Способ определения надежности основанный на дисперсионном анализе. Принцип применения метода дисперсионного анализа
Сущность и схема дисперсионного анализа
Дисперсионный анализ основан на работах знаменитого математика Р.А.Фишера . Несмотря на достаточно солидный «возраст», данный метод до сих пор остается одним из основных при проведении биологических и сельскохозяйственных исследований. Идеи, положенные в основу дисперсионного анализа, широко используются во многих других методах математического анализа экспериментальных данных, а также при планировании биологических и сельскохозяйственных экспериментов.
Дисперсионный анализ позволяет:
1) сравнивать две или несколько выборочных средних;
2) одновременно изучать действие нескольких независимых факторов, при этом можно определить как эффект каждого фактора в изменчивости изучаемого признака, так и их взаимодействие;
3) правильно планировать научный эксперимент.
Изменчивость живых организмов проявляется в виде разброса или рассеяния значений отдельных признаков в пределах, которые определяются степенью биологической выравненности материала и характером взаимосвязей с условиями среды. Признаки, изменяющиеся под воздействием тех или иных причин, называют результативными .
Факторы это любые воздействия или состояния, разнообразие которых может так или иначе отражаться на разнообразии результативного признака. Под статистическим влиянием факторов в дисперсионном анализе понимается отражение в разнообразии результативного признака того разнообразия изучаемых факторов, которое организовано в исследовании.
Под разнообразием будем понимать наличие неодинаковых значений каждого признака у разных особей, объединенных в группу. Разнообразие группы особей по изучаемому признаку может иметь разную степень, которая обычно измеряется показателями разнообразия (или изменчивости): лимитами, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации. В дисперсионном анализе степень разнообразия индивидуальных и средних значений признака измеряется и сравнивается особыми способами, составляющими специфику этого общего метода.
Организация факторов заключается в том, что каждому изучаемому фактору придается несколько значений. В соответствии с этими значениями каждый фактор разбивается на несколько градаций; для каждой градации подбирается по принципу случайной выборки несколько особей, у которых впоследствии и измеряется величина результативного признака.
Для того, чтобы выяснить степень и достоверность влияния изучаемых факторов, надо измерить и оценить ту часть общего разнообразия, которая вызывается этими факторами.
Факторы, влияющие на степень варьирования результативного признака, делятся на:
1)регулируемые
2) случайные
Регулируемые (систематические) факторы вызываются действием изучаемого в эксперименте фактора, который имеет в опыте несколько градаций. Градация фактора – это степень его воздействия на результативный признак. В соответствии с градациями признака выделяется несколько вариантов опыта для сравнения. Поскольку эти факторы предварительно обусловлены, их называют регулируемыми в исследованиях, т.е. заданными, зависящими от организации опыта. Следовательно, регулируемые факторы – факторы, действие которых изучается в опыте, именно они и обусловливают различия между средними выборочными разных вариантов–межгрупповую (факториальную) дисперсию.
Случайные факторы определяются естественным варьированием всех признаков биологических объектов в природе. Это неконтролируемые в опыте факторы. Они оказывают случайное влияние на результативный признак, обусловливают экспериментальные ошибки и определяют внутри каждого варианта разброс (рассеяние) признака. Этот разброс носит название внутригрупповой (случайной) дисперсии .
Таким образом, относительная роль отдельных факторов в общей изменчивости результативного признака характеризуется дисперсией и может быть изучена с помощью дисперсионного анализа или анализа рассеяния
Дисперсионный анализ основан на сравнении межгрупповой и внутригрупповой дисперсий . Если межгрупповая дисперсия не превышает внутригрупповую, значит, различия между группами имеют случайный характер. Если межгрупповая дисперсия существенно выше, чем внутригрупповая, то между изучаемыми группами (вариантами) существуют статистически значимые различия, обусловленные действием изучаемого в опыте фактора.
Из этого следует, что при статистическом изучении результативного признака при помощи дисперсионного анализа следует определить его варьирование по вариантам, повторениям, остаточное варьирование внутри этих групп и общее варьирование результативного признака в опыте. В соответствии с этим различают три вида дисперсий :
1) Общую дисперсию результативного признака (S y 2);
2) Межгрупповую, или частную, между выборками (S y 2);
3) Внутригрупповую, остаточную (S z 2).
Следовательно, дисперсионный анализ – это расчленение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на части или компоненты, соответствующие структуре эксперимента, и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F-критерию. В зависимости от числа одновременно исследуемых факторов различают двух-, трех-, четырехфакторный дисперсионный анализ.
При обработке полевых однофакторных статистических комплексов, состоящих из нескольких независимых вариантов, общая изменчивость результативного признака, измеряемая общей суммой квадратов (С y), расчленяется на три компонента: варьирование между вариантами (выборками) – С V , варьирование повторений (варианты связаны между собой общим контролируемым условием – наличием организованных повторений) – С p и варьирование внутри вариантов С z . В общей форме изменчивость признака представлена следующим выражением:
С y = С V +С p + С z .
Общее число степеней свободы (N -1) также расчленяется на три части:
степени свободы для вариантов (l – 1);
степени свободы для повторений (n – 1);
случайного варьирования (n – 1) × (l – 1).
Суммы квадратов отклонений, по данным полевого опыта – статистического комплекса с вариантами – l и повторениями – n, находят следующим образом. Сначала с помощью исходной таблицы определяют суммы по повторениям – Σ P , вариантам – Σ V и общую сумму всех наблюдений - Σ X.
Затем вычисляют следующие показатели:
Общее число наблюдений N = l × n;
Корректирующий фактор (поправку) С кор = (Σ X 1) 2 / N;
Общую сумму квадратов Cy = Σ X 1 2 – C кор;
Сумму квадратов для повторений C p = Σ P 2 / (l –C кор);
Сумму квадратов для вариантов C V = Σ V 2 / (n – 1);
Сумму квадратов для ошибки (остаток) C Z = C y - C p - C V .
Полученные суммы квадратов C V и C Z делят на соответствующие им степени свободы и получают два средних квадрата (дисперсии):
Вариантов S v 2 = C V / l – 1;
Ошибки S Z 2 = C Z / (n – 1)×(l – 1).
Оценка существенности разностей между средними. Полученные средние квадраты используют в дисперсионном анализе для оценки значимости действия изучаемых факторов путем сравнения дисперсии вариантов (S v 2) с дисперсией ошибки (S Z 2) по критерию Фишера (F = S Y 2 / S Z 2). За единицу сравнения принимают средний квадрат случайной дисперсии, который определяет случайную ошибку эксперимента.
Применение критерия Фишера позволяет установить наличие или отсутствие существенных различий между выборочными средними, но не указывает конкретных различий между средними.
Проверяемой H o – гипотезой является предположение - все выборочные средние являются оценками одной генеральной средней и различия между ними несущественны. Если F факт = S Y 2 / S Z 2 ≤ F теор , то нулевая гипотеза не отвергается. Между выборочными средними нет существенных различий, и на этом проверка заканчивается. Нулевая гипотеза отвергается при F факт = S Y 2 / S Z 2 ≥ F теор Значение F- критерия для принятого в исследовании уровня значимости находят в соответствующей таблице с учетом степеней свободы для дисперсии вариантов и случайной дисперсии. Обычно пользуются 5%-ным уровнем значимости, а при более строгом подходе 1% - ным и даже 0,1%-ным.
Для выборки объема n выборочная дисперсия вычисляется как сумма квадратов отклонений от выборочного среднего, деленная на n-1 (объем выборки минус единица). Таким образом, при фиксированном объеме выборки n дисперсия есть функция суммы квадратов (отклонений), обозначаемая, для краткости, SS(от английского Sum of Squares – Сумма квадратов). Далее слово выборочная мы часто опускаем, прекрасно понимая, что рассматривается выборочная дисперсия или оценка дисперсии. В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты.:
SS ошибок и SS эффекта. Внутригрупповая изменчивость (SS ) обычно называется остаточной компонентой или дисперсией ошибки. Это означает, что обычно при проведении эксперимента она не может быть предсказана или объяснена. С другой стороны, SS эффекта (или компоненту дисперсии между группами) можно объяснить различием между средними значениями в группах. Иными словами, принадлежность к некоторой группе объясняет межгрупповую изменчивость, т.к. нам известно, что эти группы обладают разными средними значениями.
Основная логика дисперсионного анализа. Подводя итоги, можно сказать, что целью дисперсионного анализа является проверка статистической значимости различия между средними (для групп или переменных). Эта проверка проводится с помощью разбиения суммы квадратов на компоненты, т.е. с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (то есть внутригрупповой изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Последняя компонента дисперсии затем используется для анализа статистической значимости различия между средними значениями. Если это различие значимо , нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о существовании различия между средними.
Зависимые и независимые переменные. Переменные, значения которых определяется с помощью измерений в ходе эксперимента (например, балл, набранный при тестировании), называются зависимыми переменными. Переменные, которыми можно управлять при проведении эксперимента (например, методы обучения или другие критерии, позволяющие разделить наблюдения на группы или классифицировать) называются факторами или независимыми переменными.
Множество факторов. Мир по своей природе сложен и многомерен. Ситуации, когда некоторое явление полностью описывается одной переменной, чрезвычайно редки. Например, если мы пытаемся научиться выращивать большие помидоры, следует рассматривать факторы, связанные с генетической структурой растений, типом почвы, освещенностью, температурой и т.д. Таким образом, при проведении типичного эксперимента приходится иметь дело с большим количеством факторов. Основная причина, по которой использование дисперсионного анализа предпочтительнее повторного сравнения двух выборок при разных уровнях факторов с помощью серий t- критерия, заключается в том, что дисперсионный анализ существенно более эффективен и, для малых выборок, более информативен.
Вывод. Дисперсионный анализ разработан и введен в практику сельскохозяйственных и биологических исследований английским ученым Р. А. Фишером. Сущность дисперсионного анализа заключается, в разложении общей изменчивости признака и общего числа степеней свободы на составляющие части, соответствующие структуре полевого опыта, также в оценке действующего фактора по критерию Фишера.
Где Общая изменчивость признака, обусловленная действием изучаемого вопроса, неоднородностью почвенного плодородия и случайными ошибками в опыте.
Варьирование урожаев по повторениям полевого опыта.
Варьирование урожаев по вариантам опыта, связанное с действием изучаемого вопроса.
Варьирование урожаев, связанное со случайными ошибками в опыте.
Вывод в дисперсионном анализе делается согласно следующим правилам:
1. В опыте есть существенные различия, если Fфактическое ≥Fтеоритическое. В опыте нет существенных различий, если Fфактическое 2. НСР – Наименьшая существенная разность, используестся для определения разности между вариантами. Если разность d≥ НСР, то различия между вариантами существенные. Если d< НСР, то различия между вариантами не существенные. Группы
вариантов. 1. Если разница d– существенная, и указывает на повышение урожайности, то варианты относятся к 1 группе. 2. Если разница d– не существенная, то варианты относятся ко 2 группе. 3. Если разница d– существенная, но указывает на снижение урожайности, то варианты относятся к 3 группе. Выбор формулы
дисперсионного анализа зависит от методов размещения вариантов в опыте: 1. Для организованных повторений: 2. Для неорганизованных повторений: 3. Для Латинского квадрата и Латинского прямоугольника. Множественные сравнения.
Довольно часто возникает задача сравнения не двух групп (выборок), а нескольких – так называемая задача множественных сравнений
. Например, различных возрастных, профессиональных, социальных слоев населения, или влияния различных доз препарата, методов диагностики и т.д. При исследовании нового лекарственного препарата нас может интересовать не только вопрос о достоверности влияния препарата на величину некоторого параметра Х (например, систолического давления или уровня холестерина), но и значимо ли воздействие различных доз препарата. То есть нам надо изучить влияние фактора Дозы(F 1),
а выборки (группы) составленные из значений параметра Х для различных доз называются – уровни фактора дозы
. Так же нас может интересовать фактор Времени (F 2)
, когда применяют препарат (утро, день вечер или более мелкая градация – это уровни фактора Времени
) и влияние фактора Возраста пациента (F 3)
и т.д. В этом случае рекомендуется на начальном этапе провести факторный дисперсионный
анализ
, который позволяет ответить на вопрос, значимо ли хотя бы одно отличие между сравниваемыми группами.
Нулевая гипотеза о равенстве всех средних (медиан) проверяется по параметрическому критерию Фишера
или непараметрическому аналогу – критерию Краскела-Уолиса.
Казалось бы зачем нужен дисперсионный анализ если существует такой прекрасный и понятный статистический критерий, как т
-критерий
Стьюдента? Главное ограничение т
-критерия
перед дисперсионным анализом
состоит в том, что первый предназначен для парных сравнений
, то есть ситуации, когда у нас есть только две выборки
и он нуждается в поправках на
множественные сравнения
, в случае, если у нас более двух групп (выборок). Во-вторых, представим, если у нас 6 групп и мы ищем статистически значимые различия между ними, сколько попарных сравнений
в таком случае нужно сделать? Проблема множественных сравнений.
Если на одном и том же
наборе данных выполняется многократная проверка гипотез, то при проверке каждой статистической гипотезы закладывается возможность ошибки первого рода (т.е. отклонение верной нулевой гипотезы). Чем больше гипотез мы проверяем на одних и тех же данных, тем больше будет вероятность допустить как минимум одну такую ошибку. Это явление называют эффектом множественных сравнений
(multiple testing
)
... Пусть имеем три выборки А, В и С. Сравнение по критерию Стьюдента, Уровень значимости – a=0,05. При сравнении групп A и В риск ошибиться с вероятностью 5%.(α=0,05) Точно такая же вероятность ошибки будет иметь место и при сравнении В с С и А с С. Соответственно, вероятность ошибиться хотя бы в одном
из этих трех сравнений составит: Это гораздо выше 0,05. Очевидно, что дальнейшее увеличение числа проверяемых гипотез будет неизбежно сопровождаться и возрастанием в каждом отдельном тесте ошибки 2 рода (снижение мощности критерия). В таком случае необходимо использоваться критерий, который предназначен для ситуаций, когда сравнивается большое число групп и который нам даст единый ответ на все изучаемые группы - дисперсионный анализ.
Дисперсионный анализ.
В зарубежной литературе дисперсионный анализ часто обозначается как ANOVA
, что переводится как анализ вариативности (Analysis of Variance). Дисперсионный анализ был разработан английским математиком – статистиком Р. Фишером в 1918 г. для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий получения максимального урожая различных сортов сельскохозяйственных культур. Дисперсионный анализ
– это статистический метод,
предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов. То есть в результате проведения эксперимента мы получаем несколько выборок для каждого фактора (уровни фактора), которые мы и должны сравнивать. Условия применения дисперсионного анализа ANOVA
Перед тем как приступить к применению дисперсионного анализа,
который предназначен для минимизации риска неправильной оценки ошибки 1 рода
в случае множественных сравнений необходимо убедиться в соблюдении ряда условий: 1. Непрерывный
тип данных, дискретные данные менее желательны. 2. Независимые
между собой выборки. 3. Нормальное распределение
признака в статистических совокупностях, из которых извлечены выборки. (Дисперсионный анализ
– это параметрический критерий) 4. Равенство дисперсий
изучаемого признака в статистических совокупностях, из которых извлечены выборки. 5. Независимые наблюдения
в каждой из выборок. Если данные не подчиняются нормальному распределению
, то при анализе можно использовать два способа: применением различных арифметических преобразований до достижения нормальности распределения и дальше уже применять дисперсионный анализ, или использовать критерий Краскела-Уоллиса (Kruskal-Wallis H-test)
, иногда его также называют непараметрическим дисперсионным анализом. Метод дисперсионного анализа
базируется на предположении о том, что если на объект (группу испытуемых) влияет несколько независимых факторов
и их влияние складывается, то общую дисперсию
значений признака, характеризующую объект (группу испытуемых) можно разложить на сумму дисперсий
, возникающих в результате воздействия каждого отдельного
фактора
, а также обусловленных случайными влияниями
(остаточная дисперсия). Сравнение дисперсий обусловленных влиянием различных факторов со случайной (остаточной) дисперсией позволяет оценить значимость вклада каждого из факторов, то есть оценить достоверность
этих влияний. Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей. А именно: если дисперсии этих совокупностей одинаковы (по предположению) и если математические ожидания одинаковы то можно считать, что совокупности однородны. Однородные совокупности можно объединить в одну и тем самым упростить исследования и получить более полную информацию, более надёжные выводы. С помощью дисперсионного анализа исследователи из детской больницы в городе Питсбурге (США) получили первые доказательства того, что при ОРВИ повышается уровень гистамина, что проявляется в моче на 2-5 сутки вирусной инфекции, вызванной вирусом А. (Гистамин – основной эндогенный (внутренний) медиатор (фактор)аллергических реакций). По числу факторов
влияние которых исследуется, различают однофакторный
и многофакторный
дисперсионный анализ. Как было уже отмечено, дисперсионный метод тесно связан со статистическими группировками и предполагает, что изучаемая совокупность подразделена на группы по факторным признакам, влияние которых должно быть изучено. На основе дисперсионного анализа производится:
1.
оценка достоверности различий в групповых средних по одному факторному признаку или нескольким; 2.
оценка достоверности взаимодействий факторов; 3.
оценка частных различий между парами средних. В основе применения дисперсионного анализа лежит закон разложения дисперсий (вариаций) признака на составляющие. Общая вариация D о результативного признака при группировке может быть разложена на следующие составные части:
1.
на межгрупповую
D м связанную с группировочным признаком; 2.
на остаточную
(внутригрупповую) D B , не связанную с группировочным признаком. Соотношение между этими показателями выражается следующим образом: D о = D м + D в. (1.30) Рассмотрим применение дисперсионного анализа на примере. Допустим, требуется доказать, влияют ли сроки посева на урожайность пшеницы. Исходные опытные данные для дисперсионного анализа представлены в табл. 8. Таблица 8 В данном примере N = 32, K = 4, l = 8. Определим общую суммарную вариацию урожайности, которая представляет собой сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от общей средней: где N – число единиц совокупности; Y i – индивидуальные значения урожайности; Y o – общая средняя урожайности по всей совокупности. Для определения межгрупповой суммарной вариации, определяющей вариацию результативного признака за счет изучаемого фактора, необходимо знать средние значения результативного признака по каждой группе. Эта суммарная вариация равна сумме квадратов отклонений групповых средних величин от общей средней величины признака, взвешенной на число единиц совокупности в каждой из групп: Внутригрупповая суммарная вариация равна сумме квадратов отклонений индивидуальных значений признака от групповых средних по каждой группе, суммированной по всем группам совокупности. Влияние фактора на результативный признак проявляется в соотношении между D м и D в: чем сильнее влияние фактора на величину изучаемого признака, тем больше D м и меньше D в. Для проведения дисперсионного анализа нужно установить источники варьирования признака, объем вариации по источникам, определить число степеней свободы для каждой компоненты вариации. Объем вариации уже установлен, теперь необходимо определить число степеней свободы вариации. Число степеней свободы
– это число независимых отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения. Общее число степеней свободы, соответствующее общей сумме квадратов отклонений в дисперсионном анализе, разлагается по составляющим вариации. Так, общей сумме квадратов отклонений D о соответствует число степеней свободы вариации, равное N – 1 = 31. Групповой вариации D м соответствует число степеней свободы вариации, равное K – 1 = 3. Внутригрупповой остаточной вариации соответствует число степеней свободы вариации, равное N – K = 28. Теперь, зная суммы квадратов отклонений и число степеней свободы, можно определить дисперсии для каждой составляющей. Обозначим эти дисперсии: d м – групповые и d в – внутригрупповые. После вычисления этих дисперсий приступим к установлению значимости влияния фактора на результативный признак. Для этого находим отношение: d M /d B = F ф, Величина F ф, называемая критерием Фишера
, сравнивается с табличным, F табл. Как уже было отмечено, если F ф > F табл, то влияние фактора на результативный признак доказано. Если F ф < F табл то можно утверждать, что различие между дисперсиями находится в пределах возможных случайных колебаний и, следовательно, не доказывает с достаточной вероятностью влияние изучаемого фактора. Теоретическая величина связана с вероятностью, и в таблице ее значение приводится при определенном уровне вероятности суждения. В приложении имеется таблица, позволяющая установить возможную величину F при вероятности суждения, наиболее часто используемой: уровень вероятности «нулевой гипотезы» – 0,05. Вместо вероятностей «нулевой гипотезы» таблица может быть названа таблицей для вероятности 0,95 существенности влияния фактора. Повышение уровня вероятности требует для сравнения более высокого значения F табл. Величина F табл зависит также от числа степеней свободы двух сравниваемых дисперсий. Если число степеней свободы стремится к бесконечности, то F табл стремится к единице. Таблица значений F табл построена следующим образом: в столбцах таблицы указаны степени свободы вариации для большей дисперсии, а в строках – степени свободы для меньшей (внутригрупповой) дисперсии. Величина F находится на пересечении столбца и строки соответствующих степеней свободы вариации. Так, в нашем примере F ф = 21,3/3,8 = 5,6. Табличное же значение F табл для вероятности 0,95 и степеней свободы, соответственно равных 3 и 28, F табл = 2,95. Значение F ф полученное в опыте, превышает теоретическое значение даже для вероятности 0,99. Следовательно, опыт с вероятностью более 0,99 доказывает влияние изучаемого фактора на урожайность, т. е. опыт можно считать надежным, доказанным, а значит, сроки посева оказывают существенное влияние на урожайность пшеницы. Оптимальным сроком посева следует считать период с 10 по 15 мая, так как именно при этом сроке посева получены наилучшие результаты урожайности. Нами рассмотрена методика дисперсионного анализа при группировке по одному признаку и случайному распределению повторностей внутри группы. Однако часто бывает так, что опытный участок имеет какие-то различия в плодородии почвы и т. д. Поэтому может возникнуть такая ситуация, что большее число делянок одного из вариантов попадет на лучшую часть, и его показатели будут завышены, а другого варианта – на худшую часть, и результаты в этом случае, естественно, будут хуже, т. е. занижены. Чтобы исключить варьирование, которое вызывается не относящимися к опыту причинами, надо из внутригрупповой (остаточной) дисперсии вычленить дисперсию, рассчитанную по повторностям (блокам). Общая сумма квадратов отклонений подразделяется в этом случае уже на 3 составляющие: D о = D м + D повт + D ост. (1.33) Для нашего примера сумма квадратов отклонений, вызванная повторностями, будет равна: Стало быть, собственно случайная сумма квадратов отклонений будет равна: D ост = D в – D повт; D ост = 106 – 44 = 62. Для остаточной дисперсии число степеней свободы будет равно 28 – 7 = 21. Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 9. Таблица 9 Поскольку фактические значения F-критерия для вероятности 0,95 превышают табличные, то влияние сроков посева и повторностей на урожайность пшеницы следует считать существенным. Рассмотренный способ построения опыта, когда участок предварительно делится на блоки с относительно выровненными условиями, а проверяемые варианты распределяются внутри блока в случайном порядке, называется способом рендомизированных блоков. С помощью анализа дисперсионным методом можно изучить влияние не только одного фактора на результат, а двух и более. Дисперсионный анализ в этом случае будет называться многофакторным дисперсионным анализом
. Двухфакторный дисперсионный анализ
отличается от двух однофакторных тем, что он может ответить на следующие вопросы:
1.
1каково влияние обоих факторов вместе? 2.
какова роль сочетания этих факторов? Рассмотрим дисперсионный анализ опыта, в котором следует выявить влияние не только сроков посева, но и сортов на урожайность пшеницы (табл. 10). Таблица 10. Данные опыта по влиянию сроков посева и сортов на урожайность пшеницы – это сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от общей средней. Вариация по совместному влиянию сроков посева и сорта – это сумма квадратов отклонений средних по подгруппам от общей средней, взвешенных на число повторностей, т. е. на 4. Вычисление вариации по влиянию только сроков посева: Остаточная вариация определяется как разность между общей вариацией и вариацией по совместному влиянию изучаемых факторов: D ост = D о – D пс = 170 – 96 = 74. Все расчеты можно оформить в виде таблицы (табл. 11). Таблица 11. Результаты дисперсионного анализа Результаты дисперсионного анализа показывают, что влияние изучаемых факторов, т. е. сроков посева и сорта, на урожайность пшеницы существенно, так как F-критерии фактические по каждому из факторов значительно превышают табличные, найденные для соответствующих степеней свободы, и при этом с достаточно высокой вероятностью (р = 0,99). Влияние же сочетания факторов в данном случае отсутствует, так как факторы независимы друг от друга. Анализ влияния трех факторов на результат ведется по такому же принципу, что и для двух факторов, только в этом случае будет три дисперсии по факторам и четыре дисперсии по сочетанию факторов. С увеличением числа факторов резко увеличивается объем расчетных работ и, кроме того, становится затруднительно оформлять исходную информацию в комбинационную таблицу. Поэтому вряд ли целесообразно изучать влияние многих факторов на результат с использованием дисперсионного анализа; лучше взять меньшее их число, но выбрать наиболее существенные факторы с точки зрения экономического анализа. Нередко исследователю приходится иметь дело с так называемыми непропорциональными дисперсионными комплексами, т. е. такими, в которых не соблюдается пропорциональность численностей вариантов. В таких комплексах вариация суммарного действия факторов не равна сумме вариации по факторам и вариации сочетания факторов. Она отличается на величину, зависящую от степени связей между отдельными факторами, возникающих вследствие нарушения пропорциональности. В этом случае возникают трудности при определении степени влияния каждого фактора, так как сумма частных влияний не равна суммарному влиянию. Одним из способов приведения непропорционального комплекса к единой структуре является способ его замены пропорциональным комплексом, в котором частоты усреднены по группам. Когда такая замена произведена, задача решается по принципам пропорциональных комплексов. 12. Понятие
валидности, надежности, достоверности
в психодиагностике. Надёжность
– один из критериев проверки методик.
В разработку этого критерия внесли свой
вклад А. Анастази, Кронбах, Торндайк. Надёжность
– относительное постоянство, устойчивость,
согласованность результатов тестов
при первичном и повторном измерении на
одних и тех же испытуемых. Необходимо
повторное измерение на той же выборке.
Расхождения возможны, но они должны
быть незначительны. Таким образом,
надёжность говорит о точности и
устойчивости результатов к действию
случайных факторов. Общий
разброс может быть результатом двух
групп причин: Изменчивость,
присущая самому признаку. Факторы
внешней среды, которые могут повлиять Процедуры
вычисления надёжности: Проведение
одной и той же формы теста. (ретестовая
надёжность), вычисление коэффициента
корреляции. Интервал между проведением
тестирования – от одного до нескольких
месяцев. Проведение
параллельных форм тестов. При проведении
исследования с помощью эквивалентной
формы теста специалист убеждается в
правильности выбранного признака.
Чтобы формы теста считались эквивалентными
необходимо одинаковое количество
заданий в обоих тестах, задания должны
быть унифицированы, задания должны
располагаться одинаково по степени
сложности, должны быть одинаковые
средние и стандартное отклонение.
Используют два подхода для вычисления
надёжности при помощи параллельных
форм тестов: Одни
и те же испытуемые обследуются при
помощи одного теста. А потом другого и
если коэффициент корреляции больше
0.7, то надёжность высока. Испытуемые
делятся на две группы, одна группа
проходит тест А, другая тест Б, через
неделю – наоборот. Расщепление
теста и вычисление коэффициента
корреляции. Испытуемые выполняют две
части теста, которые равноценны. В одну
часть попадают все чётные задания, в
другую – нечётные. Эта процедура
показывает последовательность теста
внутри себя, меру адекватности подбора
вопросов. Вычисляется коэффициент
корреляции. Коэффициент
надёжности соответствует коэффициенту
корреляции Спирмена или Писрона. Надёжность
факторно-дисперсионная - способ
определения надежности, основанная
дисперсионном анализе результатов
теста. Надежность теста соответствует
отношению истинной дисперсии (т. е.
дисперсии самого исследуемого фактора)
к реально полученной эмпирической
дисперсии. Последняя складывается из
истинной дисперсии и дисперсии погрешности
измерения. Факторно-аналитический
подход к определению надежности
дополнительно расчленяет и дисперсию
истинного показателя (Дж. Гилфорд, 1956). Дисперсия
истинного показателя, в свою очередь,
может состоять из дисперсии общего
фактора для групп аналогичных тестов,
особых факторов, обеспечивающих тесты
специфической направленности и дисперсии
факторов, присущих конкретной тестовой
методике. Следовательно, полная дисперсия
теста равна сумме дисперсий для общих,
специфических и единичных факторов
плюс дисперсия погрешности Факторно-дисперсионный
способ определения надежности подходит
для оценки уже факторизованного теста,
но не для тестов, измеряющих широкий
набор разнообразных параметров, так
как некоторые из них могут не входить
в установленную область валидности
методики. Достоверность
и допустимая ошибка измерения:
Достоверность
определяется критерием ошибки измерения.
Ошибка – это статистический показатель,
характеризующий степень точности
отдельных измерений. Предполагается,
что для любой черты каждый индивид имеет
истинный показатель. Любой показатель,
полученный в тесте отличается от его
истинного значения на какую-то случайную
погрешность. И если протестировать
человека несколько раз, получится
разброс показателя вокруг истинного
значения. Это значение колеблется в
определённых границах. Колебание данного
значения может зависеть от систематических
ошибок и случайных. Причинами
систематических ошибок может быть
неправильное проведение теста, не
соблюдение процедуры, неточность в
обработке, низкая валидность методики.
Вероятны и случайные ошибки, связанные
с человеческим фактором. Если в методике
не заложены подобные сбои, то её нельзя
считать точной. При большом количестве
наблюдений индивидуальные оценки
образуют определённый тип распределения
статистического показателя, которые
будут обнаруживать ошибки измерения.
Ошибка измерения определяется
статистическими методами – величиной
квадратичного отклонения, связанной с
дисперсией распределения отдельных
измерений. Погрешность не должна
превышать 5 %. Валидность:
Валидность
– способность теста измерить то, что
он должен измерить по замыслу автора.
Это понятие относится больше не к тесту,
а к его цели. Тест может быть надёжным,
но не валидным. Но если тест валиден, то
он надёжен. Источники
идей валидности: Первые
идеи появились ещё до создания тестов.
Часто исследователи связывали результаты
исследования с будущими успехами.
Например, Пифагор, связывал мышление
и речь при помощи интуиции. Идея
о необходимости практической проверки
пригодности теста. Вне практики проблема
валидности не может существовать. Философские
идеи: истина- соответствие мысли
действительности. Критерий истинности
– полезность. Измерения,
которые мы делаем не очевдны, они
требуют теоретической основы.
Теоретико=эмпирическая валидность. Развитие
статистической науки – корреляции и
факторного анализа. Пять
источников породили пять видов валидности. В
начале 20 века ведущую роль играла
интуиция. Если создателем теста был
известный человек, то вера в валидность
принималась на слово. В
20-30 годы росли запросы практики, стали
создаваться тесты на основе эмпирических
источников. Было разработано 3 эмпирических
подхода: Все
поступающие на работу проходят тест.
Через какое-то время измеряется их
производительность труда и эффективность.
Затем шло коррелирование показателей.
Таким образом, тесты использовались
для полезности. Сначала
тестируются те, кто успешно уже работает,
а затем результаты этого тестирования
коррелируются с результатами кандидатов.
Если есть взаимосвязь, то тест валидный. Работы
Бине и Симона. Для уверенности, что тест
измеряет именно интеллект. Все задания
теста проводились на двух группах,
которые отбирались не психологами, а
учителями. В 1 группе были дети с высокими
умственными способностями, во 2 – с
невыраженными способностями.этот
способ получил название «экспертного».
Далее проводилось тестирование. И если
в обеих группах большинство отвечало
в соответствии с ожиданиями авторов,
то тест признавался валидным. Таким
образом, эмпирические методы обоснования
валидности просуществовали до 50ых
годов. Стали считать, что доказывать
валидность можно не только с помощью
практики. Анализ и соответствие теории
и практики. Валидность по содержанию,
сравнение с программой исследования и
содержания теста. Сравнение облегчается,
когда в программе выделяется проблема,
цель и основные понятия. Концептуальная
валидность, так как психологи интересуются
соотнесением научных понятий с эмпирически
наблюдаемыми фактами. В
эмпирический методах доказательства
валидностиособую роль играют внешние
критерии, которые служат доказательством
валидности. Американские психологи
Тиффани и МакКормик провели анализ
использования внешних критериев и
выделили их 4 типа: Критерий
исполнения – количество выполненной
работы, темп роста мастерства Субъективный
критерий – включение различных видов
ответов, которые отражают отношение к
чему-либо. Физиологический
критерий - используется при изучении
окружающей среды. Критерий
случайности – учет многих факторов. Внешние
критерии должны отвечать требованиям
релевантности, свободы от помех,
надёжности. Релевантность – смысловое
соответствие между тестом и независимым
от него жизненноважным критерием.
Свобода от помех (контаминация) считается
важной так как на деятельность влияет
сам человек и условия его труда. Надёжность
– постоянство результатов Диагностическая
(конкурентная) В
.
отражает способность теста дифференцировать
испытуемых по изучаемому признаку.
Анализ диагностической В. имеет отношение
к установлению соответствия показателей
теста реальному состоянию психологических
особенностей испытуемого в момент
обследования. Примером определения
этого типа В. может быть исследование
по методу контрастных групп. Проведение
теста интеллекта у нормально развивающихся
детей и их сверстников с нарушениями в
интеллектуальном развитии может выявить
глубокие количественные и качественные
различия в выполнении заданий сравниваемыми
группами. Степень надежности дифференциации
детей первой и второй групп по данным
теста будет характеристикой диагностической
В. оценки умственного развития, получаемой
с помощью данной методики. Валидность
содержательная
(внутренняя, логическая) - комплекс
сведений о репрезентативности заданий
теста по отношению к измеряемым свойствам
и особенностям. Одним из основных
требований при валидизации методики в
этом направлении является отражение в
содержании теста ключевых сторон
изучаемого психологического феномена.
Если область поведения или особенность
очень сложна, то содержательная В.
требует представления в заданиях теста
всех важнейших составных элементов
исследуемого явления. Дифференциальная
В
.
- валидность, рассматривающая внутренние
взаимоотношения между психологическими
факторами, диагностируемыми с помощью
психодиагностической методики. Содержание
Д.В. может быть иллюстрировано на примере
тестов интересов, которые в своем
большинстве обычно умеренно коррелируют
с показателями общей академической
успеваемости, однако в различной степени
связаны с успеваемостью по отдельным
дисциплинам. В. д. особенно важна как
показатель диагностической ценности
методик, используемых в профотборе. Иллюзорная
В.
(ложная)
- иллюзия соответствия заключения по
результатам тестирования личностным
характеристикам обследуемого. Возникает
как следствие использования предельно
общих, а поэтому применимых практически
ко всем обследуемым формулировок, таких,
например, как «разумный в выборе цели»,
«стремящийся к лучшей жизни» и т. п.
Такого рода утверждения принимаются
почти всеми людьми в качестве точного
описания их личности, что создает почву
для деятельности различного рода
прорицателей и предсказателей. Инкрементная
В
.
- (англ. incremental - приращение, прибыль) -
один из компонентов критериальной
валидности, прогностической валидности
теста, отражающий практическую ценность
методики при проведении отбора. В. и.
может быть выражена количественно при
помощи валидности коэффициента. Консесусная
В
. (consensual
validity) - тип валидности, основывающейся
на установлении связи (корреляции)
тестовых данных с данными, полученными
от внешних экспертов, хорошо знакомых
с теми лицами, которые были подвергнуты
тестированию. Понятие и процедура В. к.
введены Р. Мак-Краэ в 1982 г. с целью
обеспечения валидизации опросников
личностных, которая нередко затруднена
(а иногда и невозможна) в связи с
отсутствием необходимых для установления
валидности критериев. Конструктная
В.-один из основных типов валидности,
отражающий степень репрезентации
исследуемого психологического конструкта
в результатах теста. В качестве конструкта
могут выступать практический или
вербальный интеллект, эмоциональная
неустойчивость, интроверсия, понимание
речи, переключаемость внимания и т. д.
Иначе говоря, В. к. определяет область
теоретической структуры психологических
явлений, измеряемых тестом. Следует,
однако, заметить, что, в отличие от
критериальной валидизации, при анализе
В. к. не требуется высокой степени связи
результатов двух тестов. Если окажется,
что новый и эталонный тесты практически
идентичны по содержанию и результатам
и разрабатываемая методика не обладает
преимуществами краткости или легкости
применения, это означает лишь дублирование
теста, оправданное только с т. з. создания
параллельной формы теста. Смысл процедуры
В. к. состоит в установлении одновременно
как сходства, так и различия психологических
феноменов, измеряемых новым тестом по
сравнению с известным. Важным
аспектом В. к. является внутренняя
согласованность, отражающая то, насколько
определенные пункты (задания, вопросы),
составляющие материал теста, подчинены
основному направлению теста как целого,
ориентированы на изучение одних и тех
же конструктов. Анализ внутренней
согласованности осуществляется путем
коррелирования ответов на каждое задание
с общим результатом теста. При определении
В. к. важное место принадлежит изучению
динамики измеряемого конструкта. При
этом мы можем опираться на гипотезы о
его возрастном развитии, влиянии
тренировок, обучения, освоения профессии
и т. д. Критериальная
В. - комплекс характеристик, включающий
валидность текущую и прогностическую
методики и отражающий соответствие
диагноза и прогноза определенному кругу
критериев измеряемого явления. В качестве
валидизации критерия выступают
независимые от результатов теста и
непосредственные меры исследуемого
качества, такие как уровень достижений
в какой-либо деятельности, степень
развития способности, выраженность
определенного свойства личности и т.
д. При валидизации тестов достижений
результат измерений сравнивается с
мнением педагогов о знаниях обследуемого
в определенной области, с академическими
оценками, контрольными проверками и т.
д. В случае валидизации профориентационных
тестов и методик тестовые оценки
сравниваются как с экспертными оценками
коллег и руководителей, так и с объективными
показателями достижений в профессиональной
сфере. Очевидная
В. - пред ставление о тесте, сфере его
применения, результативности и
прогностической ценности, которое
возникает у испытуемого или другого
лица, не располагающего специальными
сведениями о характере использования
и целях методики. В. о. не является
компонентом объективно устанавливаемой
валидности. Вместе с тем высокая В. о. в
большинстве случаев является весьма
желательной. Она выступает в качестве
фактора, побуждающего испытуемых к
обследованию, способствует более
серьезному и ответственному отношению
к работе по выполнению заданий теста и
к заключениям, формулируемым психологом. Достаточный
уровень В. о. особенно значим для методик
обследования взрослых. Представления
испытуемых и пользователей
психодиагностической информацией о В.
о. в немалой степени определяются
названием методики, поскольку эта часть
сведений о тесте наиболее доступна
неспециалистам. В. о. существенно улучшает
применение понятных формулировок и
терминов, а также заданий, по содержанию
являющихся наиболее естественными с
учетом возрастной, половой, профессиональной
специфики испытуемых. Неадекватно
завышенная В. о. способствует более
выраженному проявлению эффекта
контаминации критерия. В.
о. иногда носит название внешней (face
validity), или «доверительной» (faith validity),
валидности. В.
по возрастной дифференциации - один
из компонентов валидности конструктной,
связанный с возрастной динамикой
изменений исследуемого качества.
Характеристика валидности по конструкту
здесь заключается в определении
соответствия результатов теста
теоретически ожидаемым и практически
наблюдаемым возрастным изменениям
данного конструкта или свойства. Прогностическая
В. - информация о том, с какой степенью
точности и обоснованности методика
{тест) позволяет судить о диагностируемом
психологическом качестве спустя
определенное время после измерения. В.
п. отражает временной интервал, на
который распространяется обоснование
такого суждения. Сведения о В. п. имеют
самое непосредственное отношение к
раскрытию предсказательной силы
методики, выяснению степени обоснованности
сформулированного на ее основе ближайшего
и более отдаленного прогноза, анализу
значимости получаемых в тесте показателей
с т. з. экстраполирования результатов
на будущее. В
качестве валидизации критерия могут
выступать не только показатели актуального
поведения, но и ожидаемые результаты
деятельности, лечения, обучения и т. д.
Процедура определения В. "п. опирается
на анализ корреляции между оценками по
тесту и предсказанными результатами
деятельности, формирующимися свойствами
личности, исходом лечения и т. п. Вместе
с тем различие двух видов критериальной
валидности связано не только с временными
пределами критериальных сопоставлений.
Валидность текущая и В. п. отражают
разные цели применения методики: текущий
диагноз, оценка настоящего положения,
с одной стороны, и прогнозирование
развития качества или успеха в деятельности
- с другой. Важность
показателей В. п. при анализе тестовых
процедур, направленных на отбор,
подчеркивается введением специального
понятия валидности инкрементной. Этот
показатель В. п. дает информацию о том,
насколько улучшается процедура отбора
с применением данного теста по сравнению
с традиционной (основывающейся лишь на
формальных сведениях о предыдущей
деятельности, анализе документов личного
дела, беседах). Комплекс
сведений В. с. традиционно имеет наибольшее
значение для тестов, исследующих
деятельность, близкую или совпадающую
с реальной (чаще всего учебной или
профессиональной). Изучаемая деятельность
носит, как правило, синтетический
характер, складывается из многих, подчас
разнородных факторов (проявления
личностных особенностей, комплекс
необходимых знаний и навыков, специфические
способности и т. д.). Поэтому одной из
важнейших задач создания адекватной
модели тестируемой деятельности является
подбор таких заданий, которые будут
охватывать главные аспекты изучаемого
феномена в правильной пропорции к
реальной деятельности в целом. Текущая
В. (диагностическая, конкурентная)-
характеристика теста, отражающая его
способность различать испытуемых на
основании диагностического признака,
являющегося объектом исследования в
данной методике. В качестве таких
признаков могут выступать уровни общих
способностей, притязаний, вербальный
интеллект, тревожность и т. д. В более
узком значении В. т. - установление
соответствия результатов валидизируемого
теста независимому критерию, отражающему
состояние исследуемого тестом качества
в момент проведения исследования. Своеобразным
показателем В. т. является комплекс
сведений о том, насколько удобен,
экономичен тест по сравнению с получением
информации об исследуемом качестве из
других источников (наблюдение, анализ
объективных данных, экспертная оценка
и т. д.). Экологическая
В. - валидность теста по отношению к
измеряемому свойству в контексте
определенной ситуации. В. э. является
свойством теста, проявляющимся в том,
что его применение при решении различных
практических задач ведет к качественно
различной интерпретации результатов
тестирования (В. Н. Дружинин, 1990). Эмпирическая
В
.-совокупность
характеристик валидности теста,
полученных сравнительным статистическим
способом оценивания. Имеет отношение
главным образом к области валидности
критериальной и двум ее видам: валидности
текущей и валидности прогностической.
Если при определении валидности
содержательной оценка теста проводится
с помощью различных качественных
процедур получения информации
описательными методами с использованием
экспертных оценок и других источников
информации (для вынесения суждения о
соответствии заданий теста содержанию
предмета измерения), то В. э. измеряется
всегда с помощью статистического
коррелирования. Проводится корреляционный
анализ связи двух рядов значений -
оценок теста и показателей по внешнему
параметру изучаемого свойства (или
результатов другого теста, валидность
которого известна). Дисперсионный анализ
(от латинского Dispersio – рассеивание / на английском Analysis Of Variance - ANOVA) применяется для исследования влияния одной или нескольких качественных переменных (факторов) на одну зависимую количественную переменную (отклик). В основе дисперсионного анализа лежит предположение о том, что одни переменные могут рассматриваться как причины (факторы, независимые переменные): , а другие как следствия (зависимые переменные). Независимые переменные называют иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте исследователь имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат. Основной целью дисперсионного анализа
(ANOVA) является исследование значимости различия между средними с помощью сравнения (анализа) дисперсий. Разделение общей дисперсии на несколько источников, позволяет сравнить дисперсию, вызванную различием между группами, с дисперсией, вызванной внутригрупповой изменчивостью. При истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в нескольких группах наблюдений, выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии. Если вы просто сравниваете средние в двух выборках , дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный t-критерий для независимых выборок (если сравниваются две независимые группы объектов или наблюдений) или t-критерий для зависимых выборок (если сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов или наблюдений). Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компоненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и проверке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуемый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F-критерия Фишера , можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловлена действием регулируемых факторов. Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок : , которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По количеству выявляемых регулируемых факторов дисперсионный анализ может быть однофакторным
(при этом изучается влияние одного фактора на результаты эксперимента), двухфакторным
(при изучении влияния двух факторов) и многофакторным
(позволяет оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие). Дисперсионный анализ относится к группе параметрических методов и поэтому его следует применять только тогда, когда доказано, что распределение является нормальным . Дисперсионный анализ используют, если
зависимая переменная измеряется в шкале
отношений, интервалов или порядка, а
влияющие переменные имеют нечисловую
природу (шкала наименований). В задачах, которые решаются
дисперсионным анализом, присутствует отклик
числовой природы, на который воздействует
несколько переменных, имеющих
номинальную природу. Например, несколько видов
рационов откорма скота или два способа их
содержания и т.п. Пример 1:
В течение недели в трех разных
местах работало несколько аптечных
киосков. В дальнейшем мы можем оставить
только один. Необходимо определить,
существует ли статистически значимое отличие
между объемами реализации препаратов в
киосках. Если да, мы выберем киоск с
наибольшим среднесуточным объемом
реализации. Если же разница объема реализации
окажется статистически незначимой, то
основанием для выбора киоска должны быть
другие показатели. Пример 2:
Cравнение контрастов групповых средних. Семь политических пристрастий упорядочены от крайне либеральные до крайне консервативные, и линейный контраст используется для проверки того, есть ли отличная от нуля тенденция к возрастанию средних значений по группам - т. е. есть ли значимое линейное увеличение среднего возраста при рассмотрении групп, упорядоченных в направлении от либеральных до консервативных. Пример 3:
Двухфакторный дисперсионный анализ. На количество продаж товара, помимо размеров магазина, часто влияет расположение полок с товаром. Данный пример содержит показатели недельных продаж, характеризуемые четырьмя типами расположения полок и тремя размерами магазинов. Результаты анализа показывают, что оба фактора - расположение полок с товаром и размер магазина -влияют на количество продаж, однако их взаимодействие значимым не является. Пример 4:
Одномерный ANOVA: Рандомизированный полноблочный план с двумя обработками. Исследуется влияние на припек хлеба всех возможных комбинаций трех жиров и трех рыхлителей теста. Четыре образца муки, взятые из четырех разных источников, служили в качестве блоковых факторов.Необходимо выявить значимость взаимодействия жир-рыхлитель. После этого определить различные возможности выбора контрастов, позволяющих выяснить, какие именно комбинации уровней факторов различаются. Пример 5:
Модель иерархического (гнездового) плана с смешанными эффектами. Изучается влияние четырех случайно выбранных головок, вмонтированных в станок, на деформацию производимых стеклянных держателей катодов. (Головки вмонтированы в станок, так что одна и та же головка не может использоваться на разных станках). Эффект головки обрабатывается как случайный фактор. Статистики ANOVA показывают, что между станками нет значимых различий, но есть признаки того, что головки могут различаться. Различие между всеми станками не значимо, но для двух из них различие между типами головок значимо. Пример 6:
Одномерный анализ повторных измерений с использованием плана расщепленных делянок. Этот эксперимент проводился для определения влияния индивидуального рейтинга тревожности на сдачу экзамена в четырех последовательных попытках. Данные организованы так, чтобы их можно было рассматривать как группы подмножеств всего множества данных ("всей делянки"). Эффект тревожности оказался незначимым, а эффект попытки - значим. Данные состоят из нескольких рядов наблюдений (обработок), которые рассматриваются как реализации независимых между собой выборок. Исходная гипотеза говорит об отсутствии различия в обработках, т.е. предполагается, что все наблюдения можно считать одной выборкой из общей совокупности: Данные представляют собой двухкратные повторные наблюдения: Откуда произошло название дисперсионный анализ
? Может показаться странным, что процедура сравнения средних называется дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними двух (или нескольких) групп, мы на самом деле сравниваем (анализируем) выборочные дисперсии. Фундаментальная концепция дисперсионного анализа предложена Фишером
в 1920 году. Возможно, более естественным был бы термин анализ суммы квадратов или анализ вариации, но в силу традиции употребляется термин дисперсионный анализ.
Первоначально дисперсионный анализ был разработан для обработки данных, полученных в ходе специально поставленных экспериментов, и считался единственным методом, корректно исследующим причинные связи. Метод применялся для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.
Примеры задач
Перечень методов
История
Литература
Ссылки
