Пружинный маятник.
Вопросы.
1. Как меняются скорость и кинетическая энергия маятника (см. рис. 49) при приближении шарика к положению равновесия? Почему?
2. Что можно сказать о полной механической энергии колеблющегося маятника в любой момент времени, если допустить, что потерь энергии нет? Согласно какому закону это можно утверждать?
Если потерь энергии нет, то согласно закону сохранения полной механической энергии она остается постоянной и равна той, которая была у колебательной системы в начале.
3. Может ли тело, находясь в реальных условиях, совершать колебательное движение без потерь энергии?
В реальных условиях тело не может совершать колебательные движения без потерь энергии, часть её расходуется на преодоления сил трения, преобразуясь во внутреннюю энергию (нагревается).
4. Как меняется с течением времени амплитуда затухающих колебаний?
Амплитуда затухающих колебаний с течением времени уменьшается.
5. Где быстрее прекратятся колебания маятника: в воздухе или в воде? (Начальный запас энергии в обоих случаях одинаков).
В воде сила сопротивления больше чем в воздухе (т.к. вода плотнее), поэтому в ней быстрее прекратятся колебания маятника.
Упражнения.
1. Горизонтальный пружинный маятник, изображенный на рисунке 49, отвели в сторону и отпустили. Как меняются перечисленные в таблице величины, характеризующие колебательное движение этого маятника, на указанных участках его пути? Перечертите таблицу 1 в тетрадь и заполните её.
2. На рисунке 63 изображен шарик на нити, колеблющийся без трения между точками А и В. Находясь в точке В, этот маятник обладает потенциальной энергией, равной 0,01 Дж относительно горизонтали 1, принятой за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии. Чему равна: а) потенциальная энергия шарика в точках А и О; б) кинетическая энергия шарика в точках В, О и А; в) полная механическая энергия шарика в точках В, D, О, С и А?
Пружинный
маятник представляет собой материальную
точку массой
,
прикрепленную к абсолютно упругой
невесомой пружине с жесткостью
.
Различают два наиболее простых случая:
горизонтальный (рис.15,а
) и
вертикальный (рис.15, б
)
маятники.
а)
Горизонтальный
маятник
(рис.
15,а). При смещении груза
из
положения равновесия
на величину
на него действует в горизонтальном
направлениивозвращающая
упругая сила
(закон
Гука).
Предполагается,
что горизонтальная опора, по которой
скользит груз
при своих колебаниях, абсолютно гладкая
(трения нет).
б) Вертикальный маятник (рис.15, б ). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:
где
- величина упругой силы, действующей на
груз
при статическом растяжении пружины на
под действием силы тяжести груза
.
а |
|
Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный
Если
растянуть пружину и отпустить груз, то
он начнет совершать вертикальные
колебания. Если смещение в какой-то
момент времени будет
,
то сила упругости запишется теперь как
.
В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом
(27)
.
(28)
На
примере рассмотрения пружинного маятника
можно сделать вывод о том, что гармонические
колебания – это движение, вызванное
силой, возрастающей пропорционально
смещению
.
Таким образом, если
возвращающая сила по виду напоминает
закон Гука
(она
получила название
квазиупругой
силы
),
то система должна совершать гармонические
колебания.
В момент прохождения положения равновесия
на тело не действует возвращающая сила,
однако, тело по инерции проскакивает
положение равновесия и возвращающая
сила меняет направление на противоположное.
Математический маятник
Рис.16.
Математический маятник,
которая совершает малые колебания под
действием силы тяжести (рис. 16).
Колебания
такого маятника при малых углах отклонения
(не превышающих 5º) можно считать
гармоническими, и циклическая частота
математического маятника:
,
(29)
а период:
.
(30)
2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях
Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.
Пусть
пружинный маятник совершает гармонические
колебания с начальной фазой
,
т.е.
(рис.17).
Рис.17. Закон сохранения механической энергии
при колебаниях пружинного маятника
При
максимальном отклонении груза от
положения равновесия полная механическая
энергия маятника (энергия деформированной
пружины с жесткостью
)
равна
.
При прохождении положения равновесия
(
)
потенциальная энергия пружины станет
равной нулю, и полная механическая
энергия колебательной системы определится
как
.
На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).
Рис.18. Графики временной зависимости кинетической
и потенциальной энергии при гармонических колебаниях
Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.
Пружинный маятник - это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 1, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами.
К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия.
Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили . Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение x m пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна.
Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.
По закону Гука F x = -kx. По второму закону Ньютона F x = ma x . Следовательно, ma x = -kx. Отсюда
Динамическое уравнение движения пружинного маятника.
Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний , видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой