Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная. вершина C и вершина D являются соседними

Определение понятия луча базируется на двух основных понятиях геометрии: точке и прямой. Возьмем произвольную прямую и выберем на ней произвольную точку. Такая точка будет разделять эту прямую две части (рис. 1).

Определение 1

Лучем будет называться часть прямой, которая ограничена какой-либо точкой на этой прямой, но только с одной стороны.

Определение 2

Точка, которой ограничен луч в рамках определения 1 называется началом этого луча.

Замечание 1

отметим, что угол, который получался на рисунке 1 называется развернутым.

Луч будем обозначать двумя точками: началом его и другой любой произвольной точки на нем. Отметим, что здесь, в обозначении, важен порядок обозначения этих точек. На первом месте всегда ставим именно начало луча (рис. 2)

Понятие луча связано со следующей аксиомой геометрии:

Аксиома 1: Любая произвольная точка на прямой будет делить ее на два луча, причем любые произвольные точки одно и того же из них будут лежать с одной стороны от этой точки, а две точки из разных лучей – по разные стороны от этой точки.

С понятием луча и отрезка также связана следующая аксиома.

Аксиома 2: От начала любого луча может быть отложен отрезок , который равен заведомо данному отрезку, причем такой отрезок будет единственен.

Угол

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда

Определение 3

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 4

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 3).

С понятием луча и угла также связана следующая аксиома.

Аксиома 3: От любого произвольного луча может быть отложен угол в определенную полуплоскость, который равен заведомо данному углу, причем такой угол будет единственен.

Сравнение углов

Рассмотрим два произвольных угла. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными.

Итак, для сравнения выбранных нами углов (обозначим их угол 1 и угол 2) наложим вершину угла 1 на вершину угла 2, так, чтобы, по одному из лучей этих углов наложились друг на друга, а другие два были по одну сторону от этих лучей. После такого наложения возможны два следующих случая:

Величина угла

Помимо сравнения одних углов с другими также часто необходимо измерение углов. Измерить угол означает найти его величину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.

Самым простым способом измерения величины углов является измерение с помощью транспортира.

Пример 1

Найти величину следующего угла:

Используем транспортир:

Ответ: $30^0$.

После определения величины углов у нас появляется второй способ для сравнения углов. Если при одном и том же выборе единицы измерения угол 1 и угол 2 будут иметь одинаковую величину, то такие углы будут называться равными. Если же, без ограничения общности, угол 1 будет иметь величину по числовому значению меньше величины угла 2, то угол 1 будет меньше угла 2.

Урок 14

Луч. Числовой луч. Угол. Виды углов. Построение прямого угла с помощью циркуля и линейки

Цели : Распознавание и изображение геометрических фигур: точки, прямой, прямого угла. Измерение длины отрезка и построение отрезка заданной длины Построение прямого угла на клетчатой бумаге

Планируемые результаты :

Знать понятия «луч», «числовой луч». Уметь распознать геометрические фигуры и изображать их на бумаге с разлиновкой в клетку, чертить луч и числовой луч Знать понятие «угол», виды углов. Уметь распознавать геометрические фигуры и изображать их на бумаге с разлиновкой в клетку, строить прямой угол.

Ход урока

1. Орг.момент

2. Актуализация знаний

Проверка дом.задания

3. Работа по теме урока:

На этом уроке мы рассмотрим луч и числовой луч. Вначале мы вспомним понятия «прямая», «отрезок» и «луч», рассмотрим их отличия. Введем понятие числового луча, познакомимся с историей его возникновения и решим ряд примеров.

Рассмотрите первый рисунок (рис. 1) и скажите, в чем отличия луча от прямой и отрезка.

Рис. 1. Отрезок, луч и прямая

Решение : 1. Прямая может быть продолжена сколько угодно в обе стороны – бесконечная линия, которая не имеет концов или границ.

2. Отрезок – часть прямой, которая ограничена с двух сторон. Так, на рисунке 1 отрезок – это .

3. Часть прямой, ограниченной точкой с одной стороны, – луч . На чертеже (рис. 1) изображён луч с началом в точке . Луч может быть продолжен по прямой только в одну сторону.

Рассмотрим луч с началом в точке (рис. 2). Отложим на нём равные отрезки – единичные отрезки . Единичные отрезки могут быть равны любому значению: одна клетка, один сантиметр, три сантиметра. Главное, чтобы каждый следующий единичный отрезок был равен предыдущему. Если мы пронумеруем эти отрезки цифрами, получим числовой луч .

Рис. 2. Числовой луч

С помощью числового луча можно изобразить любое число, потому что он бесконечен. Также очень легко сравнивать числа: чем правее точка от начала луча, тем с большим числом мы столкнулись.

Угол. Виды углов. Построение прямого угла с помощью циркуля и линейки

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. На рисунке можно увидеть луч с началом в точке и луч с началом в точке (рис. 1).

Рис. 1. Лучи

Фигура, образованная двумя лучами с одним и тем же началом, называется углом. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла , а их общее начало – вершиной угла (рис. 2).

Рис. 2. Углы

Угол может быть назван одной заглавной латинской буквой по его вершине. На рис. 2 можно увидеть угол и угол . Но углы можно обозначить и другим способом.

Угол многоугольника обозначают тремя заглавными буквами. Называть угол начинают с буквы, стоящей у одной стороны, затем называют букву у вершины, а заканчивают буквой у другой стороны. Например, в треугольнике , угол с вершиной является угол (рис. 3) или в обратном порядке – .

В треугольнике угол с вершиной – это угол или .

Рис. 3. Углы в треугольнике

Необходимо помнить, что в середине названия угла должна стоять та буква, которой обозначена вершина угла.

Иногда угол обозначают малой буквой или цифрой, ставя их внутри угла (рис. 4). Между сторонами угла проводят для ясности дужку.

Рис. 4. Обозначение угла буквой или цифрой

Рис. 5. Виды углов

Существуют различные виды углов.

1. Если стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называют развернутым. На рис. 6 угол М – развернутый (уместно сравнение с развернутым веером).

Рис. 6. Развернутый угол

2. Прямым углом называют тот угол, который составляет половину развернутого угла (рис. 7). Например, прямой угол можно получить путем складывания бумаги (если лист сложить дважды).

Рис. 7. Прямой угол

Для удобства определения, прямой угол или нет, есть особый инструмент – прямоугольный треугольник, у которого один из углов – прямой (рис. 8).

Рис. 8. Прямоугольный треугольник и его применение

3. Непрямые углы делятся на тупые и острые.

Угол, который меньше прямого, – это острый угол (рис. 9).

Рис. 9. Острый угол
Угол, который больше прямого, но меньше развернутого угла, – это тупой угол (рис. 10).

Рис. 10. Тупой угол

Найдите на чертеже прямые, тупые и острые углы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

В нахождении решения нам поможет инструмент – прямоугольный треугольник, который будет приложен к каждой из вершин треугольника путем совмещения одной из сторон. Если он будет совпадать с углом, то этот угол прямой. Если угол будет меньше прямого угла инструмента, то этот угол острый. А если же угол больше прямого угла инструмента – то это тупой угол.

Прямые углы:

Тупые углы:

Острые углы: , , ,

Приветствую вас, на этой страничке! Думаю, что раз вы здесь, значит тему “Точки, прямые и отрезки” вы уже изучили.

Сегодня мы введем два новых понятия, рассмотрим тему

Давайте проведем прямую и отметим на ней три точки A, O и B. Точка O разбивает прямую на два луча: OA и OB. Т.е. луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны и неограниченная с другой.

При этом точка O называется началом лучей OA и OB, а луч OA является продолжением (дополнением) луча OB и наоборот.

Обозначается луч либо одной маленькой латинской буквой, либо двумя заглавными латинскими буквами, при этом первой называется та буква, которая обозначает начало луча.

Теперь давайте рассмотрим следующее понятие: угол. Угол – это фигура, которая состоит из двух лучей, исходящих из одной точки. Эти лучи называются сторонами углами, а общая точка называется вершиной угла.

Угол обозначается либо двумя малыми латинскими буквами, либо одной заглавной буквой, либо тремя заглавными буквами.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. По другому еще говорят, что одна сторона развернутого угла является продолжением (дополнением) другой стороны этого угла.

Любой неразвернутый угол разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю.

У развернутого угла можно любую область можно принять за внутреннюю часть, тогда другая область будет являться внешней.

За угол принимают внутреннюю часть угла.

Ну и последнее по этой теме) Если провести внутри угла лучи (лучи), то в результате образуются два (несколько) угла.

И тогда можно сказать, что угол AEM состоит из двух углов AEN и NEM:

Или,

Ниже вы можете еще раз повторить все основные понятия с помощью презентации.

Только не стоит зазубривать определения, свойства и теоремы!!! Это не принесет результатов.

При решении задач, держите под рукой учебник, чтобы в любой момент уточнить правильно ли вы определяете то или иное понятие.

А для того, чтобы вам было легче находить нужные понятия, вы можете воспользоваться (в поисковой строке вводите название понятия и с правой стороны вы сможете найти соответствующее определение, теорему и т.п.)

Ниже представлены задачи предложенные по этой теме (в учебнике по геометрии Л.С. Атанасян) . Перед тем как посмотреть решение той или иной задачи, попробуйте решить ее самостоятельно))

Условие:

Проведите прямую, отметьте на ней точки A и B и на отрезке AB отметьте точку C. a) Среди лучей AB, BC, CA, AC и BA назовите совпадающие лучи; б) назовите луч, который является продолжением луча СА.

Текстовое решение:

1. Проводим прямую

2. Отмечаем на проведенной прямой точки A и B.

3. Между точками A и B отмечаем точку С.

4. Лучи называются совпадающими, если они имеют общее начало, расположенные на одной и той же прямой и направленные в одну и ту же сторону: луч AC совпадает с лучом AB, луч BC совпадает с лучом BA.


5. Пункт (б) не очень корректен (мое личное мнение). Многие учащиеся называют продолжение луча CA, луч CB. Луч CB – это луч, который имеет общее начало с лучом CA, лежит на одной прямой, но направлен в противоположную сторону. Такие лучи называют дополнительными. Продолжение – это часть чего-то незавершенного, но луч СА и так бесконечен и мы можем свободно продолжить его для каких-то конкретных целей (до пересечения с чем-либо, на какое-то количество клеток и т.д.)

Условие:

Начертите три неразвернутых угла и обозначьте их так:

Текстовое решение:

Развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180 градусов. Следовательно, чертим три угла, градусная мера которых меньше 180 градусов.

Условие:

Начертите два развернутых угла и обозначьте их буквами.

Текстовое решение:

Развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180 градусов. Следовательно, чертим два угла, градусная мера которых равна 180 градусов.

Условие:

Начертите три луча h, k и l с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.

Текстовое решение:

Чертим лучи h, k и l с общим началом.

В результате получили три угла:

Условие:

Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.

Текстовое решение:

Чертим угол

Отмечаем внутри угла точки A и B.

Отмечаем вне этого угла точки С и D.

Отмечаем на сторонах этого угла точки P и N.

Условие:

Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки А, B, M и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.

Текстовое решение:

Чертим неразвернутый угол (угол, градусная мера которого меньше 180 градусов) , например

Отмечаем точки A и B так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла

Отмечаем точки M и N так, чтобы все точки отрезка MN лежали вне угла

Примечание: А вот точки K и L отмечены так, чтобы часть точек отрезка KL лежало внутри угла