Пуассоновский процесс

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Dt (Dt® 0), проходящий между моментами t и t+Dt . При определении пуассоновского процесса используются три основные предпосылки:

1. вероятность одного поступления в течение времени Dt определяется в виде: lDt+О(Dt) , где О(Dt ) – члены более высокого порядка, которыми мы можем пренебречь при Dt ®0;

2. вероятность нулевого поступления в течение времени Dt равна 1-lDt ;

3. поступление – без последействия (без памяти), т.е. поступление в течение Dt не зависит от предыдущих поступлений.

Если теперь рассмотреть большой промежуток времени Т , то вероятность p(k) того, что в промежутке Т произойдут k поступлений, равна:

Где k = 0, 1, 2, …

Это равенство называется распределением Пуассона. Оно нормировано:

и его среднее значение имеет вид:

.

Дисперсия распределения:

.

Теперь рассмотрим большой промежуток времени и отметим на нём моменты, в которые наступили события Пуассоновского процесса.

Очевидно, что t - это положительная случайная величина с непрерывным распределением. Оказывается, что для Пуассоновского распределения величина t распределена по показательному закону:

Среднее значение показательного распределения:

а дисперсия .

Рассмотрим очередь из нескольких вызовов, ожидающих обслуживания. Отметим время завершения обслуживания:

Обозначим случайную величину, описывающую время между завершениями обслуживания через r . Эта же величина является временем обслуживания. Если r распределена по показательному закону со средним значением

E(r)=1/m ,

то плотность распределения будет равна:

Процесс обслуживания является полным аналогом процесса поступления и обладает всеми свойствами последнего. На основании этого вероятность завершения обслуживания в малом промежутке времени (t, t+Dt) в точности равна mDt + О(Dt) , а вероятность незавершения обслуживания в промежутке (t, t+Dt) равна 1-mDt+О(Dt) независимо от предыдущих или последующих завершений.

Показательная модель обслуживания обладает свойством отсутствия последействия, которая используется как одна из определяющих предпосылок Пуассоновского процесса.

Ещё одно полезное свойство, объединяющее одну из причин, по которой Пуассоновский процесс часто используется для моделирования входящих потоков, заключается в том, что при объединении m независимых Пуассоновских потоков с произвольными интенсивностями l 1 , l 2 , … l m , объединённый поток также будет Пуассоновским с интенсивностью .

В применении к сетям такое положение возникает, когда статистически объединяются пакеты иди вызовы от ряда источников, каждый из которых генерирует их с Пуассоновской интенсивностью.

Система обслуживания М/М/1

Система обслуживания М/М/1 – это система с одной обслуживающей линией, Пуассоновским входящим потоком, показательным распределением обслуживания и дисциплиной ОПП (обслуживание в порядке поступления).

Диаграмма изменений состояний во времени для системы может быть изображена следующим образом:

Пусть процессы поступления и обслуживания определяются соответственно параметрами l и m . Определим вероятность p n (t+Dt) того, что в момент времени t+Dt в системе будет находиться n клиентов (пакетов или вызовов). Из диаграммы видно, что в момент времени t система могла находиться только в состоянии n-1, n или n+1 . Тогда мы можем записать:

Вероятности перехода из одного состояния в другое получены в результате рассмотрения путей, по которым происходят эти переходы, и расчёта соответствующих вероятностей. Например, если система осталась в состоянии n, то могли произойти либо уход и одно поступление с вероятностью mDt , либо ни одного ухода или поступления с вероятностью , что и показано в первом случае.

Производя упрощения, иcпользуя разложение в ряд Тейлора, можно получить следующее уравнение:

Для стационарного состояния вероятность p n (t) приближается к некоторому постоянному значению, поэтому = 0. Тогда последнее уравнение для стационарного случайного процесса упрощается и принимает вид:

Форма уравнения (1) показывает, что при работе системы действует стационарный принцип равновесия: левая часть описывает интенсивность уходов из состояния n, а правая часть – интенсивность приходов в состояние n из n-1 или n+1 . Чтобы существовали вероятности стационарного состояния, эти две интенсивности должны быть равны.

Рассмотрим диаграмму состояний для системы М/М/1

Ввиду предположений о Пуассоновском процессе поступления и уходов клиентов переходы имеют место только между соседними состояниями с показанными интенсивностями.

Уравнение (1) может быть решено несколькими способами. При простейшем их них может быть использовано условие равновесия. Если рассчитать общий «поток вероятности», пересекающий границу области 1, и приравнять исходящий поток к входящему, получиться уравнение (1). Область 2 охватывает всё множество точек от 0 до n . Поток, поступающий в эту область, равен mp n +1 , а поток, покидающий её, равен lp n . Приравнивая эти два потока, получим: mp n +1 =lp n . Повторяя последнее уравнение n раз, получим:

mp n =lp n-1 ; mp 2 =lp 1 ;

mp 3 =lp 2 ; mp 1 =lp 0 ;

Следовательно,

Значение р 0 для случая бесконечной очереди можно найти, используя нормирующее условие: . Просуммировав n вышеприведенных уравнений и учитывая нормировку, получим:

.

Используя это, можно записать решение для установившегося режима:

Распределение вероятностей (2) системы М/М/1 называется геометрическим распределением.

Обобщим результаты для случая конечной очереди, вмещающей не более N пакетов. Можно показать, то в этом случае.

Определение

Различают два вида Пуассоновского процесса: простой (или просто: Пуассоновский процесс) и сложный (обобщённый).

Простой Пуассоновский процесс

Пусть λ > 0 . Случайный процесс называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью λ , если

Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс

• Пусть ξ 1 ,...,ξ n последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
• Пусть N (t ) - простой Пуассоновский процесс с интенсивностью λ , не зависящий от последовательности ξ 1 ,...,ξ n .

Обозначим через S k cумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс {Y t } как S N (t ) .

Свойства

• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

• Траектории Пуассоновского процесса - кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

где o (h ) обозначает «о малое» .

• Пуассоновский процесс стационарен .

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс {X t } с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

Информационные свойства

Зависит ли T от предыдущей части траектории?
- ?

.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно .

• Рассмотрим отрезок [a ,b ] на временно́й оси.

X (b ) − X (a ) = n - число скачков на отрезке [a ,b ] .
Условное распределение моментов скачков совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины n из R [a ,b ] .

Плотность этого распределения

ЦПТ

• Теорема.

Скорость сходимости:
,
где C 0 - константа Берри-Эссеена.

Применение

Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа пригодности их дисциплин часто применяют Пуассоновский процесс. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и пр.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пуассоновский процесс" в других словарях:

Пуассоновский процесс - 42. Пуассоновский процесс Случайный процесс с независимыми стационарными приращениями, распределенными по закону Пуассона Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения …

Случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 Большая советская энциклопедия

Случайный процесс X(t).с независимыми приращениями X(t2) X(t1), t2>tl имеющими Пуассона распределение. В однородном П. п. для любых t2 > t1 (1) Коэффициент l>0 наз. интенсивностью пуассоновского процесса X(t). Траектории П. п. X(t).… … Математическая энциклопедия

См. также: Пальма поток Пуассона поток (процесс), (устар. Пуассоновский процесс) поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и имеет экспоненциальное … Википедия

В теории случайных процессов это обобщение понятия суммы независимых случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Свойства … Википедия

То же, что Пуассоновский процесс. Этот термин используют, как правило, в массового обслуживания теории (См. Массового обслуживания теория) … Большая советская энциклопедия

То же, что пуассоновский процесс. Этот термин используют, как правило, в теории массового обслуживания … Математическая энциклопедия

См. также: Пальма поток Пуассона поток (процесс), (устар. Пуассоновский процесс) поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с … Википедия

Случайный процесс X(t)с дискретным или непрерывным временем tтакой, что статистич. характеристики его приращений нек рого фиксированного порядка не меняются во времени (т. е. инвариантны относительно временных сдвигов). Как и в случае… … Математическая энциклопедия

ГОСТ 21878-76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения - Терминология ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа: Cross power spectral density function of stationary dependent random processes Определения термина из разных документов: Cross power… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Книги

• Моделирование процесса разорения страховой компании методом Монте-Карло , С. И. Лукашкин. В статье приведена модель разорения страховой компании, проанализированы параметры поступления премий, выплат и возвратов. Принимается положение о том, что распределение премий, выплат и… электронная книга

• Перевод

Введение

На первом шаге мы определим пуассоновский процесс на = T
UNTIL Ложь (это бесконечный цикл; по желанию можно добавить критерий остановки)

Этот алгоритм просто реализовать, поскольку нет нужды генерировать пуассоновские случайные величины. Для других простых множеств A, существуют тривиальные обобщения теоремы 1.2. Например, когда A=x, где t может равняться бесконечности, 0 < T1 < T2 <… - равномерный пуассоновский процесс с интенсивностью λ и U1,U2,… - последовательность независимых одинаково распределённых равномерно на случайных величин, то (T1,U1),(T2,U2),… определяют пуассоновский процесс с интенсивностью λ на А.

Пример 1.1.

Неоднородные пуассоновские процессы

Пример 1.2. Однородный пуассоновский процесс

Пример 1.3.

Если функцию интенсивности можно представить в виде суммы функций интенсивности, т. е. ,

0 < T i1 < T i2 <… T in - независимые реализации отдельных неоднородных пуассоновских процессов, то объединённая упорядоченная последовательность образует реализацию неоднородного пуассоновского процесса с функкцией интенсивности λ(t). Это относится к методу композиции, но разница теперь состоит в том, что нам нужны реализации всех компонентов процесса. Декомпозицию можно использовать, когда существует естественное разложение, продиктованное аналитической формой λ(t). Поскольку основная операция в слиянии процессов - взять минимальное значение из n процессов, для больших n преимущество может предоставить хранение моментов времени в куче из n элементов.

В итоге получим метод композиции:

Сгенерировать T,...,T для n пуассоновских процессов и хранить эти значения вместе с индексами соответствующих процессов в таблице
T = 0 (текущее время)
k = 0
REPEAT
Найти минимальный элемент T в таблице и удалить его
k = k + 1
T[k] = T
Сгенерировать T и вставить в таблицу
UNTIL False

Третий общий принцип - это принцип утоньшения (Льюис и Шедлер, 1979). Аналогично тому, что происходит в методе отклонения, предполагаем, что существует лёгкая доминирующая функция интенсивности λ(t) <= μ(t) для любого t.

Тогда идея состоит в том, чтобы сгенерировать однородный Пуассоновский процесс на части положительной полуплоскости между 0 и μ(t), затем рассмотреть однородный пуассоновский процесс под λ и, наконец, вернуть x-компоненты событий в этом процессе. Это требует следующей теоремы.

Теперь рассмотрим метод утоньшения Льюиса и Шедлера:

T = 0
k = 0
REPEAT
Сгенерировать Z, первое событие в неоднородном пуассоновском процессе с функцией интенсивности μ, который происходит после момента времени T. Присвоить T = Z
Сгенерировать равномерно распределённую на случайную величину U
IF U <= λ(Z)/μ(Z)
THEN k = k + 1, X[k] = T
UNTIL False

Утверждается, что последовательность X k так сгенерированная образует неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности λ. Заметим, что мы взяли неоднородный процесс 0 < Y1 < Y2 <… с функцией интенсивности μ и убрали некоторые точки. Насколько мы знаем, (Y i ,U i μ(Y i) - однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью на кривой, если U i независимые одинаково распределённые равномерно на случайные величины в силу теоремы 1.3. Таким образом, подпоследовательность на кривой λ определяет однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью на этой кривой (часть 3. теоремы 1.3). Наконец, взятие x-координат только этой подпоследовательности даёт нам неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности λ.
Неоднородный пуассоноский процесс с функцией интенсивности μ обычно моделируют методом инверсии.

Пример 1.4. Функция с циклической интенсивностью

Тогда алгоритм моделирования примет вид:

T = 0
k = 0
REPEAT
Сгенерировать экспоненциальную случайную величину E c параметром 1
T = T + E/(2λ)
Сгенерировать равномерную на случайную величину U
IF U <= (1+cos(T))/2
THEN k = k + 1, X[k] = T
UNTIL False

Нет нужды говорить о том, что можно использовать здесь теорему о двух милиционерах, чтобы избежать вычисления косинуса в большинстве случаев.

Заключительное слово об эффективности алгоритма, когда моделируется неоднородный пуассоновский процесс на множестве . Среднее число событий, которое необходимо от доминирующего процесса, равно в то время, как среднее число возвращённых случайных величин равно
Отношение средних величин может быть рассмотрено как объективная мера эффективности, сравнимая в духе константы отклонения в стандартном методе отклонения. Заметим, что мы не можем использовать среднюю величину отношения, поскольку она, в общем случае, была бы равна бесконечности в силу положительной вероятности того, что ни одна величина не возвратится.

Рассмотрим ряд полезных свойств процесса Пуассона, которые часто используются при моделировании систем массового обслуживания.

Слияние. Пусть N (t ) и N 2 (t) - два независимых пуассоновских процесса с интенсивностями А^и Х 2 . Тогда сумма процессов N(t) = N j (0+ N 2 (t) снова будет процессом Пуассона с интенсивностью A.J +Х 2 (рис. 14.9).

Рассмотрим короткий интервал (/, H-dx). Вероятность, что ни одно событие не произойдет в суммарном процессе, вычисляется в силу независимости как

Рис. 14.9. Слияние двух процессов Пуассона

В то же время вероятность того, что произойдет одно событие в суммарном процессе:

Производящая функция суммы случайных процессов, согласно (10.10) и (14.23), будет иметь вид

Приведенные формулы доказывают наше утверждение.

В общем случае для суммы т независимых процессов с интенсивностями Xj - результирующий процесс будет пуассоновским с интенсивностью

Предположим, что две случайные переменные Г, и Т 2 , представляющие интервалы времени между событиями двух пуассоновских процессов, взаимно независимы и экспоненциально распределены с интенсивностями Х ] и X 2 соответственно. Определим новую переменную

Функция распределения Т, согласно (14.25) и (14.27),

Вероятность того, что в интервале сначала произойдет событие Т { , а затем Т 2:

Как видно, вероятность не зависит от t.

В общем случае, если Г р Г 2 ,..., Т п независимые экспоненциально распределенные случайные величины с параметрами Х х, Х 2 ,...,Х п соответственно, то Т =min{7’ 1 ,Т 2 ,...,Т п } будет распределена экспоненциально с параметром Х { +Х 2 - ------Х п и вероятностью, что Tj имеет наименьшее значение :

Очевидно, что сумма вероятностей равна 1.

Случайное выделение. Если из пуассоновского процесса с интенсивностью X случайным образом с вероятностью р выбирать событие независимо от выбора других событий (рис. 14.10), то результирующий процесс будет пуассоновским с интенсивностью рХ.

Рис. 14.10.

Рассмотрим короткий интервал (/, t+ dx). Вероятность того, что в процессе, полученном с помощью случайной выборки, не произойдет событие, равна

В то же время вероятность, что в выборочном процессе произойдет одно событие, равна

что соответствует пуассоновскому процессу с интенсивностью рХ.

Расщепление. Пусть N(t) -процесс Пуассона с интенсивностью X, a N { (0 и N 2 (it ) обозначают число отмеченных с вероятностью р и не отмеченных с вероятностью (1 -р) заказов, прибывших в интервале (рис. 14.11). Тогда N x (t ) и N 2 (t) - процессы Пуассона с интенсивностями рХи (1- р) А,и оба процесса независимы. Доказательство аналогично предыдущему.

Рис. 14.11.

Равновероятность события в интервале. Пусть п событий произошли в моменты 0 t Т]. Тогда случайные переменные t { , t 2 ,...,t n имеют равномерное распределение в этом интервале.

Сначала предположим, что только одно событие происходит внутри интервала , а время этого события представляется случайной переменной Х х. Тогда имеют место два эквивалентных утверждения, представляющие вероятности совместных событий:

Согласно закону условной вероятности, первое утверждение можно записать как

Комбинируя выражения и подставляя пуассоновское распределение, получаем:

что соответствует равномерному распределению вероятности события в интервале , то эти заказы равномерно распределены внутри этого интервала.

Свойство PASTA (Poisson Arrival See Time Average) называют также ROP (Random Observer Property). Рассмотрим произвольную систему сервиса S, находящуюся в различных состояниях Sj. Клиенты прибывают в систему с интенсивностью А,. Клиент побуждает переход системы в другое состояние. В установившемся режиме мы можем рассматривать две различные вероятности: Pj - вероятность состояния Sj системы со стороны внешнего наблюдателя (клиента); р* - вероятность состояния системы при прибытии клиента. В общем случае Pj *= р*.

Свойство PASTA утверждает, что для пуассоновского процесса pj = р* , поскольку стохастические характеристики поступающего потока в момент начала рассмотрения одинаковы и независимы от выбора момента рассмотрения. Следовательно, распределение вероятностей состояний системы в момент рассмотрения должно быть таким же, как до этого момента. Другими словами, прибывший клиент не изменяет статистические характеристики системы, хотя изменяет ее состояние, и всегда наблюдает систему в ее стационарном состоянии. Интуитивно это свойство означает, что пуассоновский процесс полностью случаен. Свойство PASTA не справедливо для непуассоновских потоков.

Пуассоновский процесс

Сначала рассмотрим пуассоновский процесс, который является потоком событий простейшего типа и, кроме того, сам играет важную роль во многих приложениях. К примеру, пуассоновский процесс служит моделью для потоков таких событий, как радиоактивные распады, телœефонные вызовы или обращения в страховое общество. Разумеется, в некоторых случаях эта модель дает хорошее приближение к истинной ситуации, а иногда используется лишь на начальном этапе изучения явлений.

Построим пуассоновскую модель на основании следующих предложений Хинчина :

1. Вероятность Р n (t ) того, что в интервале времени длительностью t произойдет ровно n событий, зависит от n и t , но не зависит от положения этого интервала на временной оси (условие стационарности).

2. Числа событий, происшедших в течение непересекающихся интервалов времени, являются независимыми случайными величинами (отсутствие последствия).

3. Вероятность того, что в малом интервале времени длительностью t произойдет более одного события, есть величина порядка меньше t , ᴛ.ᴇ. при t ®0 эта вероятность равна 0(t ) (условие ординарности).

Рассмотрим следствия, вытекающие из условий 1 – 3.

Из условий 1 и 2 вытекает, что для любых t и u

Р 0 (t + u ) = P 0 (t )P 0 (u ).

Единственным решением этого уравнения, для которого 0 < P 0 (t ) £ 1, является

где l – некоторая неотрицательная константа. Исключая тривиальный случай Р 0 (t )=1 для всœех t , можно считать l > 0. (Другие тривиальные решения P 0 (t )=0 не совместимо с условиями 2 и 3.) Для малых t

P 0 (t ) = 1– lt + 0(t ),

и из условия 3 получаем

Р 1 (t ) = 1 – Р 0 (t ) + 0(t ) = lt + 0(t ).

Р n (t + t) = (1 – lt)P n (t ) + ltP n -1 (t ) + 0(t).

Поделив обе части на t и устремив t к нулю, убеждаемся, что производная Р n 1 (t ) существует и удовлетворяет соотношению

Р n 1 (t ) = l[P n –1 (t ) – P n (t )]. (1.2)

Положив Р n (t ) = , получим .

Единственным решением этой системы, удовлетворяющим условиям v 0 (0) = 1, v n (0) = 0 для всœех n ³ 1, является

Следовательно, единственным решением системы (1.2), при условии Р n (0) = 0 для всœех n ³ 1 и P 0 (0) = 1, будет

. (1.3)

Определим теперь случайный процесс x(t ), который даст возможность описать вероятностную структуру пуассоновского процесса. Пусть x(t ) обозначает число пуассоновских событий на интервале времени (0, 1]; приращение x(t + u ) – x(u ) есть число событий на интервале (u , u + t ]. Тогда x(t ), так же как и любое приращение x(t + u ) – x(u ), будет иметь пуассоновское распределœение с параметром lt .

Определим конечномерные распределœения x(t ) соотношением

где r 1 £ r 2 £ … £ r n – целые числа; t 1 < t 2 < … < t n . Ясно, что условия 1–3 и условия согласованности теоремы Колмогорова выполняются. Следовательно, существует вероятностная мера на функциональном пространстве Х , которая определяется этими конечномерными распределœениями.

Построим эквивалентный вариант x(t ) следующим образом. Из вида конечномерных распределœений следует, что с вероятностью единица x(t ) не убывает на множестве всœех рациональных t ; оставим без изменения x(t ) для всœех рациональных t , а для иррациональных t положим x(t ) = x(t k ), где t k – рациональны и меньше t . Нетрудно видеть, что так определяемый процесс эквивалентен x(t ), поскольку значения нового процесса являются с вероятностью единица пределами величин x(t k ), а x(t ) – предел по вероятности этих величин, что следует из специфики конечномерных распределœений.

Далее с вероятностью единица данный эквивалентный вариант x(t ) не убывает и в каждом конечном интервале имеет не более конечного числа единичных скачков. Эти скачки соответствуют появлениям пуассоновских событий, и мы можем определить, к примеру, случайные величины m 1 , m 2 , …, m n где m n – промежуток времени между появлениями (n – 1) и n -го событий после момента t = 0.

Последнее замечание приводит к другому естественному способу определœения процесса x(t ) с помощью параметрического метода (второй способ § 1.5). Рассмотрим множество Х 0 всœех функций x(t ), определœенных для t ³ 0 соотношениями

x(t ) = 0 при 0 £ t < m 1,

x(t ) = n при m 1 + … + m n £ t < m 1 + … + m n +1 ,

где m 1 , m 2 , … – положительные параметры. Множество Х 0 является подмножеством функционального пространства Х и каждое x(t ) Î X 0 будет ступенчатой функцией, имеющей единичные скачки в точках t = m 1 + … + + m n . Пусть параметры m j являются независимыми случайными величинами с плотностью распределœения le - l t . Тогда сумма m 1 + … + m n имеет плотность (l n t n / n !)e - l t , и легко заметить, что совместное распределœение случайных величин x(t 1), …, x(t k ) совпадает с введенным ранее распределœением для процесса Пуассона (1.3).

Пуассоновский процесс - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Пуассоновский процесс" 2017, 2018.

Главная » Полезно знать » Процесс пуассона. Свойства процесса пуассона