Задачи на классическое определение вероятности.Примеры решений. Теория вероятности формулы и примеры решения задач

1.Задача. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию «на обоих кубиках выпало одинаковое количество очков» при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение: Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

2.Задача. Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются сумма очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?

Решение: Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1;1;3), (1;3;1), (1;1;3), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1). Получить в сумме 6 очков можно десятью способами (1;1;4), (1;4;1), (4;1;1), (1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1), (2;2;2).

3.Задача. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5, 4, 3?

Решение: Обозначим через А событие «число на взятой карточке кратно 5». В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствую 6 исходов (числа 5, 10,15,20,25,30). Следовательно

Р(А)= 6/30= 0,2

4. Задача. Произвольно выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение: Обозначим буквой С событие «выбранное число является простым». В данном случае n=10, m=4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность

Р(С)=4/10=0,4.

5. Задача. Какова вероятность того, что в произвольно выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение: Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m =9, а n =90, то

Р(А)=9/90=0,1

6. Задача. Подбрасываются две монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах монет окажутся две цифры?

Решение: Обозначим буквой D событие «на верхней стороне каждой монеты оказалась цифра». В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов (Г;Г), (Г;Ц), (Ц;Г), (Ц;Ц). Запись (Г;Ц) означает, что на первой монете выпал герб, а на второй – цифра. Событию D благоприятствует один исход - (Ц;Ц).Поскольку m =1, а n =4, то

Р(D )=1/4=0,25.

7. Задача. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что произвольным образом открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение: Из условия задачи следует, что всех равновозмож-ных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n =300. А из них m =60 благоприятствует наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5 k , где k - натуральное число, причем 0<5 k < 300, откуда k < 300/5=60. Следовательно

P (А)= 60/300=0,2

8. Задача. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 5 человек?

Решение: Согласно формуле для перестановок для n=5 имеем

9. Задача. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из 10 кандидатов?

Решение: В соответствии с формулой для числа сочетаний С (а в данном случае речь идет именно о сочетаниях, поскольку нужно определить число возможных комбинаций по 3 элемента в каждой из 10 имеющихся в наличии, не взирая на порядок следования этих элементов внутри комбинации), находим

10. Задача. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из 10 кандидатов?

Решение: Для получения результата воспользуемся формулой для числа размещений по 3 элемента из десяти, поскольку в данном случае необходимо учесть в отличие от задачи девять не только число возможных комбинация, но и порядок следования элементов внутри каждой комбинации.

11. Задача. Сколько различных шестизначных числа можно записать с помощью цифр 1;1;1;2;2;2?

Решение: В данном случае речь идет о числе перестановок с повторениями. Тогда формула для вычисления перестано-вок будет иметь вид

Для нашего случая число символов, которые повторяются k =2,повторяются они каждый по три раза А общее число символовn = 3+3=6. По приведенной формуле получаем

12. Задача. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 6 деталей 4 окажется стандартными?

Решение: Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 разных деталей из 10 имеющихся в наличии, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов

Определяем число исходов, благоприятствующих событию A – «среди взятых наугад 6 деталей 4 стандартных». Четыре стандартных из имеющихся в наличии 7 можно взять способами, при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можноспособами. Следовательно, число благоприятных исходов равноСледует обратить особое внимание, что сумма верхних и нижних индексов в последнем произведении дает значение верхних и нижних индексов знаменателя формулы для определения вероятности события

13. Задача. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки?

Решение: Число всех равновозможных случаев распределе-ния 5 билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, т.е. . Число групп по трое юношей из 15, еоторые могут получить билеты, равно . Каждая такая тройка должна сочетаться с любой парой девушек, которые будут отобраны из 10 оставшихся студенток группы, а это число будет равно. Следовательно, число удовлетворяющих условию задачи групп студентов по пять человек в каждой, где будет 3 юноши и 2 девушки, равно произведениюЭто произведение равно числу благоприятствующих случаев распределения 5 билетов среди 25 учащихся таким образом, чтобы было выполнено условие: 3 билета досталось юношам, а два – девушкам. И тогда в соответствии с формулой определения вероятности получаем

14. Задача. В ящике находится 15 красных, 9 синих и 6 зелёных шаров. Наугад извлекают 6 шаров. Найти вероятность того, что вынуты 1 зелёный, 2 синих и 3 красных шара.

Решение: В ящике всего 30 шаров. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет Подсчитаем число элементарных исходов, благоприят-ствующих событию A . Три красных шара из 15 можно выбрать способами, два синих шара из 9 возможных можно выбратьспособами, один зеленый из 6 -способами. Следовательно, в силу принципа произведения в комбинаторике, число исходов, благоприятствующих событиюA , будет По формуле непосредственного подсчета вероятностей получаем

15. Задача. В ящике находятся 15 шаров, из которых 10 красных, остальные синие. Из ящика вынимают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых 2 шара синего цвета?

Решение: Общее число элементарных исходов данного опыта равно числу сочетаний из 15 по 6, т.е.

Число благоприятных исходов равно произведению

Тогда вероятность искомого варианта составит величину

16. Задача. Из десяти билетов выигрышными являются только два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наугад пяти билетов один выигрышный?

Решение: Общее число исходов, когда из десяти наличных билетов мы выбираем пять, определяется числом сочетаний А число благоприятных исходов определим как произ-ведение двух сомножителей Отсюда вероятность определяем как

17. Задача. Из 500 взятых наугад деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение: Так как в данном случае m =8, а n =500, то согласно определению частоты события имеем

18. Задача. Среди 1000 новорожденных оказалось 513 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?

Решение: Поскольку в данном случае m =513, а n =1000, то

19. Задача. При стрельбе по мишени частота попаданий составляет W =0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение: Из условия задачи имеем n =40, а найти необходимо m . Тогда получаем

20. Задача. Частота нормальной всхожести семян W =0,75. Из высеянных семян взошло 1940. Сколько семян было высеяно?

Решение: Из условия задачи m =1940, а определить необхо-димо n.

21. Задача. На отрезке натурального ряда от 1 до 30 найти частоту простых чисел?

Решение: На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23, 29; всего их десять. Так как n =30, а m =10, то

22. Задача. В круг вписан квадрат. В круг бросают дротик. Определить вероятность того, что дротик попадёт в квадрат.

Решение: Введем обозначение: R – радиус круга, a - сторона вписанного в круг квадрата, событие A – попадание дротика в квадрат, S – площадь круга, S 1 – площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга Площадь квадрата определяется как Теперь выразим сторону квадрата через радиус круга, используя теорему Пифагора

По определению геометрической вероятности имеем

23. Задача. В шар вписан куб. Точка наугад зафиксирована внутри шара. Найти вероятность того, что точка попадёт в куб.

Решение: самостоятельно.

24. Задача. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела. Событие А к – «попадание в мишень при к-том выстреле(к=0,1,2,3)». Выразить через А 1 , А 2 , А 3 следующие события: А- «хотя бы одно попадание», В- «три попадания», С- «три промаха», D- «хотя бы один промах».

Решение: Событие A тогда и только тогда, когда наступает A 1 , или A 2 , или A 3 . Это означает, что A=A 1 +A 2 +A 3 . Три попадания будет тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстреле, т.е. события наступят все вместе B=A 1 *A 2 *A 3. Три промаха будет тогда и только тогда, когда промах явится результатом каждого выстрела, т.е. события осуществляются все вместе: Рассуждая аналогично, получаем выражение для.

25. Задача. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела. Событие А к – «попадание в мишень при к-том выстреле(к=0,1,2,3)». Выразить через А 1 , А 2 , А 3 следующие события: А- «хотя бы одно попадание», Е- «не меньше двух попаданий», F- «не более одного попадания», G- «попадание после первого выстрела».

Решение: Событие A тогда и только тогда, когда наступает A 1 , или A 2 , или A 3 . Это означает, что A=A 1 +A 2 +A 3 . По аналогии с задачей 24 для события Е имеем

Событие F получим в виде .

Событие G будет получено .

26. Задача. Подбрасывают два игральных кубика. Чему равна вероятность того, что сумма очков, выпавших на обоих кубиках, не превысит 5?

Решение: Пусть выпало на первом кубике, а - на втором кубике. Пространство элементарных событий есть множество пар (n 1 , n 2):

Событие А имеет вид

Множество Ω содержит 36 элементов (6*6) , а множество А – 10 элементов (1,1); (1,2); (2,1); (2,2); (2,3); (3,2); (1,3); (3,1); (1,4); (4,1). По известной формуле получим значение вероятности

27. Задача. Подбрасываются два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках не больше 6.

Решение: Самостоятельно.

28. Задача. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыш выпадает на 13 билетов. Некто купил 4 билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?

Решение: Общее число возможных исходов, когда производится выбор 4 билетов из 100 возможных определяется как . Число благоприятствующих исходов будет определяться как произведение Тогда вероятность приобрести выигрышный билет выразиться следующим выражением

29. Задача. В урне 40 шаров: 15 синих, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что произвольно вынутый из урны шар окажется цветным?

30. Задача. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4?

31. Задача. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на три сектора. Вероятность попадания в первый сектор составляет 0,4 , во второй – 0,3 . Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

32. Задача. Монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

33. Задача. Три стрелка стреляют по мишени и попадают с вероятностями 0,85; 0,8; 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что при одном выстреле мишень окажется поврежденной.

34. Задача. В урне 6 синих, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают три шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что первым будет синий шар, вторым – красный, а третьим – белый.

35. Задача. В каждом из трёх ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике 27, во втором – 28, в третьем – 25 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все три детали будут кондиционными?

37. Задача. В мастерской независимо друг от друга работает два мотора. Вероятность отказа первого мотора в течении часа составляет 0,85, а второго – 0,8. Найти вероятность того, что в течении часа ни один из моторов не откажет.

38. Задача. Из урны, содержащей 3 синих и 2 красных шара, по схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлекаются шары. Найти вероятность P k того, что красный шар впервые появится при k – том испытании (k =1;2; 3; 4).

39. Задача. Сколько раз надо подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестёрок была бы больше ½? (задача де Мере).

40. Задача. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трёх независимых испытаниях, равна 0,973. Найти вероятность появления события в одном испытании, полагая её величиной постоянной.

41. Задача. В урне находится 10 красных и 5 синих шаров. Последовательно извлекают по схеме бесповторного опыта два шара. Определить вероятность того, что в первый раз извлечен синий шар, а во второй раз красный шар.

42. Задача. На фабрике, изготовляющей болты первая машина производит 30%, вторая – 25%, а третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет 2%, 1%, 3% соответствен-но. Найти вероятность того, что произвольно выбранный болт оказался бракованным.

43. Задача. В партии электроламп 20% выпущено на первом заводе, 30% - на втором и 50% на третьем. Вероятности выпуска брака заводами составляют 0,01; 0,005 и 0,006 со- ответственно. Найти вероятность того, что произвольно взятая из партии лампочка окажется работоспособной.

44. Задача. На сборку попадают запчасти с трёх автоматов. Из- вестно, что первый автомат даёт 0,1% брака, второй – 0,2%, а третий – 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если первый автомат выпустил 1000 деталей, второй – 2000, а третий – 3000 запчастей.

45. Задача. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака от первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обрабатываемые детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза выше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая случайным образом деталь будет стандартной.

46. Задача. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака от первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обрабатываемые детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза выше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая случайным образом деталь будет бракованной.

47. Задача. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями: p 1 =0,2; p 2 =0,3; p 3 =0,5. Вероятность того, что лампа проработает заданное количество часов, для этих партий соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное время.

48. Задача. В учебной группе студентов учатся 5 отличников, 10 хорошистов и 6 слабоуспевающих. На экзамене отличник может получить только отлично. Хорошист с равной вероятностью получит отличную или хорошую оценку. Слабоуспевающий студент с равной долей успеха может получить хорошую, удовлетворительную и неудовлетворительную оценку. Для сдачи контрольного среза приглашают трёх человек из этой группы. Найти вероятность того, что они получат отличные оценки.

49. Задача. В учебной группе студентов учатся 5 отличников, 7 хорошистов и 8 слабоуспевающих. На экзамене отличник может получить только отлично. Хорошист с равной вероятностью получит отличную или хорошую оценку. Слабоуспевающий студент с равной долей успеха может получить хорошую, удовлетворительную и неудовлетворительную оценку. Для сдачи контрольного среза приглашают трёх человек из этой группы. Найти вероятность того, что они получат хорошие оценки.

51. Задача. В учебной группе студентов учатся 6 отличников, 10 хорошистов и 4 слабоуспевающих. На экзамене отличник может получить только отлично. Хорошист с равной вероятностью получит отличную или хорошую оценку. Слабоуспевающий студент с равной долей успеха может получить хорошую, удовлетворительную и неудовлетворительную оценку. Для сдачи контрольного среза приглашают трёх человек из этой группы. Найти вероятность того, что они получат отличные и хорошие оценки.

52. Задача. На склад поступает продукция трёх фабрик, причём продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, и третье-34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что случайным образом выбранное изделие окажется продукцией первой фабрики.

53. Задача. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объём продукции второго завода в три раза превосходит объём продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго – 1%. Изделия поступают на общий склад. Найти вероятность того, что приобретённое в магазине изделие изготовлено на втором заводе, если оно оказалось испорченным.

54. Задача. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объём продукции второго завода в два раза превосходит объём продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 0,5%, у второго – 0,2%. Изделия поступают на общий склад. Найти вероятность того, что приобретённое в магазине изделие изготовлено на первом заводе, если оно оказалось исправным.

57. Задача. В коробке 7 карандашей, из которых 4 – красные. Из коробки случайным образом достают 3 карандаша. Найти закон распределения случайной величины X

58. Задача. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей.


	0 ,2

55. Задача. В первой урне 2 синих и 6 красных шаров, во второй – 4 синих и 2 красных. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, не обращая внимания на их цвет, и после этого достали из неё один шар. Определить вероятность того, что этот шар окажется синим.

Решение: Введём обозначение «А» - событие «шар, извлечённый из второй урны – синий»; гипотезы Н 1 – «из первой урны во вторую переложены два синих шара» , Н 2 – «переложены два разноцветных шара» , Н 3 – «переложены два красных шара». Вычислим вероятности гипотез Н i и условные вероятности Р(А/Н i), (i=1,2,3):

P (A / H 1 )=3/4; P(A / H 2 )=5/8; P (A / H 3 )=1/2.

По формуле полной вероятности получаем ответ на вопрос

Р(А)=1/28*3/4+12/28*5/8+15/28*1/2=9/16

56. Задача. Подбрасываются два игральных кубика и подсчитывается число очков, выпавших на обоих кубиках. Найти закон распределения случайной величины X - суммы выпавших очков на двух игральных кубиках.

Решение. В этом испытании 36 равновозможных исходов. Случайная величина Х может принимать значения от 2 до 12, причём значения 2 и 12 она примет один раз, значения 3 и 11 – по 2 раза, значения 4 и 10 – по 3 раза, 5 и 9 – по 4 раза, 6 и 8 – по 5 раз, значение 7 – 6 раз. Следовательно, закон распределения данной случайной величины Х можно задать таблицей

57. Задача. В коробке 7 карандашей, из которых 4 – красные. Из коробки случайным образом достают 3 карандаша. Найти закон распределения случайной вели-чины X , равной числу красных карандашей в выборке.

Решение. В выборке из трёх карандашей может не оказаться ни одного красного карандаша, может появиться один, два или три карандаша. Следовательно случайная величина Х может принимать значения х 1 =0; х 2 =1; х 3 =2; х 4 =3.

Находим вероятности этих значений =;

; .

Закон распределения примет вид:

Найти функцию распределения этой случайной величины.

Решение. Для построения функции распределения F (X ) дискретной случайной величины Х воспользуемся формулой

59. Задача. Случайная величина Х задана функцией распределения. 0 при x <0

F (x )= x /2 при 0< x <2

1 при x >2

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Решение. Для данного интервала F(x)=x/2. Тогда по известным правилам P(1

60. Задача. Случайная величина Х задана функцией распределения. 0 при x <0

F (x )= x /3 при 0< x <3

1 при x >3

Решение. По известным формулам для заданного интервала P(2< X< 3)=F(3)-F(2)=(3/3)-(2/3)=1-2/3=1/3

61. Задача. Случайная величина Х задана функцией распределения. 0 при x <0

F ( x )= sin x при 0< x <π/2

1 при x >π/2

Решение. Так как P(4

62. Задача. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией

Приведенные к настоящему моменту в открытом банке задач ЕГЭ по математике (mathege.ru), решение которых основано на одной лишь формуле, представляющей собой классическое определение вероятности.

Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1. В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?

Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат - исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. "Мы вытащили какой-то шар" - тоже результат. "Мы вытащили синий шар" - результат. "Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров" - такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.

Решение. Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета"
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, - то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25

Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75

Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти - невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» - для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)

Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы , ), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы , ) – принцип остается тем же.

Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. ( , ) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.

Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?

Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4

Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы , , , ):

Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.

Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5

Немного отличается прототип . Остались задачи про монеты () и игральные кости (), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.

Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.

Пример 4. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро) Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.

Пример 5. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25

Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5

В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·...·2=2 N .

Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125

То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.

Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?

Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5

Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)

Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08

Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».

Нравится нам это или нет, но наша жизнь полна всевозможных случайностей, как приятных так и не очень. Поэтому каждому из нас не помешало бы знать, как найти вероятность того или иного события. Это поможет принимать верные решения при любых обстоятельствах, которые связаны с неопределенностью. К примеру, такие знания окажутся весьма кстати при выборе вариантов инвестирования, оценке возможности выигрыша в акции или лотерее, определении реальности достижения личных целей и т. д., и т. п.

Формула теории вероятности

В принципе, изучение данной темы не занимает слишком много времени. Для того чтобы получить ответ на вопрос: "Как найти вероятность какого-либо явления?", нужно разобраться с ключевыми понятиями и запомнить основные принципы, на которых базируется расчёт. Итак, согласно статистике, исследуемые события обозначаются через A1, А2,..., An. У каждого из них есть как благоприятствующие исходы (m), так и общее количество элементарных исходов. К примеру, нас интересует, как найти вероятность того, что на верхней грани кубика окажется четное число очков. Тогда А - это бросок m - выпадение 2, 4 или 6 очков (три благоприятствующих варианта), а n - это все шесть возможных вариантов.

Сама же формула расчета выглядит следующим образом:

С одним исходом все предельно легко. А вот как найти вероятность, если события идут одно за другим? Рассмотрим такой пример: из карточной колоды (36 шт.) показывается одна карта, затем она прячется снова в колоду, и после перемешивания вытаскивается следующая. Как найти вероятность того, что хоть в одном случае была вытащена дама пик? Существует следующее правило: если рассматривается сложное событие, которое можно разделить на несколько несовместимых простых событий, то можно сначала рассчитать результат для каждого из них, а затем сложить их между собой. В нашем случае это будет выглядеть так: 1 / 36 + 1 / 36 = 1 / 18 . А как же быть тогда, когда несколько происходят одновременно? Тогда результаты умножаем! Например, вероятность того, что при одновременном подбрасывании сразу двух монет выпадут две решки, будет равна: ½ * ½ = 0.25.

Теперь возьмем еще более сложный пример. Предположим, мы попали на книжную лотерею, в которой из тридцати билетов десять являются выигрышными. Требуется определить:

Вероятность того, что оба окажутся выигрышными.
Хотя бы один из них принесет приз.
Оба окажутся проигрышными.

Итак, рассмотрим первый случай. Его можно разбить на два события: первый билет будет счастливым, и второй также окажется счастливым. Учтем, что события зависимы, поскольку после каждого вытаскивания общее количество вариантов уменьшается. Получаем:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

Во втором случае понадобится определить вероятность проигрышного билета и учесть, что он может быть как первым по счету, так и вторым: 10 / 30 * 20 / 29 + 20 / 29 * 10 / 30 = 0,4598.

Наконец, третий случай, когда по разыгранной лотерее даже одной книжки получить не получится: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

Теория вероятности - довольно обширный самостоятельный раздел математики. В школьном курсе теория вероятности рассматривается очень поверхностно, однако в ЕГЭ и ГИА имеются задачи на данную тему. Впрочем, решать задачи школьного курса не так уж сложно (по крайней мере то, что касается арифметических операций) - здесь не нужно считать производные, брать интегралы и решать сложные тригонометрические преобразования - главное, уметь обращаться с простыми числами и дробями.

Теория вероятности - основные термины

Главные термины теории вероятности - испытание, исход и случайное событие. Испытанием в теории вероятности называют эксперимент - подбросить монету, вытянуть карту, провести жеребьевку - все это испытания. Результат испытания, как вы уже догадались, называется исходом.

А что же такое случайность события? В теории вероятности предполагается, что испытание проводится ни один раз и исходов много. Случайным событием называют множество исходов испытания. Например, если вы бросаете монету, может произойти два случайных события - выпадет орел или решка.

Не путайте понятия исход и случайное событие. Исход - это один результат одного испытания. Случайное событие - это множество возможных исходов. Существует, кстати, и такой термин, как невозможное событие. Например, событие "выпало число 8" на стандартном игровом кубике является невозможным.

Как найти вероятность?

Все мы примерно понимаем, что такое вероятность, и довольно часто используем данное слово в своем лексиконе. Кроме того, мы можем даже делать некоторые выводы относительно вероятности того или иного события, например, если за окном снег, мы с большой вероятностью можем сказать, что сейчас не лето. Однако как выразить данное предположение численно?

Для того чтобы ввести формулу для нахождения вероятности, введем еще одно понятие - благоприятные исход, т. е. исход, который является благоприятным для того или иного события. Определение довольно двусмысленное, конечно, однако по условию задачи всегда понятно, какой из исходов благоприятный.

Например: В классе 25 человек, трое из них Кати. Учитель назначает дежурной Олю, и ей нужен напарник. Какова вероятность того, что напарником станет Катя?

В данном примере благоприятный исход - напарник Катя. Чуть позже мы решим эту задачу. Но сначала введем с помощью дополнительного определения формулу для нахождения вероятности.

Р = А/N, где P - вероятность, A - число благоприятных исходов, N - общее количество исходов.

Все школьные задачи крутятся вокруг одной этой формулы, и главная трудность обычно заключается в нахождении исходов. Иногда их найти просто, иногда - не очень.

Как решать задачи на вероятность?

Задача 1

Итак, теперь давайте решим поставленную выше задачу.

Число благоприятных исходов (учитель выберет Катю) равно трем, ведь Кать в классе три, а общих исходов - 24 (25-1, ведь Оля уже выбрана). Тогда вероятность равна: P = 3/24=1/8=0,125. Таким образом, вероятность того, что напарником Оли окажется Катя, составляет 12,5%. Несложно, правда? Давайте разберем кое-что посложней.

Задача 2

Монету бросили два раза, какова вероятность выпадения комбинации: один орел и одна решка?

Итак, считаем общие исходы. Как могут выпасть монеты - орел/орел, решка/решка, орел/решка, решка/орел? Значит, общее число исходов - 4. Сколько благоприятных исходов? Два - орел/решка и решка/орел. Таким образом, вероятность выпадения комбинации орел/решка равна:

P = 2/4=0,5 или 50 процентов.

А теперь рассмотрим такую задачу. У Маши в кармане 6 монет: две - номиналом 5 рублей и четыре - номиналом 10 рублей. Маша переложила 3 монеты в другой карман. Какова вероятность того, что 5-рублевые монеты окажутся в разных карманах?

Для простоты обозначим монеты цифрами - 1,2 - пятирублевые монеты, 3,4,5,6 - десятирублевые монеты. Итак, как могут лежать монеты в кармане? Всего есть 20 комбинаций:

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

На первый взгляд может показаться, что некоторые комбинации пропали, например, 231, однако в нашем случае комбинации 123, 231 и 321 равнозначны.

Теперь считаем, сколько у нас благоприятных исходов. За них берем те комбинации, в которых есть либо цифра 1, либо цифра 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Их 12. Таким образом, вероятность равна:

P = 12/20 = 0,6 или 60%.

Задачи по теории вероятности, представленные здесь, довольно простые, однако не думайте, что теория вероятности - это простой раздел математики. Если вы решите продолжать образование в вузе (за исключением гуманитарных специальностей), у вас обязательно будут пары по высшей математике, на которых вас ознакомят с более сложными терминами данной теории, и задачи там будут куда сложнее.

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

А = «студенты пришли на лекцию».
Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

А = «студентка пришла на лекцию».
В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

А = «фирма получит первый контракт».
А 1 = «фирма не получит первый контракт».
В = «фирма получит второй контракт».
В 1 = «фирма не получит второй контракт»
С = «фирма получит третий контракт».
С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

классическое;
статистическое;
геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

Главная » Полезно знать » Задачи на классическое определение вероятности.Примеры решений. Теория вероятности формулы и примеры решения задач