Найти наиб значение функции на отрезке. §3.Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Функции с логарифмами (наибольшее и наименьшее значение). В этой статье речь пойдёт о задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Есть группа задач, входящих в ЕГЭ — это задачи с логарифмами. Задания связанные с исследованием функции разнообразны. Кроме логарифмических функций могут быть: функции , с тригонометрическими функциями, дробно-рациональные функции и прочие.

В любом случае рекомендую ещё раз просмотреть теорию изложенную в статье « » . Если вы этот материал поняли и имеете хороший навык нахождения производных, то любую задачу в этой теме решите без труда.

Напомню алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке:

1. Вычисляем производную.

2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение.

3. Определяем принадлежат ли полученные корни (нули производной) данному отрезку. Отмечаем те, которые принадлежат.

4. Вычисляем значения функции на границах отрезка и в точках (полученных в предыдущем пункте) принадлежащих данному отрезку.

Рассмотрим задачи:

Найдите наименьшее значение функции у=5х–ln (х+5) 5 на отрезке [–4,5;0].

Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную, приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

*Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю.

Точка х= – 4 принадлежит заданному интервалу.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами, которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. И вы убедитесь, что наименьшим значением функции на данном отрезке является "– 20".

Но вычислять их не обязательно. Почему? Мы знаем, что ответом должно быть либо, целое число, либо конечная десятичная дробь (это условие ЕГЭ в части В). А значения с логарифмами: – 22,5 – ln 0,5 5 и – ln3125 такого ответа не дадут.

х=–4 функция приобретает минимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (– 5: – 4) и (– 4; + ∞ ).

Теперь информация для тех, у кого с производной и пониманием того, как решать подобные задачи, нет трудностей. Как можно обойтись без вычисления производной и без лишних расчётов?

Итак, если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то такое значение мы можем получить только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма в скобках у нас будет единица или число е. В противном случае, мы не сможем получить оговоренное значение. А это возможно только при х = – 4.

Значит, в этой точке значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Решить самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции у=3х– ln (х+3) 3 на отрезке [–2,5;0].

Найдите наибольшее значение функции у=ln (х+5) 5 – 5х на отрезке [–4,5;0].

Найдите наибольшее значение функции у=х 2 –13х+11∙lnх+12 на отрезке .

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить значение функции на его концах, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале.

Вычислим производную, приравниваем её к нулю, решим полученное уравнение:

Решив квадратное уравнение, получим

Точка х = 1, принадлежит заданному интервалу.

Точка х = 22/4 ему не принадлежит.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках:

Мы знаем, что ответом является целое число либо конечная десятичная дробь, значит, наибольшее значение функции равно 0. В первом и третьем случае такое значение мы не получим, так как натуральный логарифм данных дробей такого результата не даст.

Кроме того, убедится в том, что в точке х = 1 функция приобретает максимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (0 :1 ) и (1 ; + ∞ ).

Как решить такой тип задач без вычисления производной?

Если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то это условие обеспечивается только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма у нас будет единица или число е.

Это возможно только при х = 1.

Значит в точке х = 1 (или 14/14) значение функции будет наибольшим, вычислим его:

Ответ: 0

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции у = 2х 2 –13х+9∙lnх+8 на отрезке .

Отмечу, что способ решения таких заданий без нахождения производных, можно использовать только для экономии времени при вычислении задания на самом ЕГЭ. И только в том случае, когда вы отлично понимаете, как решать такие задачи через нахождение производной (по алгоритму) и хорошо умеете это делать. Бесспорно, что при решении без производной должен быть некоторый опыт в аналитике.

«Хитрых» приёмов, которые порой помогают в конкретных заданиях множество, и все их не запомнить. Важно понимать принципы решения, свойства. Если же вы возложите свои надежды на какой-то приём, то он может просто не сработать по простой причине: вы его просто забудете или вам попадёт такой тип задания на ЕГЭ, который видите впервые.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

На этом всё. Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 100

Дисциплина Математика

Специальность

Курс 1 группа C 153

Тема занятия: Наибольшее и наименьшее значение функций

Тип урока: урок закрепления знаний и формирование умений и навыков

Вид занятия: практическое занятие

Цели :

– обучающая: Составить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Провести первичное закрепление и первичный контроль усвоения алгоритма;

– развивающая: Развивать логическое мышление, вычислительные навыки;

– воспитательная: содействовать воспитанию у студентов самостоятельности, самопознания, самосозидания и самореализации.

Задачи:

Должен знать: нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Должен уметь: применять полученные знания на практике

Формируемые компетенции :

– общие: ОК 1-9

– профессиональные: ПК 1.1. – ПК 4.3.

Обеспечение занятия: карточки, ОК

Внутридисциплинарные связи: занятие по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции» связано с такими темами как: «Определение производной ее геометрический и физический смысл», «Производные основных элементарных функций», «Вторая производная, ее физический смысл», «Нахождение скорости и ускорения с помощью производной», «Дифференцирование сложных функций», «Признак постоянства, возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум», «Исследование функции с помощью производной», «Применение производной к построению графиков», «Применение производной к исследованию и построению функций», «Выпуклость графика функции, точки перегиба», «Решение упражнений по теме: «Производная и ее приложение»

Методы обучения: активные: словесные, наглядные

Ход занятия

Организация занятия (3 мин. ).

Сообщение темы и целей занятия. (4 мин .)

Актуализация опорных знаний как переход к освоению новых знаний. (7мин .)

Для изучения новой темы нам необходимо повторить пройденный материал. Сделаете вы это, выполнив устно следующие задания. В тетрадь запишите только ответы к каждому пункту. (3мин.)

По графику функции у=f(x) найдите:

1.Область определения функции.

2. Абсциссы точек, в которых f`(x)=0

3. Абсциссы точек, в которых f`(x) не существует.

4. Наибольшее значение функции. (Унаиб.).

5. Наименьшее значение функции (Унаим.).

Преподаватель: Какие точки называются стационарными?

Обучающийся: Стационарными называются точки, в которых производная функции f / (x)=0.

Преподаватель: Чтобы найти стационарные точки надо: найти производную функции f / (x) и решить уравнение f / (x)=0

Сообщение и усвоение новых знаний с закреплением полученных знаний. (41 мин .)

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у= f (x ) на отрезке [ a ; b ]

найти f "(x);

найти точки, в которых f "(x)=0 или f "(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

вычислить значения функции y=f "(x) в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке , которые можно обозначить так: max y(x) и min y(x).

Пример.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Найдем критические точки.

Так как производная функции определена для любого х , решим уравнение

Закрепление нового материала. Решение задач.

1 Вариант.

Найдите У наиб. и У наим. Функции у=2-8x+6 на отрезке[-1;4]

Отбери точки, принадлежащие отрезку [-1;4]

3. Найди у(-1)

2 Вариант.

Найдите У наиб. и У наим. Функции у=+4x-3 на отрезке

Найди стационарные точки, решив уравнение у´=0

Отбери точки, принадлежащие отрезку [-3;2]

3. Найди у(-3)

И в отобранных точках на втором шаге

Отбери среди найденных значений наибольшее и наименьшее.

Решение задания из учебника

Самостоятельная работа

Вариант 1. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х 2 + 4x на отрезке [-3;6].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -12, max y(x)= -5; б) min y(x)= -4, max y(x)= 60; в) min y(x)= -12, max y(x)= 4

[-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6]

Вариант 2. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х 2 -2х на отрезке .

Варианты ответа:

а) min y(x)= -1, max y(x)= -3/4; б) min y(x)= -1, max y(x)= 8; в) min y(x)= -3/4, max y(x)= -1

Вариант 3. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 3х 2 + 6x на отрезке [-2;2].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -4, max y(x)= 0; б) min y(x)= -20, max y(x)= 0; в) min y(x)= -3, max y(x)= 24

[-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2]

Вариант 4. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 2х 2 - 2х на отрезке [-1;3].

Варианты ответа:

а) min y(x)= -0,5, max y(x)= 12; б) min y(x)= 4, max y(x)= 5; в) min y(x)= 0, max y(x)= 5

[-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3]

Подведение итогов занятия. (5 мин .)

Чем мы занимались сегодня на уроке?

Что понравилось, какие виды деятельности?

Анализ работы студентов, выставление оценок

Рефлексия занятия. (5 мин.)

Продолжите предложения:

Я сегодня узнал…

Мне была интересна задача…

Самая сложная задача для меня заключалась…

Мне занятие понравилось….

Мне занятие не понравилось…

Задание для внеаудиторной самостоятельной работы. (5 мин. )

Главная » Для начинающих » Найти наиб значение функции на отрезке. §3.Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке