1 дайте определение числовой функции. Урок "определение и способы задания числовой функции"

Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Множество Х называют областью определения функции . Функции обозначают буквами f, g, h и др. Если f – функция, заданная на множестве Х , то действительное число у, соответствующее числу х их множества Х , часто обозначают f(x) и пишут
у = f(x). Переменную х при этом называют аргументом. Множество чисел вида f(x) называют областью значений функции

Функцию задают при помощи формулы. Например, у = 2х – 2. Если при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается, то полагают, что областью определения функции является область определения выражения f(x) .

1. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает

2. Функция называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел их множества А выполняется условие: .

График возрастающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются (рис. 4).

3. Функция называется убывающей на некотором промежутке А , если для любых чисел их множества А выполняется условие: .

График убывающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 4).

4. Функция называется четной на некотором множестве Х, если выполняется условие: .

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 2).

5. Функция называется нечетной на некотором множестве Х, если выполняется условие: .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

6. Если функция у = f(x)
f(x) f(x ) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наименьшее значение у = f(x ) при х = x (рис. 2, функция принимает наименьшее значение в точке с координатами (0;0)).

7. Если функция у = f(x) определена на множестве Х и существует такое , что для любого справедливо неравенствоf(x) f(x ) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наибольшее значение у = f(x ) при х = x (рис. 4, функция не имеет наибольшего и наименьшего значений).

Если для данной функции у = f(x) изучены все перечисленные свойства, то говорят, что проведено исследование функции.

Пределы.

Число А называетс пределом ф-ии при х стремящемся к ∞ если для любого Е>0, существует δ (E)>0 такое что при всех х удовлетворяет неравенство |x|>δ выполняется неравенство |F(x)-A|

Число А называется пределом функции при Х стремящемся к Х 0 если для любого Е>0, существует δ (E)>0 такое что при всех Х≠Х 0 удовлетворяет неравенство |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ.

При определении предел что Х стремится к Х0 произвольным образом, то есть с любой стороны. Когда Х стремится к Х0, так что он всё время меньше Х0, то тогда предел называется пределом в т. Х0 слева. Или левосторонним пределом. Аналогично определяется и правосторонни предел.

6.1. Определение числовой функции 70

7.1. Сужение функции 72

7.2. Способы задания функции 73

7.3. Явно или неявно заданные функции 73

7.4. Параметрически заданные функции 75

7.5. График функции 77

7.6. Примеры построения графиков функций 78

7.7. Упражнения для самостоятельной работы 83

Вопросы для самопроверки 85

Глоссарий 85

1. Определение числовой функции

Обозначения: или
или
или
или
.

где x - это независимая переменная, или аргумент;y - это зависимая переменная, или функция.

Если обозначить через

X – множество числовых значений, которые может принимать переменнаяx ,

Y – множество числовых значений, которые принимает переменнаяy ,

то функциональная зависимость между переменными x иy здесь задает отображение числового множестваX на числовое множествоY , при котором каждому элементу
ставится в соответствие единственный элемент множестваY (рис. 40).

Рис. 40

В отличие от более общего определения функции как отображения множеств, состоящих из элементов любой природы, числовая функция задает отображение множества X , элементами которого являются числа, на множествоY , элементами которого тоже являются числа. Кроме того, далее будем считать, что множествоY - это есть множество значений функции, так что отображение
является сюръекцией.

МножествоX задания функции и множествоY значений функции для числовых функций традиционно называютобластью определения функции (ООФ) иобластью значений функции (ОЗФ) .

Значение функции в точке

Если задано отображение множеств функцией
, то элементы множествX иY называются точками. Символом
обозначается при этом как сама функция, так и элемент
, соответствующий элементуx при этой функциональной зависимости.

Если x 0 - это фиксированное значение аргументаx , то значение функции в точкеx 0 обозначается следующими символами:

или
или
или
.

Например,

;

,
.

1. Сужение функции

Если есть функция
и рассматривается некоторое подмножествоЕ множестваХ , то отображение
называетсясужением функции f на множество Е .

Пример 1 (сужение функций)

1)
,
- это есть сужение функции
,
на множество
;

2) любая последовательность
есть сужение функции
на множество натуральных чисел; например,
– это есть сужение функции
,
на множество.

Наряду с понятием сужения функции существует и понятие расширения функции.

Пример 2 (расширение функций)

1)
; от этой функции можно перейти к её расширению на множество
:
;

2) от функции
можно перейти к её расширению на множество
, если рассматривать её значения на множестве комплексных чисел, где возможно извлечение корня квадратного из отрицательного числа.

1. Способы задания функции

1.Аналитический способ задания функции - функция задается математической формулой, связывающей аргумент и функцию. По этой формуле для каждого возможного значения аргумента можно вычислить соответствующее значение функции. При этом нужно различать:

явное задание функции,

неявное задание функции,

параметрическое задание функции.

2.Табличный способ задания функции - используется для функций, заданных на дискретном конечном множестве значений аргумента; записывается обычно в виде следующей таблицы:

3.Графический способ задания функции - задается множество точек координатной плоскости, координаты которых являются соответствующими друг другу значениями аргумента и функции.

4.Описательный способ задания функции – функциональная зависимость описывается словами. Например,
, где- этоцелая часть x , которая определяется как наибольшее целое число, не превышающееx .

Тема урока: « Определение числовой функции и способы её задания».

Дидактическая цель. Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся знания о функциях. Дать определения области определения функции и графика функции, а так же рассмотреть способы задания функции.

Воспитательная цель. Познакомить учащихся с причинно-следственными связями на примере развития понятия функции. Идея зависимости величин восходит к древнегреческой науке. Развитие механики и техники в XVI-XVII вв. потребовало введения общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г.Лейбницем (1646-1716). П.Ферма и Р. Декарт показали, как представлять функции аналитически. Декарт ввел в математику понятие переменной величины. Строгое определение функции дал Ию. Бернулли (1667-1748), а затем его ученик, член Петербургской Академии наук Л.Эйлер (1707-1783) ввел обозначение f(x) и объявил понятие функции центральным понятием анализа. Позднее Ж. Фурье (1768-1783), Н.И. Лобачевский (1792-1856), П. Дирихле (1805-1859) и другие внесли большой вклад в развитие понятия функции. Установление функциональной зависимости между величинами иллюстрирует важные философские категории – причины и следствия.

В процессе построения графиков необходимо обращать внимание на правильность выполнения графика, эстетическое оформление, воспитывать при этом аккуратность, внимание, четкость, учить производительно использовать каждую минутку учебного времени, с целью подготовки к ЕГЭ.

Основные знания и умения. Знать: определения числовой функции, графика функции; способы задания функции. Уметь находить область определения и область значения функции, а также выполнять простейшие преобразования графиков функции: растяжение и сжатие вдоль осей координат, сдвигать, вдоль осей координат, зеркальное отображение относительно оси абсцисс.

Обеспечение занятия

ТСО Компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Оснащение ТСО. DVD-диски « Алгебра 7-11», «Алгебра 10-11». Программное обеспечение « Графопостроитель».

Вид занятия . Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков.

Мотивация познавательной деятельности учащихся.

При изучении и исследовании разнообразных явлений природы, при решении технических задач приходится рассматривать взаимосвязанные переменные величины. В природе не существует изолированных переменных величин, на связанных с другими физическими величинами. Например, пройденный путь является функцией времени. Многие понятия данной темы имеют большое значение для последующего изучения математики. Функции, их свойства и графика являются и объектом изучения, и той непосредственной средой, в которой строятся все основные понятия «математического анализа».

Последовательность изложения материала

Основные понятия и определения: функции, области определения функции, области значения функции, графика функции.

Параллельный перенос графика функции вдоль осей координат.

Растяжение или сжатие графика функции по осям координат.

Построение графиков функций, аналитическое выражение которых имеет знак модуля.

Способы задания функции.

I .Повторение опорных знаний учащихся.

Найдите на рисунке и назовите графики функций:

y= ax+b, y= ax 2 +bx+c,

Слайд №1

II Обобщение и систематизация знаний.

1 Основные понятия и определения: функции, области определения функции, области значения функции, графика функции.

Слайд №2

Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х их множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у=f(х) с областью определения Х.

Пишут: у=f(х), х

Для области определения функции используют обозначение D(f).

Переменную х называют независимой переменной или аргументом,

а переменную у – зависимой переменной.

Множество всех значений функции: у=f(х), х называют областью значений функции и обозначают Е(f).

Если дана функция у=f(х) , х и на координатной плоскости хОу отмечены все точки вида (х;у), где х, а у=f(х), то множество этих точек называют графиком функции у=f(х), х.

2 Параллельный перенос графика функции вдоль осей координат.

Слайд №3

Вопрос :

Как параллельно переносить график функции при а>0 и b

Рассмотрим параллельный перенос графика функции вдоль координатных осей на примере функции у=х 2 .

Слайд№4

3 Растяжение или сжатие графика функции по осям координат.

Теперь вспомним как преобразовывается график функции у=f(х), в следующих случаях

у= bf(x), если b>1или 0

y=f(ax), если a>0 или 0

Слайд№5

Как изменятся графики при b>1 и 0

Рассмотрим на примере функции у=
.

Числовая функция - это функция, у которой область определения (аргументы) и область значений функции являются числовыми множествами. , где , - числовые множества.

Примером числовой функции может служить зависимость вашего роста (значения функции) от времени (аргумент) (Рис. 1).

Рис. 1. График функции роста

Функция, которая ставит в соответствие каждому человеку его размер обуви, не является числовой, так как ее аргументы - не числа.

Как и любые другие объекты, функции принято классифицировать, чтобы было удобнее их изучать. Вы знакомы с разными видами функций: линейной, квадратичной, логарифмической и т.д. Рассмотрим самые простые функции - линейные.

Уравнение линейной функции: , и - некоторые числа. График - прямая (Рис. 2).

Рис. 2. Пример графика линейной функции

Почему линейную функцию можно назвать простой? Так как ее графиком является прямая. Любая невертикальная прямая на координатной плоскости задает линейную функцию и наоборот. В геометрии прямая - один из самых простых объектов.

Кроме того, линейную функцию мы часто встречаем и используем в жизни. Например, когда мы говорим, что автомобиль движется со скоростью км/ч. Это означает, что за первый час он проедет км, за второй - км и т.д. То есть одинаковые изменения аргумента (времени) приводят к одинаковому изменению функции (расстоянию, которое проехал автомобиль).

Опишем движение автомобиля: пусть начальное положение - , а за часов с постоянной скоростью он проедет расстояние . Тогда положение автомобиля в данный момент времени будет определяться следующим образом: , где - аргумент функции.

Такое уравнение и описывает линейную функцию. Возьмем два момента времени и :

Мы видим, что изменение значения функции пропорционально изменению значения её аргумента.

Также линейная функция важна и тем, что с помощью неё можно локально приблизить (описать) другие функции. Например, если мы на графике (Рис. 3) возьмем маленький участок (Рис. 4), то увидим, что он близок к прямой.

Рис. 3. График функции

Рис. 4. Часть графика на Рис. 3.

Проделав так для всей функции, мы получили кусочно-линейную функцию (Рис. 5). Теперь мы можем описать ее поведение на каждом линейном участке.

Рис. 5. Кусочно-линейная функция

Простой пример приближения кривой линии короткими отрезками прямых изучается в школе на информатике: черепашка в программе ЛОГО таким образом рисует окружность. Понятно, что идеальную окружность на экране нарисовать нельзя: у экрана есть минимальная ячейка (пиксель). Мы ее называем точкой, но у нее все равно есть какая-то ширина, длина. И понятно, что нарисовать гладкую окружность нельзя - на самом деле будет получаться очень-очень точное, но всё-таки приближение.

Если мы смотрим на фотографию на экране, то кажется, что линии плавные. Но если начать её увеличивать, то рано или поздно становятся видны квадратики (пиксели) (Рис. 6).

Рис. 6. Увеличение фотографии на экране

То же самое можно увидеть и в нарисованной черепашкой окружности. При увеличении станет заметно, что на самом деле нарисована не окружность, а правильный n-угольник с достаточно большим значением (Рис. 7).

Рис. 7. Увеличенное изображение окружности

В жизни мы часто используем такой метод. Например, наблюдая за полетом птицы, мы неосознанно высчитываем ее скорость и предполагаем, что она будет лететь дальше по прямой с той же скоростью (Рис. 8). На самом деле наше предсказание может отличаться от действительности, но на небольшом промежутке времени оно будет достаточно точным.

Рис. 8. Иллюстрация просчета положения птицы

Не только мы выполняем такой анализ. Многие животные тоже умеют решать такие задачи: например, лягушка, когда ловит комара, должна уметь предсказывать точку, в которой он будет, чтобы успеть выбросить язык.

Для более точных измерений мы используем более точные инструменты. Для функций более точным (по сравнению с линейной функцией) инструментом является квадратичная функция. Можно сказать, что это следующая по сложности функция.

Уравнение квадратичной функции: , где , и - некоторые числа.

График квадратичной функции - парабола (Рис. 9).

Рис. 9. Пример графика квадратичной функции

Используя квадратичную функцию, можно более точно приближать неизвестные нам функции, а значит, делать более точные предсказания.

Ещё одна часто возникающая задача, связанная с числовыми функциями: нам известны значения функции в определенных точках, а нужно понять, как ведёт себя функция между этими точками. Например, у нас есть какие-то данные эксперимента (Рис. 10).

Рис. 10. Результаты эксперимента

Чтобы понять, как вела себя температура воздуха между отмеченными точками, нужно каким-то образом предположить, как ведёт себя функция, так как мы не можем делать бесконечно много измерений. Приблизить можно линейно (Рис. 11, график А) или квадратично (Рис. 11, график Б).

Рис. 11. Линейное и квадратичное приближение

Такие процессы называются интерполяцией .

Задача кажется сложной: может показаться, что это гадание на кофейной гуще. Действительно, мы же не знаем, как поведёт себя функция между двумя отмеченными точками. Например, её график может выглядеть следующим образом (Рис. 12).

Рис. 12. «Неожиданное» поведение графика функции

На самом деле мы восстанавливаем график функции по точкам, используя некоторую модель: предполагаем, что функция достаточно гладкая, если в модели (например, при проведении эксперимента) не было резких скачков. Тогда с большой степенью вероятности можно сказать, что график функции выглядит так, как показано на Рис. 11.

Квадратичную, линейную функции объединяет то, что они задаются многочленом (есть и другие такие функции):

Кроме таких функций, есть и другие, они описывают разные процессы физики, биологии и также являются изучаемыми. Их можно задать, описать их свойства, построить их графики и дальше с ними работать. К таким функциям относятся, например, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции. О них мы поговорим на следующих уроках.

Что такое функция. Определение. Соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества называются функциями. Пишут: у = f(x), x Є X. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Множество всех допустимых значений независимой переменной является областью определения функции и обозначается D(y). Переменную у – зависимой переменной. Множество всех значений зависимой переменной является областью значений функции и обозначается Е(у).

Способы задания функции Существуют 4 способа задания функции. 1. Табличный способ. Удобен тем, что позволяет найти значения функции имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений. Х2345 У Аналитический способ. Функция задается одной или несколькими формулами. Этот способ незаменим для исследования функции, установления ее свойств. У=2 х+5, у= х² -5 х+1, у= |х+5|. 3. Графический способ. Функция задается своей геометрической моделью на координатной плоскости. 4. Описательный способ. Удобно использовать тогда, когда задание другими способами затруднительно.

§3 Свойства функции Монотонность: Возрастание; убывание нули функции (значения аргумента, в которых значение Функции равно нулю) непрерывность периодичность четность нечетность Экстремумы: точка максимума, точка минимума выпуклость Наибольшее и наименьшее значения функции Промежутки знакопостоянства (промежутки, в которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения)

О. Функция вида у=к/х, где к 0, называется обратной пропорциональностью. График обратной пропорциональности (гипербола) получается из графика функции у=1/х с помощью растяжения (а при к

Функция у = |х| у=|х |= х, если х 0 -х, если х

0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." class="link_thumb"> 11 Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига. 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига.">

Нахождение области определения функции

Множество значений функции 1.у= 2sin²x-cos2x Решение: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1 0 Sin²x 1, -1 4sin²x-1 3 Ответ: -1 у 3 2. у = |cosx| Решение: -1 cosx 1, 0 |cosx| 1, |cosx| 1 1 Ответ: -1 у 1 3. Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции. E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-;4]

Главная » Части речи » 1 дайте определение числовой функции. Урок "определение и способы задания числовой функции"