Определение и признаки параллелограмма таблица 1. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Доказательство

Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).

И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .

Доказано!

2. Противоположные углы тождественны.

Доказательство

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Доказано!

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Доказательство

Проведем еще одну диагональ.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).

Доказано!

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?

\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .

Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .

По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .

Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).

Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .

И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .

При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.

Доказательство

BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .

Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .

Четвертый признак верен.

На сегодняшнем уроке мы повторим основные свойства параллелограмма, а затем уделим внимание рассмотрению первых двух признаков параллелограмма и докажем их. В ходе доказательства вспомним применение признаков равенства треугольников, которые мы изучали в прошлом году и повторяли на первом уроке. В конце будет приведен пример на применение изученных признаков параллелограмма.

Тема: Четырехугольники

Урок: Признаки параллелограмма

Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.

Определение. Параллелограмм - четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

Вспомним основные свойства параллелограмма :

Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, - параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм . .

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:

по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства указанных треугольников следует, что по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:

Доказано.

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм . .

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:

по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что и по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:

параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.

Доказано.

Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.

Пример 1. В выпуклом четырехугольнике Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Рис. 4

параллелограмм по первому признаку параллелограмма.

I. Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Задача 1. Из вершин В и D параллелограмма АBCD, у которого АВ≠ ВС и угол А — острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм.

Доказательство.

Так как ВК и DM перпендикулярны одной и той же прямой АС, то ВК II DM. Кроме того, ВК и DM являются высотами, проведенными в равных треугольниках Δ АВС и Δ CDA из вершин равных углов ∠B и ∠D к одной и той же стороне АС, следовательно, ВК = DM. Имеем: две стороны ВК и DM четырехугольника BMDK параллельны и равны, значит, BMDK – параллелограмм, что и требовалось доказать.

II. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Задача 2. На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Доказательство.

1. По условию в четырехугольнике ABCD противоположные стороны состоят из равных отрезков, поэтому равны, т.е. AD=BC, AB=CD. Следовательно, ABCD – параллелограмм.

2. Рассмотрим Δ MBN и Δ PDQ. BM=DP и BN=DQ по условию. ∠B =∠D как противолежащие углы параллелограмма ABCD. Значит, Δ MBN = Δ PDQ по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников). А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Отсюда MN=PQ. Мы доказали, что противоположные стороны MN и PQ четырехугольника MNPQ равны. Аналогично, из равенства треугольников Δ MAQ и Δ PCN следует равенство сторон MQ и PN, которые являются противоположными сторонами четырехугольника MNPQ. Имеем: противоположные стороны четырехугольника MNPQ попарно равны. Следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм. Задача решена.

III. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Задача 3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, Докажите, что четырехугольник MNPQ, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Доказательство.

По свойству диагоналей параллелограмма ABCD его диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам, т.е. ОА=ОС и ОВ=OD. Диагонали четырехугольника MNPQ так же пересекаются в точке О, которая будет серединой каждой их них. Действительно, так как вершины четырехугольника MNPQ по условию являются серединами отрезков ОА, ОС, ОВ и OD, то BN=ON=OQ=DQ и AM=OM=OP=CP. Следовательно, диагонали MP и NQ четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам, следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм, что и требовалось доказать.

II . Атанасян , № 376 (б, д), 372 (а, б), 371 (б)

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

III . ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

1 0 . Если в четырехугольнике ,

то этот четырехугольник – параллелограмм .

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны , то этот четырехугольник – параллелограмм.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам , то этот четырехугольник – параллелограмм .

Домашнее задание для педагога 2016

Выучить теорию: п. 42, 43

Задачи: Базовый уровень: № 371 (а), 372 (в), 376 (в, г)

Повышенный уровень:

Для педагога 2016

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм .

Дано: 1) ABCD -четырехугольник

2) АВ|| CD , AB = CD .

Доказать, что ABCD – параллелограмм

Доказательство:

1) Рассмотрим AOB и COD

АО=ОС, по условию

ВО=ОD, по условию

как вертикальные углы

Значит, AOB =COD (по двум сторонам и углу между ними )

3) Соответствующие элементы треугольников равны, тогда AB = CD , , но AB и CD и секущей AC , значит AB || CD (по признаку параллельных прямых)

4)В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны AB || CD , AB = CD , значит, ABCD – параллелограмм (по признаку 1 0 )

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм

2) ВС= А D , AB = CD .

Доказать, что ABCD – параллелограмм

Доказательство:

1) Дополнительное построение: диагональ АС

2) Рассмотрим АВС = СDА (по трем сторонам), так как

АС – общая сторона

АВ=СD, по условию

ВС=АD, по условию

3) Соответствующие элементы треугольников равны, тогда , но
- накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC , значит AB || CD (по признаку параллельных прямых)

4) В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны AB || CD , AB = CD , значит, ABCD – параллелограмм (по признаку 1 0 )

22.10.2014 Классная работа . Тема урока « », п. 43 I. «Рабочая тетрадь» 8 . В параллелограмме ABCD найдите: а) стороны, если ВС на 8 см больше стороны АВ, а периметр равен 64см; б)углы, если . 9 .В параллелограмме ABCD диагональАС,равная 24 см, образует со стороной AD угол 30°, O -точка пересечения диагоналейАСи BD , .Найдите длину отрезкаОЕ.
10 . Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке Р, причем ВР=РС. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 54см.
11. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров РАВНА 2.Найдите стороны параллелограмма.
12. На рисунке в четырехугольнике ABCD .Докажите, что ABCD параллелограмм.

II . Атанасян , № 376 (б, д), 372 (а, б), 371 (б)

Задача 371(б) позволяет сделать вывод о виде выпуклого четырехугольника, значит, мы рассмотрели ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

III . ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА (по презентации)

___________________________________________ ,

то этот четырехугольник – ______________________ .

2 0 . Если в четырехугольнике ____________________

_______________________________________________ ,

то этот четырехугольник – ______________________

3 0 . Если в четырехугольнике ______________

_________________________________________

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­____________________________,

то этот четырехугольник – ______________________ .

Домашнее задание для учащихся 8 класс 2016

Выучить теорию: п. 42, 43

Задачи: Базовый уровень: учебник(Атанасян) № 371 (а), 372 (в), 376 (в, г)

Повышенный уровень:

8. На рис. 121, ABCD – паралллелограмм, P MNKP = 20 см. Найдите MN , MP .

9. На рис.122 BNDM –паралллелограмм AB : BC =4:5, P ABCD = 18 см.Найдите AD , CD

Это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойство 1 . Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Доказательство . По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).

Теорема доказана .

Свойство 2 . В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство .
Аналогично,

Теорема доказана .

Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 4 . Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. - вершину - два равнобедренных?-ка).

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 5 . В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 6 . Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 7 . Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Доказательство .

Теорема доказана .

Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1) Построить произвольный луч DE.

2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.

3) F и G - точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H - точка пересечения окружности с построенным лучом

Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5) I - точка пересечения окружностей построенного луча.

6) Провести прямую через вершину и I.

IDH - требуемый угол.
)

Свойство 1 . Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Доказательство . Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.

Главная » Обучение за рубежом » Определение и признаки параллелограмма таблица 1. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки