Божественная гармония: что такое золотое сечение простыми словами. Тайны мироздания в числах

Кандидат технических наук В. БЕЛЯНИН, ведущий научный сотрудник РНЦ "Курчатовский институт", Е. РОМАНОВА, студентка МАДИ (ГТУ)

Наука и жизнь // Иллюстрации

Золотую пропорцию в школе не "проходят". И когда один из авторов предлагаемой ниже статьи (кандидат технических наук В. Белянин) рассказал о золотом сечении абитуриентке, собравшейся поступать в МАДИ, в процессе подготовки к экзаменам в институт, задача неожиданно вызвала живой интерес и массу вопросов, на которые "с ходу" не было ответов. Решили искать их вместе, и тогда обнаружились тонкости в золотой пропорции, ускользавшие от исследователей ранее. Совместное творчество привело к работе, которая лишний раз подтверждает созидательные возможности молодежи и вселяет надежду, что язык науки утерян не будет.

Узоры математики, как и узоры художника или узоры поэта, должны быть красивы; идеи, как и краски или слова, должны сочетаться гармонически. Красота является первым критерием: в мире нет места для безобразной математики.
Дж. Х. Харди

Красота математической задачи служит одним из важнейших стимулов ее нескончаемого развития и причиной порождения многочисленных приложений. Порой проходят десятки, сотни, а иногда и тысячи лет, но люди вновь и вновь находят неожиданные повороты в хорошо известном решении и его интерпретации. Одной из таких долгоживущих и увлекательных задач оказалась задача о золотом сечении (ЗС), отражающая элементы изящества и гармонии окружающего нас мира. Нелишне напомнить, кстати, что, хотя сама пропорция была известна еще Евклиду, термин "золотое сечение" ввел Леонардо да Винчи (см. "Наука и жизнь" ).

Геометрически золотое сечение подразумевает деление отрезка на две неравные части так, чтобы большая часть была средним пропорциональным между всем отрезком и меньшей частью (рис. 1).

Алгебраически это выражается следующим образом:

Исследование этой пропорции еще до ее решения показывает, что между отрезками a и b существуют по крайней мере два удивительных соотношения. Например, из пропорции (1) легко получается выражение,

которое устанавливает пропорцию между отрезками a , b , их разностью и суммой. Поэтому о золотом сечении можно сказать иначе: два отрезка находятся в гармоничном соотношении, если их разность относится к меньшему отрезку так, как больший отрезок относится к их сумме.

Второе соотношение получается, если исходный отрезок принять равным единице: a + b = 1, что очень часто используется в математике. В таком случае

a 2 - b 2 = a - b = ab .

Из этих результатов следуют два удивительных соотношения между отрезками а и b :

a 2 - b 2 = a - b = ab ,(2)

которые будут использованы в дальнейшем.

Перейдем теперь к решению пропорции (1). На практике используют две возможности.

1. Обозначим отношение a /b через. Тогда получим уравнение

x 2 - x - 1 = 0, (3)

Обычно рассматривают только положительный корень x 1 , дающий простое и наглядное деление отрезка в заданной пропорции. Действительно, если принять целый отрезок за единицу, то, используя значение этого корня x 1 , получим a ≈ 0,618, b ≈ 0,382.

Именно положительный корень x 1 уравнения (3) наиболее часто называют золотой пропорцией или пропорцией золотого сечения. Соответствующее геометрическое деление отрезка называют золотым сечением (точка С на рис. 1).

Для удобства дальнейшего изложения обозначим x 1 = D . Общепризнанного обозначения для золотого сечения до сих пор нет. Обусловлено это, видимо, тем, что под ним понимают иногда и другое число, о чем будет сказано ниже.

Оставляемый по обыкновению в стороне отрицательный корень x 2 приводит к менее наглядному делению отрезка на две неравные части. Дело в том, что он дает делящую точку С , которая лежит вне отрезка (так называемое внешнее деление). Действительно, если a + b = 1, то, используя корень x 2 , получим a ≈ -1,618, b ≈ 2,618. Поэтому отрезок a необходимо откладывать в отрицательном направлении (рис. 2).

2. Второй вариант решения пропорции (1) принципиально не отличается от первого. Будем считать неизвестным отношение b /a и обозначим его через y . Тогда получим уравнение

y 2 + y -1 = 0 , (4)

которое имеет иррациональные корни

Если a + b = 1, то, используя корень y 1 , получим a = y 1 ≈ 0,618, b ≈ 0,382. Для корня y 2 получим a ≈ -1,618, b ≈ 2,618. Геометрическое деление отрезка в пропорции золотого сечения с использованием корней y 1 и y 2 полностью идентично предыдущему варианту и соответствует рис. 1 и 2.

Положительный корень y 1 непосредственно дает искомое решение задачи, и его также называют золотой пропорцией .

Для удобства обозначим значение корня y 1 = d.

Таким образом, в литературе золотую пропорцию математически выражают числом D 1,618 или числом d 0,618, между которыми существуют две изумительные связи:

Dd = 1 и D - d = 1. (5)

Доказано, что другой подобной пары чисел, обладающих этими свойствами, не существует.

Используя оба обозначения для золотой пропорции, запишем решения уравнений (3) и (4) в симметричном виде: = D , = -d , = d , = -D .

Необычные свойства золотого сечения достаточно подробно описаны в литературе . Они настолько удивительны, что покоряли разум многих выдающихся мыслителей и создали вокруг себя ореол таинственности.

Золотая пропорция встречается в конфигурации растений и минералов, строении частей Вселенной, музыкальном звукоряде. Она отражает глобальные принципы природы, пронизывая все уровни организации живых и неживых объектов. Ее используют в архитектуре, скульптуре, живописи, науке, вычислительной технике, при проектировании предметов быта. Творения, несущие в себе конфигурацию золотого сечения, представляются соразмерными и согласованными, всегда приятны взгляду, да и сам математический язык золотой пропорции не менее изящен и элегантен.

Кроме равенств (5) из соотношения (2) можно выделить три интересные соотношения, которые обладают определенным совершенством, выглядят вполне привлекательно и эстетично:

(6)

Величие и глубину природы можно ощущать не только, например, при созерцании звезд или горных вершин, но и вглядываясь в некоторые удивительные формулы, очень ценимые математиками за их красоту. К ним можно отнести изящные соотношения золотой пропорции, фантастическую формулу Эйлера e iπ = -1 (где i = √-1), формулу, определяющую знаменитое число Непера (основание натуральных логарифмов): e = lim(1 + 1/n ) n = 2,718 при n → ∞, и многие другие.

После решения пропорции (1) ее идея кажется довольно простой, но, как это часто бывает со многими на первый взгляд простыми задачами, в ней скрыто немало тонкостей. Одной из таких замечательных тонкостей, мимо которой до сих пор проходили исследователи, является связь корней уравнений (3) и (4) с углами трех замечательных треугольников.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, каким образом одномерный отрезок, разделенный в пропорции золотого сечения, может быть легко преобразован в двумерный образ в виде треугольника. Для этого, используя вначале рис. 1, отложим на отрезке АВ длину отрезка a дважды - от точки А в сторону точки В и, наоборот, от точки В в сторону А . Получим две точки С 1 и С 2 , делящие отрезок АВ с разных концов в пропорции золотого сечения (рис. 3). Считая равные отрезки АС 1 и ВС 2 радиусами, а точки А и В центрами окружностей, проведем две дуги до их пересечения в верхней точке С . Соединив точки А и С , а также В и С, получим равнобедренный треугольник АВС со сторонами АВ = a + b = 1, АС = = ВС = a = d ≈ 0,618. Величину углов при вершинах А и В обозначим α, при вершине С - β. Вычислим эти углы.

По теореме косинусов

(АВ ) 2 = 2(АС ) 2 (1 - cos β).

Подставив численные значения отрезков АВ и АС в эту формулу, получим

Аналогично получаем

(8)

Выход золотой пропорции на двумерный образ позволил связать корни уравнений (3) и (4) с углами треугольника АВС , который можно назвать первым треугольником золотой пропорции.

Выполним аналогичное построение, используя рис. 2. Если на продолжении отрезка АВ отложить от точки В вправо отрезок, равный по величине отрезку a , и повернуть вокруг центров А и В вверх оба отрезка как радиусы до их соприкосновения, то получим второй треугольник золотой пропорции (рис. 4). В этом равнобедренном треугольнике сторона АВ = a + b = 1, сторона АС = ВС = D ≈1,618, и поэтому по формуле теоремы косинусов получаем

(9)

Угол a при вершине С равен 36 о и связан с золотой пропорцией соотношением (8). Как и в предыдущем случае, углы этого треугольника связаны с корнями уравнений (3) и (4).

Второй треугольник золотой пропорции служит основным составляющим элементом правильного выпуклого пятиугольника и задает пропорции правильного звездчатого пятиугольника (пентаграммы), свойства которых подробно рассмотрены в книге .

Звездчатый пятиугольник - фигура симметричная, и в то же время в соотношениях ее отрезков проявляется асимметрическая золотая пропорция. Подобное сочетание противоположностей всегда притягивает глубоким единством, познание которого позволяет проникнуть в скрытые законы природы и понять их исключительную глубину и гармонию. Пифагорейцы, покоренные созвучием отрезков в звездчатом пятиугольнике, выбрали его символом своего научного сообщества.

Со времен астронома И. Кеплера (XVII век) иногда высказываются различные точки зрения относительно того, что обладает большей фундаментальностью - теорема Пифагора или золотая пропорция. Теорема Пифагора лежит в основании математики, это один из ее краеугольных камней. Золотое сечение лежит в основании гармонии и красоты мироздания. На первый взгляд оно несложно для понимания и не обладает значительной основательностью. Тем не менее некоторые его неожиданные и глубокие свойства постигаются только в последнее время , что говорит о необходимости с почтением относиться к его скрытой тонкости и возможной универсальности. Теорема Пифагора и золотая пропорция в своем развитии тесно переплетаются одна с другой и геометрическими и алгебраическими свойствами. Между ними нет ни пропасти, ни принципиальных различий. Они не конкурируют, у них разные предназначения.

Вполне возможно, что обе точки зрения равноправны, так как существует прямоугольный треугольник, содержащий в себе разнообразные особенности золотой пропорции. Другими словами, существует геометрическая фигура, достаточно полно объединяющая два математических восхитительных факта - теорему Пифагора и золотую пропорцию.

Чтобы построить такой треугольник, достаточно продолжить сторону ВС треугольника АВС (рис. 4) до пересечения в точке Е с перпендикуляром, восстановленным в точке А к стороне АВ (рис. 5).

Во внутреннем равнобедренном треугольнике АСЕ угол φ (угол АСЕ ) равен 144 о, а угол ψ (углы ЕАС и АЕС ) равен 18 о. Сторона АС = СЕ = СВ = D . Используя теорему Пифагора, легко получить, что длина катета

Используя этот результат, легко приходим к соотношению

Итак, найдена непосредственная связь корня y 2 уравнения (4) - последнего из корней уравнений (3) и (4) - с углом 144 о. В связи с этим треугольник АСЕ можно назвать третьим треугольником золотой пропорции.

Если в замечательном прямоугольном треугольнике АВЕ провести биссектрису угла САВ до пересечения со стороной ЕВ в точке F , то увидим, что вдоль стороны АВ располагаются четыре угла: 36 о, 72 о, 108 о и 144 о, с которыми корни уравнений золотой пропорции имеют непосредственную связь (соотношения (7) - (10)). Таким образом, в представленном прямоугольном треугольнике содержится вся плеяда равносторонних треугольников, обладающих особенностями золотого сечения. Кроме того, весьма примечательно то, что на гипотенузе любые два отрезка, ЕС = D и СF = 1,0 находятся в соотношении золотой пропорции с FВ = d . Угол ψ связан с корнями D и d уравнений (3) и (4) соотношениями

В основу представленных выше построений равнобедренных треугольников, углы которых связаны с корнями уравнений золотой пропорции, положены исходный отрезок АВ и его части a и b . Однако золотое сечение позволяет моделировать не только описанные выше треугольники, но и различные другие геометрические фигуры, несущие в себе элементы гармоничных отношений.

Приведем два примера подобных построений. В первом - рассмотрим отрезок АВ , представленный на рис. 1. Пусть точка С - центр окружности, отрезок b - радиус. Проведем радиусом b окружность и касательные к ней из точки А (рис. 6). Соединим точки касания E и F с точкой С . В результате получим асимметричный ромб АЕСF , в котором диагональ АС делит его на два равных прямоугольных треугольника АСЕ и АСF .

Обратим более пристальное внимание на один из них, например на треугольник АСЕ . В этом треугольнике угол АЕС - прямой, гипотенуза АС = a , катет СЕ = b и катет АЕ = √ab ≈ 0,486, что следует из соотношения (2). Следовательно, катет АЕ является средним геометрическим (пропорциональным) между отрезками a и b , то есть выражает геометрический центр симметрии между числами a ≈ 0,618 и b ≈ 0,382.

Найдем значения углов этого треугольника:

Как и в предыдущих случаях, углы δ и ε связаны через косинус с корнями уравнений (3) и (4).

Заметим, что асимметричный ромб, подобный ромбу AECF , получается при проведении касательных из точки В к окружности радиуса a и c центром в точке А .

Асимметричный ромб AECF получен иным путем в книге при анализе формообразования и явлений роста в живой природе. Прямоугольный треугольник АЕС назван в этой работе "живым" треугольником, так как способен порождать наглядные образы, соответствующие различным структурным элементам природы, и служить ключом при построении геометрических схем начала развития некоторых живых организмов.

Второй пример связан с первым и третьим треугольниками золотого сечения. Образуем из двух равных первых треугольников золотой пропорции ромб с внутренними углами 72 о и 108 о. Аналогично объединим два равных третьих треугольника золотой пропорции в ромб с внутренними углами 36 о и 144 о. Если стороны этих ромбов равны между собой, то ими можно заполнить бесконечную плоскость без пустот и перекрытий. Соответствующий алгоритм заполнения плоскости разработал в конце 70-х годов ХХ века физик-теоретик из Оксфордского университета Р. Пенроуз. Причем выяснилось, что в получающейся мозаике невозможно выделить элементар ную ячейку с целым числом ромбов каждого вида, трансляция которой позволяла бы получить всю мозаику. Но самым замечательным оказалось то, что в бесконечной мозаике Пенроуза отношение числа "узких" ромбов к числу "широких" точно равно значению золотой пропорции d = 0,61803...!

В этом примере удивительным образом соединились все корни золотого сечения, выраженные через углы, с одним из случаев нетривиального заполнения бесконечной плоскости двумя элементарными фигурами - ромбами.

В заключение отметим, что приведенные выше разнообразные примеры связи корней уравнений золотой пропорции с углами треугольников иллюстрируют тот факт, что золотая пропорция более емкая задача, чем это представлялось ранее. Если прежде сферой приложения золотой пропорции считались в конечном итоге соотношения отрезков и различные последовательности, связанные с численными значениями ее корней (числа Фибоначчи), то теперь обнаруживается, что золотая пропорция может генерировать разнообразные геометрические объекты, а корни уравнений имеют явное тригонометрическое выражение.

Авторы отдают себе отчет, что высказанная выше точка зрения относительно изящества математических соотношений, связанных с золотой пропорцией, отражает личные эстетические переживания. В современной философской литературе понятия эстетики и красоты трактуются довольно широко и используются скорее на интуитивном уровне. Эти понятия отнесены главным образом к искусству. Содержание научного творчества в эстетическом плане в литературе практически не рассматривается. В первом приближении к эстетическим параметрам научных исследований можно отнести их сравнительную простоту, присущую им симметрию и способность порождать наглядные образы. Всем этим эстетическим параметрам отвечает задача, получившая название "золотая пропорция". В целом же проблемы эстетики в науке далеки от своего решения, хотя и представляют большой интерес.

Интуитивно чувствуется, что золотая пропорция все еще скрывает свои тайны. Некоторые из них, вполне возможно, лежат на поверхности, ожидая необычного взгляда своих новых исследователей. Знание свойств золотой пропорции может служить творческим людям хорошим фундаментом, придавать им уверенность и в науке и в жизни .

ЛИТЕРАТУРА

1. Шевелев И. Ш., Марутаев И. А., Шмелев И. П. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. - М.: Стройиздат, 1990. - 343 с.

2. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. - М.: Радио и связь, 1984. - 152 с.

3. Васютинский Н. А. Золотая пропорция. - М.: Молодая гвардия, 1990. - 238 с.

4. Коробко В. И. Золотая пропорция: Некоторые философские аспекты гармонии. - М. - Орел: 2000. - 204 с.

5. Урманцев Ю. А. Золотое сечение // Природа, 1968, № 11.

6. Попков В. В., Шипицын Е. В. Золотое сечение в цикле Карно // УФН, 2000, т. 170, № 11.

7. Константинов И. Фантазии с додекаэдром // Наука и жизнь, 2001, № 2.

8. Шевелев И. Ш. Геометрическая гармония // Наука и жизнь, 1965, № 8.

9. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам . - М. : Мир, 1993.

1. Понятие гармонии Вот как пишет о гармонии Алексей Петрович Стахов , доктор технических наук (1972 г.), профессор (1974 г.), академик Академии инженерных наук Украины ( www . goldenmuseum . com ). "С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного , сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела?.....". Известный итальянский теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее:

"Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту... Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей".

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия "гармония":

"Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

"Формул красоты" уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы - квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т.д. В пропорциях сооружений отдаются предпочтение целочисленным соотношениям. Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

рис. 1 "Золотая пропорция" - это понятие математическое и ее изучение - это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства и эстетики. И наш Музей, который посвящен изучению этого уникального феномена, является, несомненно, научным музеем, посвященным изучению гармонии и красоты с математической точки зрения". На сайте А. П. Стахова ( www . goldenmuseum . com ) приводится много интересной и поучительной информации о замечательных свойствах золотого сечения. И это не удивительно. С понятием «золотое сечение» связывают гармонию Природы. При этом с гармонией, как правило, связывают принципы симметрии в живой и неживой Природе. Поэтому всеобщностью проявления принципа золотого сечения сегодня уже никого не удивишь. И каждое новое открытие в сфере выявления еще одной золотой пропорции уже никого не поражает, разве что самого автора такого открытия. Всеобщность этого принципа ни у кого не вызывает сомнения. В различных справочниках приводятся сотни формул, связывающих ряд Фибоначчи с золотым сечением, в том числе и ряд формул, отражающих взаимодействия в мире элементарных частиц . Среди этих формул хочется отметить одну- бином Ньютона для золотой пропорции

где - число перестановок. А бином Ньютона, как известно, отражает степенную функцию двойственного отношения. Данная формула привязывает бином золотого отношения к Единице. Без этого принципа, по сути дела, нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы. В милогии эта пропорция обоснована как принцип самодостаточности. И все же несмотря на всеобщность золотая пропорция на практике используется далеко не всегда, и не везде. 2 . МОНАДА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Выше было показано, что симметрия - это одна из форм проявления двойственности. Поэтому нет ничего удивительного в том, что эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы.В показано, что симметрия и асимметрия не просто взаимосвязаны друг с другом, а они являются разными формами проявления закономерности двойственности. Закономерность двойственности является одним из основных механизмов эволюции живой и неживой материи. Действительно, способность к размножению у живых организмов можно естественно объяснить только тем, что в процессе своего развития организм полностью достраивает свою оболочку и попытка дальнейшего усложнения структуры приводит, в силу закономерности об ограниченности и замкнутости, к трансформации из организма с внутренней двойственностью в организм с внешней двойственностью, т. е. удвоению, которое осуществляется путем деления оригинала. Затем процесс повторяется. Закономерность двойственности является ответственной за создание дублирующих органов в живом организме. Это дублирование не является следствием эволюции живых организмов. В основе золотого сечения лежитпростая пропорция, которая хорошо видна на рисунке золотой спирали: Правила золотого сечения были известны еще в Вавилонии и древнем Египте. Пропорции пирамиды Хеопса, предметов из гробницы Тутанхамона, других произведений древнего искусства красноречиво об этом свидетельствуют, а сам термин “золотое сечение” принадлежит Леонардо да Винчи. С тех пор многие шедевры искусства, архитектуры и музыки выполняются при неукоснительном соблюдении золотой пропорции, несомненно отражающей строение наших сенсорных оболочек – глаз и ушей, головного мозга – анализатора геометрических, цветовых, световых, звуковых и других образов. Золотое сечение обладает еще одной тайной. Оно скрывает в себе свойство самонормирования . Академик Толкачев В.К. в своей книге "Роскошь системного мышления" так пишет об этом важном свойстве золотого сечения: «Когда-то Клавдий Птолемей разделил равномерно рост человека на 21 отрезок и выделил две основные части: большую (мажор), состоящую из 13-и отрезков, и меньшую (минор) - из 8-и. При этом оказалось, что отношение длины всей фигуры человека к длине ее большей части равно отношению большей части к меньшей.... Проиллюстрировать золотое отношение можно следующим образом. Если единичный отрезок разделить на две неравные части (мажор и минор) так, что длина всего отрезка (т.е. мажор + минор = 1) относится к мажору точно так же, как мажор относится к минору: (мажор + минор) / мажор = мажор / минор = Ф, то такая задача имеет решение в виде корней уравнения х 2 - х - 1 =0, численное значение которых: х 1 = - 0,618033989..., х 2 = 1,618033989..., Первый корень обозначается буквой " Ф ", а второй " - Ф ", но мы будем пользоваться иными обозначениями: Ф =1,618033989..., а Ф -1 = 0,618033989... Это - единственное число, которое обладает свойством быть ровно на единицу больше своего обратного отношения". Отметим, что другое уравнение х 2 - y - 1 = xy превращается в тождество при следующих значениях х 1 = + 0,618033989..., y 1 =- 1,618033989..., x 2 = -1,618033989..., y 2 = 0,618033989..., Может быть в совокупности эти корни и порождают животворящий крест - крест золотого сечения? Уравнение золотого сечения Ф 2 -Ф=1 где Ф 1 = -Ф -1 = - 0,618033989..., и Ф 2 = Ф 1 =1,618033989..., удовлетворяют свойству самонормирования , позволяющее строить более сложные "конструкции" по " образу и подобию ". Подставляя корни в уравнение х ( х-1)=1, мы получим Ф 1 (Ф 1 -1)= 1,618..*1,618..-1,618..=2,618..-1,618..=1 Ф -2 -(-Ф -1)=0,382...+0,6181=1. Таким образом, данное уравнение отражает не только принцип самонормирования , вытекающего из Единого закона эволюции двойственного отношения (монады), но и связь золотого сечения с биномом Ньютона (с монадой). Нетрудно показать, что будут справедливы следующие тождества Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; Откуда непосредственно можно увидеть, что корни уравнения Ф 2 -Ф=1 обладают еще и другим и замечательными свойствами Ф 1 Ф -1 =Ф 0 =1 и Ф -1 (Ф 1 -1)= 1-Ф -1 ; Ф 1 (Ф -1 -1)=1-Ф 1 =1; Оно характеризует инвариантность одной математической монады в другую, путем умножения её на обратную величину, т.е. можно сказать, что корни уравнения золотого сечения сами формируют золотую, самонормированную монаду <Ф -1 ,Ф 1 > . Поэтому данное уравнение по праву можно назвать уравнением золотого сечения. Дополнительные свойства этого уравнения может узнать каждый, используя бином Ньютона и производящие функции (Преемственность ). Нетрудно понять, что процесс все более сложных "золотых монад" будет осуществляться "по образу и подобию" , т.е. этот процесс будет периодически повторяющимся, а все результаты оказываются как бы замкнутыми в рамки золотого сечения. Но, пожалуй, самые замечательные свойства золотого сечения связаны, в первую очередь, с уравнением золотого сечения, приведенным выше. Это уравнение является двойственным х 2 + х - 1 =0. Корни этого уравнения численно равны: х 1 = + 0,618033989..., х 2 = -1,618033989..., Это значит, что уравнения золотого сечения формируют крест золотого сечения с перекладинами

рис. 2

Вот он, поистине золотой крест, лежащий в основе мироздания! На правом рисунке непосредственно видно, что значения выражения в полюсах вертикальной перекладины равны 1. Из креста на левом рисунке видно также, что при каждом переходе с одной перекладины на вторую осуществляются самонормировки . Самонормировка происходит как при сложении, так и при умножении. Разница получается только в знаке. И это не случайно . При движении по перекладинам мы получаем еще четыре значения · при сложении : 0 и 0 , · при умножении : -0,382 .., и -2,618 . Нетрудно показать, что будут справедливы следующие тождества Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; Используя ряд этих значений, и совершая обход по кресту мы получим еще один золотосеченный крест.

Нетрудно показать, как из этих крестов, сформировать двойной крест, порождающий закон Куба.

рис. 3

Ниже мы покажем, что шесть полученных значений полностью вписываются в рамки сложного отношения - уникальной закономерности, известной из проективной геометрии. А сейчас мы приведем еще один рисунок, который непосредственно говорит о связи золотого сечения и Куба Закона.

рис. 4 Сравните этот рисунок, нарисованный еще Леонардо да Винчи, с предыдущим. Увидели? Поэтому гимн золотому сечению можно продолжать до бесконечности. Так итальянский математик Лука Пачолли в своем труде "Божественная пропорция" приводит 13 свойств золотого сечения, снабжая каждое из них эпитетами - исключительное, несказанное, замечательнейшее, сверхъестественное, и т.д. Трудно сказать, связаны ли эти свойства с числом 13 или нет. Но вот хроматическая гамма связана и с числом 13, и с числом 8. Так, пропорцию 13/8 можно представить как 8/8+5/8. С этими пропорциями связываются и многие духовные знания (Путь к себе ). 3. РЯДЫ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ Из вышеприведенных свойств золотого сечения следует вывод, что ряд ...; Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 0 ; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; ...; может быть продолжен как вправо, так и влево. Более того, умножение это ряда на Ф + n или Ф - n порождает новый ряд, сдвинутый соответственно вправо или влево от исходного. Коэффициенты Ф + n или Ф - n можно считать коэффициентами подобия золотосеченных рядов. Золотосеченные ряды могут формировать натуральный ряд целых чисел.

Посмотрите, эти числа имеют удивительные свойства. Они формируют не только Великие Пределы двойственных"з олотых монад". Они формируют Великие Пределы триад (числа 5, 8,..). Они формируют и крест (число 9). Но существуют и другие, более фундаментальные золотосеченные ряды. В первую очередь следует привести формулу "золотого" бинома Ньютона. Бином Ньютона уже изначально свидетельствует о существовании монады (двойственного отношения) и его свойства лежат в основе биномиальных рядов (арифметический треугольник и др.). Теперь можно сказать и о том, что все биномиальные ряды могут быть выражены через золотую пропорцию. Золотая монада бинома Ньютона отражает еще одно важнейшее свойство мироздания. Она является нормированной (единичной). 4. О СВЯЗИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИ Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций. Она для порождения золотогосечения пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.

Рис.5

Рис. 6.Спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи

Замечательным свойством этого ряда является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618) основе красоты и гармонии в окружающей нас природе, в том числе и в человеческих отношениях . Отметим, что сам Фибоначчи открыл свой знаменитый ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течении одного года должны родиться от одной пары. У него получилось, что в каждом последующем месяце после второго число пар кроликов в точности следует цифровому ряду, которое ныне носит его имя. Поэтому не случайно, что и сам человек устроен по ряду Фибоначчи. Каждый орган устроен в соответствии с внутренней, или внешней двойственностью. Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятсяс рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитатьчисло чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегдадва последовательных числа ряда Фибоначчи. Может быть восемь в одном направлении и 13 в другом, или 13 в одном и 21 в другом . В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи?Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствуетПервоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с“нуля”. Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюцирует по одним и тем же законам- законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи. Закон двойственности является виновником того, что Иерархия, имея в своем багаже только один этот алгоритм формирования инвариантных оболочек, позволяет строить производящие функции этих оболочек, строить Единый Периодический ЗаконЭволюции Материи . Пусть мы имеемследующую производящую функцию При n=1 мы будем иметь производящуюфункцию вида и т.д.Теперь попробуем определять очередной член производящей функции по рекуррентной зависимости, полагая, чтоэтот член функции будет получаться путем суммирования ее двух последних членов. Например,при n=1, значение третьего члена ряда будет равно 2. В итоге мы получимряд (1-1х+2х2). Тогда,умножаяпроизводящую функцию на оператор (1-х) и используя рекуррентную зависимость для вычисления очередного члена ряда, мы и получимискомую производящую функцию. Обозначая через значение n-го члена ряда, а через предыдущее значение этого ряда и полагая n=1,2,3,….процесс последовательного формирования членов ряда можноизобразить следующимобразом (табл. 1).

Таблица 1.

Из таблицы видно, что после получения очередного результирующего члена ряда, этот член подставляется в исходный многочлен и производится сложение с предыдущим, затем новый результирующий член подставляется в исходный ряд и т. д. В результате мыполучаемряд Фибоначчи. Из таблицы непосредственно видно, что ряд Фибоначчи обладает свойством инвариантности относительно оператора (1-х) -онформируется какряд, получаемый в результате умножения ряда Фибоначчи на оператор (1-х), т.е.производящая функция ряда Фибоначчи при умножении на оператор (1-х) порождает саму себя. И это замечательное свойство также является следствием проявления закономерности о двойственности. Действительно в , , было показано, что многократное применение оператора вида(1+х) оставляет структурумногочлена неизменной, а ряд Фибоначчи обладает дополнительным,ещеболее замечательными свойствами: каждый член этого ряда является суммой двух его последних членов.Поэтому Природе не надо помнить сам ряд Фибоначчи. Надо только помнить последние два члена ряда и оператор видаP*(x )=(1-x), ответственного за данный алгоритмудвоения, чтобы получать без ошибки ряд Фибоначчи. Но почемув Природеименно этот ряд играет решающую роль?На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов»триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы.Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд , а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы дляформирования других элементарных частиц. Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима отспирали золотого сечения) и по этой причине частица должнатрансформироваться в следующую «категорию». Чудесные свойства ряда Фибоначчи проявляются и в самих числах, являющихся членами этого ряда.Расположим члены ряда Фибоначчи по вертикали., а затемвправо, в порядке убывания, запишем натуральные числа

1 2 32 543 8765 13 12 11 1 1 098 21 20 19 18 17 16 1514 13 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 ....

Каждая строчка начинается и завершается числом Фибоначчи, т. е. в каждой строчке всего два таких числа. Подчеркнутые числа - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42обладают особыми свойствами (второй уровень иерархии ряда Фибоначчи):

(5-4)/(4-3)= 1/1 (8-7)/(7-5) = 1/2 и(8-6)/(6-5)= 2/1 (13-11)/(11-8) = 2/3 и (13-10)/(10-8) = 3/2 (21-18)/(18-13) = 3/5 и (21-16)/(1б-13) = 5/3 (34-29)/(29-21) = 5/8 и (34-26)/(26-21) = 8/5 (55-47)/(47-34) = 8/13 и (55-42)/(42-34) = 13/8

Мы получили дробный ряд Фибоначчи, который, возможно,«исповедуют» коллективные спиныэлементарных частиц и атомов химических элементов. Следующий уровень иерархии образуется в результате дробления интервалов между числами Фибоначчи и выделенными числами. Например, на третью ступень иерархии встанут числа 52 и 50 из интервала 55-47. Процесс стр уктурирования ряда натуральных чисел может быть продолжен, т.к.свойствапериодичности и многоуровневости строения материи отражается даже в свойствах самого ряда Фибоначчи. Но у ряда Фибоначчи имеется еще одна тайна, вскрывающая сущность периодичности изменения свойств дв ойственного отношения (монады). Выше был определен диапазон изменения свойств дв ойственного отношения, характеризующего его норму самодостаточности U=<2/3, 1) Построим для данного диапазона ряд Фибоначчи L==<(-1/3), 0+(-1/3), (-1/3)+(-1/3), (-1/3)+(-2/3) >= <-1/3, -1/3, -2/3, -3/3>

Мы получим L -тетраэдр, характеризующий возрастающую спираль эволюции двойственного отношения. Продолжим этот процесс. Попытка выйти за пределы данного диапазона нормы самодостаточности приведет к его нормированию, т.е. первым элементом в D -тетраэдре будет характеризоваться нормой самодостаточности, равной 1,0 . Но, продолжая далее этот процесс, мы будем вынуждены постоянно производить перенормировку. Следовательно, эволюция не может продолжаться? Но, в самом вопросе имеется и ответ. После перенормировки эволюция должна начаться сначала, но в противоположную сторону, т.е. при формировании "параллельного" D-тетраэдра должен измениться знак числа и ряд Фибоначчи начинает обратное движение.

D==<(1/3), 0+(1/3), (1/3)+(1/3), (1/3)+(2/3) >= <1/3, 1/3, 2/3, 3/3>

Тогда общий ряд , характеризующий норму самодостаточности "звездного тетраэдра" будет характеризоваться соотношениями

U==const

Устойчивое состояние звездного тетраэдра будет зависеть от соответствующего сопряжения L- и D- тетраэдров. При U=1 будем иметь куб. При U=2/3 мы получим самодостаточный звездный тетраэдр, с самодостаточными L- и D- тетраэдрами. При меньших значениях устойчивое состояние звездного тетраэдра будет достигаться только совместными усилиями L- и D- тетраэдрами. Очевидно, что в этом случае минимальное значение нормы самодостаточности звездного тетраэдра будет равно U=1/3, т.е. два н е самодостаточных тетраэдра совместными усилиями образуют самодостаточный звездный тетраэдр U. В самом общем случае устойчивые состояния звездного тетраэдра U можно проиллюстрировать, например, следующей схемой.

Рис. 7

На последнем рисунке приведена фигура, напоминающая мальтийский крест, с восемью вершинами. т .е. эта фигура снова навевает ассоциации со звездным тетраэдром.

О чудесных свойствах ряда Фибоначчи, о его периодичности свидетельствует следующая информация ( Михайлов Владимир Дмитриевич,« Живая информационная Вселенная», 2000 г., Россия, 656008, г. Барнаул, ул. Партизанская дом. 242).

с.10. "Законы «золотой пропорции», «золотого сечения» связаны с цифровым рядом Фибоначчи, открытого в 1202 году, является направлением в теории кодирования информации. За многовековую историю познания чисел Фибоначчи, образуемый его членами отношения (числа) и их различные инварианты скрупулезно изучены и обобщены, но так полностью и не расшифрованы. Математическая последовательность ряда чисел Фибоначчи представляет из себя последовательность чисел, где каждый последующий член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… до бесконечности. …Цифровой код цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (к примеру: 13 есть (1+3)=4, 21 есть (2+3)=5 и т.д.) Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, получим следующий ряд из 24 цифр: 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,4 ,3 ,7 ,1 ,8 ,9 ,8 ,8 ,7 ,6 ,4 ,1 ,5 ,6 ,2 ,8 ,1 ,9 далее сколько не преобразовывай числа в цифры, через 24-ре цифры цикл будет последовательно повторяться бесконечное количество раз… …не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации? С.17 Если Пифагорийскую Четверку в последовательности 24-х цифр Фибоначчи разделить между собой (как бы переломить) и наложить друг на друга, то возникает картина взаимоотношений 12-ти дуальностей противоположных цифр, где каждая пара цифр в сумме дает 9-ку (дуальность , рождающая троичность)....

1 1 8 =9 2 1 8 =9 3 2 7 =9 4 3 6 =9 5 5 4 =9 6 8 1 =9 7 4 5 =9 8 3 6 =9 9 7 2 =9 10 1 8 =9 11 8 1 =9 12 9 9 = 18=1+8=9 (моя редакция)

1 1 1 1 75025

2 1 1 1 75025 3 2 2 2 150050 4 3 3 3 225075 5 5 5 5 375125 6 8 8 8 600200 7 4 1+3 13 4 975325 8 3 2+1 21 3 1575525 9 7 3+4 34 7 2550850 10 1 5+5=10=1 55 1 4126375 11 8 8+9=17=1+7 89 8 6677225

12 9 1+4+4 144 9 10803600

13 8 2+3+3 233 8 17480825 14 8 3+7+7=17=1+7=8 377 8 28284425 15 7 6+1+0=7 610 7 45765250 16 6 9+8+7=24=2+4=6 987 6 74049675 17 4 1+5+9+7=22=2+2=4 1597 4 119814925 18 1 2+5+8+4=19+1+9=10=1 2584 1 193864600 19 5 4+1+8+1=14=1+4=5 4181 5 313679525 20 6 6+7+6+5=24=2+4=6 6765 6 507544125 21 2 1+0+9+4+6=20=2 10946 2 821223650 22 8 1+7+7+1+1=17=1+7=8 17711 8 1328767775 23 1 2+8+6+5+7=28=2+8=10=1 28657 1 2149991425

24 9 4+6+3+6+8=27+2+7=9 46368 9 3478759200"

Данная информация свидетельствует о том, что все "дороги ведут в Рим", т.е. множество периодически повторяющихся случайностей, совпадений. м истификаций и т.д., сливаясь в единый поток, с неизбежностью приводят к выводу о существовании периодической закономерности, отражаемой в ряде Фибоначчи. А теперь рассмотрим еще одно, быть может, самое замечательное свойства ряда Фибоначчи. На странице "Монадные формы " мы отмечали, что существует всего пять уникальных форм, имеющих первостепенное значение. Они называются Платановыми телами. Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики. Во-первых , все грани такого тела равны по размеру. Во-вторых , ребра Платонова тела - одной длины. В-третьих , внутренние углы между его смежными гранями равны. И, в-четвертых, будучи вписанным в сферу, Платоново тело каждой своей вершиной касается поверхности этой сферы.

Рис. 8 Есть только четыре формы помимо куба (D), имеющие все эти характеристики. Второе тело (В) - это тетраэдр (тетра означает «четыре»), имеющий четыре грани в виде равносторонних треугольников и четыре вершины. Еще одно тело (C) - это октаэдр (окта означает «восемь»), восемь граней которого - это равносторонние треугольники одинакового размера. Октаэдр содержит 6 вершин. Куб имеет 6 граней и восемь вершин. Два других Платоновых тела несколько сложнее. Одно (E) называется икосаэдр, что означает «имеющий 20 граней», представленных равносторонними треугольниками. Икосаэдр имеет 12 вершин. Другое (F) называется додекаэдр (додека - это «двенадцать»). Его гранями являются 12 правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет двадцать вершин. Эти тела обладают замечательными свойствами быть вписанными все всего в две фигуры - сферу и куб. Подобная взаимосвязь с Платоновыми телами прослеживается во всех сферах. Так, например, системe орбит планет солнечной системы можно представить в виде вложенных друг в друга Платоновых тел, вписанных в соответствующие сферы, которые и определяют радиусы орбит соответствующих планет солнечной системы. Фаза А (рис. 8) характеризует начало эволюции монадной формы. А потому эта форма является как бы самой простой (сферой). Затем рождается тетраэдр, и т.д. Куб, расположен в этой гексаде напротив сферы и потому он обладает сходными свойствами. Тогда свойствами, сходными с тетраэдром должны обладать монадная форма, расположенная в гексаде напротив тетраэдра. Это икосаэдр. Формы додекаэдра должны быть «родственны» октаэдру. И, наконец, последняя форма снова становится сферой. Последняя становится первой! Кроме того, в гексаде должна наблюдаться преемственность эволюции двух соседних Платоновых тел. И, действительно, октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр взаимны. Если у одного из этих многогранников соединить отрезками прямых центры граней, имеющих общее ребро, то получится другой многогранник. В этих свойствах кроется их эволюционное происхождение друг от друга. В Платоновой гексаде можно выделить две триады: «сфера-октаэдр-икосаэдр» и «тетраэдр-куб-додекаэдр», наделяющие соседние вершины собственных триад свойствами взаимности. Эти фигуры обладают еще одним замечательным качеством. Они связаны крепкими узами с рядом Фибоначчи -<1:1:2:3:5:8:13:21:...>, в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Вычислим разности между членами ряда Фиббоначи и числом вершин в Платоновых телах :

· 2=2-А=2-2=0 (нулевой "заряд"), · 3=3-В=3-4=-1 (отрицательный "заряд"), · 4=5-С=5-6=-1 (отрицательный "заряд"), · 5=8-D=8-8=0 (нулевой "заряд"), · 6=13-Е=13-12=1 (положительный "заряд"), · 7=21-F=21-20=1 (положительный "заряд"), Рис. 9

На первый взгляд может показаться, что "монадные заряды" Платоновых тел отражают как бы несоответствие идеальных форм от ряда Фибоначи . Однако, полагая, что начиная с куба, Платоновы тела могут формировать ВЕЛИКИЕ ПРЕДЕЛЫ (Великий Предел), то становится ясным, что додекаэдр и икосаэдр, отражая взаимодополнительное соответствие между число граней и числом вершин, характеризуемых числами 12 и 20, фактически выражают собой соотношения 13 и 21 ряда Фибоначчи. Посмотрите, как происходит нормирование ряда Фибоначчи. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... 12, 20, ..... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 Первая строка отражает "нормальный" алгоритм формирования ряда Фибоначчи. Вторая строка начинается с икосаэдра, в котором 13 вершина оказалась центром структуры, отражая свойства ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА. Аналогичный ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ имеется и у додекаэдра. Эти два кристалла порождают новое измерение - нормированную монаду "икосаэдр-додекаэдр", которая и начинает формировать новый виток ряда Фибоначчи (третья строка). Первые Платоновы тела как бы отражают фазу анализа, когда происходит разворачивание ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА из монады (1,1). Вторая фаза -с интез новой монады и сворачивание ее в ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ. Так ряд Фибоначи порождает "золотую пропорцию", ответственную за рождение гармонии всего сущего, поэтому и Платоновы тела также будут характеризовать свойства всех материальных структур. Так, атомы всегда соотносятся с пятью Платоновыми телами. Даже если разбирать на части очень сложную молекулу, в ней можно найти более простые формы, и они всегда могут быть прослежены до одного из пяти Платоновых тел - независимо от того, какова ее структура. Не имеет значения, что это - металл, кристалл или что-то еще, - структура всегда восходит к одной из пяти первоначальных форм. Следовательно, мы приходим к выводу, что число используемых природой первозданных монадных форм является ограниченным и замкнутым. К такому же выводу пришел еще много веков назад Платон, который считал, что сложные частицы элементов имеют форму многогранников, при дроблении эти многогранники дают треугольники, которые и являются истинными элементами мира. Достигнув самой совершенной формы, природа берет эту форму в качестве элементарной и начинает строить следующие формы, используя последние в качестве «единичных» элементов. Поэтому все высшие формы неорганических, органических, биологических и полевых форм материи обязательно должны будут связаны с более простыми монадными кристаллами. Из этих форм должны строиться и самые сложные - высшие формы Высшего разума. И эти свойства монадных кристаллов должны проявляться на всех уровнях иерархии: в структуре элементарных частиц, в структуре Периодической системы элементарных частиц, в структуре атомов, в структуре Периодической системы химических элементов, и т.д. Так, в химических элементах, все подоболочки и оболочки могут быть представлены в форме монадных кристаллов. Естественно, что внутренняя структура атомов химических элементов должна отражаться в структуре кристаллов и клетках живых организмов. «Любая форма есть производное одного из пяти Платоновых тел. Без исключений. И не имеет значения, какова структура кристалла, она всегда основана на одном из Платоновых тел...» . Так в свойствах Платоновых тел отражается гармония золотого сечения и механизмы его порождения рядом Фибоначчи. И снова мы приходим к самому фундаментальному свойству ЕДИНОГО ЗАКОНА - ПЕРИОДИЧНОСТИ. Библейское "И ПОСЛЕДНИЙ СТАНОВИТСЯ ПЕРВЫМ" отражается во всех творениях мироздания. На следующем рисунке приводится схема хроматической гаммы, в которой 13-я нота находится за "границей осознанного мира", а любая соседняя пара может порождать новую хроматическую гамму (Законы Абсолюта ).

рис. 10 Данный рисунок отражает принципы, в соответствии с которыми формируется ЕДИНОЕ САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ ГАРМОНИИ ВСЕЛЕННОЙ.

5. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ПРИНЦИПЫ САМООРГАНИЗАЦИИ

5.1. САМОДОСТАТОЧНОСТЬ

Принципы саморганизации (самодостаточность, саморегулирование, самовоспроизведение, саморазвитие и самонормирование ) очень тесно связаны с золотым сечением. Рассматривая принципы самоорганизации и принципы нового мышления (О новом мышлении , О глобалистике ) был обоснован вывод о том, что понятие самодостаточность определяет долю вклада собственных целевых функций в общую целевую функцию того или иного объекта окружающего мира. Если собственная доля вклада в общую целевую функцию объект будет не ниже 2/3, то такой объект будет иметь "контрольный пакет акций" целевой функции объекта и, следовательно, будет являться самодостаточным , не "марионеточным" объектом. Но 2/3=0,66..., а золотая пропорция равна 0,618... Очень близкое совпадение, или..? Вот именно ИЛИ! Поэтому более точной количественное оценкой самодостаточности можно считать пропорцию золотого сечения. Однако для практического использования мерой самодостаточности, определяющей качественное состояние объекта, живет он в гармонии с окружающим миром, или нет, оценка 2/3 является даже предпочтительнее. Глубокая взаимосвязь этого принципа с золотым сечением показана на рис. 4, на котором рукой великого мастера -Л еонардо да Винчи были приведены самые замечательные свойства золотого сечения и их взаимосвязь с ЕДИНЫМ ЗАКОНОМ. И очень жаль, что ЭТОГО НЕ ПОНИМАЮТ ЕЩЕ МНОГИЕ УЧЕНЫЕ ДАЖЕ СЕГОДНЯ. ПОЗОР!!!

5.2. САМОВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ. САМОРАЗВИТИЕ.

Из принципов построения универсальной логики ( ) следует, что бесконечномерная логика в рамках эволюции одного и того же семейства, формирует бинарную спираль.

рис. 11

В этой схеме узловые точки характеризует нисходящую спираль эволюции логического семейства бинарной спирали (правый винт). По индукции можно определить, что левый винт будет определять восходящую спираль этого семейства. Эта эволюционная бинарная спираль характеризует самовоспроизведение и саморазвитие логического семейства. Пусть мы имеем начальную логику < - i ,-1 >. Тогда, изображая оси комплексной системы отсчета в соответствии с правилом обхода тетраэдра по кресту, эволюцию логик можно отразить так, как показано на рис.12 рис. 12 Из схемы видно, что при каждом переходе от одной логики к другой, по направлению стрелок, происходит зеркальное самокопирование логики. И когда мы завершим "круг эволюции", то последняя и первая логики окажутся противоположными друг к другу. Следующая попытка приводит уже к логике бинарного удвоения, т.к. клетка оказывается занятой. В результате рождается логика, отличающаяся от первой масштабностью, вместо < -i,-1 > рождается пара < -2 i ,-2 >. Отметим, что последовательное зеркальное копирование логик приводит к их зеркальной инверсии по диагоналям. Так, по диагонали - i ,+1 мы имеем логики <- i ,-1> <+1,+ i >. Из правил обхода вершин тетраэдра по кресту мы получаем, что эти логики образуют крест в тетраэдре, если соответствующие ребра спроектировать на плоскость. П о диагонали -1,+ i мы получили взаимодополнительную пару логик <-1,- i > <+ i ,+1> , также образующую крест. На рис. 11, стороны квадратов ориентированы по направлению крещения. Поэтому противоположные стороны этого квадрата являются перекладинами креста. Отметим, что в тетраэдре существует еще и третий крест, образованной ребрами <+ i ,- i > и <-1,+1> . Но этот крест несет другие функции , о которых будет сказано в другом месте. Но схема на рис. 6 обосновывает только простое самовоспризводство логик. Оно может порождать многомерный мир "черно-белых" копий, которые могут характеризоваться только разными "оттенками". В соответствии с принципами самоорганизации логики должны иметь возможность к саморазвитию . И такая возможность реализуется (рис. 13). рис. 13 Здесь в квадрате II вначале происходит самокопирование исходной логики, а в третьем квадрате, происходит процесс саморазвития . Здесь вначале первый и второй квадрат складываются со сдвигом, а затем воспроизводятся в квадрате III . Затем полученная цепочка зеркально копируется в квадрат IV , где происходит "замыкание" цепочки. В результате рождается тетраэдр, с четырьмя вершинами, т.е. рождается комплексная логика. Так из пары <1,1> рождается пара <2,2>. Так рождается П ервый период Периодической системы логических элементов. Возьмем теперь вторую пару, состоящую из двух логических соседних подоболочек -<1,2>. расписывая эволюцию этой пары по квадратам в соответствии с вышеприведенными правилами, мы получим пару <3,3>. Присоединяя ее к начальной цепочке <1,1,2>, мы получим <1,1,2,3>/ Тогда эволюция пары <2,3> произведет пару <5,5> и, соответственно, цепочку <1,1,3,5,>. Нетрудно увидеть, что рождается ряд Фибоначчи , являющийся основой золотого сечения. И этот ряд рождается естественным образом, в основе его лежит Единый Периодический закон эволюции и вытекающие из него принципы самоорганизации (самодостаточность, саморегуляция , самовоспроизведение, саморазвитие, самонормирование ).

5.3. РЯД ФИБОНАЧЧИ И БИНАРНЫЙ РЯД

Возьмем теперь, в качестве логических пар целостную пару <2,2>. Эта пара будет характеризовать количественный состав первой логической оболочки. Тогда, в процессе ее "крещения" у нас произведется следующая бинарная пара <4,4>. Эта пара по своей структуре будет характеризовать звездный тетраэдр (или куб), имеющий восемь вершин. Мы получили первую подоболочку второго периода. Удвоение этих подоболочек даст пару <8,8>, эволюция которой приведет к паре <16,16>, а далее к паре <32,32>. Соединяя полученные бинарные пары в единую цепочку, мы получаем ряд <2, 8,16,32>. Именно такая последовательность характеризует количественный состав оболочек Периодической системы химических элементов. Таким образом, единство ряда Фибоначчи и бинарного ряда является неоспоримым фактом. Периодическая система химических элементов, бинарный ряд, ряд Фибоначчи и золотое сечение оказываются тесно взаимосвязанными.

Рис. 14 Из последней схемы видно, что производящие функции этих рядов еще и тесно взаимосвязаны с биномом Ньютона (1-х) - n .

Между рядом Фибоначчи и бинарным рядом также существует прямая связь (рис. 4)

Рис. 15

На этом рисунке видно, как из исходного соотношения (1-1-2), используя бинарный ряд, выстраивается весь ряд Фибоначчи. Эту схему приводит в своей книге Д. Мельхиседек ("Древняя тайна Цветка Жизни", том. 2, стр.283). Этот рисунок показывает семейное дерево трутня пчелы. Мельхиседек подчеркивает, что ряд Фибоначчи (1-1-2-3-5-8-13-...) является женским рядом, в то время как бинарный ряд (1-2-4-8-16-32-...) является мужским. И это правильно (Генная память , Информация , О времени ) . На указанных страницах приводится обоснование того, что генная память, возрождая Прошлое , или синтезируя Будущее, формирует именно бинарный ряд и именно по закону, приведенному на рисунке 4.

6. О ДРУГИХ СВОЙСТВАХ РЯДА ФИБОНАЧЧИ

Всем известно, что ритмы (волны) пронизывают всю нашу жизнь. Поэтому всеобщность пропорции золотого сечения необходимо проиллюстрировать и на примере волновых колебаний. Рассмотрим гармонический процесс колебаний струны (http://ftp.decsy.ru/nanoworld/index.htm ). На струне могут создаваться стоячие волны основной и высших гармоник (обертонов). Длины полуволн гармонического ряда соответствуют функции 1/ n , где n – натуральное число. Длины полуволн могут быть выражены в процентах от длины полуволны основной гармоники: 100%, 50%, 33%, 25%, 20%... В случае воздействия на произвольный участок струны будут возбуждаться все гармоники с различными амплитудными коэффициентами, которые зависят от координаты участка, от ширины участка и от частотно-временных характеристик воздействия. Учитывая разные знаки фаз четных и нечетных гармоник, можно получить знакопеременную функцию, которая выглядит приблизительно следующим образом: Если точку закрепления принять за начало отсчета, а середину струны за 100%, то максимум восприимчивости по 1-ой гармонике будет соответствовать 100%, по 2-й – 50%, по 3-ей – 33% и т.д. Посмотрим, где будет наша функция пересекать ось абсцисс. 62%, 38%, 23.6%, 14.6%, 9%, 5.6%, 3.44%, 2.13%,1.31%, 0.81%, 0.5%, 0.31%, 0.19%, 0.12%, ... Это пропорция золотого вурфа , под которым понимают последовательный ряд отрезков, когда смежные отрезки находятся в отношении золотого сечения. Каждое следующее число в 0.618 раз отличается от предыдущего. Получилось следующее: Возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении золотого сечения на частоте близкой к основной гармонике, не вызовет колебаний струны, т.е. точка золотого сечения – это точка компенсации, демпфирования. Для демпфирования на более высоких частотах, к примеру, на 4-ой гармонике, точку компенсации нужно выбрать в 4-ом пересечении функции с осью абсцисс. Таким образом, периодичность изменения свойств двойственного отношения оказывается связана с нормой самодостаточности, рядом Фибоначчи, а также и со свойствами звездного тетраэдра, отражающего принцип восходящей и нисходящей спирали. Поэтому можно сказать, что тайны Золотого сечения, тайны ряда Фибоначчи, тайны их всеобщности в мире живой и неживой Природы больше не существует. Золотое сечение и ряд Фибоначчи отражают самую фундаментальную закономерность Иерархии - закономерность двойственности, а сам ряд Фибоначчиотражает не только одну из главных форм проявления этой закономерности -т риединство, но и характеризует нормы самодостаточности двойственного отношения в процессе его эволюции. 7. О СЛОЖНОМ ОТНОШЕНИИ Рассмотренные выше свойства золотого сечения и ряда Фибоначчи и их взаимосвязь, позволяют высказать предположение о связи с Единым законом эволюции двойственного отношения еще одного замечательного отношения, которое в проективной геометрии известно как сложное отношение точек ABCD . Рис. 16 Это число обладает тем свойством, что оно в точности одно и то же как. д ля изображения, так и для оригинала. Если вам нужно вычислить х , то не играет роли, измеряете ли вы расстояние на изображении или на самом участке. Фотокамера может обмануть. Она обманывает, когда выдает равные длины за неравные и прямые углы за непрямые. Единственное, что она не искажает,- это выражение

Зн ачение этого выражения может быть найдено прямо из фотографии. И все, что можно с уверенностью утверждать, пользуясь свидетельством фотографии, может быть выражено в терминах таких величин. Обычно, в качестве сокращенной записи сложного отношения используется символ ABCD . Перерисуем теперь схему сложного отношения в пространственном виде Рис. 17 Известно, что золотое сечение выражается пропорцией

где числитель является меньшим числом, а знаменатель-большим . Применительно к рисунку 17 золотая пропорция будет отражаться в треугольнике ABC , например, векторной суммой AB = BC + CA . Если углы между катетами будут равны нулю, то получим деление отрезка пополам. Если угол равен π / 2, то получим прямоугольный треугольник со сторонами 1, Ф , Ф 0,5 ; Следовательно, мы имеем исходное уравнение Ф 2 -Ф=1, записанное в векторной форме -г ипотенуза является единицей, а катеты являются ортогональными друг к другу, что и отражается в уравнении золотого сечения. При любом другом угле описываются некие замкнутые пространства. Сравнение рисунков 16 и 17 показывает также, что прямая линия (рис.16), порождающая сложное отношение, трансформируется в ломаную , и сложное отношение порождается процессом " обхода по кресту ". При этом Последняя вершина ломаной линии замыкается на П ервую . В результате мы получаем уже известное из животворящего креста

Рис. 18

правило рычага- "выигрываешь в силе, проигрываешь в расстоянии": - умножение перекладин креста и деление на длину плеч, определяющих переход с одной перекладины на другую. При построении этих более сложных отношений необходимо учитывать, что в формировании сложного отношения, точно также, как и в ряде Фибоначчи, участвуют только две соседних вершины ломаной линии. Это правило рычага, с использованием золотого сечения можно записать в следующем виде . А теперь мы можем построить сложное отношение на тетраэдре, учитывая, что расстояния от всех вершин пирамиды до точки О одинаково.

Рис. 19

Из рисунков 14-19 можно понять и принципы построения более сложных отношений, для пространств с большей мерностью, т.е. можно сказать, что n -мерное сложное отношение отражает процесс формирования монадного кристалла n -мерности и потому "упражнения" по формированию более сложных отношений могут иметь самостоятельный интерес (Сложное отношение ). Но все значения сложного отношения х , (1/х ), (х-1)/х , х /(х-1), 1/(1-х), (1-х), х ,... являются частями уравнения золотого сечения х 2 - х - 1 =0 или х (х -1) =1. 7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ Рассмотренные выше свойства золотого сечения и, в первую очередь, свойства сложного отношения позволяют говорить о том, что золотое сечение формирует главный закон мироздания, отражающий в себе главный закон сохранения- закон сохранения золотого сечения . Соотношения x =0,618..., 1 / x =1,618, 1-1/ x =-0,618..., 1/(1-1/ x )=-1,618,.... образуют бесконечный ряд, в котором первые четыре значения образуют крест золотого сечения. При этом всякий раз, когда получается величина, большая значения золотого сечения, то происходит нормировка ОБЪЕКТа . От него вычленяется единица и процесс эволюции продолжается! Однако для пятого и шестого значений мы получаем значения " -2,616 " и " -0,382 ", после чего процесс начинается с начала. Полученный бесконечный ряд значений 0,618 и 1,618 является причиной, по которой золотое сечение лежит в основе гармонии мира. Закон сохранения (Законы сохранения) золотого сечения можно продемонстировать во вращающемся кресте (свастике).

Ниже, на странице, вскрывающей тайны информации (Информация , О времени) будут показано, что золотое сечение, генная память лежат в основе самого понятия информации, о природных механизмах эволюции монады "ОБРАЗ-ПОДОБИЕ" во ВРЕМЕНИ. Таким образом, сущность нормирования сводится к получению пропорций золотого сечения, т.е. все чудесные свойства сложного отношения четырех точек определяются свойствами животворящего креста, что сложное отношение тесно взаимосвязано с золотым сечением, формируя закон сохранения золотого сечения. РЕЗЮМЕ 1. Ни у кого уже не возникает сомнений, что золотое сечение лежит в основе гармонии мироздания, а ряд Фибоначчи порождает эту замечательную пропорцию. Дополнительную информацию о свойствах золотого сечения любознательные читатели могут получить на сайте www. goldenmuseum . com . Эта поистине золотая пропорция имеет такое множество замечательных свойств, что открытие новых свойств уже ни у кого не вызывает удивления.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

1. Введение 2 . Золотое сечение - гармоническая пропорция
3 . Второе золотое сечение
4 . Зо лотой треугольник (пентаграмма)
5 . История золотого сечения 6 . Золотое сечение и симметрия 7 . Ряд Фибоначчи 8 . Обобщенное золотое сечение 9 . Принципы формирования в природе 1 0 . Тело человека и золотое сечение 1 1 . Золотое сечение в скульптуре 1 2 . Золотое сечение в архитектуре 1 3 . Золотое сечение в музыке 1 4 . Золотое сечение в поэзии 1 5 . Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах 1 6 . Оптимальные физические параметры внешней среды 1 7 . Золотое сечение в живописи 1 8 . Золотое сечение и восприятие изображения 19. Золотое сечение в фотографиях 2 0 . Золотое сечение и космос 2 1 . Заключение 2 2 . Список используемой литературы
ВВЕДЕНИЕ Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам . Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного - золотое сечение . Наша задача узнать, что же такое золотое сечение и установить где человечество нашло применение золото го сечения . Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение. Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе золотое сечение. Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете -- посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели "золотое сечение". О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть "золотого сечения". Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий -- свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно "золотому сечению". А Аристотель нашел соответствие "золотого сечения" этическому закону. Высшую гармонию "золотого сечения" будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и "золотое сечение" -- это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы "золотого сечения", спасаясь от Дьявола. При этом ученые -- от Пачо л и до Эйнштейна -- будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой -- 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое "золотое сечение". Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое -- все подчиняется божественному закону, имя которому -- "золотое сечение". Так что же такое "золотое сечение"?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он -- мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее -- нет, известен. "Золотое сечение" -- это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна. Наверное, трудно найти надежную меру для объективной оценки самой красоты, и одной логикой тут не обойдешься. Однако здесь поможет опыт тех, для кого поиск красоты был самим смыслом жизни, кто сделал это своей профессией. Это, прежде всего, люди искусства, как мы их называем: художники, архитекторы, скульпторы, музыканты, писатели. Но это и люди точных наук, - прежде всего, математики. Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a: b = c: d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: -- на две равные части - АВ: АС = АВ: ВС; -- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); -- таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС. Последнее и есть золотое деление . Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a: b = b: c или с: b = b: а. Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям. Свойства золотого сечения описываются уравнеием: x2 - x - 1 = 0. Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поколения. К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618 )

ВТОРОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Болгарский журнал "Отечество" опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша "О втором золотом сечении", которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре. Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56: 44. На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника. ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой. Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть O - центр окружности, A - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36® при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения "золотого" прямоугольника. ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. Платон также знал о золотом делении. Пифагореец Тимей в одноименном диалоге Платона говорит: "Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет средним, а среднее - первым и последним. Таким образом, все необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое". Земной мир Платон строит, используя треугольники двух сортов: равнобедренные и неравнобедренные. Прекраснейшим прямоугольным треугольником он считает такой, в котором гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов (такой прямоугольник является половиной равностороннего, основной фигуры вавилонян, в нем выступает отношение 1: 3 1/2 , отличающееся от золотого сечения примерно на 1/25, и называемое Тимердингом "соперником золотого сечения"). С помощью треугольников Платон строит четыре правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей, водой, воздухом и огнем). И лишь последний из пяти существующих правильных многогранников - додекаэдр, всеми двенадцатью гранями которого служат правильные пятиугольники, претендует на символическое изображение небесного мира.

Икосаэдр и додекаэдр Честь открытия додекаэдра (или, как полагалось, самой Вселенной, этой квинтэссенции четырех стихий, символизируемых, соответственно, тетраэдром, октаэдром, икосаэдром и кубом) принадлежит Гиппасу, впоследствии погибшему при кораблекрушении. В этой фигуре действительно запечатлено множество отношений золотого сечения, поэтому последнему отводилась главная роль в небесном мире, на чем впоследствии и настаивал брат минорит Лука Пачоли. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления . После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В средние века пентаграмма подверглась демонизации (как, впрочем, и многое, что почиталось божественным в античном язычестве) и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. Так, широкое хождение в тот период утверждения гуманизма обрела схема, описывающая строение человеческого тела: К такой картинке, по сути воспроизводящей пентаграмму, неоднократно прибегал и Леонардо да Винчи. Ее интерпретация: тело человека обладает божественным совершенством, ибо заложенные в нем пропорции - такие же, как в главной небесной фигуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась "О перспективе в живописи". Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "О божественной пропорции" (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.) с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Такая пропорция лишь одна, а единственность - высочайшее свойство Бога. В ней воплощено святое триединство. Эта пропорция не может быть выражена доступным числом, остается скрытой и тайной и самими математиками называется иррациональной (так и Бог не может быть ни определен, ни разъяснен словами). Бог никогда не изменяется и представляет всё во всем и всё в каждой своей части, так и золотое сечение для всякой непрерывной и определенной величины (независимо от того, большая она или малая) одно и то же, не может быть ни изменено, ни по иному воспринято рассудком. Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, с ее помощью и четыре других простых тела (четыре стихии - землю, воду, воздух, огонь), а на их основе вызвал к бытию всякую другую вещь в природе; так и наша священная пропорция, согласно Платону в "Тимее", дает формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемого додекаэдром, который невозможно построить без золотого сечения. Таковы аргументы Пачоли.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать". Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя "Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности". Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой". Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название "Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве". В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи. В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И СИММЕТРИЯ Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление - это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая - движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она - свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда. РЯД ФИБОН АЧ Ч И

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с арабскими цифрами. В 1202 вышел в свет его математический труд "Книга об абаке" (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение - 0,618: 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Как показано на нижнем рисунке, длина каждого сустава пальца соотносится с длиной следующего сустава по пропорции Ф. Такое же соотношение проявляется во всех пальцах рук и ног. Эта связь как-то необычна, потому что один палец длиннее другого без всякой видимой закономерности, но это всё не случайно -- как не случайно всё в теле человека. Расстояния на пальцах, отмеченные от А до В до С до D до Е все соотносятся друг с другом по пропорции Ф, равно как и фаланги пальцев от F до G до H.

Взгляните на этот скелет лягушки и посмотрите, как каждая косточка соответствует модели пропорции Ф точно так, как и в теле человека

ОБОБЩЁННОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10 - ю проблему Гильберта. Возникают методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал. Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же "двоичный" ряд гирь 1, 2, 4, 8, на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором - это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и "двоичный" ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами? Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого - единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через? S (n), то получим общую формулу? S (n) = ? S (n - 1) + ? S (n - S - 1). Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим "двоичный" ряд, при S = 1 - ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи. В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x S+1 - x S - 1 = 0. Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 -знакомое классическое золотое сечение. Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи. Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге "Структурная гармония систем" (Минск, "Наука и техника", 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики - новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах. С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами. Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят "с головы на ноги" исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были "открыты" числа натуральные; затем их отношения - числа рациональные. И лишь позже - после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков - на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа - 10, 5, 2, - из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа. Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа. В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной - а не бесконечной, как думали ранее! - суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему "иррациональная" арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и "Фибоначчиевой" арифметик. ПРИНЦИПЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ В ПРИРОДЕ Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.

Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Зо Золотая спираль тесно связана с циклами. Современная наука о хаосе изучает простые циклические операции с обратной связью и порожденные ими фрактальные формы, неизвестные ранее. Рисунок 6 показывает известный ряд Мандельброта - страницу из словаря бесконечности индивидуальных паттернов, называемых юлианскими рядами. Некоторые ученые связывают ряд Мандельброта с генетическим кодом клеточных ядер. Последовательное увеличение сечений раскрывает изумительные по своей художественной сложности фракталы. И тут тоже присутствуют логарифмические спирали! Это тем более важно, что и ряд Мандельброта, и юлианские ряды не являются изобретением человеческого разума. Они возникают из области первообразов Платона. Как сказал врач Р.Пенроуз, "они подобны горе Эверест".ая спираль тесно связана с циклами. Современная наука о хаосе изучает простые циклические операции с обратной связью и порожденные ими фрактальные

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Рис. . Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Рис. . Ящерица живородящая

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой - в прямоугольник с модулем 1,272 (корень золотой пропорции)

Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Рис. . Яйцо птицы

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль В живой природе широко распространены формы, основанные на "пентагональной" симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы). Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом.

Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору.

Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов - вирус Адено. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Вирус Адено

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар. Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino . Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А.Клуг дает такой комментарий: "Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов... Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. 14 Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения. Тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц."

Комментарий Клюга еще раз напоминает о предельно очевидной истине: в строении даже микроскопического организма, который ученые классифицируют как "самую примитивную форму жизни", в данном случае в вирусе, присутствует четкий замысел и осуществлен разумный проект 16. Этот проект несопоставим по своему совершенству и точности исполнения с самыми передовыми архитектурными проектами, созданными людьми. К примеру проектами, созданными гениальным архитектором Букминстером Фуллером. Трехмерные модели додекаэдра и икосаэдра присутствуют также и в строении скелетов одноклеточных морских микроорганизмов радиолярий (лучевиков), скелет которых создан из кремнезёма. Радиолярии формируют свое тело весьма изысканной, необычной красоты. Форма их составляет правильный додекаэдр. Причем из каждого его угла прорастает псевдоудлиннение-конечность и иные необычные формы-наросты. Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология. Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности "золотой" симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия. ТЕЛО ЧЕЛОВЕКА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

Расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

Расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618

Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618
Высота лица / ширина лица
Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.
Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ
Ширина рта / ширина носа
Ширина носа / расстояние между ноздрями
Расстояние между зрачками / расстояние между бровями Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения.

Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.
Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту. Истины золотого сечения внутри нас и в нашем пространстве

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях.

Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73? 43". Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое - 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу - закону золотой пропорции.

Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра). строение участка спирали молекулы ДНК

Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В СКУЛЬПТУРЕ
Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.Пропорции "золотого сечения" создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении "золотого сечения". Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал "золотое сечение" в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В АРХИТЕКТУРЕ В книгах о "золотом сечении" можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими "золотое сечение", то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. "Золотое сечение" дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618... Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по "золотому сечению", то получим те или иные выступы фасада. На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса:

Не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все "на глазок", без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии древних храмов. Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал "золотое сечение". Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, "золотое сечение" можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д.

Петровский дворец в Москве. Построен по проекту М.Ф. Казакова.

Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа. Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: "Архитектура - главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок".

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В МУЗЫКЕ
Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми "эстетическими вехами" на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые "кульминационным событием", как правило, находятся в соотношении Золотого сечения.

Еще в 1925 году искусствовед Л.Л.Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

Композитор и ученый М.А.Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате "Аппассионата" и нашел ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке - центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором - 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 дает золотое сечение.

Наибольшее количество произведений, в которых имеется Золоте сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%)

Если музыка - гармоническое упорядочение звуков, то поэзия - гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определенного момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Так, если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая - на 38-ю (38%) и т.д. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе "Евгений Онегин" - тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели и М.Ю. Лермонтова также построены по принципу Золотого сечения.

Страдивари писал, что с помощью

золотого сечения он определял места для f -образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПОЭЗИИ Поэзия Пушкина Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С.Пушкина. Ведь его произведения - образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С.Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции - мерила гармонии и красоты. Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция. Начнем с величины стихотворения, то есть количества строк в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не так. Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А.С. Пушкина с этой точки зрения показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).

Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник": Картину раз высматривал сапожник
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво...
А эта грудь не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
"Суди, дружок, не выше сапога!"

Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг нон на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах!

Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи). Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права..." состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк. Не дорого ценю я громкие права, От коих не одна кружится голова. Я не ропщу о том, что отказали боги Мне в сладкой участи оспаривать налоги Или мешать царям друг с другом воевать; И мало горя мне, свободно ли печать Морочит олухов, иль чуткая цензура В журнальных замыслах стесняет балагура. Все это, видите ль, слова, слова, слова. Иные, лучшие, мне дороги права: Иная, лучшая, потребна мне свобода: Зависеть от царя, зависеть от народа - Не все ли нам равно? Бог с ними. Никому Отчета не давать, себе лишь самому Служить и угождать; для власти, для ливреи Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи; По прихоти своей скитаться здесь и там, Дивясь божественным природы красотам, И пред созданьями искусств и вдохновенья Трепеща радостно в восторгах умиленья, Вот счастье! Вот права... Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции. Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55! Н Васютинский констатирует: "Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!". Поэзия Лермонтова Э Розенов провел анализ многих поэтических произведений М.Ю. Лермонтова, Шиллера, А.К. Толстого и также обнаружил в них "золотое сечение".

Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром..."), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам бой с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением. Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя). Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения. Поэзия Шота Руставели Многие исследователи поэмы Шота Руставели "Витязь в тигровой шкуре" отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха. Эти свойства поэмы грузинский ученый академик Г.В. Церетели относит за счет сознательного использования поэтом золотого сечения как в формировании формы поэмы, так и в построении ее стихов. Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на два сегмента двух видов: А -- полустишие с равными сегментами и четным количеством слогов (4+4); В - полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии В получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции.

Установлено, что в поэме Руставели из 1587 строф больше половины (863) построены по принципу золотого сечения. В наше время родился новый вид искусства - кино, вобравший в себя драматургию действия, живопись, музыку. В выдающихся произведениях киноискусства правомерно искать проявления золотого сечения. Первым это сделал создатель шедевра мирового кино "Броненосец Потемкин" кинорежиссер Сергей Эйзенштейн. В построении этой картины он сумел воплотить основной принцип гармонии - золотое сечение. Как отмечает сам Эйзенштейн, красный флаг на мачте восставшего броненосца (точка апогея фильма) взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ШРИФТАХ И БЫТОВЫХ ПРЕДМЕТАХ Особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего человека идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет, чтобы поучиться умению пользоваться каноном. ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ Громкость звука.
Известно, что максимальная громкость звука, которая вызывает болевые ощущения, равна 130 децибеллам.
Если разделить этот интервал золотой пропорцией 1,618, то получим 80 децибелл, которые характерны для громкости человеческого крика.
Если теперь 80 децибелл разделить золотой пропорцией, то получим 50 децибелл, что соответствует громкости человеческой речи.
Наконец, если разделить 50 децибелл квадратом золотой пропорции 2,618, то получим 20 децибелл, что соответствует шепоту человека.
Таким образом, все характерные параметры громкости звука взаимосвязаны через золотую пропорцию.

Влажность воздуха. При температуре 18-20® интервал влажности 40-60% считается оптимальным.

Границы оптимального диапазона влажности могут быть получены, если абсолютную влажность 100% дважды разделить золотым сечением:100/2,618 = 38,2% (нижняя граница); 100/1,618 = 61,8% (верхняя граница).

Давление воздуха. При давлении воздуха 0,5 МПа у человека возникают неприятные ощущения, ухудшается его физическая и психологическая деятельность. При давлении 0,3 - 0,35 МПа разрешается только кратковременная работа, а при давлении 0,2 МПа разрешается работать не более 8 мин.

Все эти характерные параметры связаны между собой золотой пропорцией:0,5/1,618 = 0,31 МПа; 0,5/2,618 = 0,19 МПа.

Температура наружного воздуха. Граничными параметрами температуры наружного воздуха, в пределах которых возможно нормальное существование (а, главное, стало возможным происхождение) человека является диапазон температур от 0 до +(57-58)®С. Очевидно, по первой границе пояснений можно не приводить.

Разделим указанный диапазон положительных температур золотым сечением. При этом получим две границы:

Обе границы являются характерными для организма человека температурами: первая соответствует температу Вторая граница соответствует максимально возможной температуре наружного воздуха для организма человека.
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Переходя к примерам "золотого сечения" в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность - одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: "Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды".
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится "обо всем на свете".
Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.
Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.
СКАЗКА
Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: "Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя". Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями - ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: "Ты должна быть моей женой". Но женщина ответила: "Ты меня создал - будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил - будьте мне братьями.
А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь ".
Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано - художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...
Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща" На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.
Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.
В. И. Суриков. "Боярыня Морозова". Роли ее отведена средняя часть картины. Она окована точкой высшего взлёта и точкой низшего спадания сюжета картины. 1) Это -- взлёт руки Морозовой с двуперстным крестным знамением как высшая точка. 2) Это -- беспомощно протянутая к той же боярыне рука, но на этот раз -- рука старухи -- нищей странницы, рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней. А как обстоит дело с "высшей точкой"? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А1В1, отстоящее на 0,618... от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни! Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному. В нём, и именно в нём, -- величайшая сила Морозовой. Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда"
	Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).
Нет живописи более поэтичней, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его "Венера". Для Боттичелли его Венера - это воплощение идеи универсальной гармонии "золотого сечения", господствующего в природе. Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом. Рафаэль "Афинская школа" Рафаэль не был ученым-математиком, но, подобно многим художникам той эпохи, обладал немалыми познаниями в геометрии. В знаменитой фреске "Афинская школа", где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлекает группа Эвклида - крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный чертеж. Хитроумная комбинация двух треугольников также построена в соответствии с пропорцией золотого сечения: она может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8. Этот чертеж удивительно легко вставляется в верхний участок архитектуры. Верхний угол треугольника упирается в замковый камень арки на ближнем к зрителю участке, нижний - в точку схода перспектив, а боковой участок обозначает пропорции пространственного разрыва между двумя частями арок. Золотая спираль в картине Рафаэля"Избиение младенцев"
В отличии от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру"Избиение младенцев". Если на подготовительном эскизе Рафаэля мысленно провести линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза (на рисунке эти линии проведены красным цветом), а после этого соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ВОСПРИЯТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ О способности зрительного анализатора человека выделять объекты, построенные по алгоритму золотого сечения, как красивые, привлекательные и гармоничные, известно давно. Золотое сечение дает ощущение наиболее совершенного единого целого. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток. Человек может ничего не знать о числе Ф, но в строении предметов, а также в последовательности событий он подсознательно находит элементы золотой пропорции. Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник "золотого сечения" с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм). При выборе прямоугольников в обычном состоянии в 1/2 случаев предпочтение отдается квадрату. Правое полушарие предпочитает золотое сечение и отвергает вытянутый прямоугольник. Наоборот, левое полушарие тяготеет к удлиненным пропорциям и отвергает золотое сечение. При копировании этих прямоугольников наблюдалось следующее. Когда активно правое полушарие, пропорции в копиях выдерживались наиболее точно. При активности левого полушария пропорции всех прямоугольников искажались, прямоугольники вытягивались (квадрат срисовывался как прямоугольник с отношением сторон 1:1,2; пропорции вытянутого прямоугольника резко увеличивались и достигали 1:2,8). Наиболее сильно искажались пропорции "золотого" прямоугольника; его пропорции в копиях становились пропорциями прямоугольника 1:2,08. При рисовании собственных рисунков преобладают пропорции, близкие к золотому сечению, и вытянутые. В среднем пропорции составляют 1:2, при этом правое полушарие отдает предпочтение пропорциям золотого сечения, левое полушарие отходит от пропорций золотого сечения и вытягивает рисунок. А теперь нарисуйте несколько прямоугольников, измерьте их стороны и найдите соотношение сторон. Какое полушарие у Вас преобладает?

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ФОТОГРАФИИ
Примером использования золотого сечения в фотографии является расположение ключевых компонентов кадра в точках, которые расположены в 3/8 и 5/8 от краев кадра. Можно это проиллюстрировать следующим примером.

Вот фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра.

Теперь условно поделим кадр на отрезки, в пропорции по 1.62 общей длины от каждой стороны кадра. В местах пересечения отрезков и будут основные "зрительные центры", в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения. Перенесем нашего кота в точки "зрительных центров". ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И КОСМОС Из истории астрономии известно, что И.Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.
Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты.Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Две Золотых Спирали галактики совместимы со Звездой Давида. Обратите внимание на звёзды, выходящие из галактики по белой спирали. Точно на 180® от одной из спиралей выходит другая развёртывающаяся спираль. ... Долгое время астрономы просто считали, что всё, что там есть -- это то, что мы видим; если что-то видимо, то оно существует. Они либо совершенно не замечали невидимой части Реальности, либо они не считали её важной. Но невидимая сторона нашей Реальности в действительности значительно больше видимой стороны и, вероятно, важнее. ... Иными словами, видимая часть Реальности значительно меньше, нежели один процент от целого -- почти ничто. На самом деле, наш настоящий дом -- невидимая вселенная... Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. В спирали нашей галактики лежит коэффициент золотого сечения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит как бы из двух частей: живая и неживая природа. Для творений неживой природы характерна высокая устойчивость, слабая изменчивость, если судить в масштабах человеческой жизни. Человек рождается, живет, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца так же, как и во времена Пифагора. Мир живой природы предстает перед нами совсем иным - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения". В современном мире наука приобретает особое значение в связи с усилением воздействия человека на природу. Важными задачами на современном этапе являются поиск новых путей сосуществование человека и природы, изучение философских, социальных, экономических, образовательных и других проблем, стоящих перед обществом. В данной работе было рассмотрено влияние свойств "золотого сечения" на живую и не живую природу, на исторический ход развития истории человечества и планеты в целом. Анализируя все вышеизложенное можно еще раз подивиться грандиозности процесса познания мира, открытием все новых его закономерностей и сделать вывод: принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функциональн ого совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Можно ожидать, что законы развития различных систем природы, законы роста не очень разнообразны и прослеживаются в самых различных образованьях. В этом и проявляется единство природы. Идея такого единства, основанная на проявлении одних и тех же закономерностей в разнородных явлениях природы, сохранила свою актуальность от Пифагора до наших дне й. 51

На практике при выборе формата листа (картины) часто используют «классические» пропорции сторон прямоугольника, в котором отношение меньшей стороны к большей составляет число 0,6180339, а большей к меньшей — 1,6180339. Эти числа с древнейших времён называют золотыми, а отношение величин, необходимое для их получения, известно как золотая пропорция или золотое сечение.

Основа учения о гармонии мира, выраженная в числовых отношениях, была заложена древнегреческим учёным-математиком Пифагором (VI в до н.э). Им представлено золотое сечение как одна из закономерностей, математически точно определяющая наиболее красивое и гармоничное соотношение частей целого, разделённого на две неравные половины.

На соотношении частей отрезка в пропорциях золотого сечения основано построение прямоугольника. С помощью диагоналей осуществляется членение его на составные части, при котором образуется динамика пропорциональных фигур — квадрата, прямоугольника, а также прямоугольного и равнобедренного треугольников.

Т.о., используя диагонали можно получить последовательный ряд увеличивающихся прямоугольников, с соотношением сторон — 1:√ 2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, производных от квадрата.

При стороне √4 образуется прямоугольник с удвоенным квадратом. При стороне √3 образуется два прямоугольных треугольника, у которых общая гипотенуза является диагональю прямоугольника, равная удвоенной величине меньшего катета (т.е. стороне квадрата), и они имеют острые углы 30 и 60 градусов.

Диагональ используется и в построении последовательно увеличивающихся квадратов, создающих «динамическое» развитие их величины.

В этом построении сторона каждого последующего квадрата относится к стороне предыдущего, как диагональ квадрата к его же стороне. Эти преобразования иногда называют «активным квадратом».

Геометрическая система динамических пропорций квадрата, прямоугольника и треугольника были основой в создании архитектурных сооружений в ранний период Древнего Египта. Кроме того, в условиях примитивной техники архитектурного строительства в те далёкие времена постоянно требовалось восстановление перпендикуляра к прямой, которое осуществлялось тогда при помощи верёвки с 12 узлами. С использованием такого приспособления получался прямоугольный треугольник с отношением строно - 3:4:5, который впоследствии стали называть египетским. В настоящее время на его основе строят прямые углы и проводят перпендикуляры к концу отрезка.

С древнейших времён золотое сечение используется в практике построения различных изображений. Это способствует созданию гармоничных образов и уравновешенности пропорций во всём, что на окружает. Пропорции золотого сечения присутствуют в мамематике, и особенно в геометрии, в изобразительном искусстве, в быту и в природе, в растительном и животном мире.

Золотое сечение получило широкое развитие в математике. Так, в XVI веке итальянский учёный Фибоначчи выстроил математический ряд цифр, при котором последующее число определяет сумму двух предыдущих - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Кроме того, устанавливается и другая зависимость этих чисел, при которой отношение каждого последующего к предыдущему выражается числом 1,618..., а предыдущего к последующему - 0,618. Таким образом, в этом математическом ряду образуется взаимосвязь чисел, содержащая пропорции золотого сечения.

Особенно часто золотое сечение используется в геометрии при делении окружности на равные части и построении правильных многоугольников.

В звёздчатом многоугольнике - пятиконечной звезде, каждая точка пересечения её сторон делит их на две неравные части в пропорциях золотого сечения.

С древнейших времён золотое сечение применялось в различных видах изобразительного искусства - в архитектуре, вкульптуре, живописи. Парфенон - классический пример применения золотого сечения в архитектуре.

Особенно широко использовал в своём творчестве соотношение величин золотого сечения Леонардо да Винчи, которое он назвал «божественная пропорция».

Числовой гармонии золотого сечения подчиняются также античные статуи греческого искусства, отражающие пропорции идеально сложённого человеческого тела.

Золотое сечение применяют в начертании букв и цифр различного шрифта.

Золотое сечение часто используют в определении величины прямоугольника при заданной его большей или меньшей стороне. Если у прямоугольной картины задана длина (АВ), то её высоту (АС) определяют следующим построением:

Сначала из конца отрезка (В) проводят дугу, равную его половине до пересечения с перпендикуляром (АО=ОВ=ВД). Полученную точку Д соединяют прямой с другим концом отрезка (А). Затем из точки Д проводят дугу радиусом ВД до пересечения с этой прямой и отмечают точку Е. Дуга, проведённая из конца отрезка А радиусом АЕ определяет по вертикальной прямой точку С и искомую высоту картины АС.

Если задана высота картины (АС), то её длину (АВ) определяют другим построением. Сначала строят квадрат АСДЕ со стороной равной АС. Затем из середины стороны квадрата (О) проводят дугу радиусом ОД и получают на горизонтальной прямой точку В, которая определит искомую длину стороны прямоугольной картины АВ.

По прямоугольнику с золотыми пропорциями можно построить любой величинны подобный формат листа.

Для этого его накладывают на лист бумаги в один из его углов (А) и проводят в нём диагональ. Затем от точки А откладывают заданный размер горизонтальной или вертикальной стороны формата листа и через его конец проводят перпендикуляр до пересечения с диагональю, которая определит вторую сторону прямоугольника.

Геометрия - точная и достаточно сложная наука, которая при всем этом является своеобразным искусством. Линии, плоскости, пропорции - все это помогает создавать много действительно прекрасных вещей. И как ни странно, в основе этого лежит именно геометрия в самых разных ее формах. В этой статье мы рассмотрим одну очень необычную вещь, которая непосредственно связанна с этим. Золотое сечение - это именно тот геометрических подход, о котором пойдет речь.

Форма предмета и ее восприятие

Люди чаще всего ориентируются на форму предмета для того, чтобы распознавать его среди миллионов других. Именно по форме мы определяем, что за вещь лежит перед нами или стоит вдали. Мы в первую очередь узнаем людей по форме тела и лица. Поэтому с уверенностью можем утверждать, что сама форма, ее размеры и вид - одна из самых важных вещей в восприятии человека.

Для людей форма чего бы то ни было представляет интерес по двум главным причинам: либо это диктуется жизненной необходимостью, либо же вызывается эстетическим наслаждением от красоты. Самое лучшее зрительное восприятие и ощущение гармонии и красоты чаще всего приходит, когда человек наблюдает форму, в построении которой использовались симметрия и особое соотношение, которое и называется золотым сечением.

Понятие золотого сечения

Итак, золотое сечение - это золотая пропорция, которая также является гармоническим делением. Для того чтобы объяснить это более понятно, рассмотрим некоторые особенности формы. А именно: форма является чем-то целым, ну а целое, в свою очередь, всегда состоит из некоторых частей. Эти части, вероятнее всего, обладают разными характеристиками, по крайней мере разными размерами. Ну а такие размеры всегда находятся в определенном соотношении как между собой, так и по отношению к целому.

Значит, другими словами, мы можем утверждать, что золотое сечение - это соотношение двух величин, которое имеет свою формулу. Использование такого соотношения при создании формы помогает сделать ее максимально красивой и гармоничной для человеческого глаза.

Из древней истории золотого сечения

Соотношение золотого сечения часто используют в самых разных сферах жизни прямо сегодня. Но история этого понятия уходит еще в древние времена, когда только зарождались такие науки, как математика и философия. Как научное понятие золотое сечение вошло в обиход во времена Пифагора, а именно в VI веке до нашей эры. Но еще до того знания о подобном соотношении на практике использовали в Древнем Египте и Вавилоне. Ярким свидетельством этого являются пирамиды, для построения которых использовали именно такую золотую пропорцию.

Новый период

Эпоха Возрождения стала новым дыханием для гармонического деления, особенно благодаря Леонардо да Винчи. Это соотношение все больше начали использовать как в таких как геометрия, так и в искусстве. Ученные и художники стали более глубоко изучать золотое сечение и создавать книги, рассматривающие этот вопрос.

Одна из самых важных исторических работ, связанных с золотой пропорцией, - это книга Луки Панчоли под названием «Божественная пропорция». Историки подозревают, что иллюстрации этой книги были выполнены самим Леонардо до Винчи.

золотой пропорции

Математика дает очень четкое определение пропорции, которое говорит о том, что она является равенством двух соотношений. Математически это можно выразить таким равенством: а:b=с:d, где а, b, с, d - это некоторые определенные значения.

Если рассматривать пропорцию отрезка, разделенного на две части, то можем встретить всего несколько ситуаций:

Отрезок разделен на две абсолютно ровные части, а значит, АВ:АС= АВ:ВС, если АВ - это точна начала и конца отрезка, а С - точка, которая и разделяет отрезок на две равные части.
Отрезок разделен на две неравные части, которые могут находиться в самом разном соотношении между собой, а значит, здесь они абсолютно непропорциональны.
Отрезок разделен так, что АВ:АС= АС:ВС.

Что же касается золотого сечения, то это такое пропорциональное деление отрезка на неравные между собой части, когда весь отрезок относится к большей части, как и сама большая часть относится к меньшей. Существует и другая формулировка: меньший отрезок так относится к большему, как и больший ко всему отрезку. В математическом соотношении это выглядит следующим образом: а:b = b:с или с:b = b:а. Именно такой вид имеет формула золотого сечения.

Золотая пропорция в природе

Золотое сечение, примеры которого мы сейчас рассмотрим, относится к невероятным явлениям в природе. Это очень красивые примеры того, что математика - это не просто цифры и формулы, а наука, которая имеет более чем реальное отражение в природе и нашей жизни вообще.

Для живых организмов одна из главных жизненных задач - это рост. Такое стремление занять свое место в пространстве, по сути, осуществляется в нескольких формах - рост вверх, практически горизонтальное расстилание по земле или закручивание по спирали на некой опоре. И как бы ни было это невероятно, много растений растут в соответствии с золотой пропорцией.

Еще один почти невероятный факт - это соотношения в теле ящериц. Их тело выглядит достаточно приятно для человеческого глаза, и это возможно благодаря тому же золотому соотношению. Если быть точнее, то длина их хвоста относится к длине всего тела как 62: 38.

Интересные факты о правилах золотого сечения

Золотое сечение - это поистине невероятное понятие, а значит, на протяжении всей истории мы можем встретить много действительно интересных фактов о такой пропорции. Представляем вам некоторые из них:

Золотое сечение в человеческом теле

В этом разделе нужно упомянуть очень значимую персону, а именно - С. Цейзинга. Это немецкий исследователь, который провел огромнейшую работу в сфере изучения золотой пропорции. Он опубликовал труд под названием «Эстетические исследования». В своей работе он представил золотое сечение как абсолютное понятие, которое является универсальным для всех явлений как в природе, так и в искусстве. Здесь можно вспомнить золотое сечение пирамиды наряду с гармоничной пропорцией человеческого тела и так далее.

Именно Цейзинг смог доказать, что золотое сечение, по сути, есть средним статистическим законом для человеческого тела. Это было показано на практике, ведь во время своей работы ему пришлось измерять очень много человеческих тел. Историки считают, что в этом опыте принимали участие более двух тысяч людей. По исследования Цейзинга, главный показатель золотого соотношения - это деление тела точкой пупка. Так, мужское тело со средним соотношением 13:8 немного ближе к золотому сечению, чем женское, где число золотого сечения составляет 8:5. Также золотую пропорцию можно наблюдать в других частях тела, таких как, например, рука.

О построении золотого сечения

На самом деле, построение золотого сечения - дело нехитрое. Как мы видим, еще древние люди справлялись с этим довольно легко. Что уже говорить о современных знаниях и технологиях человечества. В этой статье мы не будем показывать, как подобное можно сделать просто на листке бумаги и с карандашом в руках, но с уверенностью заявим, что это, на самом деле, возможно. Более того, сделать это можно далеко не одним способом.

Так как это достаточно несложная геометрия, золотое сечение является довольно простым для построения даже в школе. Поэтому информацию об этом можно легко найти в специализированных книгах. Изучая золотое сечение 6 класс полностью способен понять принципы его построения, а значит, даже дети достаточно умны для того, чтобы осилить подобную задачу.

Золотая пропорция в математике

Первое знакомство с золотым сечением на практике начинается с простого деления отрезка прямой все в тех же пропорциях. Чаще всего это реализуется с помощью линейки, циркуля и, конечно же, карандаша.

Отрезки золотой пропорции выражают как бесконечную иррациональную дробь AE = 0,618..., если АВ принимается за единицу, ВЕ = 0,382... Для того чтобы сделать эти вычисления более практическими, очень часто используют не точные, а приближенные значения, а именно - 0,62 и 0,38. Если же отрезок АВ принимать за 100 частей, то большая его часть будет равна 62, ну а меньшая - 38 частям соответственно.

Главное свойство золотого соотношения можно выразить уравнением: х 2 -х-1=0. При решении мы получаем следующие корни: х 1,2 =. Хотя математика и есть точной и строгой наукой, как и ее раздел - геометрия, но именно такие свойства, как закономерности золотого сечения, наводят таинственность на эту тему.

Гармония в искусстве через золотое сечение

Для того чтобы подвести итоги, рассмотрим коротко то, о чем уже говорили.

В основном под правило золотого соотношения подпадает много образцов искусства, где соблюдается соотношение близкое к 3/8 и 5/8. Это и есть грубая формула золотого сечения. В статье уже очень много упоминалось о примерах использования сечения, но мы еще раз посмотрим на него через призму древнего и современного искусства. Итак, самые яркие примеры из древних времен:

Что касается уже наверняка сознательного использования пропорции, то, начиная с времен Леонардо да Винчи, она вошла в использование практически во всех отраслях жизни - от науки и до искусства. Даже биология и медицина доказали, что золотое соотношение работает даже в живых системах и организмах.

Главная » Для начинающих » Божественная гармония: что такое золотое сечение простыми словами. Тайны мироздания в числах