Числовые промежутки урок. Урок на тему "числовые промежутки"

6 класс

Цель :

ввести понятие пересечения и объединения числовых промежутков, закрепить понятие числового промежутка, научить строить числовые промежутки на координатной прямой.
способствовать развитию: памяти, речи, внимания, логического мышления.
воспитывать ответственность, упорство и волю для достижения конечных результатов.

Оборудование : интерактивная доска.

Методы : словесный, наглядный, практический.

Основные понятия : интервал, отрезок, полуинтервал, луч, открытый луч; пересечение и объединение промежутков.

Тип урока: урок-объяснение нового материала.

Эпиграф урока : Китайская пословица гласит:

«Я слушаю - я забываю,
Я вижу - я запоминаю,
Я делаю - я усваиваю».

Ход урока

I. Организационный момент

Вступительное слово учителя.
Сегодня у нас много гостей,
И мы им покажем знание все,
Что знаем, и что предстоит нам узнать.
Мы будем. конечно, задачи решать
Задачи помогут вам лучше учиться.
Они заставляют упорно трудиться.
Наука упорным и стойким дается.
Что ж, ребята, пора начинать
На эти вопросы ответы мне дать.

II. Актуализация опорных знаний

1. Производится опрос-беседа по пройденному материалу.

Каждому предлагается карточка с вопросами по изучаемой теме

1. Что наз. числовым промежутком?

2. Если неравенства записываются знаками < или >, то их называют
а) строгими
в) нестрогими

3. Если неравенства записываются знаками ≤ или ≥, то их называют
а) строгими
в) нестрогими

4. Какой промежуток наз. интервалом?
а) решение неравенства, лежащими между точками с координатами, а и в
в) решение неравенства не лежит между точками с координатами, а и в

5. Какой числовой промежуток наз. отрезком?
а) решение неравенства включают числа, показывающие числовой промежуток
в) решение неравенства не включают числа, показывающие числовой промежуток.

6. Как обозначают на координатной прямой точки, координаты которой не являются решением неравенства
а) закрашивают точку
в) маленькой окружностью

7. Как обозначают на числовой прямой точки, координаты которой являются решением неравенства
а) закрашивают точки
в) не закрашивают точку

8. Какие используют скобки для обозначения числовых промежутков
а) круглые скобки
в) квадратные скобки
с) круглые и квадратные

2. Математический диктант.

1. Запишите целые числа в промежутке:

а) [ -5; 2 ] б) (-6; 4) в) [ -7; 6) г) (-3; 4]

2. Запишите и обозначьте данные числовые промежутки:

а) отрезок от 1 до 4
б) интервал от 1 до 4
в) полуинтервал от 1 до 4, включая 4
г) луч от -∞до 5

3. Запишите промежуток в виде неравенства:

4. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству:

а) х ≥- 5 б) х ≤3 в) х > 7 г) х< -4 д) -4 < х< 4

III. «Пересечение и объединение числовых промежутков»

Два числовых промежутка между собой могут «пересекаться», «объединятся» или их пересечение может быть ∩ «пустым» множеством. Пересечением двух числовых множеств может быть: интервал, полуинтервал, отрезок.

[ - 2; 4] ∩ [ 1; 6 ] = [ 1; 4]

Два числовых промежутка могут не пересекаться. Тогда пересечением числовых промежутков

[ -4; 1] ∩ [ 3;7] = будет пустое множество.

Объединение двух числовых промежутков.

Каждое число из промежутка [ -2; 6 ] может принадлежать хотя бы одному из промежутков
[ -2; 3] или [ 1; 6] либо обоим промежуткам. Промежуток [ -2; 6] называют объединением промежутков. Его обозначают так: [ -2; 3] U [ 1; 6] = [ -2; 6]

IV. Работа по закреплению материала

Задание. Изобразите заданные промежутки на координатной прямой. Найдите пересечение и объединение промежутков. Запишите:

а) (1;7) и (4; 9)
б) [ -5; 5] и[ -3;7]
в) [ -5;0) и (-2;4]
г) (-4;1) и [ 5; 6]

Работа по учебнику Т. А. Алдамуратова «Математика 6 класс», «Атамра» 2011. № 991(1, 2), № 992 (1, 2).

V. Рефлексия

Учитель читает эпиграф к уроку и задает вопрос: «Как вы понимаете слова эпиграфа?
Учащиеся и гости высказывают свое мнение.

Среди числовых множеств, то есть множеств , объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки . Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.

В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.

Навигация по странице.

Виды числовых промежутков

Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:

название числового промежутка,
отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
обозначение,
и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.

Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).

Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.

Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч . Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч.

Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa , где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все , которые меньше числа a (в случае неравенства xa ).

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству x a , как (a, +∞) .

Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к . Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa – точки, лежащие правее точки a . Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:

Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a , но исключая саму точку a . Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.

Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3 задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞) . А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3 , не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой

Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам . В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.

Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a или x≥a . Для них приняты обозначения (−∞, a] и . А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:

Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.

Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами . Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a

Таблица числовых промежутков

Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:

открытый числовой луч;
числовой луч;
интервал;
полуинтервал.

Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков :

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Класс: 6

Тема урока: Числовые промежутки.

Тип урока: комбинированный.

Цель урока: познакомить с видами числовых промежутков: луч, открытый луч, интервал, отрезок; научить изображать их на координатной прямой, записывать аналитическую модель, символическую запись; ввести понятие строгое и нестрогое неравенство; развивать математическую речь и мышление.

Задачи урока:

Образовательные :

Формировать умения применять полученные знания в решении упражнений;

Развивающие :

Развивать логическое мышление, речь учащихся;

Развивать способность к обобщению, систематизации полученных знаний;

Воспитательные :

Воспитывать у учащихся чувство взаимоуважения и взаимопомощи;

Формировать умение работать в коллективе;

Воспитывать устойчивый интерес к изучению математики;

Оборудование: учебник; компьютер; проектор, экран, презентация.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная

Ход урока

1. Организационный момент

(слайд 2 ).

Домашнее задание.

2. Актуализация опорных знаний, умений и навыков

(слайды 3–7 ).

1.Устная работа

Проводится с помощью презентации.

Вычислить:

б) (-2)+(-3)+8=3

2. Запишите следующее утверждение в виде неравенства

а) +2,8 является положительным числом

б) -10,2 является отрицательным числом

в) х- число положительное

г) n- число отрицательное

д) а- число неположительное

е) b- число неотрицательное

3. Назовите числа, удовлетворяющих неравенству

4 . Какое из данных чисел на числовой прямой находится левее:

-6 или 5; 9 или 0 ;

6 или –7 ; 3 или 5;

0 или –9 .

3. Объяснение нового материала

(слайды 7–11 ).

Рассмотрим координатную прямую, в этот раз координатная прямая изображена без указания начала отсчета и величины единичного отрезка.

На координатной прямой отметили точку а . Все точки, расположенные правее, отмечены штриховкой- это числа большие числа а. Такое множество точек наз. открытым лучом и обозначают - символическая запись. Читается так: «От а до плюс бесконечности». Для любого числа х из этого множества верно неравенство xa

Дать учащимся возможность самим догадаться, как обозначают такой открытый лучи и какое неравенство будет верным для всех чисел, принадлежащих ему.

Проверка: такой открытый луч обозначают , знак читается «минус бесконечность»/ Для любого числа х из этого множества верно неравенство xa.

Рассмотреть рисунки и сравнить их с предыдущими рисунками. В чем сходство. В чем отличие? Зачем точку, соответствующую точке а закрасили черным цветом?

Так на рисунке обозначают обычный луч. Для обозначения луча при записи используют квадратную скобку [a ; ), (;a ].

Такие неравенства называются нестрогими в отличие от неравенств вида xa,xa которые называют строгими.

Определите, на каких рисунках изображены лучи, а на каких – открытые лучи, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и используя знаки неравенства). Слайд 9

	На этом рисунке штриховкой отмечены точки(числа), расположенные между точками a и b. Такое множество точек называют интервалом и обозначают (а; b ) .Неравенство имеет вид axb
	На этом рисунке изображен тот же интервал, но на этот раз к нему присоединили его концы, точки a и b. Такое множество называется отрезком , который обозначают . Неравенство имеет вид axb

Определите, на каких рисунках изображены отрезки, а на каких – интервалы, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и используя знаки неравенства). Слайд11

4. Закрепление изученного материала:

Слайд(12-15)

№334(а,б), №335(б,г), №342(а,б,в,г), №343(а,б,д,е)

УРОК № 10

Тема. Числовые промежутки. Пересечение и объединение промежутков

Цель урока: добиться усвоения учащимися содержания понятий: числовой промежуток, пересечение и объединение числовых промежутков, а также осознание учащимися существования различных видов числовых промежутков, соответствующих различным видам неравенств. Начать работу по выработке умений воспроизводить содержание изученных понятий, записывать числовые промежутки, соответствующие различным видам неравенств с одной переменной, находить пересечение числовых промежутков для решения системы неравенств с одной переменной, а также объединение числовых промежутков для решения совокупности неравенств с одной переменной. (Дополнительно: изучить в связи с этими вопросами способы решения простейших неравенств с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля.)

Тип урока: формирование знаний, выработка первичных умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 7.

Ход урока

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II . Проверка домашнего задания

Форма проведения этого этапа урока зависит от того, на каком уровне были сформированы знания и умения учащихся на момент окончания предыдущего урока. В случае, когда ученики на предыдущем уроке показали высокий или достаточный уровень усвоения знаний и умений, можно на этапе проверки домашнего задания провести обучающую самостоятельную работу с заданиями, содержание которых соответствует содержанию заданий домашней работы (по окончании выполнения работы обязательно проводится само - или взаємоперевірка и анализ ошибок с воспроизведением содержания соответствующих понятий). Если же ученики имели на предыдущем уроке определенные трудности с усвоением знаний и умений, то проверку домашнего задания можно провести по образцу или в форме игры «Найди ошибку». В любом случае проверка домашнего задания предусматривает воспроизведение содержания основных понятий, изученных на предыдущем уроке.

III . Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся

На этом этапе уместным будет воспроизведение понятий, изученных на предыдущем уроке, и особенно работа с понятием «что значит решить неравенство с одной переменной (или систему таких неравенств или их совокупность)» и как записать ответ в случае выполненного решения. Учителю следует направить мысль учащихся на осознание того, что в большинстве случаев неравенства с одной переменной в отличие от уравнения имеют множество решений, а поэтому записать все развязки, перечислив их, просто невозможно. Таким образом делается вывод о существовании определенного противоречия между известными учащимся способами записи решений и невозможностью этими способами воспользоваться. Сознательное восприятие учащимися этих утверждений приводит их к пониманию того, что на повестке дня встает вопрос об изучении новых способов записи решений неравенств, которые, с одной стороны, были бы полными, а с другой - лаконичными. То есть формулируется основная дидактическая цель урока.

IV . Актуализация опорных знаний и умений учащихся
Устные упражнения

1. Какое из чисел: 2; -0,2; - является решением:

1) неравенства 2х – 1 < 0; 2) системы неравенств

3) совокупности неравенств 4) уравнение 5х – 1 = 9?

2. Где на координатной прямой находятся числа, если они:

1) больше число 3;

2) меньше числа 3;

3) больше число 3, но меньше числа 5;

4) являются решениями уравнения | x | = 3?

Сколько таких чисел существует в каждом из случаев 1-4?

V . Формирование знаний

План изучения нового материала

2. Виды числовых промежутков (в зависимости от вида соответствующего неравенства). Примеры.

3. Сечение числовых промежутков. Как найти решение системы неравенств.

4. Объединение числовых промежутков. Как найти решение совокупности неравенств.

Опорный конспект № 7

Числовой промежуток - вид записи чисел, которые являются решениями неравенств с одной переменной. Виды числовых промежутков
	Промежуток
	1. а < х < b	2 < x < 3
	2. а ≤ х ≤ b	2 ≤ х ≤ 3
		х > - 2
	4. х ≥ а	х ≥ -2
		х < 3
	6. х ≤ а	х ≤ 3
	Пересечение и объединение промежутков Пример 1. Решим систему неравенств (рис. 1).
Решения. (3; 5) - общая часть промежутков (3; + ∞) и (-∞; 5), поэтому (3; 5) - это сечение промежутков (3; + ∞) и (-∞; 5) (решение системы ). Ответ: (3; + ∞ )(-∞ ; 5) = (3; 5).
Пример 2. Решим систему неравенств (рис. 2).

Решения. Промежуток (-1; 3) состоит из чисел, которые являются решением хотя бы одного из неравенств 2 < х < 3 или -1 < х < 2,5, поэтому является объединением этих промежутков (решением совокупности). Ответ: (2; 3) (-1; 2,5) = (-1; 3).

Методический комментарий

Понятие числового промежутка обычно формулируется перед изучением вопроса о способах решения неравенств как одно из базовых. Заметим, что числовой промежуток традиционно трактуется как определенный вид записи решений неравенств, представляет собой запись числовой множества, которая является фактически отрезком координатной (числовой) прямой. После такого общего представления приводятся примеры различных неравенств с одной переменной, и таким образом формируется представление учащихся о различные виды числовых промежутков. При рассмотрении неравенств вида х > а и х < а ученики знакомятся с понятием ∞ (бесконечности) как условного способа обозначения чисел, что левее/правее от всех других чисел на координатной прямой.

Также при изучении видов числовых промежутков ученики должны осознать, что между записью числовых промежутков, соответствующих строгим и нестрогим неравенствам, является различие (разные скобки), и игнорировать это различие будет означать записывать неправильно развязки данной неровности. Поскольку при записи числовых промежутков следует учитывать несколько моментов, то уже в самом начале изучения этого вопроса надо показать ученикам основные шаги правильного выполнения этой записи, а именно: сначала выполнить изображение числовой прямой, затем изобразить на ней числа, записанные в неровности, после чего обозначить штрихом промежуток соответствует неравенству, дальше записать его конце (слева направо), после чего ставить в записи скобки (соответственно тому, какой знак - сторогий или нестрогий - имеет это неравенство).

После изучения вопроса о виды числовых промежутков соответственно к различным видам неравенств с одной переменной формулируется представление о содержании понятия «пересечение и объединение числовых промежутков». Поскольку ученики не знакомы с основными понятиями теории множеств, содержание этих понятий уместно будет привязать к изученных на прошлом уроке понятий «решения системы и совокупности неравенств». Все рассуждения подробно представлены в учебнике, поэтому учитель на свое усмотрение или предлагает учащимся самостоятельно по учебнику проработать этот материал, или осуществляет доведение во время фронтальной беседы.

В сжатой форме материал урока представлен в виде опорного конспекта № 7.

VI . Формирование умений

Устные упражнения

1. Принадлежит ли промежутку [-7; -4] число:

1) -10;2) -6,5; 3) -3;4) 1?

2. Принадлежит ли промежутку (-4; 2) число:

1) 3,5; 2) -1; 3) 1,2?

3. Укажите наибольшее целое число из промежутка:

1) [-1; 4]; 2) (-∞ ; 3);3) (-∞ ; -2,5).

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) выполнить изображение данного числового промежутка на координатной прямой;

2) выполнить изображение на координатной прямой и записать числовой промежуток, соответствующий данной неровности;

3) определить, какие из данных чисел принадлежат числовом промежутке;

4) найти пересечение и объединение данных числовых промежутков;

5) записать решения систем и совокупностей неравенств.

Методический комментарий

Упражнения, предлагаемые к решению на этом этапе урока, должны соответствовать по содержанию примерам, решенным в учебнике и в опорном конспекте № 7.

При выполнении предложенных упражнений на запись числовых промежутков ученики должны придерживаться последовательности действий, изложенной учителем при формировании знаний о видах числовых неравенств. Только в этом случае можно надеяться на формирование устойчивых умений выполнять верные записи числовых промежутков, которые являются решениями неравенств и их систем.

VII . Итоги урока

Контрольное задание

Установите соответствие между неровностями и пробелами:

1) x > 3

2) х ≥ 3

3)2 ≤ х < 3

4)х ≤ 3

5)х ≤ 2

а)(-∞ ; 3)

б)(3; +∞ .)

в)(-∞ ; 2]

г)(-∞ ; +∞ )
д)