Глоссарий на тему многогранники и тела вращения. Многогранники
Студент должен:
знать:
понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника;
определение призмы, параллелепипеда; виды призм; определение пирамиды, правильной пирамиды;
понятие тела вращения и поверхности вращения;
определение цилиндра, конуса, шара, сферы;
уметь:
изображать и вычислять основные элементы прямых призм, параллелепипедов и пирамид;
строить простейшие сечения многогранников, указанных выше.
Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.
Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида . Тетраэдр.
Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.
Сечения куба, призмы и пирамиды.
Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).
Цилиндр и конус. Усеченный конус . Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.
Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.
Тема 9. «Начала математического анализа»
Студент должен:
знать:
определение числовой последовательности;
понятие производной, ее геометрический и физический смысл;
правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;
уравнение касательной к графику функции в указанной точке, понятие углового коэффициента прямой;
достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;
определение второй производной, ее физический смысл;
общую схему исследования функций и построения графиков с помощью производной;
правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;
определение первообразной;
таблицу и правила вычисления первообразных;
понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;
понятие криволинейной трапеции, способ вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной и определенного интеграла;
уметь:
дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;
вычислять значение производной функции в указанной точке;
находить угловой коэффициент касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в указанной точке;
применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;
находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;
находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;
решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин;
вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;
вычислять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;
вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница;
находить площади криволинейных трапеций.
Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.
Понятие о непрерывности функции.
Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции .
Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.
Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.
Многогранники и тела вращения
В рамках УСП «Первые шаги в пространство»
Команда «Морские котики», г.Новокузнецк
"Морские котики"?
Морские котики не только милые, но ещё и очень умные. Они легко обучаемы. У котиков великолепная встроенная навигационная система. Несмотря на то, что это стайные животные, морские котики уходят на охоту в одиночку и вообще проявляют индивидуализм. Мы назвали себя этими животными, потому что мы хотим во многом быть похожими на них, быть смелыми и умными, ведь часто этих животных недооценивают.
Девиз команды:
Мы-морские котики, Активны и умны, Наш девиз всего три слова, Улыбаться это клево!
Стихи о геометрических фигурах
Есть на свете пирамида –
Удивительный объект,
Ее строили в Египте,
А вот как для всех секрет.
Вот хожу я по квартире и смотрю вокруг себя, И по всюду окружают тела вращения меня. На окне стоит игрушка в виде конуса она. А вот банка из-под чая форму цилиндра приняла.
Стоит на кухне холодильник По форме он параллелепипед. Как у квадрата у него Шесть граней на лицо, Однако есть отличия
У куба грани равные,
А у него противоположные.
Признаюсь вам призма, Ну очень капризна. Скажу без обмана Но так многогранна (автор Наталья У.)
А лучшая фигура-куб!
Поставлю я на кон свой зуб
И грани все и ребра в нем,
Прямо под прямым углом
Многогранники и тела вращения в объектах окружающего мира
Гипотеза: Во многих предметах окружающего мира, можно увидеть многогранники и тела вращения
Многогранник -
Геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Призма -
Многогранник, две грани которого n-угольники, а остальные грани - параллелограммы.
Параллелепипед -
Призма основаниями которой служат параллелограммы.
Куб -
Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все грани куба – равные квадраты.
Пирамида -
Многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
Усеченная пирамида -
Многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.
Тела вращения -
Объемные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Цилиндр -
Фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.
Конус -
Фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси.
Вывод
В ходе исследования мы подтвердили свою гипотезу и убедились, что многие объекты окружающего нас мира имеют форму тел вращения и многогранников.
Гипотеза:
НЕ СУЩЕСТВУЕТ ГРАНИ МЕЖДУ МИРОМ ИСКУССТВА
И МИРОМ ГЕОМЕТРИИ.
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия»
на переднем плане
изобразил каменный многогранник .
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
"Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.
Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.
Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.
На картине «Гравитация» изображён додекаэдр , образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. На каждой из площадок живёт длинношеее четырёхногое бесхвостое фантастическое животное; его туловище находится в пирамиде, в отверстия которой оно высовывает конечности, верхушка пирамиды является одной из стен жилища соседнего чудовища .
На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Форму додекаэдра, по мнению древних, имела ВСЕЛЕННАЯ, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.
Вывод:
ГИПОТЕЗА ДОКАЗАНА, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ, МНОГОГРАННИКИ ЯВЛЯЮТСЯ НЕОТЪЕМЛЕМОЙ ЧАСТЬЮ ГЕОМЕТРИИ. НА ПРИМЕРЕ РАБОТ ВЕЛИКИХ ХУДОЖНИКОВ МЫ ДОКАЗАЛИ, ЧТО НЕ СУЩЕСТВУЕТ ГРАНИ МЕЖДУ ИСКУССТВОМ И ГЕОМЕТРИЕЙ.
Какой вклад вносит геометрия в развитие культуры человека?
Искусство - это особый способ познания и отражения действительности. Искусство развивает духовную культуру человека. Проанализировав работы великих художников мы без сомнений можем сказать, что не существует границы между миром искусства и миром геометрии. А значит геометрия так же развивает интеллектуальные, творческие способности человека, образное и пространственное мышление, поэтому данная наука является неотъемлемой частью культуры человека.
Ментальная карта «Многогранники и тела вращения в продукции предприятий моего города»
Где живет геометрия в Вашем городе?
Геометрия в Нашем городе живет по всюду!!! На какое архитектурное сооружение не посмотри, в нем обязательно присутствуют многогранники и тела вращения. Собранные вместе в одном сооружении они создают уникальные, неповторимые, гениальные здания!!!
Используемая литература:
- http://www.uzluga.ru/potrb/Многогранник+–+это+такое+тело,поверхность+которого+состоит+из+конечного+числа+плоских+многоугольниковb/part-5.html
- http://kamensky.perm.ru/proj/mng/01.htm
- http://www.liveinternet.ru/tags/%FD%F8%E5%F0/page3.html
- http://www.distedu.ru/mirror/_math/www.tmn.fio.ru/works/26x/304/d9_3.htm
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Эшер,_Мауриц_Корнелис
- http://www.propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/027.htm
- http://math4school.ru/mnogogranniki.html
План урока
Тема: «Многогранники, фигуры вращения, площади их поверхностей и объемы»
Тип урока – комбинированный урок.
Цель: сформировать у учащихся представление о многогранниках, фигурах вращения, а также научить находить площади их поверхностей и объемы.
Задачи:
Дать определение понятиям многогранник, фигура вращения;
Познакомить учащихся с основными многогранниками и фигурами вращения;
Сформировать у учащихся навыки вычисления площадей поверхностей многогранников и фигур вращения;
развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
Формирование интереса и положительной мотивации учащихся к изучению геометрии;
Сохранение, закрепление и развитие пространственных представлений учащихся.
Структура занятия :
Организационный момент (1-2 минуты)
Проверка домашнего задания (10-15 минут)
Сообщение темы занятия, актуализация (1-2 минуты)
Изучение нового материала (17-20 минут)
Закрепление нового материала (45-55 минут)
Итог урока, рефлексия (3-4 минуты)
Задание на дом (1 минута)
Ход занятия
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.
2. Проверка домашнего задания:
Выясняет были ли сложности с выполнением домашнего задания. При необходимости отвечает на вопросы учащихся. Просит некоторых учащихся сдать тетради для проверки домашнего задания.
3. Сообщение темы занятия, актуализация
Сообщается тема и цель урока. Говорит что, тема «Многогранники и тела вращения” важна, так как связана с рядом предметов школьной программы: изобразительным искусством, черчением, трудовым обучением, информатикой.
4. Изучение нового материала:
Многогранник , точнее трёхмерный многогранник - совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном пространстве такая, что:
каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
связность : от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.
Эти многоугольники называются гранями , их стороны - рёбрами , а их вершины - вершинами многогранника.
Виды многогранников:
Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.
Призма - многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом.
Параллелепипед - призма, основанием которой является прямоугольник.
Куб - параллелепипед, все измерения которого равны между собой.
Тела вращения - объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Примеры тел вращения:
Шар - образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
Цилиндр - образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон
Конус - образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов
Формулы для нахождения площадей поверхностей многогранников и тел вращения, а также их объемов.
Фигура
S осн
S бок
S полн
Параллелепипед:
прямоугольный
куб
произвольный
S осн = ab
S осн = a 2
S осн = ab * sinα
l- бок . ребро
S бок =2(a+b)H
S бок = 4a 2
S бок =P сеч l
S полн = S бок +2S осн
V=abc
V=a 3
V=S осн H
Призма
S бок =P сеч l
S полн = S бок +2S осн
V = Ql (Q -площадь перпендикулярного сечения)
Пирамида
S бок =P осн l , l -апофема
S полн = S бок +S осн
V= 1/3* S осн H
Усеченная пирамида
S бок =(P 1 + P 2) l , l -апофема
S полн = S бок +S 1 + S 2
V =1/3* H (S 1 + +S 2
Цилиндр
S осн = πR 2
S бок = 2 πRH
S полн = 2 πR (H + R)
V=πR 2 H
Конус
S осн = πR 2
S бок = πRl, l- образующая
S полн = πR (l + R)
V=1/3*πR 2 H
Усеченный конус
S осн = πR 2
S бок = π (R + r ) l , l -образующая
S полн = π (R 2 + r 2 )+ R + r ) l
V=1/3*πH(R 2 +Rr+r 2 )
Шар
S полн =4πR 2
V=4/3*πR 3
5. Закрепление нового материала:
1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . Найдите объём конуса.
2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45
7. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды.
8. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра.
9. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда.
10. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.
11. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите боковую поверхность и объём цилиндра.
6. Подведение итогов урока, рефлексия
Объявляет итог урока, называет оценки.
В качестве рефлексии у чащимся предлагается закончить предложения и высказать свои мнения.
Данное занятие для меня…
Я почувствовал(а), что…
В будущем я…
Сегодня работать для меня было…
Мне бы хотелось изменить…
На следующем занятии мне бы хотелось…
7. Задание на дом
1) Диагональ куба равна 15см. Найдите объём куба.
2) Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 30 0 . Найдите объём призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна см 2 .
«Многогранники в геометрии» - Первый вел от фигур высшего порядка к фигурам низшего. Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). У прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.
«Построение многогранников» - У додекаэдра: 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Платон родился в Афинах. Существует пять типов правильных многогранников. Построение додекаэдра, описанного около куба. Построение с помощью куба. Элементы симметрии правильных многогранников. Построение икосаэдра, вписанного в куб. Построение правильного тетраэдра.
«Тела вращения» - Тела вращения. Вращением какого многоугольника и около какой оси можно получить данное геометрическое тело? Вычислите объем геометрического тела, полученного при вращении равнобедренной трапеции со сторонами основания 6 см, 8 см и высотой 4 см, около меньшего основания? Какое геометрическое тело получится при вращении данного треугольника около указанной оси?
«Полуправильные многогранники» - Тетраэдр. Четвертая группа Архимедовых тел: Вы дали неверный ответ. Усеченный октаэдр. Усеченный тетраэдр. Правильные. Вспомним. Обучающая программа. Пятая группа Архимедовых тел состоит из одного многогранника: Ромбоикосододэкаэдр. Управляющие кнопки. Полуправильные. Курносый куб. Многогранники. Псевдоромбокубооктаэдр.
«Правильные многогранники» - Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и «симметрия». Борьба со скрытыми симметриями - путь претворения в жизнь парадигмы Кокстера. Хaролд Скотт МакДoналд («Доналд») Кокстер (1907-2003). Малый звездчатый додекаэдр. Все автоморфизмы становятся скрытыми симметриями геометрической модели БТГ.
«Правильные многогранники» - Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Сумма плоских углов додекаэдра при каждой вершине равна 324?. 9 Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли. Сумма плоских углов куба при каждой вершине равна 270?. Правильные многогранники и природа.
Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint
на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
Многогранники и тела вращенияПонарьина Евгения ВалентиновнаМБОУ СОШ №432016 годг.Воронеж
МногогранникиТело, которое ограничено плоскими многоугольниками, называется многогранником. Многоугольники, образующие поверхность многогранника, называются гранями. Стороны этих многоугольников - рёбра многогранников. Вершины многоугольников - вершины многогранников.
Многогранники
МногогранникиПризмаПараллелепипедПирамида
Элементы многогранниковГрани:АBСD, АА1В1В, АА1D1D,СС1В1В, СС1D1D, А1В1С1D1Ребра:АB, ВС, СD, DA, АА1, ВВ1, СС1 , DD1, А1В1 , В1С1, С1D1 , D1A1 Вершины:А, B, С, D, А1, В1, С1, D1
ПризмаОпр: Призмой называется многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов.Многоугольники – основания призмыПараллелограммы – грани призмыПараллельные отрезки, соединяющие вершины многоугольников – боковые ребра призмы
ПризмаПрямая призмаНаклонная призмаПравильная призмаОпр: Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниямОпр: Призма называется наклонной, если ее боковые ребра неперпендикулярны основаниям и наклонены к ним под некоторым углом.Опр: Призма называется правильной, если она прямая и в основании у нее лежит правильный многоугольник
ПараллелепипедОпр: Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм
ПараллелепипедПрямойпараллелепипедПрямоугольный параллелепипедКубОпр: Параллелепипед называется прямым, если его ребра перпендикулярны основаниям.Опр: Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, в основании которого – прямоугольник.Опр: Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.
ПирамидаОпр: n- угольной пирамидой называется многогранник, одна грань которого произвольный n-угольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.Многоугольник А1А2…Аn – называется основанием.Точка S – вершина пирамиды.Отрезки SA1, SA2 … SAn – боковые ребра пирамиды.ΔA1SA2 … ΔAn-1SAn – боковые грани пирамиды.
Правильная пирамидаОпр: Пирамида называется правильной, если ее основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания является ее высотой. (SO – высота)Опр: Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания, а так же длина этого отрезка.Опр: Центром правильного многоугольника называется центр вписанной в нее или описанной около нее окружности.Опр: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины называется апофемой этой пирамиды.h - апофема
ЗаданиеНекоторые из фигур на картинке являются многогранниками, а некоторые - нет. Под какими номерами изображены многогранники?
ЗаданиеНекоторые из многогранников на рисунке являются пирамидами, а некоторые - нет. Под какими номерами изображены пирамиды?
Тела вращенияТело вращения- это фигура, полученная вращением плоского многоугольника вокруг оси.
Тела вращенияЦилиндрКонусШар, сфера
ЦилиндрОпр: Прямым круговым цилиндром называется фигура, образованная двумя равными кругами, плоскости которых перпендикулярны прямой, проходящей через их центры, а также всеми отрезками, параллельными этой прямой, с концами на окружностях данных кругов.
Элементы цилиндраОпр: Два круга, образующие цилиндр называются основаниями. Опр: Радиус основания цилиндра называется радиусом этого цилиндра.Опр: Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра, называется его осью.Опр: Отрезок, соединяющий центры оснований, а также длина этого отрезка, называются высотой цилиндра.Опр: Отрезок, параллельный оси цилиндра, с концами на окружностях его оснований называется образующей данного цилиндра.
Сечения цилиндра
КонусОпр: Рассмотрим окружность L с центром O и отрезок OP, перпендикулярный к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P.Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими этой поверхности.Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ
КонусОпр: Коническая поверхность называется боковой поверхностью, а круг – основанием конуса. Отрезок OP называется высотой, прямая OP – ось конуса. Точка Р называется вершиной конуса.Образующие конической поверхности называются также образующими конуса, радиус окружности R называется радиусом конуса.
Сечения конусаСечение конуса плоскостью α, перпендикулярной к его оси Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник
СфераОпр: Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки. Эта точка называется центром сферы. Опр: Отрезок, соединяющий любую точку сферы и ее центр, а также длина этого отрезка называются радиусом сферы.Шаром называется фигура, состоящая из сферы и множества всех ее внутренних точек.Сфера называется границей или поверхностью шара, а центр сферы – центром шара.
Сфера Точки, расстояние от которых до центра сферы меньше ее радиуса, называются внутренними точками сферы.Точки, расстояние от которых до центра сферы больше ее радиуса, называются внешними точками сферы.
СфераОтрезок, соединяющий две точки сферы, называется хордой сферы (шара).Любая хорда, проходящая через центр сферы, называется диаметром сферы (шара).
