило Параллелограмма и определить с его помощью направление и величину вектора равнодействующей Силы. В соответствии с величиной и направлением этого вектора частица и будет смещаться в данный момент времени.

Все, что было только что сказано относительно Правила Параллелограмма для частиц, может быть в полной мере использовано и для тел.

Главная » Упражнения » Векторные силы. Направление вектора силы тяжести