Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности

Цель: Дать понятие, определение последовательности, конечной, бесконечной, различные способы задания последовательностей, их различие, научить применять при решении примеров.

Оборудование: Таблицы.

Ход занятия

I. Организационный момент.

II. Фронтальная проверка домашнего задания:

1) ученик на доске задачу № 2.636 (из II части “Сборника заданий для письменного экзамена в 9 кл.)

2) ученик. Построить график

3) фронтально со всем классом № 2.334 (а).

III. Объяснение нового материала.

Школьная лекция – это такая форма организации учебного процесса, которая ориентирует учащихся при изучении той или иной темы на главное и предполагает широкую демонстрацию личностного отношения учителя и учащихся к учебному материалу. Т.к. урок-лекция предусматривает крупноблочное изложение учителем материала, то речевое общение учителя и учащихся является главным в ее технологии. Слово учителя оказывает эмоциональное, эстетическое воздействие и создает определенное отношение к предмету. С помощью лекции осуществляется руководство различными видами деятельности учащихся на занятии, а через знания, умения и навыки формируется познание как основа учебной деятельности.

I. Выпишите в порядке возрастания двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 3.

13; 23; 33;………….93.

Каждому порядковому номеру от 1 до 9 поставьте в соответствие определенное двузначное число:

1->13; 2->23;………9->93.

Между множеством первых девяти натуральных чисел и множеством двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 3, установилось соответствие. Это соответствие является функцией.

Областью определения служит {1; 2; 3;……..9}

Множество значений {13; 23; 33;…….93}.

Если соответствие обозначить f, то

Эту последовательность можно задать с помощью пар.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

б) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Таблица № 1

а)

б)

II.

О.о.ф. {1; 2; 3; 4;…..}

М.з.ф. g(1) = ;

g(3) =; …

g(60) =

Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.

в) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- члены последовательности.

Замечание: следует различать понятие множества и понятие последовательности.

а) {10; 20; 30; 40}

Одно и то же множество.

{40; 30; 20; 10}

б) однако, последовательности 10; 20; 30; 40

Различны:

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

III. Рассмотрим последовательность:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> бесконечная, возрастающая

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> конечная, убывающая.

а)

Последовательность называется возрастающей, если каждый член ее, начиная со второго, больше своего предыдущего.

б)

Дается определение убывающей последовательности.

Возрастающие или убывающие последовательности называются монотонными.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - колеблющаяся;

5; 5; 5; 5; ….. - постоянная.

IV. Последовательности можно изобразить геометрически. Т.к. последовательности – это функция, областью определения которой служит множество N, то графиком, видимо, является множество точек плоскости (х; у).

Пример: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Построим график этой последовательности

Рисунок 1.

Пример: Докажите, что последовательность, заданная в таком виде

99; 74; 49; 24; -1;……………

является убывающей.

V. Способы задания последовательностей.

Т.к. последовательность – это функция, определенная на множестве N, то существует пять способов задания последовательностей:

I. Табличный

II. Способ описания

III. Аналитический

IV. Графический

V. Рекуррентный

I. Табличный – очень неудобный. Составляем таблицу и по ней определяем, какой член? какое место он занимает……..

II. Способ описания.

Пример: Последовательность такова, что каждый ее член записывается с помощью цифры 4, и число цифр равно номеру числа последовательности.

III. Аналитический способ (с помощью формулы).

Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n члена последовательности.

например:

и ученики составляют эти последовательности, и наоборот: подберите формулу для членов последовательностей:

а) 1; ; ;…………..
б) ...
в)
г)
д) 1;-2;3;-4;5;-6;………….

IV. Графический способ – тоже не очень удобный, обычно им и не пользуются.

Последовательность - это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность - последовательность, которая задается функцией с областью определения N . В том случае, когда эта функция числовая, то бесконечной числовой последовательностью . Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f (n ), которое соответствует натуральному числу n , называется n -м членом последовательности. Иногда вместо f (n ) используются обозначения a n , x n .

Примеры числовой последовательности:

f (n ) = 3n + 2, откуда f (1) = 5, f (2) = 8,..., f (100) = 302,... ;

f (n ) = 1 + (-1) n , откуда f (1) = 0, f (2) = 2,... или, в общем случае, f (2k - 1) = 0, f (2k ) = 2 (k ∈ N ).

Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n -го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: a n = 2 n .

Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: a n = 2(a n -1 + 3), a 1 = 2. Тогда a 2 = 10, a 3 = 26,...

Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.

Последовательность называется возрастающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n a n +1 .

Последовательность называется спадающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n > a n +1 .

Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными .

Например, последовательность заданная формулой a n = n /(n + 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница a n +1 - a n = (n + 1)/(n + 2) - n /(n + 1) = 1/(n + 1)(n + 2) > 0. То есть a n a n +1 . Последовательность с общим членом a n = 1 + (-1) n не является монотонной, т.к. a 1 a 2 , а a 2 > a 3 .

Последовательность называется ограниченной сверху M ∈ R , что a n ≤ M .

Последовательность называется ограниченной снизу , если существует такое число m ∈ R , что a n ≥ m .

Например, последовательность a n = n ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность a n = (-1) n n не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной , если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Число a называется границей последовательности (a n ), если для любого ε > 0 существует натуральное число N , такое, что для всех n > N выполняется неравенство |a n - a | limn →∞ a n = a или a n → a .

Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся . Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся .

Если lim n →∞ a n = 0, то последовательность (a n ) называется бесконечно малой.

Свойства пределов числовой последовательности:

1. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n + b n ) = a + b ;

2. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n b n ) = a b ;

3. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b ≠ 0, то lim n →∞ (a n /b n ) = a /b ;

4. lim n →∞ c a n = c lim n →∞ a n , где c ∈ R ;

5. Если lim n →∞ a n = lim n →∞ b n = a и a n ≤ c n ≤ b n , то lim n →∞ c n = a .

6. Если lim n →∞ a n = a , lim n →∞ b n = b и a n b n при n ∈ N , то a ≤ b .

Числовые последовательности.

Красив сам по себе натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …. Он демонстрирует упорядочение по возрастанию в чистейшем виде. Принцип построения следующей цепочки чисел не так очевиден: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, хотя они тоже стоят не хаотично: каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих. Этому ряду натуральных чисел, имеющему своё историческое название – ряд Фибоначчи, присуща своя логика и красота, постижение которой возможно только при целенаправленном изучении.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ. Леонардо Фибоначчи (). Крупный итальянский математик, автор «Книги абака». Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!).

Правило составления последовательности выражается словесным описанием. Примеры. 1) Последовательность простых двузначных чисел, меньших 50, есть конечная последовательность: 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) Бесконечная последовательность приближений иррационального числа = =1, …: 2, 1,7, 1,73, 1,732, 1, 7321, … Словесный

Указывается правило позволяющее вычислить n -й член данной последовательности, если известны все её предыдущие члены. Пример. У 1 =1, у n = у n-1 n, если n2. Вычислим несколько первых членов этой последовательности: 1, 2, 6, 24, 120, …. Можно убедиться в том, что n- й член данной последовательности равен произведению первых n натуральных чисел: у n = n ! Рекуррентный

Задача 2 Найдите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно: у 1 =2, у n =у n Ответ: 2, 7, 12, 17, 22. Тренировочный диктант Вариант 1 (2) 1.Является ли конечной или бесконечной последовательность делителей числа 1200? (Кратных числа 8?) 2. Является ли конечной или бесконечной последовательность чисел, кратных 6? (Делителей числа 2400?) 3.Последовательность задана формулой a n =5n+2 (b n =n 2 -3). Чему равен её третий член? 4.Запишите последний член последовательности всех трёхзначных (двузначных) чисел. 5.Дана рекуррентная формула последовательности a n+1 =a n -4, а 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8). Найдите a 2 (b 2).

Вариант Конечной. 2. Бесконечной Вариант Бесконечной. 2. Конечной

Главная » Сленг » Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности