Все формулы объемов геометрических тел. Как посчитать объем помещения в м3 калькулятор
Общий обзор. Формулы стереометрии!
Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье решил сделать общий обзор задач по стереометрии, которые будут на ЕГЭ по математик е. Нужно сказать, что задачи из этой группы довольно разнообразны, но не сложны. Это задачи на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов.
Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся., хотя более 50% из них решаются элементарно, практически устно.
Остальные требуют небольших усилий, знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассмотривать эти задачи, не пропустите, подпишитесь на обновление блога.
Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия, важно "увидеть" какую формулу необходимо применить.
Все нужные формулы представлены ниже:
Шар или сфера. Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки - центра шара.
Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара
Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.
Круглый конус может быть получен вращениемпрямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называт также конусом вращения. См. также Площадь поверхности круглого конуса
Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H:
(H - высота ребра куба)
Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипедимеет шесть граней, и все они - параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
(S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды)
Пирамида - это многогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - произвольный многоугольник, а остальные - боковые грани - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.
Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением - это усеченная пирамида.
Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde) , нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
| 1. | V = |
n - число сторон правильного многоугольника - основания правильной пирамиды
a - сторона правильного многоугольника - основания правильной пирамиды
h - высота правильной пирамиды
Правильная треугольная пирамида - этомногогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - правильныйтреугольник, а остальные - боковые грани - равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS)
a - сторона правильного треугольника - основания правильной треугольной пирамиды
h - высота правильной треугольной пирамиды
Вывод формулы объема тетраэдра
Объем тетраэдра расчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее необходимо подставитьвысоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
Объем тетраэдра - равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра
(h - длина стороны ромба)
Длина окружности p составляет примерно три целых и одну седьмую длины диаметра круга. Точное отношение длины окружности к ее диаметру обозначается греческой буквой π
В итоге периметр круга или длина окружности вычисляется по формуле
| π r n |
(r - радиус дуги, n - центральный угол дуги в градусах.)
Для простых тел объем - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1. Равные тела имеют равные объемы.
2. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей.
3. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.
Если куб, о котором идет речь в определении, имеет ребро 1 см, то объем измеряется в кубических сантиметрах; если ребро куба равно , то объем измеряется в кубических
метрах; если ребро куба равно 1 км, то объем измеряется в кубических километрах и т. д.
На рисунке 181 изображено простое тело - четырехугольная пирамида SABCD. Объем этой пирамиды на основании свойства 2 равен сумме объемов пирамид SABC и SADC.
59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды.
Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле
где - ребра прямоугольного параллелепипеда. Исходя из этой формулы можно получить формулу для объема куба. Объем куба находят по формуле
где а - ребро куба.
Иногда говорят, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров или произведению площади его основания на высоту. Последнее утверждение верно и для любого параллелепипеда.
На рисунке 182 изображен наклонный параллелепипед. Его объем равен , где - площадь основания, а высота наклонного параллелепипеда.
Можно вывести правило нахождения объема любой призмы (в том числе и наклонной).
Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту;
В случае прямой призмы (рис. 183) высота ее совпадает с боковым ребром и объем прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро.
Объем любой пирамиды находится по формуле
где S - площадь основания, Н - высота пирамиды.
На рисунке 184 изображен правильный тетраэдр SABC с ребром а. Его объем равен
Пример. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань - прямоугольники, площади которых соответственно равны а угол между их плоскостями равен 80°. Одна боковых граней параллелепипеда имеет площадь Найти объем параллелепипеда.
Решение. Пусть в параллелепипеде грани прямоугольники. Тогда ребро AD перпендикулярно грани Дальнейшие вычисления можно выполнить, не находя длин этих отрезков. Имеем Перемножив эти равенства почленно, получим откуда
60. Объем цилиндра и конуса.
Объем любого тела определяется следующим образом. Данное тело нмеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V.
Применив это определение к нахождению объемов цилиндра и конуса, можно доказать теоремы.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т. е.
Если радиус основания цилиндра R, а высота H, то формула его объема такова:
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту» т. е. .
Если радиус основания конуса H, а высота II, то объем его находится по формуле
Объем усеченного конуса можно найти по формуле
где радиусы оснований, Н - высота усеченного конуса. Объем усеченного конуса, изображенного на рисунке 185, находится по формуле
61. Общая формула объемов тел вращения.
Объем шара и его частей. Для вывода формулы объема тела вращения вводят декартовы координаты в пространстве, приняв ось тела за ось Плоскость пересекает поверхность тела по линии, для которой ось х является осью симметрии. Пусть уравнение той части линии, которая расположена над осью х (рис. 186).
Стоимость доставки товара - важный вопрос, который интересует многих наших покупателей. Большинство транспортных компаний составляет прайс на свои услуги, учитывая объем груза в кубических метрах - проще говоря, объем того места, которое упакованный груз будет занимать в транспортном отсеке самолета, морском контейнере, грузовой фуре или ж/д вагоне.
Какую доставку выбрать - авиа, ж/д или авто?
Чтобы сориентироваться в ценах на доставку и выбрать наиболее оптимальный вид транспорта, заказывая товары из Китая, необходимо знать общий объем груза в м 3 , который вы хотите получить. На нашем сайте вам поможет рассчитать объем калькулятор, но чтобы быстро получить нужный результат, вы должны использовать следующие данные:
- тип упаковки (коробка или цилиндр);
- основные параметры упаковки - длина, ширина и высота (для коробок) или высота и диаметр (для цилиндров);
- количество упаковок в штуках.
Измерив линейкой основные параметры упаковки, вы сможете вычислить объем коробки или цилиндра, а затем рассчитать объем всей партии груза в метрах кубических. Полученные цифры помогут вам сравнить цены на доставку тем или иным транспортом и выбрать подходящий вариант.
Зачем нужен калькулятор расчета объема?
Одним из основных качеств современного бизнесмена является способность быстро принимать важные решения и своевременно реагировать на изменения в рыночных тенденциях. Наш калькулятор объема помогает сэкономить время на подсчетах и получить нужные цифры буквально за несколько минут.
Использовать калькулятор объема удобно и очень просто: для расчетов впишите нужные цифры в соответствующие поля, после чего смело жмите на кнопку «Рассчитать». Калькулятор объема в м 3 выдает готовый результат независимо от того, в каких единицах измерения вы вписали параметры тары – в сантиметрах или метрах. Система автоматически переводит данные в нужный формат и выдает итоговый результат в кубических метрах.
Зная объем тары и общий объем груза, вы сможете грамотно выбрать подходящий тип транспорта и разместить в нем товар максимально компактно, не переплачивая за пустое место. Используйте онлайн-калькулятор объема упаковки, чтобы быстро рассчитать объем коробки или труб, а также всей партии товаров. Второй калькулятор поможет вам узнать ориентировочную стоимость доставки груза из Китая различными видами транспорта с учетом его объема в м 3 .
Как рассчитать объем коробки?
Для того чтобы вычислить объем коробки, необходимо измерить ее длину, высоту и ширину. Если у вас есть в наличии образец упаковки для ваших товаров, используйте для замеров линейку. Данные о параметрах коробки также можно получить у поставщика. Рассчитать объем коробки в метрах кубических можно двумя способами: используя наш онлайн-калькулятор объема в м 3 или же самостоятельно по формуле. Рассмотрим оба варианта.
- Чтобы калькулятор объема мог правильно рассчитать объем коробки, выберите опцию «Объем коробки». Измерьте коробку, ориентируясь на изображение рядом с калькулятором (либо скопируйте информацию о ее параметрах с сайта продавца), и внесите цифры в калькулятор расчета объема. Вы также можете указать количество коробок и стоимость доставки за кубический метр. Нажмите на кнопку «Рассчитать» - в табличке ниже вы увидите итоговый результат: объем коробки в м 3 . Если вы предоставили для расчетов данные о количестве коробок и цене на доставку, то в табличке также будет показан общий объем груза и ориентировочная сумма доставки.
- Самостоятельно рассчитать объем упаковки можно по формуле, которую изучают на уроках математики в школе: V=a*b*h. Здесь V - это объем, a - длина, b - ширина и h - высота (обратите внимание: все данные, полученные во время измерений, обязательно нужно перевести из сантиметров в метры). Просто перемножьте эти цифры, и вы получите искомый объем коробки в кубических метрах.
Как рассчитать объем цилиндра (трубы)?
Ваш товар будет упакован в цилиндрическую тару, и вы хотите узнать объем груза? Калькулятор легко справится с этой задачей. Для расчетов вам понадобятся такие параметры, как высота тары и ее диаметр. Используйте для измерений линейку, как в случае с коробкой, или узнайте параметры упаковки у поставщика. Далее в ход пойдет наш калькулятор расчета объема:
- отметьте тип тары (цилиндр/труба);
- впишите в соответствующие строки параметры упаковки;
- укажите количество труб (если оно вам известно);
- нажмите кнопку «Рассчитать».
Готово: объем груза калькулятор посчитал за секунду! В табличке с результатами показан объем в метрах кубических как одной трубы, так и общий объем вашего груза (если было указано количество упаковок).
Для самостоятельных расчетов и закрепления знаний, полученных в школе, используйте формулу V=π*r 2 *h. Как мы помним, V обозначает объем, π - это число «пи», равное 3.14, r 2 - радиус трубы, возведенный в квадрат, а h - ее высота. Перемножив все цифры, вы получите объем тары цилиндрической формы. Не забудьте: измерив радиус трубы и ее высоту, переведите сантиметры в метры - и тогда вы получите правильный результат в м 3 .
Как рассчитать объем груза в разной таре?
Хорошо, когда весь груз имеет одинаковые размеры - онлайн-калькулятор объема решает такие задачи в считанные секунды. А как рассчитать объем груза, если он упакован в тару разной формы - большие и маленькие коробки и цилиндры?
Ничего сложного здесь нет, главное - знать точные параметры тары каждого вида и ее количество. Наш калькулятор объема в м 3 поможет вам быстро вычислить объем груза, упакованного в тару одинаковой формы и размера, после чего вам останется только сложить все цифры и получить общий объем вашего груза.
Как рассчитать стоимость доставки?
Зная общий объем груза в метрах кубических, вы сможете легко сориентироваться в стоимости доставки из Китая различным транспортом. Для этого используйте результаты вычислений, которые вам предоставил наш калькулятор расчета объема. В специальную форму, расположенную под калькулятором, внесите полученные цифры в поле «Объем». Выберите вариант доставки (морем, по воздуху, автотранспортом и пр.), впишите пункты отправки и назначения, а также заполните прочие поля, после чего нажмите кнопку «Рассчитать». Система автоматически посчитает стоимость доставки вашего груза для выбранного варианта доставки.
Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
Так же, как у плоских фигур кроме длины и ширины есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем. И так же как рассуждения о площади начинаются с квадрата, сейчас мы начнем с куба.
Объем куба с ребром метр равен кубическому метру.
Помнишь, квадратный метр - это была площадь квадрата и обозначалась она м.кв. Ну вот, а объем куба с ребром называется кубическим метром и обозначается м.кв.
Что же такое м.кв.? А вот, смотри:
Это два кубика с ребром.
А чему равен объем куба с ребром?
Сколько в большом кубе (с ребром) маленьких (с ребром)?
Конечно, . Поэтому объем куба с ребром равен кубическим метрам, то есть м.кв. А ведь это.
И представь себе, это для любого куба, даже с ребром верна формула.
Площадь основания
Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то «превращается» в боковое ребро. И тогда
То же самое, что
Необычная формула объёма призмы
Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы.
Площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
Длина бокового ребра.
Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.
Главная формула объема пирамиды:
Откуда взялась именно? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть, а у пирамиды и цилиндра - нет.
Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.
Объем правильной треугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.
Это площадь правильного треугольника.
Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:
У нас « » - это, а « » - это тоже, а.
Теперь найдем.
По теореме Пифагора для
Чему же равно? Это радиус описанной окружности в, потому что пирамида правильная и, значит, - центр.
Так как - точка пересечения и медиан тоже.
(теорема Пифагора для)
Подставим в формулу для.
И подставим все в формулу объема:
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:
Объем правильной четырехугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.
Здесь и искать не нужно; ведь в основании - квадрат, и поэтому.
Найдем. По теореме Пифагора для
Известно ли нам? Ну, почти. Смотри:
(это мы увидели, рассмотрев).
Подставляем в формулу для:
А теперь и и подставляем в формулу объема.
Объем правильной шестиугольной пирамиды.
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.
Как найти? Смотри, шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.
Теперь найдем (это).
По теореме Пифагора для
Но чему же равно? Это просто, потому что (и все остальные тоже) правильный.
Подставляем:
Тела вращения. Формула объема
Объем шара
Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.
Объем цилиндра
Объем конуса
ОБЪЕМ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Объем цилиндра
 |
Радиус основания |
Объем конуса
 |
Радиус основания |
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
