Как научиться решать дробные рациональные уравнения. Решение дробных рациональных уравнений

§ 1 Целое и дробное рациональные уравнение

В этом уроке разберем такие понятия, как рациональное уравнение, рациональное выражение, целое выражение, дробное выражение. Рассмотрим решение рациональных уравнений.

Рациональным уравнением называют уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями.

Рациональные выражения бывают:

Дробные.

Целое выражение составлено из чисел, переменных, целых степеней с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Например:

В дробных выражениях есть деление на переменную или выражение с переменной. Например:

Дробное выражение не при всех значениях входящих в него переменных имеет смысл. Например, выражение

при х = -9 не имеет смысла, так как при х = -9 знаменатель обращается в нуль.

Значит, рациональное уравнение может быть целым и дробным.

Целое рациональное уравнение - это рациональное уравнение, в котором левая и правая части - целые выражения.

Например:

Дробное рациональное уравнение - это рациональное уравнение, в котором или левая, или правая части - дробные выражения.

Например:

§ 2 Решение целого рационального уравнения

Рассмотрим решение целого рационального уравнения.

Например:

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него дробей.

Для этого:

1. найдем общий знаменатель для знаменателей 2, 3, 6. Он равен 6;

2. найдем дополнительный множитель для каждой дроби. Для этого общий знаменатель 6 делим на каждый знаменатель

дополнительный множитель для дроби

дополнительный множитель для дроби

3. умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители. Таким образом, получим уравнение

которое равносильно данному уравнению

Слева раскроем скобки, правую часть перенесем налево, изменив знак слагаемого при переносе на противоположный.

Приведем подобные члены многочлена и получим

Видим, что уравнение линейное.

Решив его, найдем, что х = 0,5.

§ 3 Решение дробного рационального уравнения

Рассмотрим решение дробного рационального уравнения.

Например:

1.Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него рациональных дробей.

Найдем общий знаменатель для знаменателей х + 7 и х - 1.

Он равен их произведению (х + 7)(х - 1).

2.Найдем дополнительный множитель для каждой рациональной дроби.

Для этого общий знаменатель (х + 7)(х - 1) делим на каждый знаменатель. Дополнительный множитель для дроби

равен х - 1,

дополнительный множитель для дроби

равен х+7.

3.Умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители.

Получим уравнение (2х - 1)(х - 1) = (3х + 4)(х + 7), которое равносильно данному уравнению

4.Слева и справа умножим двучлен на двучлен и получим следующее уравнение

5.Правую часть перенесем налево, изменив знак каждого слагаемого при переносе на противоположный:

6.Приведем подобные члены многочлена:

7.Можно обе части разделить на -1. Получим квадратное уравнение:

8.Решив его, найдем корни

Так как в уравнении

левая и правая части - дробные выражения, а в дробных выражениях при некоторых значениях переменных знаменатель может обратиться в нуль, то необходимо проверить, не обращается ли в нуль при найденных х1 и х2 общий знаменатель.

При х = -27 общий знаменатель (х + 7)(х - 1) не обращается в нуль, при х = -1 общий знаменатель также не равен нулю.

Следовательно, оба корня -27 и -1 являются корнями уравнения.

При решении дробного рационального уравнения лучше сразу указать область допустимых значений. Исключить те значения, при которых общий знаменатель обращается в нуль.

Рассмотрим еще один пример решения дробного рационального уравнения.

Например, решим уравнение

Знаменатель дроби правой части уравнения разложим на множители

Получим уравнение

Найдем общий знаменатель для знаменателей (х - 5), х, х(х - 5).

Им будет выражение х(х - 5).

теперь найдем область допустимых значений уравнения

Для этого общий знаменатель приравняем к нулю х(х - 5) = 0.

Получим уравнение, решив которое, найдем, что при х = 0 или при х = 5 общий знаменатель обращается в нуль.

Значит, х = 0 или х = 5 не могут быть корнями нашего уравнения.

Теперь можно найти дополнительные множители.

Дополнительным множителем для рациональной дроби

дополнительным множителем для дроби

будет (х - 5),

а дополнительный множитель дроби

Числители умножим на соответствующие дополнительные множители.

Получим уравнение х(х - 3) + 1(х - 5) = 1(х + 5).

Раскроем скобки слева и справа, х2 - 3х + х - 5 = х + 5.

Перенесем слагаемые справа налево, изменив знак переносимых слагаемых:

Х2 - 3х + х - 5 - х - 5 = 0

И после приведения подобных членов получим квадратное уравнение х2 - 3х - 10 = 0. Решив его, найдем корни х1 = -2; х2 = 5.

Но мы уже выяснили, что при х = 5 общий знаменатель х(х - 5) обращается в нуль. Следовательно, корнем нашего уравнения

будет х = -2.

§ 4 Краткие итоги урока

Важно запомнить:

При решении дробных рациональных уравнений надо поступить следующим образом:

1.Найти общий знаменатель дробей входящих в уравнение. При этом если знаменатели дробей можно разложить на множители, то разложить их на множители и затем найти общий знаменатель.

2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель: найти дополнительные множители, умножить числители на дополнительные множители.

3.Решить получившееся целое уравнение.

4.Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Список использованной литературы:

1. Макарычев Ю.Н., Н. Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б. / Под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: учебн. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2013.
2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина.
3. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс.- М.: ВАКО, 2010.
4. Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учитель, 2005.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Целое выражение - это математическое выражение, составленное из чисел и буквенных переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к целым относятся выражения, которые имеют в своем составе деление на какое-либо число, отличное от нуля.

Понятие дробного рационального выражения

Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит также деление на выражения с буквенными переменными.

Рациональные выражения - это все целые и дробные выражения. Рациональные уравнения - это уравнения, у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая и правая части будут являться целыми выражениями, то такое рациональное уравнение называется целым.

Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.

Примеры дробных рациональных выражений

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Схема решения дробного рационального уравнения

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Так как мы решаем дробные рациональные уравнения, то в знаменателях дробей будут переменные. Значит, будут они и в общем знаменателе. А во втором пункте алгоритма мы умножаем на общий знаменатель, то могут появится посторонние корни. При которых общий знаменатель будет равен нулю, а значит и умножение на него будет бессмысленным. Поэтому в конце обязательно делать проверку полученных корней.

Рассмотрим пример:

Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Будем придерживаться общей схемы: найдем сначала общий знаменатель всех дробей. Получим x*(x-5).

Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Упростим полученное уравнение. Получим:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5.

Теперь производим проверку полученных решений:

Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель. При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 будет являться корнем исходного дробного рационального уравнения.

При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.

В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.

Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.

У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.

Итак, начнем.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:

В этом месте замена переменной становится очевидной:

Получаем уравнение

Ответ:

2 .

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Получим уравнение:

Ответ:

3 .

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

4 .

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Теперь мы вводим замену переменной:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:

Ответ: или

7 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

Главная » Правила в английском языке » Как научиться решать дробные рациональные уравнения. Решение дробных рациональных уравнений