Что такое 4 измерение. Что такое четырёхмерное пространство («4D»)? Что во что вложено
Запускает проект «Вопрос учёному», в рамках которого специалисты будут отвечать на интересные, наивные или практичные вопросы. В этом выпуске кандидат физико-математических наук Илья Щуров рассказывает о 4D и о том, можно ли выйти в четвёртое измерение.
Что такое четырёхмерное пространство («4D»)?
Илья Щуров
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ
Начнём с самого простого геометрического объекта - точки. Точка - нульмерна. У неё нет ни длины, ни ширины, ни высоты.
Сдвинем теперь точку по прямой на некоторое расстояние. Допустим, что наша точка - остриё карандаша; когда мы её сдвинули, она прочертила отрезок. У отрезка есть длина, и больше никаких измерений - он одномерен. Отрезок «живёт» на прямой; прямая является одномерным пространством.
Возьмём теперь отрезок и попробуем его сдвинуть, как раньше точку. (Можно представить себе, что наш отрезок - это основание широкой и очень тонкой кисти.) Если мы выйдем за пределы прямой и будем двигаться в перпендикулярном направлении, получится прямоугольник. У прямоугольника есть два измерения - ширина и высота. Прямоугольник лежит в некоторой плоскости. Плоскость - это двумерное пространство (2D), на ней можно ввести двумерную систему координат - каждой точке будет соответствовать пара чисел. (Например, декартова система координат на школьной доске или широта и долгота на географической карте.)
Если сдвинуть прямоугольник в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой он лежит, получится «кирпичик» (прямоугольный параллелепипед) - трёхмерный объект, у которого есть длина, ширина и высота; он расположен в трёхмерном пространстве - в таком, в каком живём мы с вами. Поэтому мы хорошо представляем себе, как выглядят трёхмерные объекты. Но если бы мы жили в двумерном пространстве - на плоскости - нам пришлось бы изрядно напрячь воображение, чтобы представить себе, как можно сдвинуть прямоугольник, чтобы он вышел из той плоскости, в которой мы живём.
Представить себе четырёхмерное пространство для нас также довольно непросто, хотя очень легко описать математически. Трёхмерное пространство - это пространство, в котором положение точки задаётся тремя числами (например, положение самолёта задаётся долготой, широтой и высотой над уровнем моря). В четырёхмерном же пространстве точке соответствует четвёрка чисел-координат. «Четырёхмерный кирпич» получается сдвигом обычного кирпичика вдоль какого-то направления, не лежащего в нашем трёхмерном пространстве; он имеет четыре измерения.
На самом деле мы сталкиваемся с четырёхмерным пространством ежедневно: например, назначая свидание, мы указываем не только место встречи (его можно задать тройкой чисел), но и время (его можно задавать одним числом - например, количеством секунд, прошедших с определённой даты). Если посмотреть на настоящий кирпич, у него есть не только длина, ширина и высота, но ещё и протяженность во времени - от момента создания до момента разрушения.
Физик скажет, что мы живём не просто в пространстве, а в пространстве-времени; математик добавит, что оно четырёхмерно. Так что четвёртое измерение ближе, чем кажется.
Задачи:
Привести какой-нибудь другой пример реализации четырёхмерного пространства в реальной жизни.
Определить, что такое пятимерное пространство (5D). Как должен выглядеть 5D-фильм?
Ответы просьба присылать на e-mail: [email protected]
» мы коснёмся широко известной проблемы числа измерений в целом и перехода в них в частности. Мы постараемся рассмотреть этот вопрос не с традиционно мистической точки зрения, а с точки зрения практической (с помощью практических упражнений и обучающих видео).
Переход в четвёртое измерение интересовал людей очень и очень давно. Однако до сих пор существует две группы взглядов, которые по-разному относятся к четвёртому измерению. Одна из групп — это пространственное четвёртое измерение, а вторая — это временно е четвёртое измерение.
Пространственное четвёртое измерение очень хорошо проиллюстрировано в одном из выпусков журнала Трамвай, где была опубликована статья про четырёхмерную мышь (если что — она называется «Мышь ЧЕ-ТЫ-РЁХ-МЕР-НАЯ» и прочесть её можно здесь http://tramwaj.narod.ru/Archive/LJ_archive_2.htm). Там проводилась такая аналогия: для жителей одного измерения (линия) любые двухмерные существа будут восприниматься лишь как компоненты одного измерения. Всё, что выходит за рамки этого измерения, не будет замечено (ибо нечем смотреть).
Точно так же, жители двухмерного пространства (плоскости) могут увидеть жителей трёхмерного пространства лишь в качестве их двухмерных отпечатков-проекций. Им попросту нечем увидеть третье измерение. То есть, если бы человек попал в это двухмерное пространство, то в лучшем случае местные обитатели плоскости знакомились с отпечатками его подошв. А в худшем — поперечным срезом 🙂
Аналогично жители третьего измерения (то есть, мы с вами) могут увидеть четырёхмерных существ лишь как их трёхмерные проекции. То есть, обычные тела, имеющие длину, ширину и высоту.
Более высокое измерение имеет по отношению к более низкому измерению одно важное преимущество: существа из более высоких измерений могут нарушать законы физики более низких измерений. Так, если в двухмерной вселенной, на плоскости, посадить жителя в тюрьму, то он не сможет выбраться из неё, окружённый со всех двух сторон (поскольку измерений только два) стенами. Но если посадить в такую тюрьму трёхмерное существо (вернее, лишь его проекцию), то оно с лёгкостью выходит из двух измерений, скажем, вверх — и оказывается вне двухмерной тюрьмы.
Точно такие же плюшки доступны четырёхмерным существам в нашей трёхмерной вселенной. Согласитесь, всё это звучит очень заманчиво, мистично, и при овладении четвёртым измерением обещает принести массу бонусов типа подглядывания в женских раздевалках 🙂 Возможно, именно поэтому среди требований к переходящим в это измерение есть высокая этичность.
Но не будем углубляться в мистичные дебри — ведь мы обещали практику, а не мистику. Для этого обобщим. Так, одно обычное измерение перпендикулярно другому и третьему, образуя всем знакомые оси координат:
Тогда как по этой логике четвёртое пространственное измерение должно быть перпендикулярно этим трём.
Переход в четвёртое пространственное измерение осуществляется с помощью развития особого органа восприятия этого измерения. Обычно этот орган называется «третий глаз». Поскольку под этим словосочетанием что только не понимается, его мы использовать не будем. Тем более что четвёртое пространственное измерение воспринимается отнюдь не глазами. В качестве совета по развитию органа восприятия четвёртого пространственного измерения мы приведём упражнение из книги П.Д. Успенского (ученик Гурджиева, если что) «TERTIUM ORGANUM» (третий орган, если перевести):
Тренируйтесь видеть (для начала — в воображении) объёмные фигуры (кубы, пирамиды, сферы и т.д.) сразу со всех сторон.
Вот такое вот простое описание к сложному упражнению. Надеемся, всё понятно: обычно мы можем видеть максимум 3 стороны куба. А надо представить себе куб так, как если бы мы его видели со всех шести сторон сразу. Головоломка, да? 🙂
Для того, чтобы получить больше массы о четвёртом пространственном измерении, вы можете воспользоваться этими видео:
Первая часть видео про четвёртое измерение:
Вторая часть видео про четвёртое измерение
Рассмотрев практическую тренировку для перехода в пространственное четвёртое измерение, рассмотрим ещё один момент. Как это ни странно, четвёртое (а также пятое, шестое … одиннадцатое) пространственные измерения — отнюдь не пустой звук. По крайней мере, в свете последних достижений теории суперструн.
Так, для того, чтобы законы физики одинаково работали и на микро-, и на макроуровнях (от уровня, в тысячи раз меньшего, чем размеры молекулы, до межгалактических расстояний), в формулах необходимо наличие одиннадцати пространственных измерений. Три из этих измерений развёрнуты, а остальные — свёрнутые, и именно поэтому мы их не воспринимаем. Хотя колебания составляющих субатомных частиц очень даже зависят от этих свёрнутых измерений.
К сожалению, древние маги про эти свёрнутые измерения даже не подозревали, поэтому переход в эти свёрнутые измерения остаётся пока что совершенно оккультным, то есть тайным. Ибо если кто и придумал, как это делать, то не сказал как.
Сейчас самое время перейти к четвёртому измерению с точки зрения времени. Этот подход широко разработан физиками, так что особо рассказывать здесь нечего. Единственное кажущееся отличие временно го измерения в том, что по нему нельзя двигаться назад, как по трём пространственным. Лишь вперёд. Однако, это не совсем так — и именно этот нюанс даёт ключ к переходу в четвёртое временно е измерение.
Мало того, если для того, чтобы воспринять четвёртое пространственное измерение, нужно тренировать особый орган, для работы с четвёртым временны м измерением орган уже есть. И мало того, с помощью этого органа люди могут двигаться по этому измерению как назад, в прошлое, так и вперёд, в будущее.
Вы уже догадались, что это за штука такая, позволяющая путешествовать во времени?
Совершенно верно, это человеческий ум.
Следовательно, переход в четвёртое временно е измерение — это лишь образное выражение. Мы все и так находимся в этом четвёртом временно м измерении. Однако не все одинаково. Есть люди, которые помнят лишь вчерашний день и не заглядывают дальше завтрашнего. Их четвёртое измерение мизерно, а жизнь тяжела (хотя со стороны может казаться весёлой и беззаботной).
И, наоборот, существуют люди, которые в состоянии заглянуть далеко-далеко в прошлое, сравнить полученные данные с наблюдениями из настоящего и сделать практические выводы как про ближайшее, так и про отдалённое будущее. Как видите, эти люди овладели четвёртым измерением в очень значительной мере. В результате жизнь таких людей намного более стабильна, спокойна и счастлива.
Поэтому стоит вопрос не в переходе во временно е четвёртое измерение, а в углублении этого измерения. Ну а для этого нужно тренировать свой ум. Как это делать? Да очень просто. Главное, чтобы отрабатывалась основная деятельность ума: сравнивать данные из прошлого с данными из настоящего и делать правильные выводы. Ну а методов существует просто громадное количество.
Ещё один нюанс — это данные, которые использует ум для работы. Ведь если данные поступают на обработку ошибочные (из прошлого или из настоящего), то и выводы будут ошибочными. И тогда получится не четвёртое измерение, а фигня какая-то.
Почему бывают ошибочными полученные данные из прошлого и настоящего? Всё очень просто: потому что это неверно оцененные данные вследствие болезненного опыта. Пример: человека покусала собака, и теперь всегда, когда он видит собак, то получает данные не о их реальных намерениях или виде, а глюк из прошлого, связанный с болью. Следовательно, выводы на будущее (например «все собаки опасны») будут ложными. А четвёртое измерение — с червоточинкой.
Как избежать таких ошибок? Естественно, правильно оценив данные, полученные при наличии боли, столкновении или потере. Как это сделать? Этих способов намного меньше, чем способов совершенствования мышления. Но они есть, и вы сможете при желании их найти 🙂
Таким образом, переход в четвёртое измерение зависит от того, куда вы хотите перейти.
Удачных переходов!
Если что — пишите в комментарии!
Здесь, на земле, мы все живем в трехмерном измерении , характеризующимся метрическими единицами: длиной, шириной, высотой. А что такое четвертое измерение ? Как можно его представить, с чем сравнить?
Вся Библия пронизана описанием четвертого измерения, как места обитания различных духовных существ, начиная от Божьих Ангелов до самых падших сущностей. Есть весьма любопытное место в Писании, иллюстрирующее нам, что такое четвертое измерение:
18 чтобы вы, укорененные и утвержденные в любви, могли постигнуть со всеми святыми, что широта и долгота, и глубина и высота
,
19 и уразуметь превосходящую разумение любовь Христову, дабы вам исполниться всею полнотою Божиею.
(К Ефесянам 3:18,19)
Оказывается, эта область духовного мира имеет свои метрические характеристики. Эта область познаваема, при условии укоренения в любви Христовой.
Эта область Божьего творения открывает верующим любовь Христову, которую невозможно объять рассудком, и распахивает двери ко всей полноте Божией. Дух захватывает, лишь представишь себе, какие бесконечные возможности познания мира открывает нам четвертое измерение !
Эта область духовного мира неизмеримо больше физического, т.е. больше всех видимых, проявленных звезд, галактик, планет. В Библии написано, что весь материальный мир покоится на Слове Божьем. "Земля - подножие ног Его ". Все человечество сравнивается с каплей из ведра. Ис.40:15 "Вот народы - как капля из ведра, и считаются как пылинка на весах. Вот, острова как порошинку поднимает Он."
Как я уже писал в предыдущих , четвертое измерение представляет собой духовную область мироздания Божьего, которую условно можно разделить на три составляющие:
1 Небо (обычное, видимое в виде облаков, паров воздуха, т.е. атмосферы).
2 Воздух (невидимая для глаз сфера обитания "князя тьмы, господствующего в воздухе" и его воинства).
3 Небо небес (место обитания Бога, Святых Ангелов и душ святых).
Есть замечательная книга "Четвертое измерение ", написанная всемирно известным евангелистом, старшим пастором Корейской церкви Полного Евангелия, численностью около миллиона верующих прихожан, Йонги Чо .
После прочтения его книги моя вера буквально подскочила. Я перечитывал ее вновь и вновь, впитывая в себя дух Божьей веры, наполняющий каждую строчку этой книги.
Я стал глубже понимать значение истинной веры, которая действует сейчас и здесь, не через некоторое время, не завтра, не через год, а именно, сейчас. В моем разуме, как бы распахнулись окна в другой мир, в котором действуют свои законы, отличные от законов материального мира. Если в материальном мире мы связаны временем, то в четвертом измерении всякое наше желание мгновенно реализуется.
Меня поразила непоколебимая увереннось Йонги Чо в осуществлении ожидаемого по его молитвам. В книге очень наглядно и живо описывается момент, когда он, молодой и бедный пастор, вынужденный за километров пешком добираться до своей церкви для служения пастве, однаждый помолился Богу, попросив у него велосипед, чтобы добираться на нем до места служения.
День ждал, месяц, второй, третий, а велосипеда как не было, так и нет. Он снова помолился, и Бог проговорил к нему:
"Ты знаешь, сколько марок велосипеда существует на земле, сколько моделей, окрасок? Проси конкретно, что ты хочешь..."
Молодой парень быстро сообразил что к чему и в своей молитве попросил у Бога велосипед конкретной марки, конкретной страны-изготовителя, конкретного цвета и конкретной стоимости. После этого он возложил упование свое на Бога и просто стал ждать. Зная о его мечте, некоторые прихожане спрашивали: "Ну где же твой велосипед, о котором ты молился?" Йонги Чо в ответ показал на свой живот:
"Вот здесь..." Время шло, а велосипеда все не было. Прихожане начали шутить над ним, говоря: "Наш пастор беременен велосипедом!"
Молодой парень не обижался на них, и однажды просто сказал:
-А вы знаете, что женщина вынашивает ребенка девять месяцев?
-Да, конечно, знаем, - отвечали насмешники.
-Скажите, ребенок в течение 9 месяцев в утробе матери реально существует?
-Да, конечно, мы согласны с этим.
-Вот и мой велосипед реально уже существует...
Через какое то время приезжий миссионер из Америки подарил ему велосипед точно такой расцветки, модели, цены, о котором он просил у Бога.
Удивительное веры! Многим христианам, годами выпрашивающим у Бога, есть чему поучиться у этого человека.
Служения евангелиста Йонги Чо, проводимые по всему миру, всегда сопровождались и сопровождаются чудесами исцеления, . Миллионы людей через его служение пришли к Богу.
Можно много говорить об этом удивительном служителе Божьем, но лучше всего расскажет о нем и его учении книга " Четвертое измерение ", которую любезно предоставляю читателям моего для прочтения. Уверен, после прочтения этой удивительной книги каждый жаждущий и ищущий обязательно откроет для себя основные принципы духовного мира и закон непоколебимой веры.
- потом переросли бы в два круга, по мере нашего «снижения» через их вселенную,
- круги росли бы, пока не соединились в овал,
- затем рядом с ними бы появились другие кружочки (пальцы),
- переросли бы в два больших круга (кисти, руки), вместе с овалом,
- потом все слилось бы в одну большую часть наших плеч,
- затем сузилось бы, выросло и растворилось в наших шеях и головах.
К счастью, в нашей Вселенной не проживают четырехмерные существа, поскольку они казались бы нам игнорирующими физические законы божественными существами. Но что, если мы окажемся не самыми многомерными созданиями во Вселенной, а у самой Вселенной будет больше измерений, чем сейчас? Стоит отметить, что это вполне возможно; доказано, что в прошлом у Вселенной могло быть больше измерений.
В контексте общей теории относительности весьма просто выстроить пространственно-временные рамки, в которых число «больших» (то есть макроскопических) измерений изменялось бы со временем. Вы не только могли располагать большим числом измерений в прошлом, но и в будущем вам вполне может выпасть такой шанс; вы вообще могли бы построить пространство-время, в котором это число будет колебаться, изменяясь в большую и меньшую сторону со временем, снова и снова.
Для начала все круто: у нас может быть Вселенная с четвертым - дополнительным - пространственным измерением.
Итак, это круто, но как это будет выглядеть? Обычно мы не думаем о таком, но четыре фундаментальных взаимодействия - гравитация, электромагнетизм и два ядерных взаимодействия - обладают такими свойствами и силами, поскольку существуют при тех измерениях, которыми располагает наша Вселенная. Если бы мы уменьшили или увеличили число измерений, мы бы изменили то, как, например, распространяются линии силового поля.
Если бы это затронуло электромагнетизм или ядерные силы, случилась бы катастрофа.
Представьте, что вы смотрите на атом или внутри атома смотрите на атомное ядро. Ядра и атомы являются строительными кирпичиками всей материи, из которой состоит наш мир, и измеряются мельчайшими расстояниями: ангстрем для атомов (10^-10 метра), фемтометры для ядер (10^-15 метра). Если бы вы позволили этим силам «утекать» в другое пространственное измерение, что они могли бы осуществить только если это измерение достигнет достаточно больших размеров, изменились бы законы взаимодействий, управляющие работой этих сил.
В целом эти силы будут иметь больше «пространства» для разбегания, а значит будут быстрее становиться слабее на дистанции, если будет больше измерений. Для ядер это изменение будет не таким уж плохим: размеры ядер будут больше, некоторые ядра изменят свою стабильность, станут радиоактивными или, напротив, от радиоактивности избавятся. Это ладно. Но с электромагнетизмом будет сложнее.
Представьте, что случилось бы, если бы вдруг силы, связывающие электроны с ядрами, стали слабее. Если бы произошло изменение силы этого взаимодействия. Вы не думаете об этом, но на молекулярном уровне единственное, что вас удерживает, это относительно слабые связи между электронами и ядрами. Если вы измените эту силу, вы измените конфигурации всего остального. Ферменты денатурируют, белки изменят форму, лиганды разойдутся; ДНК не будет кодироваться в молекулах, в которых должна.
Другими словами, если электромагнитная сила изменится, поскольку начнет распространяться в крупное четвертое пространственное измерение, которое достигнет размеров ангстрема, тела людей моментально развалятся, и мы умрем.
Но не все потеряно. Есть много моделей - в основном разработанных в рамках теории струн - где эти силы, электромагнитные и ядерные, ограничены тремя измерениями. Только гравитация может проходить через четвертое измерение. Для нас это означает, что если четвертое измерение будет расти в размере (и, следовательно, в последствиях), гравитация будет «кровоточить» в дополнительное измерение. Следовательно, объекты будут испытывать меньшее притяжение, чем то, к которому привыкли мы.
Все это приведет к проявлению «странного» поведения у разных вещей.
Астероиды, например, - которые сцепились вместе - разлетятся, поскольку их гравитации окажется недостаточно, чтобы удержать камни вместе. Кометы, приближаясь к Солнцу, будут испаряться быстрее и демонстрировать еще более красивые хвосты. Если четвертое измерение вырастет достаточно большим, на Земле сильно уменьшатся гравитационные силы, в результате чего наша планета вырастет больше, особенно вдоль экватора.
Люди, живущие вблизи полюсов, почувствуют себя словно в среде с уменьшенной гравитацией, а люди на экваторе окажутся в опасности улететь в космос. На макроуровне знаменитый закон тяготения Ньютона - закон обратных квадратов - внезапно станет законом обратного куба, сильно уменьшая силу тяжести с расстоянием.
Если измерение достигнет размеров дистанции от Земли до Солнца, все в Солнечной системе окажется развязанным. Даже если это будет длиться всего пару дней в году - и если гравитация будет в норме каждые три месяца - наша полностью развалится всего за сто лет.
На Земле настали бы времена, когда мы не только получили бы возможность передвигаться «дополнительным» путем через пространстве, когда обзавелись бы не только дополнительным «направлением», помимо вверх-вниз, влево-право и вперед-назад, но и когда свойства гравитации изменились бы в худшую сторону. Мы прыгали бы выше и дальше, но последствия для ныне стабильной Вселенной были бы апокалиптическими.
Поэтому мечтать о появлении четвертого измерения точно не стоит. Впрочем, есть и позитивная нотка. Нам не пришлось бы беспокоиться о глобальном потеплении, поскольку увеличение расстояния до Солнца сильно охладило бы наш мир, быстрее, чем нарастающий атмосферный углекислый газ его нагревает.
- Перевод
Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.
На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление – это четвёртое измерение. Планета движется по кругу в четырёхмерном пространстве, а её «тень» в трёхмерном движется по эллипсу.
Что же это за 4-е измерение? Оно похоже на время, но это не совсем время. Это такое особенное время, которое течёт со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию между планетой и солнцем. И относительно этого времени планета двигается с постоянной скоростью по кругу в 4 измерениях. А в обычном времени его тень в трёх измерениях двигается быстрее, когда она находится ближе к солнцу.
Звучит странно – но это просто необычный способ представления обычной ньютоновской физики. Этот способ известен по крайней мере с 1980 года благодаря работе математического физика Юргена Мозера. А я узнал об этом, получив на email работу за авторством Джеспера Горансона под названием «Симметрии в задаче Кеплера» (8 марта 2015).
Самое интересное в этой работе – такой подход объясняет один интересный факт. Если взять любую эллиптическую орбиту, и повернуть её в 4-мерном пространстве, то мы получим другую допустимую орбиту.
Конечно, можно вращать эллиптическую орбиту вокруг солнца и в обычном пространстве, получая допустимую орбиту. Интересно то, что это можно делать в 4-мерном пространстве, например, заужая или расширяя эллипс.
В общем случае любую эллиптическую орбиту можно превратить в любую другую. Все орбиты с одинаковой энергией – это круговые орбиты на одной и той же сфере в 4-мерном пространстве.
Задача Кеплера
Допустим, у нас есть частица, которая двигается по закону обратных квадратов. Уравнением её движения будет
Где r - позиция как функция времени, r - расстояние от центра, m – масса, а k определяет силу. Отсюда можно вывести закон сохранения энергии
Для некоей константы E, зависящей от орбиты, но не меняющейся со временем. Если эта сила будет притяжением, то k > 0, а на эллиптической орбите E < 0. Будем звать частицу планетой. Планета двигается вокруг солнца, которое настолько тяжело, что его колебаниями можно пренебречь.
Будем исследовать орбиты с одной энергией E. Поэтому единицы массы, длины и времени можно принять любыми. Положим
M = 1, k = 1, E = -1/2
Это избавит нас от лишних букв. Теперь уравнение движения выглядит как
А закон сохранения говорит
Теперь, следуя идее Мозера, перейдём от обычного времени к новому. Назовём его s и потребуем, чтобы
Такое время идёт медленнее по мере удаления от солнца. Поэтому скорость планеты по удалению от солнца увеличивается. Это компенсирует тенденцию планет двигаться по мере удаления от солнца более медленно в обычном времени.
Теперь перепишем закон сохранения при помощи нового времени. Поскольку для производных по обычному времени я использовал точку, давайте будем использовать штрих для производных по времени s. Тогда к примеру:
Используя такую производную, Горансон показывает, что сохранение энергии можно записать в виде
А это ни что иное, как уравнение четырёхмерной сферы. Доказательство будет позже. Сейчас поговорим о том, что это для нас значит. Для этого нам надо совместить меж собой координату обычного времени t и пространственные координаты (x,y,z). Точка
Двигается в четырёхмерном пространстве по мере изменения параметра s. То есть, скорость этой точки, а именно
Двигается по четырёхмерной сфере. Это сфера радиуса 1 с центром в точке
Дополнительные расчёты показывают другие интересные факты:
T""" = -(t" - 1)
Это обычные уравнения гармонического осциллятора, но с дополнительной производной. Доказательство будет позже, а пока подумаем, что это значит. Словами это можно описать так: 4-мерная скорость v совершает простые гармонические колебания вокруг точки (1,0,0,0).
Но так как v в то же время остаётся на сфере с центром в этой точки, то можно заключить, что v двигается с постоянной скоростью по кругу на этой сфере. А это подразумевает, что среднее значение пространственных компонент 4-мерной скорости равно 0, а среднее t равно 1.
Первая часть понятна: наша планета в среднем не улетает от Солнца, поэтому её средняя скорость равна нулю. Вторая часть посложнее: обычное время t движется вперёд со средней скоростью 1 относительно нового времени s, но скорость его изменения колеблется синусоидально.
Проинтегрировав обе части
Мы получим
a . Уравнение говорит, что позиция r гармонически осциллирует вокруг точки a . Поскольку a не меняется со временем, это сохраняющаяся величина. Это называется вектором Лапласа-Рунге-Ленца.
Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа-Рунге-Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO(4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.
Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты – это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.
Горансон переносит этот подход на закон обратных квадратов в n-мерном пространстве. Получается, что эллиптические орбиты в n измерениях – это проекции круговых орбит из n+1 измерений.
Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол – симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.
Математические детали
Из-за обилия уравнений я поставлю вокруг важных уравнений рамки. Основные уравнения – сохранение энергии, сила и изменение переменных, которые дают:
Начинаем с сохранения энергии:
Затем используем
Чтобы получить
Немного алгебры – и получаем
Это показывает, что 4-мерная скорость
Остаётся на сфере единичного радиуса с центром в (1,0,0,0).
Следующий шаг – взять уравнение движения
И переписать его, используя штрихи (производные по s), а не точки (производные по t). Начинаем с
И дифференцируем, чтобы получить
Теперь используем другое уравнение для
И получаем
Теперь хорошо бы получить формулу и для r"". Сначала посчитаем
А затем продифференцируем
Подключим формулу для r", кое-что сократится, и мы получим
Вспомним, что закон сохранения говорит
А мы знаем, что t" = r. Поэтому,
Получаем
Поскольку t" = r, то получается
Как нам и нужно.
Теперь получим сходную формулу для r""" . Начнём с
И продиффиренцируем
Подключим формулы для r"" и r"" ". Кое-что сокращается, и остаётся
Проинтегрируем обе части и получаем
Для некоего постоянного вектора a . Это значит, что r гармонически осциллирует относительно a . Занятно, что и вектор r и его норма r осциллируют гармонически.
Квантовая версия планетарной орбиты – атом водорода. Всё, что мы посчитали, можно использовать и в квантовой версии. Подробности см. у Greg Egan,
