Момент импульса частицы L относительно начала координат О в классической механике определяется векторным произведением [г,р, т.е.

Такое определение в квантовой механике не имеет смысла, так как не существует состояния, в котором бы оба вектора г и р имели определенные значения.

Рассмотрим момент импульса квантовой частицы. В квантовой механике векторному произведению [г,р] соответствует оператор [г, р ]. Раскрывая это векторное произведение, находят операторы проекций момента импульса на координатные оси X, У, Z, например на ось Z:

Через эти проекции оператор вектора момента импульса выражается как

В дальнейшем будем использовать оператор проекции момента импульса на ось Z, но не в декартовой, а в сферической системе координат (г, 0, ср):

Оператор момента импульса зависит только от направления координатных осей. Поэтому его также называют оператором углового момента. Собственные значения операторов проекций момента импульса тоже не зависят от выбора начала координат.

Можно проверить и убедиться, что операторы проекций момента импульса L x , L y и L z не коммутируют между собой: L x L y y>^ L y L x y). Поэтому не существует состояния, в котором бы все три и даже какие-либо две из трех проекций L x , L v , L, имели определенные значения, отличные от нуля. Отметим, что в отличие от момента импульса у импульса одновременно измеримы три компоненты: р х, р у, р,.

Итак, не существует такого состояния квантовой частицы, в котором бы вектор момента импульса имел определенное значение, т.е. был бы полностью определен как по величине, так и по направлению. Исключением является только случай, когда L - 0 и все три проекции одновременно равны нулю: L x = L v = L, = 0.

Модуль момента импульса. Чтобы определить квадрат момента импульса частицы в состоянии ф, необходимо решить уравнение вида (27.5):

где оператор квадрата момента импульса L = L x + L y + L z . Можно пока-

зать, что для собственных значений оператора L справедливо

где / - орбитальное (азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента импульса движущейся микрочастицы

Видно, что эта величина является дискретной (квантованной).

Операторы L x , L y и L z (27.10) коммутируют с L . Следовательно,

можно одновременно определить величину момента импульса L (или ее квадрат L 2) и одну из его проекций (L x , L y или L ,). Обычно рассматривают проекцию на ось Z, так как в этом случае оператор L z задается более простой формулой (27.10).

Проекция момента импульса L z . Чтобы определить собственные значения и собственные функции оператора углового момента частицы, необходимо, согласно выражению (27.5), решить уравнение L-ф = 1.ф, т.е.

где волновая функция является функцией сферических координат: ф = ф(/*, 0, ф). Подстановка ф = Се аф (С = С(/%0)) приводит после сокращения на общий множитель Се а ф к уравнениям

Значит, решение уравнения (27.12) таково:

В силу требуемой однозначности ф при повороте вокруг оси Z на азимутальный угол ср, равный 2л, волновая функция не должна изменяться: ф(ф + 2л) = ф(ф). Поскольку функция в‘ а периодична с периодом 2л, то согласно (27.13) это равенство может выполняться только при условии

где число т называют магнитным квантовым числом. Таким образом, постоянную Планка Pi можно рассматривать как естественную единицу углового момента. Отметим, что уравнение (27.13) задает спектр разрешенных значений проекции момента импульса на выделенную ocbZ

Рис. 27.1. Возможная ориентация вектора момента импульса, например электрона, в состоянии с квантовым числом 1 = 2

Равенство (27.13) означает, что поскольку направление оси Z выбирают произвольно, то проекция углового момента на любое направление квантуется (рис. 27.1). Разумеется, схематическое изображение не следует понимать буквально, так как «вектор» L принципиально не имеет определенных направлений в пространстве. При определенном значении модуля углового момента и определенном значении проекции L, проекции L x и L y не имеют определенных значений (за исключением случая, когда все три компонента углового момента одновременно равны нулю). Значения L и L v отличные от (27.11а) и (27.13), не могут наблюдаться ни при каких условиях.

Проекция любого вектора не может быть больше модуля этого вектора, т.е. | L z Поэтому в соответствии с формулами (27.11а) и (27.13) выполняется условие

следовательно, максимальное значение т равно / и можно записать, что

При заданном / число т принимает (21 + 1) значений:

образующих спектр проекции L z = mb на любую выделенную ось Z (рис. 27.1).

Таким образом, квантовое число / задает и модуль углового момента, и все возможные значения его проекции на ось Z. Так, например, если орбитальное квантовое число / = 2 (рис. 27.1), то

Полученные результаты, определяющие возможные значения L и L v называют пространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически (рис. 27.1): по оси Z откладывают возможные значения mb, рассматривая их как проекции на ось Zвектора L длины й Л //(/ + 1).

Темы кодификатора ЕГЭ: импульс тела, импульс системы тел, закон сохранения импульса.

Импульс тела - это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса - это просто произведение размерности массы на размерность скорости:

Почему понятие импульса является интересным? Оказывается, с его помощью можно придать второму закону Ньютона несколько иную, также чрезвычайно полезную форму.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Пусть - равнодействующая сил, приложенных к телу массы . Начинаем с обычной записи второго закона Ньютона:

С учётом того, что ускорение тела равно производной вектора скорости, второй закон Ньютона переписывается следующим образом:

Вносим константу под знак производной:

Как видим, в левой части получилась производная импульса:

. ( 1 )

Соотношение ( 1 ) и есть новая форма записи второго закона Ньютона.

Второй закон Ньютона в импульсной форме. Производная импульса тела есть равнодействующая приложенных к телу сил.

Можно сказать и так: результирующая сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела.

Производную в формуле ( 1 ) можно заменить на отношение конечных приращений:

. ( 2 )

В этом случае есть средняя сила, действующая на тело в течение интервала времени . Чем меньше величина , тем ближе отношение к производной , и тем ближе средняя сила к своему мгновенному значению в данный момент времени.

В задачах, как правило, интервал времени достаточно мал. Например, это может быть время соударения мяча со стенкой, и тогда - средняя сила, действующая на мяч со стороны стенки во время удара.

Вектор в левой части соотношения ( 2 ) называется изменением импульса за время . Изменение импульса - это разность конечного и начального векторов импульса. А именно, если - импульс тела в некоторый начальный момент времени, - импульс тела спустя промежуток времени , то изменение импульса есть разность:

Подчеркнём ещё раз, что изменение импульса - это разность векторов (рис. 1 ):

Пусть, например, мяч летит перпендикулярно стенке (импульс перед ударом равен ) и отскакивает назад без потери скорости (импульс после удара равен ). Несмотря на то, что импульс по модулю не изменился (), изменение импульса имеется:

Геометрически эта ситуация показана на рис. 2 :

Модуль изменения импульса, как видим, равен удвоенному модулю начального импульса мяча: .

Перепишем формулу ( 2 ) следующим образом:

, ( 3 )

или, расписывая изменение импульса, как и выше:

Величина называется импульсом силы. Специальной единицы измерения для импульса силы нет; размерность импульса силы равна просто произведению размерностей силы и времени:

(Обратите внимание, что оказывается ещё одной возможной единицей измерения импульса тела.)

Словесная формулировка равенства ( 3 ) такова: изменение импульса тела равно импульсу действующей на тело силы за данный промежуток времени. Это, разумеется, снова есть второй закон Ньютона в импульсной форме.

Пример вычисления силы

В качестве примера применения второго закона Ньютона в импульсной форме давайте рассмотрим следующую задачу.

Задача. Шарик массы г, летящий горизонтально со скоростью м/с, ударяется о гладкую вертикальную стену и отскакивает от неё без потери скорости. Угол падения шарика (то есть угол между направлением движения шарика и перпендикуляром к стене) равен . Удар длится с. Найти среднюю силу,
действующую на шарик во время удара.

Решение. Покажем прежде всего, что угол отражения равен углу падения, то есть шарик отскочит от стены под тем же углом (рис. 3 ).

Согласно ( 3 ) имеем: . Отсюда следует, что вектор изменения импульса сонаправлен с вектором , то есть направлен перпендикулярно стене в сторону отскока шарика (рис. 5 ).

Рис. 5. К задаче

Векторы и
равны по модулю
(так как скорость шарика не изменилась). Поэтому треугольник, составленный из векторов , и , является равнобедренным. Значит, угол между векторами и равен , то есть угол отражения действительно равен углу падения.

Теперь заметим вдобавок, что в нашем равнобедренном треугольнике есть угол (это угол падения); стало быть, данный треугольник - равносторонний. Отсюда:

И тогда искомая средняя сила, действующая на шарик:

Импульс системы тел

Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами и соответственно. Импульс системы данных тел - это векторная сумма импульсов каждого тела:

Оказывается, для импульса системы тел имеется формула, аналогичная второму закону Ньютона в виде ( 1 ). Давайте выведем эту формулу.

Все остальные объекты, с которыми взаимодействуют рассматриваемые нами тела 1 и 2, мы будем называть внешними телами. Силы, с которыми внешние тела действуют на тела 1 и 2, называем внешними силами. Пусть - результирующая внешняя сила, действующая на тело 1. Аналогично - результирующая внешняя сила, действующая на тело 2 (рис. 6 ).

Кроме того, тела 1 и 2 могут взаимодействовать друг с другом. Пусть тело 2 действует на тело 1 с силой . Тогда тело 1 действует на тело 2 с силой . По третьему закону Ньютона силы и равны по модулю и противоположны по направлению: . Силы и - это внутренние силы, действующие в системе.

Запишем для каждого тела 1 и 2 второй закон Ньютона в форме ( 1 ):

, ( 4 )

. ( 5 )

Сложим равенства ( 4 ) и ( 5 ):

В левой части полученного равенства стоит сумма производных, равная производной суммы векторов и . В правой части имеем в силу третьего закона Ньютона:

Но - это импульс системы тел 1 и 2. Обозначим также - это результирующая внешних сил, действующих на систему. Получаем:

. ( 6 )

Таким образом, скорость изменения импульса системы тел есть равнодействующая внешних сил, приложенных к системе. Равенство ( 6 ), играющее роль второго закона Ньютона для системы тел, мы и хотели получить.

Формула ( 6 ) была выведена для случая двух тел. Теперь обобщим наши рассуждения на случай произвольного количества тел в системе.

Импульсом системы тел тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Если система состоит из тел, то импульс этой системы равен:

Дальше всё делается совершенно так же, как и выше (только технически это выглядит несколько сложнее). Если для каждого тела записать равенства, аналогичные ( 4 ) и ( 5 ), а затем все эти равенства сложить, то в левой части мы снова получим производную импульса системы, а в правой части останется лишь сумма внешних сил (внутренние силы, попарно складываясь, дадут нуль ввиду третьего закона Ньютона). Поэтому равенство ( 6 ) останется справедливым и в общем случае.

Закон сохранения импульса

Система тел называется замкнутой, если действия внешних тел на тела данной системы или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга. Таким образом, в случае замкнутой системы тел существенно лишь взаимодействие этих тел друг с другом, но не с какими-либо другими телами.

Равнодействующая внешних сил, приложенных к замкнутой системе, равна нулю: . В этом случае из ( 6 ) получаем:

Но если производная вектора обращается в нуль (скорость изменения вектора равна нулю), то сам вектор не меняется со временем:

Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы.

Простейшие задачи на закон сохранения импульса решаются по стандартной схеме, которую мы сейчас покажем.

Задача. Тело массы г движется со скоростью м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы г со скоростью м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение. Ситуация изображена на рис. 7 . Ось направим в сторону движения первого тела.

Рис. 7. К задаче

Поскольку поверхность гладкая, трения нет. Поскольку поверхность горизонтальная, а движение происходит вдоль неё, сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга:

Таким образом, векторная сумма сил, приложенных к системе данных тел, равна нулю. Это значит, что система тел замкнута. Стало быть, для неё выполняется закон сохранения импульса:

. ( 7 )

Импульс системы до удара - это сумма импульсов тел:

После неупругого удара получилось одно тело массы , которое движется с искомой скоростью :

Из закона сохранения импульса ( 7 ) имеем:

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

Переходим к проекциям на ось :

По условию имеем: м/с, м/с, так что

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси . Искомая скорость: м/с.

Закон сохранения проекции импульса

Часто в задачах встречается следующая ситуация. Система тел не является замкнутой (векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю), но существует такая ось , сумма проекций внешних сил на ось равна нулю в любой момент времени. Тогда можно сказать, что вдоль данной оси наша система тел ведёт себя как замкнутая, и проекция импульса системы на ось сохраняется.

Покажем это более строго. Спроектируем равенство ( 6 ) на ось :

Если проекция равнодействующей внешних сил обращается в нуль, , то

Следовательно, проекция есть константа:

Закон сохранения проекции импульса. Если проекция на ось суммы внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция импульса системы не меняется с течением времени.

Давайте посмотрим на примере конкретной задачи, как работает закон сохранения проекции импульса.

Задача. Мальчик массы , стоящий на коньках на гладком льду, бросает камень массы со скоростью под углом к горизонту. Найти скорость , с которой мальчик откатывается назад после броска.

Решение. Ситуация схематически показана на рис. 8 . Мальчик изображён прямогольником.

Рис. 8. К задаче

Импульс системы «мальчик + камень» не сохраняется. Это видно хотя бы из того, что после броска появляется вертикальная составляющая импульса системы (а именно, вертикальная составляющая импульса камня), которой до броска не было.

Стало быть, система, которую образуют мальчик и камень, не замкнута. Почему? Дело в том, что векторная сумма внешних сил не равна нулю во время броска. Величина больше, чем сумма , и за счёт этого превышения как раз и появляется вертикальная компонента импульса системы.

Однако внешние силы действуют только по вертикали (трения нет). Стало быть, сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось . До броска эта проекция была равна нулю. Направляя ось в сторону броска (так что мальчик поехал в направлении отрицательной полуоси), получим.

Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Если система состоит из N тел, то импульс этой системы равен:

p~ = p~1 + p~2 + : : : + p~N :

Дальше всё делается совершенно так же, как и выше (только технически это выглядит несколько сложнее). Если для каждого тела записать равенства, аналогичные (71 ) и (72 ), а затем все эти равенства сложить, то в левой части мы снова получим производную импульса системы, а в правой части останется лишь сумма внешних сил (внутренние силы, попарно складываясь, дадут нуль ввиду третьего закона Ньютона). Поэтому равенство (73 ) останется справедливым и в общем случае.

15.4 Закон сохранения импульса

Система тел называется замкнутой, если действия внешних тел на тела данной системы или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга. Таким образом, в случае замкнутой системы тел существенно лишь взаимодействие этих тел друг с другом, но не с какими-либо другими телами.

Равнодействующая внешних сил, приложенных к замкнутой системе, равна нулю: ~ внеш

В этом случае из (73 ) получаем:

dt = 0:

Но если производная вектора обращается в нуль (скорость изменения вектора равна нулю), то сам вектор не меняется со временем:

Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы.

Простейшие задачи на закон сохранения импульса решаются по стандартной схеме, которую мы сейчас покажем.

Задача. Тело массы m1 = 800 г движется со скоростью v1 = 3 м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m2 = 200 г со скоростью v2 = 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение. Ситуация изображена на рис. 45 . Ось X направим в сторону движения первого тела.

Поскольку поверхность гладкая, трения нет. Поскольку поверхность горизонтальная, а движение происходит вдоль неё, сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга:

Импульс системы до удара это сумма импульсов тел:

p~ до удара= m 1~v 1+ m 2~v 2:

После неупругого удара получилось одно тело массы m1 + m2 , которое движется с искомой скоростью ~v:

p~ после удара= (m 1+ m 2)~v:

Из закона сохранения импульса (74 ) имеем:

m1 ~v1 + m2 ~v2 = (m1 + m2 )~v:

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

~v = m1 ~v1 + m2 ~v2 : m 1 + m 2

Переходим к проекциям на ось X:

v x = m 1v 1x+ m 2v 2x: m 1 + m 2

По условию имеем: v1x = 3 м/с, v2x = 13 м/с, так что

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Искомая скорость: v = 0;2 м/с.

15.5 Закон сохранения проекции импульса

Часто в задачах встречается следующая ситуация. Система тел не является замкнутой (векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю), но существует такая ось X, что сумма проекций внешних сил на ось X равна нулю в любой момент времени. Тогда можно сказать, что вдоль данной оси наша система тел ведёт себя как замкнутая, и проекция импульса системы на ось X сохраняется.

Покажем это более строго. Спроектируем равенство (73 ) на ось X:

dt = F внеш; x:

Если проекция равнодействующей внешних сил обращается в нуль, Fвнеш; x = 0, то

dp dt x = 0:

Следовательно, проекция px есть константа:

px = const:

Закон сохранения проекции импульса. Если проекция на ось X суммы внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция px импульса системы не меняется с течением времени.

Давайте посмотрим на примере конкретной задачи, как работает закон сохранения проекции импульса.

Задача. Мальчик массы M, стоящий на коньках на гладком льду, бросает камень массы m со скоростью v под углом к горизонту. Найти скорость u, с которой мальчик откатывается назад после броска.

Решение. Ситуация схематически показана на рис. 46 . Мальчик изображён прямогольником.

Рис. 46. К задаче

Импульс системы ¾мальчик + камень¿ не сохраняется. Это видно хотя бы из того, что после броска появляется вертикальная составляющая импульса системы (а именно, вертикальная составляющая импульса камня), которой до броска не было.

Стало быть, система, которую образуют мальчик и камень, не замкнута. Почему? Дело в

том, что векторная сумма внешних сил ~ не равна нулю во время броска. Величина

больше, чем сумма Mg + mg, и за счёт этого превышения как раз и появляется вертикальная компонента импульса системы.

Однако внешние силы действуют только по вертикали (трения нет). Стало быть, сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось X. До броска эта проекция была равна нулю. Направляя ось X в сторону броска (так что мальчик поехал в направлении отрицательной полуоси), получим:

Mu + mv0 cos = 0;

u = mv 0 cos :M

Задача 1

Вдоль оси Ох движется тело массой m =1 кг со скоростью V 0 = 2 м/с. Вдоль направления движения действует сила F = 4 Н в течение некоторого времени t = 2 с. Определите скорость тела после окончания действия этой силы.

Для решения этой задачи в первую очередь важно вспомнить о том, что такое, импульс тела .

Рис. 1. Выбор системы отсчета

Вспоминая, что импульс силы – это изменение импульса тела, запишем следующее выражение: .

Теперь уравнение согласуем с выбранной системой отсчета. Сила F при проекции на ось Х будет с положительным знаком, а значит: .

Затем, преобразовав это уравнение, выделив из него ту скорость, которую нужно определить, запишем следующее выражение: .

Ответ: 10 м/с.

Задача 2

Тележка с человеком на ней движется вдоль прямой со скоростью 2 м/с. Человек спрыгивает с тележки в горизонтальном направлении, противоположном направлению движения тележки, со скоростью 1 м/с. Определите скорость тележки после того, как с нее спрыгнул человек. Масса человека в 1,5 раза больше, чем масса тележки.

Рис. 2. Проекции импульса тел на ось Х

В первом случае, обратите внимание, и тележка, и человек едут вместе, значит, скорость у них одинакова, мы можем записать для данной системы отсчета, связанной с осью Ох, следующее выражение: .

Затем, когда человек спрыгивает с тележки, этих двух тел можно записать следующим образом: .

Знак минус показывает, что скорость человека направлена в противоположную сторону, а скорость тележки со знаком плюс будет направлена в ту же сторону, что и первоначальная скорость, т.е. вдоль оси Ох.

Записав эти выражения для начального состояния и состояния после взаимодействия, воспользуемся законом сохранения импульса.

По закону сохранения импульса импульс в первом случае будет равен импульсу во втором случае: Р 0х = Р х. .

Записав это соотношение, переписываем, раскрываем скобки выражений: (m 1 + m 2) . V 1 =- m 2 . V 2 + m 1 . V ¢ 1 .

Скорость V¢ 1 и нужно определить. Выразим массу человека через массу тележки, но так, чтобы масса была выражена в одних единицах: (m 1 +1,5 m 1) . V 1 =-1,5 m 1 . V 2 + m 1 . V ¢ 1 .

Массу m 1 мы можем вынести за скобку и сократить: 2,5 m 1 . V 1 =-1,5 m 1 . V 2 + m 1 . V ¢ 1 . Когда подставляем значения для скоростей, получаем ответ: .

М Эта задача хорошо иллюстрирует реактивное движение. Человек, который спрыгнул с тележки в противоположную сторону, увеличил скорость самой тележки. Не правда ли, это хорошо сочетается с тем, как из ракеты вырываются с некоторой скоростью газы и придают дополнительную скорость оболочке, т.е. самой ракете.

Задача 3

Шарик массой m 1 = 1 кг . скользит по идеально гладкой поверхности со скоростью v 1 = 4 м/с и абсолютно упруго сталкивается с таким же по размеру шариком массой m 2 = 3 кг . Определите скорость шариков после удара?
Решение:
По закону сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе .

ОХ:

Ответ: 1 м/с

Задача 4

Мячик массой 70 г . падает на пол под углом 60 0 к нормали и под таким же углом отскакивает без потери скорости. Определите импульс суммарной силы, действовавшей на мячик во время удара, если его скорость равна 30 м/с .
Решение:
Покажем на рисунке изменения скорости мячика в процессе удара:
Запишем 2-й закон Ньютона
По построению определяем, что . Величина импульса суммарной силы, действовавшей на мячик во время удара, равна
Ответ:

Задача 5

Мальчик массой 40 кг , стоя на коньках кидает камень массой 1 кг со скоростью 8 м/с . под углом 60 0 к горизонту. Определите скорость, с которой мальчик начнет двигаться по льду в результате броска?

Решение:
На систему мальчик - камень не действуют ни какие горизонтальный силы. В инерциальной системе отчета, связанной с землей, проекция суммарного импульса системы на горизонтальную ось должны оставаться неизменной:
Скорость мальчика после броска
Ответ: 0.1 м/с

Задача 6 0.04 м/с

Задача 7

Снаряд в верхней точке своей траектории разорвался на два осколка с массами m 1 =3 кг и m 2 =5 кг. Скорость снаряда непосредственно перед разрывом равнялась v 0 =600 м/с, скорость большего осколка сразу после разрыва равнялась v 2 =800 м/с, а направление ее совпало с направлением движения снаряда перед разрывом. Определите скорость малого осколка сразу после разрыва.

Решение:
Выберем за положительное направление скорости снаряда v 0 и запишем закон сохранения импульса.




Значит, и меньший осколок летел в том же направлении.
Ответ:

Закон сохранения импульса является следствием законов Ньютона и применяется для определения мгновенных скоростей тел после их взаимодействия.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина равная произведению массы тела на его скорость p -> = mϑ -> , где m – масса тела, ϑ -> – мгновенная скорость. Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов тел p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + … + p n -> .

Согласно первому закону Ньютона, если тела не взаимодействуют, сохраняется импульс каждого тела и импульс нескольких тел входящих в систему. При взаимодействии внутри системы, между телами возникают пары сил равные по величине и противоположные по направлению, согласно третьему закону Ньютона.

Векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы в течении некоторого промежутка времени называется импульсом силы и обозначается F -> Δt. Из второго закона Ньютона в случае действия одной силы и определения ускорения следует F -> = ma -> , a -> = (ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

F -> = m(ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = mϑ -> – mϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

Это уравнение является законом сохранения импульса в импульсной форме. Импульс силы (равнодействующей) равен изменению импульса тела (материальной точки). В замкнутой системе взаимодействия происходят попарно, причем импульс одного тела изменяется на величину F 21 -> Δt, импульс второго на F 12 -> Δt, где F 12 -> – сила, действующая со стороны первого тела на второе и F 21 -> – сила действующая со стороны второго тела на первое.

Замкнутой назовем систему тел, взаимодействующих только между собой.

Импульс первого тела изменяется на величину F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt, импульс второго тела изменяется на величину F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. Но импульс системы тел остается постоянной величиной

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> , так как F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0, поскольку F 12 -> = -F 21 -> .

При любом взаимодействии двух тел внутри замкнутой системы импульс всей системы не изменяется. Сформулируем закон сохранения импульса.

Векторная сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной.

При использовании закона сохранения импульса в задаче делаем два схематических рисунка, показывая состояние системы тел до и после взаимодейсвия. Для решения векторных уравнений выбираем одинаковые системы координат.

Задача 1. Неупругий удар.

Вагон массой 30 т движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижной платформой массой 10 т. Найти скорость вагона и платформы после того, как сработает автосцеп.

Решение.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1ϑ 1 -> = (M1 + M2)ϑ ->

ОХ: M 1 ϑ 1 = (M 1 + M 2)ϑ

Отсюда: ϑ = M 1 ϑ 1 /(M 1 + M 2);

ϑ = (30 · 103 · 4) / (30 · 103 + 10 · 103) = 0,75 м/c

[ϑ] = (кг · м/с)/кг = м/с

Ответ. 0,75 м/c

Закон сохранения импульса также можно применить для незамкнутых систем, если взаимодействие тел происходит мгновенно и определяются скорости тел сразу после взаимодействия.

Задача 2. Разделение на части.

Граната, летящая со скоростью 20 м/с, разрывается на два осколка массами 1,2 кг и 1,8 кг. Больший осколок продолжает двигаться в том же направлении со скоростью 50 м/с. Найти скорость меньшего осколка.

Решение.

Система не замкнута на тело и его части действует сила тяжести, но так как разрыв происходит мгновенно, изменением импульса каждой части силой тяжести можно пренебречь. Применим закон сохранения импульса в векторном виде.

Mϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M 2 ϑ -> 2

ОХ: Mϑ = M 1 ϑ 1 + M 2 ϑ 2

Отсюда: ϑ 2х = (Mϑ - M 1 ϑ 1)/M 2

ϑ 2х = (3 · 20 – 1,8 · 50)/1,2 = -25 м/с

[ϑ] = (кг · м/с)/кг = м/с

Ответ.

Закон сохранения импульса может быть применен в проекциях на ось, если проекция равнодействующей внешних сил на эту ось равна О. p х = 0; p 01х + p 02х = p 1х + p 2х.

Задача 3. Выстрел под углом.

Из орудия, установленного на платформе массой М, производят выстрел снарядом массы m под углом a к горизонту и скоростью V относительно земли, определить скорость платформы после выстрела.

Решение.

Система не замкнута, на тело во время выстрела действует дополнительная сила реакции опоры, которая сообщает снаряду импульс вдоль вертикальной оси ОY, ее проекция на горизонтальную ось ОХ равна 0, других сил, действующих вдоль оси ОХ нет, значит можно применить закон сохранения импульса в проекциях на ось ОХ.

p х = p 1х + p 2х

ОХ: 0 = МU x + mϑ x

0 = МU x + mϑ cosα

U x = m ϑcosα/М

[U] = (кг · м/с)/кг = м/с

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу на закон сохранения импульса?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Главная » Правила в английском языке » Импульс. Закон сохранения импульса