Как решать кубические уравнения. Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

Кубические уравнения имеют вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0). Способ решения таких уравнений известен уже несколько столетий (он был открыт в 16 веке итальянскими математиками). Решить некоторые кубические уравнения довольно сложно, но при правильном подходе (и хорошем уровне теоретических знаний) вы сможете решать даже самые сложные кубические уравнения.

Шаги

Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} , где коэффициенты c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} могут быть равны 0 {\displaystyle 0} , то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть d {\displaystyle d} . Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения .

• Если свободный член есть, используйте другой метод решения (смотрите следующие разделы).

1. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную x {\displaystyle x} , которую можно вынести за скобки: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .

   • Пример. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 {\displaystyle 3x^{3}+-2x^{2}+14x=0} . Если вынести x {\displaystyle x} за скобки, вы получите x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 {\displaystyle x(3x^{2}+-2x+14)=0} .

2. Обратите внимание, что уравнение в скобках - это квадратное уравнение вида ( a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ), которое можно решить при помощи формулы ({-b +/-√ (). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.

   • В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
   • Решение 1: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12.8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}
   • Решение 2: 2 − 12.8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}

3. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические - три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите "х" за скобки, третье решение всегда равно 0 {\displaystyle 0} .

   • Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0 {\displaystyle 0} , равно 0 {\displaystyle 0} . Так как вы вынесли x {\displaystyle x} за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя ( x {\displaystyle x} и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0 {\displaystyle 0} , чтобы все уравнение равнялось 0 {\displaystyle 0} .

   Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

   1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член. Описанный в предыдущем разделе метод не годится для решения кубических уравнений, в которых присутствует свободный член. В этом случае вам придется воспользоваться методом, который описан в этом или следующем разделах.

      • Пример. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 {\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6} . Здесь перенесите свободный член d = − 6 {\displaystyle d=-6} на левую сторону уравнения, чтобы на правой стороне получить 0 {\displaystyle 0} : 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 {\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0} .

   2. Найдите множители коэффициента a {\displaystyle a} (коэффициент при x 3 {\displaystyle x^{3}} ) и свободного члена d {\displaystyle d} . Множители числа - это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 6 {\displaystyle 6} являются числа 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 6 {\displaystyle 6} ( 6 × 1 {\displaystyle 6\times 1} и 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} ).

      • В нашем примере a = 2 {\displaystyle a=2} и d = 6 {\displaystyle d=6} . Множители 2 {\displaystyle 2} - это числа 1 {\displaystyle 1} и 2 {\displaystyle 2} . Множители 6 {\displaystyle 6} - это числа 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , и 6 {\displaystyle 6} .

   3. Разделите множители коэффициента a {\displaystyle a} на множители свободного члена d {\displaystyle d} . Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.

      • В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} ( 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} ) на множители d {\displaystyle d} ( 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 6 {\displaystyle 6} ) и получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь добавьте к этому ряду чисел их отрицательные значения: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целые решения данного вам кубического уравнения находятся в этом ряду чисел.

   4. Теперь вы можете найти целые решения вашего кубического уравнения, подставив в него целые числа из найденного ряда чисел. Но если вы не хотите тратить время на это, воспользуйтесь . Такая схема подразумевает деление целых чисел на значения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} данного кубического уравнения. Если остаток равен 0 {\displaystyle 0} , целое число является одним из решений кубического уравнения.

      • Деление по схеме Горнера - непростая тема; для получения дополнительной информации по ней перейдите по ссылке, указанной выше. Вот пример того, как найти одно из решений данного вам кубического уравнения при помощи деления по схеме Горнера: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Так как остаток 0 {\displaystyle 0} , то одним из решений уравнения является целое число − 1 {\displaystyle -1} .

   Использование дискриминанта

   1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} . Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.

      • Пример. math>x^3-3x^2+3x-1. Здесь a = 1 {\displaystyle a=1} , b = − 3 {\displaystyle b=-3} , c = 3 {\displaystyle c=3} , d = − 1 {\displaystyle d=-1} . Не забывайте, что когда перед x {\displaystyle x} коэффициента нет, то это значит, что коэффициент равен 1 {\displaystyle 1} .

   2. Вычислите △ = b 2 − 3 a c {\displaystyle \triangle _{0}=b^{2}-3ac} . В этом методе потребуется провести несколько сложных вычислений, но если вы уясните его, вы сможете решать самые сложные кубические уравнения. Для начала вычислите △ 0 {\displaystyle \triangle _{0}} , одну из нескольких важных величин, которые нам понадобятся, подставив соответствующие значения в формулу.

      • В нашем примере: b 2 − 3 a c {\displaystyle b^{2}-3ac} (− 3) 2 − 3 (1) (3) {\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)} 9 − 3 (1) (3) {\displaystyle 9-3(1)(3)} 9 − 9 = 0 = △ 0 {\displaystyle 9-9=0=\triangle _{0}} 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) {\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)} − 54 + 81 − 27 {\displaystyle -54+81-27} 81 − 81 = 0 = △ 1 {\displaystyle 81-81=0=\triangle _{1}}

   3. Вычислите Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27a 2 . Теперь вычислите дискриминант уравнения при помощи найденных значений Δ0 и Δ1. Дискриминант - это число, дающее вам информацию о корнях многочлена (вы, возможно, уже знаете, что дискриминант квадратного уравнения равен b 2 - 4ac ). В случае кубического уравнения, если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение, потому что график такого уравнения пересекает ось X по крайней мере в одной точке.

      • Если подставить в эту формулу соответствующие значения величин, вы получите возможные решения данного вам кубического уравнения. Подставьте их в исходное уравнение и если равенство соблюдено, то решения правильные. Например, если, подставив значения в формулу, вы получили 1, подставьте 1 в x 3 - 3x 2 + 3x - 1 и получите 0. То есть равенство соблюдено, и 1 является одним из решений данного вам кубического уравнения.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое "квадратное неравенство"? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠ ), получится квадратное неравенство. Например:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну, вы поняли...)

Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Ее к стандартному виду: A*x²+B*x+C=y(x), где A − старший коэффициент при x², B − средний коэффициент при x, C − свободный член. Обратите внимание, чтобы коэффициент при x² не равнялся нулю, это будет уже не квадратичная функция.

Координата вершины параболы x0 по оси абсцисс по формуле: x0=-B/2A. В случае приведенного квадратного уравнения, то есть, когда A=1, упрощается: x0=-B/2. Если в уравнении нет «икс а» в первой степени, значит, коэффициент B=0, и тогда x0 тоже обращается в нуль.

Итак, исследование аналитически заданной функции дало вам точку на с координатами (x0;y0). Если старший коэффициент A > 0, то ветви параболы направлены вверх, и в промежуток убывания будет сменяться промежутком возрастания. Если же A

Если необходимо отметить «икс

Т.к. x0 − точка экстремума функции, то ее числовое значение можно найти и при помощи дифференцирования. Найдите первую производную функции. Приравняйте ее нулю и решите полученное уравнение. Ему будет удовлетворять единственное значение x, которое и является координатой вершины параболы.

Если необходимо отметить «икс » на графике, проведите из вершины параболы пунктирной линией перпендикуляр к оси абсцисс. Точку, в которой перпендикуляр пересечет ось x, обозначьте за x0. Чтобы увидеть на графике «игрек нулевое», проведите из вершины перпендикуляр соответственно к оси ординат.

Инструкция

Нулевую скорость можно найти несколькими способами, каждый из которых применим к задачам, содержащим те или иные известные компоненты.

Если в условии задачи даны расстояние, которое прошло тело (S), время, которое потребовалось телу для преодоления расстояния (t), ускорение, с которым двигалось тело (a), то найти нулевую скорость можно с помощью формулы: S=V0t+at^2/2, где V0 – нулевая скорость, t^2 – t . Пусть S=100 м, t=5 c, a=2 м/c в .

Чтобы найти нулевую скорость (V0) с помощью формулы, указанной выше, воспользуйтесь правилом нахождения неизвестного слагаемого: «Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое». Получится: V0t= S- at^2/2.

Главная » Значение слов » Как решать кубические уравнения. Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения