Тройное правило. Пропорции
ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.
СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, 1965
1. Простое тройное правило. Из задач на пропорциональные величины наиболее часто встречаются задачи на так называемое простое тройное правило. В этих задачах даны три числа и требуется определить четвертое, пропорциональное к ним.
Задача 1. 10 болтов весят 4 кг. Сколько весят 25 таких болтов? Такие задачи можно решать несколькими способами.
Решение I (способом приведения к единице).
1) Сколько весит один болт?
4 кг: 10 = 0,4 кг.
2) Сколько весят 25 болтов?
0,4 кг · 25 = 10 кг.
Решение II (способом пропорций). Так как вес болтов прямо пропорциональный их количеству, то отношение весов равно отношению штук (болтов). Обозначив искомый вес буквой х, получим пропорцию:
х : 4 = 25: 10,
(кг)
Можно рассуждать и так: 25 болтов больше 10 болтов в 2,5 раза. Следовательно, они тяжелее 4 кг тоже в 2,5 раза:
4 кг · 2,5 = 10 кг.
Ответ. 25 болтов весят 10 кг.
Задача 2. Первое зубчатое колесо делает 50 об/мин. Второе зубчатое колесо, сцепленное с первым, делает 75 об/мин. Найти число зубьев второго колеса, если число зубьев первого равно 30.
Решение (способом приведения к единице). Оба сцепленные зубчатые колеса передвинутся за минуту на одинаковое число зубьев, поэтому число оборотов колес обратно пропорционально числу их зубьев.
50 обор. - 30 зуб.
75 обор. - х зуб.
х
: 30 = 50: 75; 
(зубьев).
Можно рассуждать и так: второе колесо делает оборотов в 1,5 раза больше первого (75: 50 = 1,5). Следовательно, оно имеет зубьев в 1,5 раза меньше первого:
30: 1,5 = 20 (зубьев).
Ответ. 20 зубьев.
2. Сложное тройное правило. Задачи, в которых по данному ряду соответствующих друг другу значений нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений остальных величин, называют задачами на сложное тройное правило.
Задача. 5 насосов в течение 3 ч выкачали 1800 ведер воды. Сколько воды выкачают 4 таких насоса в течение 4 ч?
5 нас. 3 ч - 1800 вед.
4 нас. 4 ч - х вед.
1) Сколько ведер воды выкачал 1 насос в течение 3 ч?
1800: 5 = 360 (ведер).
2) Сколько ведер воды выкачал 1 насос в течение 1 ч?
360: 3 = 120 (ведер).
3) Сколько воды выкачают 4 насоса за 1 ч?
120 · 4 = 480 (ведер).
4) Сколько воды выкачают 4 насоса за 4 ч?
480 · 4 = 1920 (ведер).
Ответ. 1920 ведер
Сокращенное решение по числовой формуле:
(ведер).
Задача. Разделить число 100 на две части прямо пропорционально числам 2 и 3,
Эту задачу следует понимать так: разделить 100 на две части, чтобы первая относилась ко второй, как 2 к 3. Если обозначить искомые числа буквами х 1 и х 2 то эту задачу можно сформулировать и так. Найти х 1 и х 2 такие, чтоб
х 1 + х 2 = 100,
х 1: х 2 = 2: 3.
Часть третья
ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ.
ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ПРИ ПОМОЩИ ПРОПОРЦИЙ и
СПОСОБОМ ПРИВЕДЕНИЯ К ЕДИНИЦЕ.
ОТДЕЛ VIII..
§ 50. Сложное тройное правило.
2661. 45-ти каменщикам за шестидневную работу заплачено 216 рублей; сколько следует заилатить 30-ти каменщикам, работавшим 8 дней?
2662. 5 насосов в течение 3 часов выкачали 1800 ведер воды. Сколько воды выкачают 4 таких же насоса в продолжение 4 часов?
2663. 25 работников вырыли в 12 дней канал, длиною в 36 сажен. Какой длины канал могли бы вырыть 15 таких же работников в 10 дней?
2664. Капитал в 100 рублей в 12 месяцев приносит 6 рублей прибыли. Сколько прибыли принесет капитал в 8600 рублей в 4 месяца?
2665. С прямоугольного поля, длиною 40 сажен и шириною 30 сажен, собрано 6 четвертей 2 четверика овса. Сколько овса собрано с другого поля, длина которого равна 96 саженям и ширина 50 саженям, если условия посева и урожая для обоих полей были одинаковы?
2666. На 15 пар платья пошло 45 аршин сукна шириною в 1 арш. 14 вершков. Какой ширины было другое сукно, если его пошло 60 аршин на 10 таких же пар платья?
2667 .18 работников, занимаясь в день по 7 часов, окончили некоторую работу в 30 дней и получили за это 201 руб. 60 коп. 14 работникав, занимаясь ежедневно по 4 часа, за исполнение другой работы получили 67,2 рубля. Предполагая, что плата рабочему той и другой партии за час была одинакова, определить, сколько дней работала вторая партия рабочих.
2668. За провоз 420 пудов товара по железной дороге на расстояние 24 верст заплачено 2 руб. 52 копейки. Согласно этому расчету, за провоз 50 пудов товара по Николаевской железной дороге, от Петербурга до Москвы, следовало бы заплатмть 7 руб. 61 1 / 4 коп. Найти длину этой дороги.
2669. 155 пассажирских билетов второго класеа, взятые на проезд по железной дороге от Парижа до Руана, стоят 1488 франков. Зная, что цена 10 билетов второго класса, взятых на проезд 4 километров, равна 3 франкам, и что 16 километров составляют 15 верст,-выразить в верстах длину железной дороги между Парижем и Руаном.
2670. Если колесо машины, приготовляющей железную проволоку, будет делать 60 оборотов в минуту, то эта машина изготовит 240 арш. проволоки в течение 3 часов 20 минут. Во сколько времени она изготовит 33 1 / 8 сажени проволоки, если колесо будет делать 41 2 / 3 оборота в минуту?
2671. С прямоугольного поля, которого длина 125 сажен и ширина 0,08 версты, собрано 12 1 / 2 четвертей пшеницы; таким образом, расчет показал урожай сам-шесть. С другого прямоугольного поля, которого длина равна 0,3(9) версты, было собрано 8 1 / 3 четверти пшеницы, что составило урожай сам-пять. Предполагая, что условия посева того и другого поля были одинаковы определнть ширину второго поля.
2672. Каменная плита, длиною 5,(3) фута, шириною 0,8(3) фута и толщиною 2 5 / 8 дюйма, весит 4,2 пуда. Другая плита из того же камня, как и первая, весит 7 пудов 35 фунтов и занимает в ширину 15 дюймов и в толщину 2 вершка. Какой длины вторая плита?
2673 . Железная полоса, длиною в 2 аршина, шириною в 1 1 / 2 дюйма и толщиною в 2 / 3 дюйма, весит 0,4375 пуда. Сколько будет весить железная полоса, длина которой равна 2 футам, ширина 1 3 / 7 вершка и толщина 0,16666.... фута?
2674. 36 работников, занимаясь ежедневно по 12 часов 30 минут, построили деревянный дом в 30 дней. По скольку часов в день должны заниматься 27 работииков, чтобы построить такой же дом в 50 дней?
2675. Длина коридора 6 саж. 2 арш. 9 1 / 7 вершка, ширина 1,4(9) саж. и высота 5,(3) ярда (уаrd-английская мера длины). Атмосферный воздух, содержащийся в коридоре, весит 17 пуд. 34 фунт. Воздух, наполняющий комнату, смежную с коридором, весит 11,9 пуда. Зная, что 0,58(3) ярда = 0,75 арш., и что высота комнаты равна 5 5 / 7 арш., и ширина ее составляет 0,945 высоты,-вычислить длину этой комнаты.
2676. За освещение лестницы дома 6-ью газовыми рожками, горевшими в течение 40 вечеров, по 6 часов 12 минут каждый вечер, заплачено в газовое общество 22 руб. 32 копейки. На другой лестнице горело 5 таких же рожков в течение 60 вечеров, за что и было заплачено 27 рублей. По скольку часов каждый вечер горел газ на второй лестнице?
2677 . На 4 лампы, которые зажигались каждый вечер на 7 1 / 2 часов, в течение 30 вечеров израсходовано 2,25 пуда керосину. Во сколько вечеров будет израсходовано 1,8 пуда керосину, если каждый вечер будут зажигаться 5 таких же ламп на 4 часа 30 минут?
2678 . 32 каменщика, работая ежедневно по 8 1 / 2 часов, в 42 дня сложили кирпичную стену длиною в 10 сажен, толщиною в 7 1 / 2 вершков и высотою в 1 сажень 3,5 фута. Во сколько дней 40 каменщиков, одинаковой силы с первыми, работая ежедневно по 6,8 часа, сложат кирпичную стену длиною в 15 сажен, толщиною в 0,9375 аршина и высотою в 2 1 / 2 аршина?
2679. Длина почтовой дороги между Витебском и Орлом равна 483 верстам; один путешественник проехал это расстояние в 7 дней, находясь в городе по 10 часов каждый день и проезжая по одному и тому же числу верст в час. Другой путешественник выехал из Витебска в Могилев и, находясь в дороге ежедневно по 12 часов, совершил свой путь в 4 дня. Сколько верст от Витсбска до Могилева, если известно, что второй путешественник проезжал 10 верст в то же самое время, в какое первый проезжал 23 версты?
2680. Кирпич (клинкер), длиною 0,375 аршина, шириною 3 вершка и толщиною 1 1 / 2 вершка, весит 10 фунтов 38,4 золотника. Сколько будет весить прямоугольной формы кусок мрамора, которого длина равна 8,75 дюйма, ширина 2 1 / 4 вершка и толщина 2 вершкам, при чем известно, что мрамор в 1 1 / 2 раза тяжелее кирпича?
2681. 25 ткачей, занимаясь в день по 8 1 / 3 часа, соткали в 32 дня 120 аршин полотна, шириною в 1 арш. 5 1 / 3 вершка. Во сколько дней 40 ткачей, занимаясь ежедневно по 4 часа 10 минут, соткут 320 аршин полотна шириною 0,75 аршина?
2682. Капитал 1200 рублей в 8 месяцев принес 40 рублей прибыли; во сколько времени 100 руб. принесут 5 руб. прибыли?
2683. Капитал 30000 рублей через 7 1 / 2 месяцев принес 1125 рублей прибыли. Сколько прибыли приносят каждые 100 рублей этого капитала в течение 1 года?
2684. Капитал в 24400 рублей в течение 10 месяцев принес 1525 рублей прибыли. Какой надо иметь капитал, чтобы он, находясь в обороте при одинаковых условиях с первымсоставил в течение 2 1 / 2 месяцев 1250 рублей прибыли?
2685. 54 землекопа, работая в день по 10 часов, сделали в 33 дня насыпь, длиною в 124 сажени, шириною в 1 сажень 2 1 / 2 аршина и высотою в 6 3 / 4 фута. Сколько надо нанять землекопов, чтобы онн, занимаясь ежедневно по 7 1 / 2 часов, сделали в 30 дней насыпь, длнною в 0,31 версты, шприною в 7 1 / 3 арш. и высотою в 3 6 / 7 аршина?
2686. 48 землекопов, работая ежедневно по 9 часов 20 минут, сделали в 55 дней земляной вал, длиною в 40 1 / 3 сажени, шириною в 4 1 / 2 аршина и высотою 7 аршин. Какой высоты сделают вал 40 землекопов в 64 дня, работая ежедневно по 6 часов 45 минут, если длина вала будет равна 44 саженям и ширина 1 сажени?
2687 . На отопление квартпры 6-ю печами в течение 2 месяцев 10 дней израсходовано 14 сажен сосновых дров. На сколько времени достанет 10-ти сажен березовых дров для отопления квартиры 8-мью печами, если количество тепла, издаваемое каждою печкою, должно быть то же самое, как и для первой квартиры, и если 9 сажен сосновых дров дают столько же тепла сколько и 7 1 / 2 сажен березовых?
2688. С прямоугольного поля, имеющего в длину 2 версты и в ширину 1 1 / 2 версты, при урожае сам-27, было собрано столько сахарной свекловицы, что из нее было добыто на заводе 937 1 / 2 пудов сахару. С другого поля, имевшего в ширину 400 сажен, при урожае сам-18, бьгла собрана свекловица, из которой добыто 250 пудов сахару. Предполагая, что условия посева и качество свекловицы для обоих полей были одинаковы, найти длину второго поля.
2689. 4 писца, занимаясь ежедневно по 7 1 / 2 часов, в 15 дней переписали 225 листов, при чем на каждой странице средним числом было по 32 строки. Сколько писцов нужно нанять, чтобы они, занимаясь ежедневно по 5 часов 20 минут, могли в 9 дней переписать 64 листа, помещая средним числом по 36 строк на каждой странице?
2690. 3 трубы в продолжение 4 1 / 2 часов наполнили водоем, длиною в 1 саж. 2 арш., шириною в 1,5 аршина и глубиною в 3 2 / 3 фута. До какой глубины наполнят другой водоем 4 трубы в течение 5,4 часа, если длина этого водоема равна 1 саж. 2 5 / 8 фута, ширина 1,2 арш., и если каждая из первых труб вливает 16 ведер воды в то же время, в какое каждая из последних вливает 9 ведер?
2691 . 22 ткача, занимаясь в день по 10 часов, в 30 дней приготовили 120 кусков полотна. Сколько нужно нанять таких ткачей для того, чтобы они, занимаясь в день по 7 1 / 2 часов, в 40 дней могли приготовить 300 кусков полотна, при чем длина каждого из этих кусков должна быть в 1 1 / 10 раза более длины первых, а ширина должна составлять 0,8(3) ширины первых?
2692. Для продовольствия некоторого числа солдат достанет запаса хлеба на 60 дней, если каждому солдату ежедневно будет выдаваться по 2 1 / 2 фунта. На сколько дней достанет 3 / 4 этого запаса, если число солдат будет уменьшено на 3 / 8 прежнего числа, а ежедневная порция каждого будет увеличена на 1,25 фунта.?
2693. Пятнадцать работников и 12 работниц, занимаясь ежедневно по 10 часов 30 минут, сняли с поля хлеб в 12 дней. Во сколько дней 21 работник и 8 работниц, занимаясь в день по 8,4 часа, уберут хлеб с поля, длина которого относится к длине первого, как 0,3: 1 / 5 , и которого ширина относится к ширине первого, как 0,51: 0,5(6),-если при том известно, что сила мужчииы относится к силе женщины, как 0,2(6) : 0,1(9)?
2694. Для выкачнвания воды из бассейна были поставлены 3 больших и 5 малых насосов, которые, действуя вместе, могли бы вылить всю воду в 6 часов. По прошествии 2 1 / 2 часов их совместного действия, два больших насоса испортились и были тотчас же заменепы 5-ью малыми. Зная, что сила каждого малого насоса относится к силе каждого большого, как 2 1 / 2: 4 1 / 6 определить, сколько всего часов пошло на выкачивание воды из бассейна.
2695. На постройку стены дома употреблено 4215 кирпичей, из которых каждый был длиною 10 1 / 2 дюйм., шириною 5,25 дюйм. и толщиною 2 5 / 8 дюйма. Для того, чтобы построить другую стену, были употреблены кирпичи, из которых каждый был длиною 5 1 / 2 вершков, шириною 3 1 / 3 вершка и толщшюю 1 1 / 4 вершка. Сколько пойдет этих кирпичей на постройку второй стены, если ее длина равна 0,8(3) длины первой, толщина в 1,1 раза более толщины первой, и высота составляет 0,(5) высоты первой стены?
2696. Двадцать пять человек, занимаясь ежедневно по 5 часов, в 15 дней успели сделать 0,(27) некоторой работы. Сколько человек нужно еще нанять, чтобы они, занимаясь вместе с первыми по 8 1 / 3 часа в день, могли окончить остальную часть той же работы в 20 дней?
Нѣтъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя средневѣковыхъ ариѳметикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всѣхъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ нѣмецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше всѣхъ похвалъ», оно-«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ règle dorée-золотого правила. Оно противополагалось цѣлой наукѣ-алгебрѣ.
За что же воздаются такія неумѣренныя похвалы отдѣлу, который въ наше время привыкъ занимать уже болѣе скромное мѣсто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себѣ вернутъся немного назадъ и дать краткую характеристику цѣлей, которыя преслѣдовала ариѳметика съ древнихъ временъ.
Всякая наука въ первоначальной стадіи своего развитія вызывается практическими потребностями и стремится, въ свою очередь, имъ удовлетворить. Затѣмъ, въ зависимости отъ условій, при которыхъ она развивается, наука иногда довольно скоро, иногда болѣе медленно принимаетъ теоретическую окраску и на изучающихъ ее дѣйствуетъ образовательно, т.-е. совершенствуетъ ихъ душевыыя способности: умъ, чувство и волю: при медленномъ же ростѣ наука долго остается руководительницей мастерства, сообщаетъ одно только умѣнье, даетъ человѣку механическіе навыки и придаетъ ему черты машинальности. И то и другое направленіе испытала ариѳметика. Съ одной стороны греческіе ученые видѣли въ ариѳметикѣ болѣе всего образовательный элементъ; они постоянно ставили вопросы «почему?» и «зачѣмъ?», всегда искали основанія и вывода; ученики греческихъ школъ углублялись въ суть науки, думали надъ ней, и потому изученіе дѣйствовало на нихъ образовательно-развивающимъ образомъ. Съ другой стороны, индусы смотрѣли на ариѳыетику скорѣе со стороны искусства, они не любили вопроса «почему?», но у нихъ основнымъ вопросомъ всегда былъ: «какъ это сдѣлать?» Направленіе индусовъ перешло къ арабамъ, а оттуда въ средневѣковую Европу. Въ ней оно встрѣтило чрезвычайно радушный пріемъ, и почва для него оказалась вполнѣ благодарной: послѣ великаго переселенія народовъ и при безпрерывно продолжающихся войнахъ нечего было и думать о развитіи точной, частой, отвлеченной науки, а въ пору было ограничиться ея прикладной частью, достаточно было только учить «какъ дѣлать», а не «почему такъ дѣлать». И вотъ практическая окраска осталась за ариѳметикой на долгое время, почти до нашихъ дней, в вмѣстѣ съ тѣмъ изученіе ея было узко-механическимъ: безъ выводовъ, разъясненій, безъ углубленія въ основанія; повсюду въ учебникахъ встрѣчалось «такъ дѣлай», «дѣлать надо такъ», и ученику оставалосъ только затверживать и примѣнять къ дѣлу; у нашего Магницкаго тоже встрѣчается рядъ характерныхъ выраженій «зри сице», «зри изобрѣтенія»; положимъ, среди этихъ выраженій у него есть «умствуй и придетъ», но какъ именно умствовать, на то дается очень мало намековъ. Сообразно практическому значенію ариѳметики, въ ней особенно выдѣлялось и цѣнилось все, что можетъ принести непосредственную выгоду, доставить заработокъ.
«Хто сію мудроеть знаетъ», говорится въ русской ариѳметикѣ XVII вѣка, «можетъ быть у государя въ великой чти и въ жалованьи; по сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товарѣхъ и торгѣхъ силу знаютъ и во всякихъ вѣсѣхъ и мѣрахъ и въ земномъ верстаніи и въ морскомъ теченiи зѣло искусни, и счетъ изъ всякаго числа перечню знаютъ».
Но какая же часть ариѳметики можетъ болѣе дать практическихъ, непосредствеено приложимыхъ навыковъ, какъ не рѣшеніе задачъ? Поэтому всѣ старанія средневѣковыхъ авторовъ направлялись къ тому, чтобы собрать какъ можно больше задачъ и при томъ самаго разнообразнаго житейскаго содержанія. Тутъ были задачи а о продажѣ, и о покупкѣ, о векселяхъ и о процентахъ, о смѣшеніи, объ обмѣнѣ; пестрота была ужасная и разобраться во всей массѣ задачъ не представлялось нікакой возможности. Чтобы хоть нѣсколько сгруппировать и ввести нѣкоторую систему и порядокъ, пытались распредѣлить всѣ задачи по отдѣламъ или типамъ. Это мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, а задачи распредѣлялись не по способамъ ихъ рѣшенія, какъ бы слѣдовало, а по ихъ содержанію, т. е. по внѣшнему виду; напр., былъ особый видъ задачъ о собакахъ, догоняющихъ зайца, о деревьяхъ, о дѣвицахъ и т. п.
Рѣшеніе задачъ съ раздѣленіемъ по ихъ содержанію не пріносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать рѣшеніе. Да и понимать-то, по мнѣнію старинныхъ авторовъ, едва-ли нужно было.
«Это ничего», утѣшаетъ бывало наставникъ своихъ питомцевъ: «что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многаго не будешь понимать».
Вмѣсто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться примѣнять это къ дѣлу, т. е. къ примѣрамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на болѣе скромномъ-на томъ, какъ примѣнить общее правило къ примѣрамъ.
И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, примѣнить это правило было сравнительно нетрудно. За всѣ эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.
Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи рѣшались большею частію приведеніемъ къ единицѣ. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебрѣ. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отдѣлъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гдѣ даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Примѣръ: 100 rotuli (пизанскій вѣсъ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:
Правило предписывало рѣшать эту задачу слѣдующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 дѣлить на 100.
Особенное вниманіе, стали удѣлять тройному правилу съ ХVІ-го вѣка, т. е. съ тѣхъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобрѣтеніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не мѣшало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней мѣрѣ, съ нашей точки зрѣнія. Прежде всего опредѣлялось правило чисто внѣшнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опредѣлится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то раздѣлить на 1-е число». Такое опредѣленіе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно рѣшать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразумѣніе учебники не считали нужнымъ. Кромѣ того, рѣшались задачи не только съ цѣлыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ариѳметикахъ онѣ располагались такъ непослѣдовательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило помѣщались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ариѳметики дробныхъ чиселъ.
Послѣ тройного правила съ цѣлыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать нѣкоторыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отдѣлъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой группѣ; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ родѣ слѣдующаго: «Если мѣра зерна стоитъ 1½ марки, то на 1 марку даютъ два пуда хлѣба; сколько пудовъ хлѣба дадутъ на марку, если мѣра зерна стоитъ 1¾ марки; рѣшаемъ тройнымъ правиломъ, получится
но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хлѣба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ
Въ подобномъ духѣ трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)
«Правило возвратительное есть, егда потреба бываетъ въ заданіи третій перечень поставляти вмѣсто перваго: потребно же сіе въ гражданскихъ частыхъ случаяхъ, якоже рещи на прикладъ: нѣкій господинъ призвалъ плотника и велѣлъ дворъ строити, давъ ему двадцать человѣкъ работниковъ: и спросилъ, въ коливо дней построитъ тои его дворъ, онъ-же отвѣща, въ тридцать дней; а господину надобно въ 5 дней построити весь, и ради того спросилъ паки плотника, коликихъ человѣкъ достоитъ имѣти, дабы съ ними ты построилъ дворъ въ 5 дней, и той плотникъ недоумѣяся вопрошаетъ тя ариѳметиче: колико человѣкъ ему достоитъ имѣти, чтобъ построить ему той дворъ въ 5 дней, и аще ты начнеши творити по чину тройного правила просто; то во-истинну погрѣшиши; но подобаетъ ти не тако: 30-20-5, но сице превративъ: 5-20-30; 30 X 20=600; 600: 5=120».
За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотвѣтствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ вѣкѣ такъ:
имъ производятся такія вычисленія, которыхъ нельзя произвести по другому правилу; въ немъ дается 5 чиселъ, и по нимъ отыскивается шестое искомое число; напр., нѣкто пустилъ въ оборотъ сто рублей, и они принесли ему прибыли 7 р., спрашивается, сколько прибыли онъ получилъ бы съ 100 р. на 5 лѣтъ;
рѣшается такъ: 100-1-7-1000-5, перемножь два лѣвыхъ числа, а также перемножь 3 правыхъ числа и послѣднее произведеніе раздѣли на первое, будетъ въ отвѣтѣ 350, столько рублей прибыли дастъ 1000 р. въ теченіе 5 лѣтъ.
Простое и сложное тройное правило распредѣлялись обыкновенно въ XVI-XVIII вв. на массу мелкихъ отдѣловъ, которые носили очень замысловатыя названія, въ зависимости отъ содержанія задачъ. Вотъ эти названія по Магницкому: a «тройное торговое правило», т. е. вычисленіе стоимости купленнаго товара; b «тройное торговое о купляхъ и продажахъ»,-то же, что и предыдущее, но только посложнѣе; c «тройное торговое въ товарныхъ овощахъ и съ вывѣскою», когда приходится дѣлать вычетъ за посуду и вообще оболочку; d «о прибыли и убыткѣ»; e «статья вопросная въ тройномъ правилѣ», въ ней задачи очень разнообразнаго содержанія, по большей части съ обратной пропорціональностью; f «статья вопросная со временемъ», гдѣ спрашивается высчитать продолжительность работы, пути и т. п.
Въ началѣ ХІХ-го вѣка было предложено Базедовымъ еще измѣненіе въ тройномъ правилѣ и опять въ ту-же самую сторону машинальнаго, безсознательнаго навыка. Этотъ нѣмецкій педагогъ задался цѣлью еще болѣе упростить рѣшеніе задачъ на тройное правило тѣмъ, что еще сильнѣе уменьшить разсужденіе при ихъ рѣшеніи и замѣнить его письмомъ готовой формулы. Онъ совѣтуетъ располагать данныя числа 2 столбцами: въ лѣвомъ пишется неизвѣстное количество и всѣ тѣ числа, которыя должны войти въ числители формулы, а въ правомъ-всѣ множители, составляющіе знаменателя. Примѣръ: для продовольствія 1200 человѣкъ въ теченіе 4 мѣсяцевъ требуется 2400 центнеровъ муки; на сколько человѣкъ 4000 центнеровъ выйдетъ въ 3 мѣсяца? Пишемъ 2 столбца:
и получаемъ формулу отвѣта
Почему числа 1200, 4000 и 4 вошли въ числителя, а 2400 и 3-въ знаменателя? На это можно отвѣтить такимъ правиломъ: въ числителя входитъ число, однородное съ искомымъ, т. е. въ нашемъ случаѣ число 1200; кромѣ того въ него же входятъ всѣ тѣ числа второго условія {4000 · 4), которыя прямо пропорціональны искомому; если же они обратно пропорціональны, какъ въ нашемъ примѣрѣ 3, то они замѣняются соотвѣтствующнми числами 1-го условія (4-мя).
Вотъ все, что мы можемъ сообщить объ историческомъ развитіи тройного правила. Изъ всего сказаннаго можно сдѣлать заключенiе, которое годится для нашего времени. Средневѣковая ариѳметика, съ ея стремленіемъ давать только правила и пропускать выводы, съ ея механическимъ рѣшеніемъ вопросовъ, имѣла слишкомъ большое вліяніе на всю послѣдующую школьную жизнь, и настолько большое, что слѣды его проявляются на каждомъ шагу и въ наше время. Какъ бы мы ни старались отряхнутьоя отъ традиціи, освободиться отъ привычки, но онѣ слишкомъ тѣсно насъ охватили и слишкомъ крѣпко къ намъ привлеились, чтобы ихъ можно было отбросить безъ остатка. Наша школа все еще повинна въ механическомъ заучиваніи ариѳметики, безъ достаточнаго участія сознательности. Тройное правило служитъ хорошимъ доказательствомъ этого. Нерѣдко забываетъ наша средняя и низшая школа, что она призвана давать общее образованіе, а не готовить бухгалтеровъ, конторщиковъ, счетчиковъ и т. п. Между тѣмъ ремесленные пріемы итальянцевъ и нѣмцевъ, стремившихся не развить человѣка, а сдѣлать изъ него счетную машину, примѣняются нерѣдко и теперь. Къ чему всѣ эти правила: тройное, смѣшенія и т. д.? Какой цѣли они должны удовлетворять? Они должны являться выводомъ изъ рѣшенныхъ задачъ, а не предшествовать рѣшенію задачъ; вредно рѣшать задачи по предварительно усвоенному правилу, но надо стараться доходить до отвѣта свободнымъ личнымъ соображеніемъ. Однимъ словомъ, правило не надо понимать въ видѣ рецепта, который достаточно запомнить, чтобы по нему приготовлять разныя мудреныя рѣшенія; но имъ слѣдуетъ дорожить только какъ выводомъ, къ которому приходитъ ученикъ: если ученикъ не можетъ сдѣлать этого вывода, то это значитъ, что задачъ взято мало, или онѣ расположены не систематично, и эту ошибку надо поправить болѣе систематическимъ расположенiемъ задачъ; если ученикъ дѣлаетъ не такой полный и обстоятельный выводъ, какой хотѣлось бы учителю, то лучше удовольствоваться имъ, чѣмъ заставлять разучивать правило, навязанное учебникомъ: оно скоро забудется и не окажетъ развивающаго дѣйствія, такъ какъ необходимымъ качествомъ математическаго вывода должна быть самостоятельность, а необходимьмъ условіемъ сознательности должно быть тѣсное связываніе всѣхъ частей курса, почему и не можетъ имѣть мѣста механическое вкладываніе въ голову отдѣльныхъ кусковъ, усвояемыхъ памятью.
