Деление с остатком 20 6. Деление с остатком

Цель: Формирование умений и навыков при делении с остатком, нахождение делимого по неполному частному и остатку от деления, применение знаний при решении задач.

Задачи:

• Научить выполнять деление с остатком;
• Научить находить делимое по неполному частному и остатку от деления;
• Научить применять полученные знания и умения к решению задач;
• Продолжить формировать грамотную математическую речь;
• Пробудить интерес и активность к самоанализу и контролю.

Тип урока: Урок закрепления полученных знаний с применением ИКТ.

Метод обучения: Метод усвоения знаний, основанный на познавательной активности репродуктивного характера.

Структура урока:

1. Организационный момент (2 мин.)
2. Ввод в урок. Сообщение о теме, форме проведения данного урока и его задачах (3 мин.)
3. Устная работа (Приложение 1) (5-7 мин.)
4. Мотивация и актуализация опорного материала с помощью решения устной задачи (5 мин.)
5. Первичное закрепление, решение задач. (10-14 мин.)
6. Проверка усвоения материала (5-7 мин.)
7. Задание на дом (2 мин.)
8. Подведение итогов урока с помощью наводящих вопросов и решения устных задач (5 мин.)

Ход урока

1. Собрать тетради с домашней работой. Собрать готовые проекты “Старинные способы умножения и деления”.

2. Показ презентации. Сообщение о теме, цели урока, о задачах урока, девизе урока. Девиз урока: “Деление нам служит на деле;

• Оно нам поможет всегда.
• Кто поровну трудности делит,
• Разделит успехи труда”

3. Устная работа.

Устный счет – формирование вычислительных навыков у учащихся (Приложение 1) . Презентация взята с сайта “Карман для математика”

2*17+33	5+5*12
3500:100+400	48-12:3
200-20*5	13*8-34:2
6*15-15*5	6*4-4:2
68:17+17*2

Собранна картинка – ключ успеха в вычислениях.

Устная работа по повторению теоретических аспектов темы “Деление с остатком”

Назовите, какие возможны остатки при делении с остатком на 8?

Что означает, если остаток больше делителя?

Что означает, если остаток от деления ноль?

4. Мотивация и актуализация нового материала.

Задача. В гости к бабушке пришли 4 внука. Бабушка решила угостить внуков конфетами. В вазочке 23 конфеты. Сколько конфет достанется каждому внуку, если бабушка предложит поделить конфеты поровну?

Решение: 23:4=5 (3 ост.)

Вопросы к учащимся:

• Сколько конфет осталось?
• Можно ли придумать обратную задачу, в которой главный вопрос “Сколь конфет в вазе?”?
• Назвать все компоненты в данном выражении. Что означает данное выражение?

Делимое -> неполное частное -> делитель -> остаток

• Записать правило нахождения делимого по неполному частному и остатку от деления.

5. Первичное закрепление и решение задач.

Выполнить деление с остатком сделать проверку: 882:40

1. 1586:15
2. 1332:64
3. 9763:30

Работа с учебником: № 536 устно; № 537 устно; № 538 устно; № 518

6. Проверка усвоения материала – перфокарта.

Проверить выполнение заданий перфокарт.

Выставить отметки:

• 8 верно выполненных заданий – “5”
• 6-7 верно выполненных заданий – “4”
• 5-4 верно выполненных заданий – “3”

Меньше 4 верно выполненных заданий – “2”

Обратить внимание детей на анализ допущенных ошибок.

7. Домашнее задание: № 540, 541, работа над проектом, правило.

8. Подведение итогов урока построить с помощью ответов на следующие вопросы:

• Неизвестное число разделили на 7, получилось 7 и в остатке 2. Найдите это число. (51) Как найти это число?
• Мама сварила варенья 17 литров. Сколько двухлитровых банок ей необходимо взять, чтобы разлить варенье? (9 банок)

В этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком . Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.

Навигация по странице.

Общее представление о делении целых чисел с остатком

Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел . Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел .

Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.

По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d . Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b , а целое число c называется неполным частным (или просто частным , если остаток равен нулю).

Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число , и его величина не превосходит b , то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).

Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b , то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d) .

Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело ). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.

Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.

С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.

Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг . Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1) .

Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a , делитель b , неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d . Для целых чисел a , b , c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком .

Теорема.

Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r , где q и r – некоторые целые числа, причем .

Доказательство.

Сначала докажем возможность представления a=b·q+r .

Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q , что a=b·q . В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0 .

Теперь будем считать, что b – целое положительное число. Выберем целое число q таким образом, чтобы произведение b·q не превышало числа a , а произведение b·(q+1) было уже больше, чем a . То есть, возьмем q таким, чтобы выполнялись неравенства b·q

Осталось доказать возможность представления a=b·q+r для отрицательных b .

Так как модуль числа b в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q 1 – некоторое целое число, а r – целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q 1 , получаем нужное нам представление a=b·q+r для отрицательных b .

Переходим к доказательству единственности.

Предположим, что помимо представления a=b·q+r , q и r – целые числа и , существует еще одно представление a=b·q 1 +r 1 , где q 1 и r 1 – некоторые целые числа, причем q 1 ≠q и .

После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q 1)+r−r 1 , которое равносильно равенству r−r 1 =b·(q 1 −q) . Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа - и равенство .

Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q и q 1 – целые и q≠q 1 , то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a , кроме a=b·q+r .

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a , если известны делитель b , неполное частное c и остаток d . Рассмотрим пример.

Пример.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12 ?

Решение.

Нам требуется вычислить делимое a , когда известен делитель b=−21 , неполное частное c=5 и остаток d=12 . Обратившись к равенству a=b·c+d , получаем a=(−21)·5+12 . Соблюдая , сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по правилу умножения целых чисел с разными знаками , после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Ответ:

−93 .

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c , c=(a−d):b и d=a−b·c . Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b , когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c . Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Пример.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3 , если известно, что неполное частное равно −7 .

Решение.

Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c . Из условия имеем все необходимые данные a=−19 , b=3 , c=−7 . Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21) мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).

Ответ:

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел , так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.

С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком , этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.

Пример.

Выполните деление с остатком числа 14 671 на 54 .

Решение.

Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:

Неполное частное получилось равным 271 , а остаток равен 37 .

Ответ:

14 671:54=271 (ост. 37) .

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число.

Неполное частное от деления целого положительного числа a на целое отрицательное число b представляет собой число, противоположное неполному частному от деления a на модуль числа b , а остаток от деления a на b равен остатку от деления на .

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом .

Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное:

• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если при этом остаток получился равным нулю, то исходные числа делятся без остатка, и по правилу деления целых чисел с противоположными знаками искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
• Записываем число, противоположное полученному неполному частному, и остаток. Эти числа являются соответственно искомым частным и остатком от деления исходного целого положительного числа на целое отрицательное.

Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Пример.

Выполните деление с остатком целого положительного числа 17 на целое отрицательное число −5 .

Решение.

Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделив

Число, противоположное числу 3 , - это −3 . Таким образом, искомое неполное частное от деления 17 на −5 равно −3 , а остаток равен 2 .

Ответ:

17 :(−5)=−3 (ост. 2) .

Пример.

Разделите 45 на −15 .

Решение.

Модули делимого и делителя равны 45 и 15 соответственно. Число 45 делится на 15 без остатка, частное при этом равно 3 . Следовательно, целое положительное число 45 делится на целое отрицательное число −15 без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3 , то есть, −3 . Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем .

Ответ:

45:(−15)=−3 .

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное.

Чтобы получить неполное частное c от деления целого отрицательного числа a на целое положительное число b нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d вычислить по формуле d=a−b·c .

Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом.

Из озвученного правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a на целое положительное b :

• Находим модули делимого и делителя.
• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
• Записываем число, противоположное полученному неполному частному и вычитаем из него число 1 . Вычисленное число является искомым неполным частным c от деления исходного целого отрицательного числа на целое положительное.

Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком.

Пример.

Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17 на целое положительное число 5 .

Решение.

Модуль делимого −17 равен 17 , а модуль делителя 5 равен 5 .

Разделив 17 на 5 , получаем неполное частное 3 и остаток 2 .

Число, противоположное 3 , есть −3 . Вычитаем из −3 единицу: −3−1=−4 . Итак, искомое неполное частное равно −4 .

Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17 , b=5 , c=−4 , тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17 на целое положительное число 5 равно −4 , а остаток равен 3 .

Ответ:

(−17):5=−4 (ост. 3) .

Пример.

Разделите целое отрицательное число −1 404 на целое положительное число 26 .

Решение.

Модуль делимого равен 1 404 , модуль делителя равен 26 .

Разделим 1 404 на 26 столбиком:

Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54 , то есть, −54 .

Ответ:

(−1 404):26=−54 .

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Чтобы получить неполное частное c от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное число b , нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d вычислить по формуле d=a−b·c .

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом.

Перепишем озвученное правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел:

• Находим модули делимого и делителя.
• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно частному от деления модуля делимого на модуль делителя.)
• К полученному неполному частному прибавляем единицу, это число есть искомое неполное частное от деления исходных целых отрицательных чисел.
• Вычисляем остаток по формуле d=a−b·c .

Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера.

Пример.

Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17 на целое отрицательное число −5 .

Решение.

Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.

Модуль делимого равен 17 , модуль делителя равен 5 .

Деление 17 на 5 дает неполное частное 3 и остаток 2 .

К неполному частному 3 прибавляем единицу: 3+1=4 . Следовательно, искомое неполное частное от деления −17 на −5 равно 4 .

Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17 , b=−5 , c=4 , тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17 на целое отрицательное число −5 равно 4 , а остаток равен 3 .

Ответ:

(−17):(−5)=4 (ост. 3) .

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d . Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка.

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком.

Пример.

При делении числа −521 на −12 было получено неполное частное 44 и остаток 7 , выполните проверку результата.

Решение. −2 при b=−3 , c=7 , d=1 . Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20 . Таким образом, равенство a=b·c+d – неверное (в нашем примере a=−19 ).

Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.

В этой статье мы внимательно рассмотрим деление с остатком . Начнем с общего представления об этом действии, далее выясним смысл деления натуральных чисел с остатком , и введем необходимые термины. Потом очертим круг задач, решаемых с помощью деления натуральных чисел с остатком. В заключении остановимся на всевозможных связях между делимым, делителем, неполным частным и остатком от деления.

Навигация по странице.

Ответ:

Делимое равно 79 .

Следует также отметить, что проверка результата деления натуральных чисел с остатком осуществляется проверкой справедливости полученного равенства a=b·c+d .

Нахождение остатка, если известно делимое, делитель и неполное частное

По своему смыслу остаток d – это то количество элементов, которое остается в исходном множестве после исключения из его a элементов b раз по c элементов. Следовательно, в силу смысла умножения натуральных чисел и смысла вычитания натуральных чисел справедливо равенство d=a−b·c . Таким образом, остаток d от деления натурального числа a на натуральное число b равен разности делимого a и произведения делителя b на неполное частное c .

Полученная связь d=a−b·c позволяет находить остаток, когда известно делимое, делитель и неполное частное. Рассмотрим решение примера.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения .

a = b ⋅ c + d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d

Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:
а) Делим столбиком:

258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

б) Делим столбиком:

1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.

Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873

Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?

Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?

Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.

Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)

Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22

б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107

Задача:

Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?

Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400

Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.

Как научить ребенка делению? Самый простой метод – выучить деление столбиком . Это гораздо проще, чем проводить вычисления в уме, помогает не запутаться, не «потерять» цифры и выработать мысленную схему, которая в дальнейшем будет срабатывать автоматически.

Вконтакте

Как проводится

Деление с остатком – это способ, при котором число нельзя разделить ровно на несколько частей. В результате данного математического действия, помимо целой части, остается неделимый кусок.

Приведем простой пример того, как делить с остатком:

Есть банка на 5 литров воды и 2 банки по 2 литра. Когда из пяти литровой банки воду переливают в двухлитровые, в пятилитровой останется 1 литр не использованной воды. Это и есть остаток. В цифровом варианте это выглядит так:

5:2=2 ост (1). Откуда 1? 2х2=4, 5-4=1.

Теперь рассмотрим порядок деления в столбик с остатком. Это визуально облегчает процесс расчета и помогает не потерять числа.

Алгоритм определяет расположение всех элементов и последовательность действий, по которой совершается вычисление. В качестве примера, разделим 17 на 5.

Основные этапы :

1. Правильная запись. Делимое (17) – располагается по левую сторону. Правее от делимого пишут делитель (5). Между ними проводят вертикальную черту (обозначает знак деления), а затем, от этой черты проводят горизонтальную, подчеркивая делитель. Основные черты обозначена оранжевым цветом.
2. Поиск целого. Далее, проводят первый и самый простой расчет – сколько делителей умещается в делимом. Воспользуемся таблицей умножения и проверим по порядку: 5*1=5 — помещается, 5*2=10 — помещается, 5*3=15 — помещается, 5*4=20 – не помещается. Пять раз по четыре – больше чем семнадцать, значит, четвертая пятерка не вмещается. Возвращаемся к трем. В 17 литровую банку влезет 3 пятилитровых. Записываем результат в форму: 3 пишем под чертой, под делителем. 3 – это неполное частное.
3. Определение остатка. 3*5=15. 15 записываем под делимым. Подводим черту (обозначает знак «=»). Вычитаем из делимого полученное число: 17-15=2. Записываем результат ниже под чертой – в столбик (отсюда и название алгоритма). 2 – это остаток.

Обратите внимание! При делении таким образом, остаток всегда должен быть меньше делителя.

Когда делитель больше делимого

Вызывают затруднение случаи, когда делитель получается больше делимого. Десятичные дроби в программе за 3 класс еще не изучаются, но, следуя логике, ответ надо записывать в виде дроби – в лучшем случае десятичной, в худшем – простой. Но (!) помимо программы, методику вычисления ограничивает поставленная задача : необходимо не разделить, а найти остаток! часть им не является! Как решить такую задачу?

Обратите внимание! Существует правило для случаев, когда делитель больше делимого: неполное частное равно 0, остаток равен делимому.

Как разделить число 5 на число 6, выделив остаток? Сколько 6-литровых банок влезет в пятилитровую? , потому что 6 больше 5.

По заданию необходимо заполнить 5 литров – не заполнено ни одного. Значит, остались все 5. Ответ: неполное частное = 0, остаток = 5.

Деление начинают изучать в третьем классе школы. К этому времени ученики уже должны , что позволяет им совершать деление двузначных чисел на однозначные.

Решите задачу: 18 конфет нужно раздать пятерым детям. Сколько конфет останется?

Примеры:

Находим неполное частное: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15. 5 – перебор. Возвращаемся к 4.

Остаток: 3*4=12, 14-12=2.

Ответ: неполное частное 4, осталось 2.

Вы можете спросить, почему при делении на 2, остаток либо равен 1, либо 0. По таблице умножения, между цифрами, кратными двум существует разница в единицу .

Еще одна задача: 3 пирожка надо разделить на двоих.

4 пирожка разделить на двоих.

5 пирожков разделить на двоих.

Работа с многозначными числами

Программа за 4 класс предлагает более сложный процесс проведения деления с увеличением расчетных чисел. Если в третьем классе расчеты проводились на основе базовой таблицы умножения в пределах от 1 до 10, то четвероклассники вычисления проводят с многозначными числами более 100.

Данное действие удобнее всего выполнять в столбик, так как неполное частное также будет двузначным числом (в большинстве случаев), а алгоритм столбика облегчает вычисления и делает их более наглядными.

Разделим многозначные числа на двузначные : 386:25

Данный пример отличается от предыдущих количеством уровней расчета, хотя вычисления проводят по тому же принципу, что и ранее. Рассмотрим подробнее:

386 – делимое, 25 – делитель. Необходимо найти неполное частное и выделить остаток.

Первый уровень

Делитель – двузначное число. Делимое – трехзначное. Выделяем у делимого первые две левые цифры – это 38. Сравниваем их с делителем. 38 больше 25? Да, значит, 38 можно разделить на 25. Сколько целых 25 входит в 38?

25*1=25, 25*2=50. 50 больше 38, возвращаемся на один шаг назад.

Ответ – 1. Записываем единицу в зону не полного частного .

38-25=13. Записываем число 13 под чертой.

Второй уровень

13 больше 25? Нет – значит можно «опустить» цифру 6 вниз, дописав ее рядом с 13, справа. Получилось 136. 136 больше 25? Да – значит можно его вычесть. Сколько раз 25 поместиться в 136?

25*1=25, 25*2=50, 25*3=75, 25*4=100, 25*5=125, 256*=150. 150 больше 136 – возвращаемся назад на один шаг. Записываем цифру 5 в зону неполного частного, справа от единицы.

Вычисляем остаток:

136-125=11. Записываем под чертой. 11 больше 25? Нет – деление провести нельзя. У делимого остались цифры? Нет – делить больше нечего. Вычисления закончены.

Ответ: неполное частное равно 15, в остатке 11.

А если будет предложено такое деление, когда двузначный делитель больше первых двух цифр многозначного делимого? В таком случае, третья (четвертая, пятая и последующая) цифра делимого принимает участие в вычислениях сразу.

Приведем примеры на деление с трех- и четырехзначными числами:

75 – двузначное число. 386 – трехзначное. Сравниваем первые две цифры слева с делителем. 38 больше 75? Нет – деление провести нельзя. Берем все 3 цифры. 386 больше 75? Да – деление провести можно. Проводим вычисления.

75*1=75, 75*2=150, 75*3=225, 75*4=300, 75*5= 375, 75*6=450. 450 больше 386 – возвращаемся на шаг назад. Записываем 5 в зону неполного частного.

Главная » Значение слов » Деление с остатком 20 6. Деление с остатком