Что такое дискретное? И непрерывное? Почему нам нужны обе эти идеи? В каком отношении они находятся друг с другом? И как это проявляется в физике?

Дискретное . Что это такое? Под этим словом мы понимаем нечто прерывистое, состоящее из не связанных никак между собой частей . Части эти представляют собой некоторые целостности, вполне легко отличимые от чего-либо другого . Например, камень и собака. Дальше к идее этого “целого” добавляется идея его не единственности . Несколько камней, много собак. И это уже может быть оформлено как идея множества . Дискретного множества . На этом уровне идея уже может быть оторвана от конкретики, камней ли, собак ли. Далее, и тех, и других можно считать . Так появляется идея натурального числа , развивающаяся потом до счётного множества. Именно с этими идеями и оказывается в математике связанным представление о дискретности. Каждое число в множестве всех натуральных чисел, с одной стороны, вполне индивидуально, отличимо от другого. А с другой стороны, имеет своё место в этом множестве, все числа выстраиваются в последовательность. Потому что здесь уже незримо присутствует ещё одна идея. Идея упорядоченности, следования . Понятие об упорядоченности для дискретного множества еще довольно эфемерно. Оно внешнее к самим элементам этого множества. Их можно выстраивать то в одном, то в другом порядке. Но в множестве натуральных чисел этот порядок уже установлен. И устанавливается он с помощью операции, действия . Предметы, когда их много в куче, можно добавлять и убавлять. Так в множестве натуральных чисел появляются операции сложения и вычитания. Сложение создаёт порядок по возрастанию, уточняя понятие “больше”. Вычитание, соответственно, поддерживает убывающий порядок. Потом к этим действиям добавляется операция умножения, а потом и деления. Вот последняя-то из арифметических операций и создаёт дорожку, связывающую идею дискретного с совершенно другой идеей, идеей непрерывного.

Непрерывное. Идея непрерывного возникает естественным образом из опыта обращения с достаточно большими твёрдыми телами и жидкостями. Непрерывное тоже можно “прервать”, разделить на части. Только части эти остаются во всем подобными целому. А в случае жидкостей их легко снова объединить и получить тоже первоначальное целое. Причём разделить непрерывное можно в произвольном месте. Ещё больше идея непрерывного проявляется в предметах, которые связывают что-то с чем-то. Например, верёвка, нить, ткань. Потяни за один конец — второй почувствует обязательно.

Если отдельные предметы, как целое, породили идею целого числа, то формализация представления о непрерывном веществе породила идею геометрии . Элементами геометрии стали фигуры, имеющие объём (трёхмерные; каменная плита), поверхности (двумерные, в частном случае плоские; полотно, лист бумаги), линии (имеющие только одно измерение; нити) и точки (вовсе не имеющие измерений). Понятие о точке сформировалось как развитие представления о предмете, все размеры которого исчезающе малы. Понятия о линии и поверхности сформировались тем же путем, только исчезающе малыми становятся два или даже один размер, соответственно. Операции в геометрии тоже имеются. В чём-то идентичные операциям с числами, в чём-то отличающиеся. Дальнейшее развитие геометрии, её срастание с теорией множеств привело к тому, что порядок в последовательности формирования этих понятий изменился на прямо противоположный. В основе всех понятий геометрии, по необходимости, оказалось понятие точки и поэтому обычное представление о ней как о предмете с исчезающе малыми размерами оказалось мало удовлетворительным. Нельзя вводить понятие с помощью других понятий, которые на этом же понятии и будут базироваться. Ниже я остановлюсь на этом подробнее.

Довольно долго особой разницы между этими двумя идеями, числом и геометрией непрерывного не замечалось. Число как таковое естественным образом вошло в геометрические понятия . Представление об измерении, сравнении, например, длин двух линий, было одним из исходных пунктов при формировании идеи геометрии. Ведь одним из свойств непрерывного как раз и является возможность разделить его на части (в том числе, равные) и, следовательно, говорить о числе этих частей. Да и само объединение предметов в множества по какому-либо признаку уже несёт в себе одну из базовых черт измерения. Речь идёт о выборе единицы измерения. Описывается признак, по которому формируется множество. Например, камень. Это и есть определение единицы измерения в этом простейшем случае. Например, один камень. Подсчёт далее ведётся не абы чего, а именно камней. С другой стороны, предметы, которые мы считаем, даже когда они кажутся весьма далёкими от геометрии, тоже можно ведь иногда делить на части. Эта операция деления расширяет понятие натурального числа, вводит в рассмотрение дробные (рациональные) числа . То, что с помощью рационального числа можно записать результат измерения любого непрерывного отрезка представлялось очевидным до открытия Пифагором несоизмеримых отрезков в одной из простейших геометрических фигур – прямоугольном треугольнике, катеты которого равны единицам. По легенде, Пифагор принёс по этому поводу в жертву богам сто быков. Это было действительно серьезнейшее открытие. Пропасть между двумя идеями, идеей дискретного и идеей непрерывного заявила о себе в полный голос.

Что же это за пропасть? Имя ей бесконечность . Представление о бесконечности появляется уже при формировании идеи натурального числа. Любое последующее число в ряду натуральных чисел можно получить добавлением единицы к предыдущему. Причём делать это можно бесконечное число раз. Предела, по достижении которого придётся остановиться, нет. Эта бесконечность получила название потенциальной , именно в смысле потенциальной возможности беспредельного увеличения количества натуральных чисел. Поскольку непрерывность, например линию, тоже можно представить продолжающейся беспредельно, то такая бесконечность оказывается естественным образом присуща и идее непрерывного. На линии можно расставить через равные промежутки метки и приписать каждой целое число. Таким образом множество целых чисел естественным образом оказывается погружённым в непрерывность линии . Каждый такой отрезок, единицу измерения, можно снова и снова продолжать делить и так возникают рациональные числа. И создаётся впечатление, что таким образом можно пометить каждую точку непрерывной линии. Но впечатление это совершенно обманчиво. Потому что между любыми рациональными числами , как бы близки они не казались на непрерывной линии, всегда имеется бесконечно много не помеченных точек . И эта бесконечность другая, актуальная . Чтобы пронумеровать и эти точки непрерывной линии и были придуманы новые числа, отличные от рациональных — иррациональные. Их бесконечно много на любом, сколь угодно малом отрезке линии. Именно эта бесконечность и разделяет дискретное множество рациональных чисел и непрерывное множество точек линии, называемое также множеством действительных чисел. Это просто констатация факта различия дискретного и непрерывного, невозможности получить из первого последнее . Это две разные идеи . Для работы с этой актуальной бесконечностью с помощью более понятной и привычной потенциальной бесконечности были выработаны различные методы, в первую очередь, понятие предела. Но надо хорошо понимать, что эти методы не в состоянии убрать эту пропасть, принципиальное различие между двумя идеями.

С другой стороны, некоторое родство между двумя этими идеями имеется и оно довольно прозрачно. Речь идёт о соотношении вложенности. Дискретное очевидным образом является подмножеством непрерывного, вся его бесконечность содержится в непрерывности, вложена в неё. И непрерывное при этом является внешним организующим для дискретного в плане установления и сохранения в дискретном одного и того же порядка. По сути дела, соотношение здесь такое же, как между целостностью и её произвольными частями. Именно это соотношение и проявилось в конечном итоге в физике. Проявилось оно как наличие в физике двух описаний мира, двух , которые дополняют друг друга, и ни одно из которых не может претендовать на полное и исключительное описание реального мира. Речь идёт о классическом (условно говоря, непрерывном в своей основе) и квантовом описаниях мира. Первое базируется на представлении о мире, о вселенной как об едином, целостном объекте. Второе появилось позже, как результат осознания, что даже и при целостности мира, любые наши знания о нём являются знаниями только о его выделенных специфических частях, которые обычно называют событиями .

Здесь будет полезно вернуться к обсуждению понятия точки и иерархии понятий, связаных с идеей непрерывностей (целостностей) с возрастающим числом измерений. В своём развитии и поисках своего обоснования оказалось понятие множества, множества произвольных элементов, единственным свойством которых является свойство их существования. Вне связи с понятием времени! Просто понятие “имеется”, где бы то ни было и когда бы то ни было. И это понятие формализуется под названием “элемент” или “точка”. Понятие времени как раз формируется уже на его основе, добавлением новых свойств в множество таких элементов, организацией упорядоченности в нём. Время рассматривается как последовательность таких элементов (точек), в которой установлены попарные связи “раньше – позже”. Причинно-следственные связи. Именно наличие причинно-следственных связей между отдельными событиями заставляет нас объединять все эти события в целостность. Т.е. в непрерывность, континуум. В единую Вселенную .

При таком подходе множество событий необходимо отождествляется с дискретным множеством точек, вложенных в непрерывность, обеспечивающую нерушимость имеющихся между ними связей. Таким образом, представление о точке, с которого начинается также и геометрия, получает вполне ясный образ, ничем не связанный с понятиями размеров (их отсутствия). Понятие “точка” ассоциируется с понятием “событие”. Не требуется никаких иных дополнительных пояснений. То, что большинство событий, которыми мы оперируем при описании мира являются сложными, делимыми на другие события, не играет никакой роли. Естественным образом наши описания мира выстраиваются в череду приближений. В каждом таком приближении события, рассматриваемые как далее неделимые, ассоциируются с математическим понятием, чистой идеей, “точка” . Эти точки, и другие элементы континуума (тоже точки), призванные фиксировать связи между событиями, все вместе становятся образом мира на этом уровне, пространством-временем. Другой выбор “неделимых” событий — другой образ, другое пространство-время, приближённо описывающее мир.

Когда эксперимент дал нам понять, что мы столкнулись с событиями, которые дальше делить не получается, с элементарными событиями, нам пришлось осознать, что такой набор событий можно (и нужно!) описывать не единственным объединяющим их континуумом, а всем бесконечным множеством совместимых с данным набором событий непрерывностей. Так в физику и пришла квантовая механика.

Хочу подчеркнуть, что вопросы типа: “А каков же реальный мир на самом деле, какой из возможных континуумов?”, “Действительно этот континуум один, или мир это все континуумы?” и т.д. особого смысла не имеют. Мир, Вселенная, как совокупность элементарных событий имеется в единственном экземпляре. Всех событий! В нашем прошлом, настоящем и будущем. Никаких мультиверсумов. Наличие причинно-следственных связей между событиями требует от нас считать их вложенными в непрерывность. А то, что описание наше этой непрерывности возможно только бесконечным числом способов это уже свойство не мира как такового, а ограниченности наших возможностей, как частей этого мира.

© Гаврюсев В.Г.
Опубликованные на сайте материалы можно использовать при соблюдении правил цитирования .

Поставив проблему измерений ощущений, Г.Фехнер предполагал, что человек не способен непосредственно количественно оценивать их величины. Он предложил косвенный способ измерения — в единицах физической величины стимула. Величина ощущения — это сумма едва заметных его приращений над исходной точкой. Для ее обозначения Г.Фехнер ввел понятие порога ощущения, измеряемого в единицах стимула.

Абсолютный порог — это та минимальная величина стимула, превышение которой вызывает осознанное ощущение этого стимула.

Порог различения (дифференциальный порог) — это та минимальная величина различия двух стимулов, превышение которой вызывает осознанные ощущения различия стимулов.

Абсолютный порог ощущений определяет уровень абсолютной чувствительности данного анализатора. Между абсолютной чувствительностью и величиной порога существует обратно пропорциональная зависимость: чем меньше величина порога, тем выше чувствительность данного анализатора. Это отношение находит выражение в формуле: Е = 1/ Р, где Е — чувствительность, Р — пороговая величина раздражителя.

Абсолютная чувствительность анализатора ограничивается не только нижним, но и верхним порогом ощущения. Верхний абсолютный порог — это максимальная величина стимула, при которой еще возникает адекватное действующему раздражителю ощущение. Дальнейшее увеличение силы стимула вызывает в них лишь болевое ощущение (например, сверхгромкий звук, слепящая яркость). Величина абсолютных порогов изменяется в зависимости от различных условий: характера деятельности и возраста человека, функционального состояния рецептора, силы и длительности действия стимула.

Запороговый диапазон стимулов — это значительное изменение силы сильных стимулов, не вызывающих никаких изменений в уже имеющихся ощущениях.

Допороговый диапазон стимулов — это изменение силы стимулов, которые не вызывают никаких ощущений.

Этот факт можно подтвердить образованием условных рефлексов под влиянием допороговых сигналов.

Человек, находящийся в павловской «башне молчания», полностью изолирован от внешнего мира. Как только через электроды, которые держал в руках исследуемый, пропускали ток, руки отдергивались, так как возникало ощущение боли. Каждый раз перед включением тока специальный аппарат подавал очень слабый, подпороговый звук. Так как слухового ощущения не возникало, человеку казалось, что в камере стоит тишина. После ряда сочетаний «неслышного» звука и тока стали включать один только звук, не подкрепляя его током.

У исследуемого наступала такая же реакция, как при действии тока. Значит на допороговый звук — звук, который испытуемый не слышал, возник условный рефлекс и соответствующие реакции организма.

Пороговая концепция Г.Фехнера постулировала реальность существования сенсорного порога, делящего все стимулы на ощущаемые и неощущаемые. Таким образом, ряд ощущений представлялся дискретным: постепенное увеличение стимуляции вначале не производит эффекта и должно достичь некоторой величины, чтобы вызвать появление ощущения. Это была первая концепция дискретности работы сенсорной системы человека.

Оппонент Г.Фехнера рассуждал следующим образом: если бы существовал абсолютный порог в самом прямом смысле этого слова, то в результате мы получили бы график, представленный на рис.5.

Если бы эти теоретические данные существовали бы в реальной действительности, то существовал бы и ряд интен- сивностей звука, на которые испытуемый никогда не давал бы ответа, а при некоторой пороговой интенсивности наблюдался бы резкий переход к постоянным ответам, когда все предъявленные раздражители оказались бы воспринятыми.

Однако результаты этого типа никогда не встречаются в реальном эксперименте. Вместо этого по мере нарастания интенсивности стимула происходит постепенное увеличение вероятности положительного ответа испытуемого. Обычно кривая роста вероятности имеет S-образную форму (рис.6.)

S 025, S 075 — величина стимулов, дающая 25 и 75 % правильных ответов.

Md — среднее значение функции, соответствующее абсолютному порогу, если определить порог абсолютный как уровень стимуляции, при котором обнаружение происходит в 50 % случаев.

Г.Фехнер объяснил плавный характер кривой тем, что порог флуктуирует во времени, а его оппоненты (Т.Мюллер, Дж.Ястров и др.) — отсутствием порога в сенсорной системе.

Был развит классический принцип непрерывности сенсорного ряда. Наиболее последовательно принцип непрерывности реализует теория обнаружения сигнала (см. ниже).

Поставленная более ста лет назад проблема дискретности-непрерывности и сегодня продолжает оставаться центральной проблемой психофизики — I.

Чтобы понять суть противопоставления дискретного и непрерывного , сначала нужно определить, что означают эти понятия. Несмотря на то, что они имеют четкое математическое определение, они интуитивно понятны, и их легко продемонстрировать примерами из повседневной жизни. Противопоставление непрерывного и дискретного имеет некоторое сходство с противопоставлением потенциальной и актуальной бесконечности, поэтому неудивительно, что в обоих случаях дискуссия имеет больше философский смысл.

Ключевой вопрос дискуссии: дискретен или непрерывен наш мир? Этот вопрос очень тесно связан с нашими ощущениями и, как следствие, лежит в плоскости теории познания. В начале XX века физики и математики, будучи далеки от философских размышлений и психологических интерпретаций, без колебаний сделали свой выбор в пользу концепции дискретного мира с появлением квантовой механики и так называемой дискретной математики .

Толковый словарь русского языка дает слову «дискретный» такое определение: «прерывистый, дробный, состоящий из отдельных частей». Лучше всего понять смысл дискретности можно через ее противопоставление непрерывности . Например, время течет непрерывно с 9 утра до 9 вечера. Но если мы посмотрим на расписание поездов, которые отправляются с 9 утра до 9 вечера, то увидим дискретное множество значений. Если один поезд отправляется в 10 утра, а следующий - в 11, то между этими двумя значениями, 10 и 11, нет никакого другого, поэтому эти значения называют дискретными. Напротив, течение времени между 10 и 11 часами непрерывно, и время может равняться, например, 10 часам 25 минутам и 0,34628761720041244474 секунды. Если мы составим список европейских столиц и укажем для каждой из них число жителей, то получим дискретное множество значений. Напротив, уровень воды в водохранилище изменяется непрерывно между некими максимальным и минимальным значениями. Также никому не придет в голову сказать, что объем воды в обычном кувшине вместимостью, например, два литра, может принимать только дискретные значения, например только литр, пол-литра или 257 кубических сантиметров. Скорость автомобиля также изменяется непрерывно, что показывает стрелка спидометра, которая движется плавно, а не скачкообразно. Показания счетчика пробега, напротив, являются дискретными.

Как мы уже говорили, концепции дискретности и непрерывности являются интуитивно понятными и поэтому кажутся простыми. Тем не менее, вокруг них на протяжении многих лет кипят жаркие споры, и вопрос нельзя считать закрытым. Отчасти это происходит потому, что, как мы увидим позднее, интуиция не всегда хороший советчик. Иногда одно и то же явление кажется непрерывным или дискретным в зависимости от выбранного масштаба. Как бы то ни было, ответ на этот вопрос влияет на наше восприятие мира, поэтому интересует не только математиков, но и философов. Эти две точки зрения очень тесно связаны между собой. Французский математик Жан-Шарль де Борда (1733-1799) как-то сказал: «Без математики нельзя глубоко проникнуть в суть философии, без философии нельзя глубоко проникнуть в суть математики, а без того и другого нельзя понять суть чего бы то ни было».

Основные понятия

Информационная деятельность – это действия, выполняемые в целях сбора, переработки, хранения, поиска и распространения информации (в том числе, научной).

Информатика – это научная дисциплина, изучающая структуру и свойства (а не конкретное содержание) информации, а также закономерности информационной деятельности, ее теорию, историю, методику, организацию.

Информатика - это научное направление, изучающее модели, методы и средства сбора, хранения, обработки и передачи информации. (Наука о структуре, свойствах, закономерностях и методах создания, хранения, поиска, преобразования, передачи и использования информации).

Цель информатики – разработка оптимальных способов и средств представления (записи), сбора, переработки, хранения, поиска и распространения информации. Информатика имеет дело со смысловой (семантической) информацией, но не занимается качественной оценкой этой информации.

1. Теоретическая задача информатики – это выяснение закономерностей, в соответствии с которыми происходит создание семантической информации, ее преобразование, передача и использование в различных сферах деятельности.

2. Прикладной характер исследований предполагает разработку наиболее рациональных методов осуществления информационных процессов, определение способов оптимальной организации связи (внутри науки, науки и производства).

Информатика исследует три группы основных вопросов: 1) технические, связанные с изучением методов и средств надежного сбора, хранения, передачи, обработки и выдачи информации; 2) семантические, определяющие способы описания смысла информации, изучающие языки ее описания; 3) прагматические, описывающие методы кодирования информации.

Информация – это совокупность фактов, явлений, событий, представляющих интерес и подлежащих регистрации и обработке.

Информация - мера устранения неопределённости в отношении исхода интересующего нас события.

Данные - материальные объекты произвольной формы, выступающие в качестве средства предоставления информации.

Термин данные определяется как величина, число или отношение, вводимые в процесс или получаемые из него. Данные могут быть и не числовыми (факты, принципы, утверждения, на которых основываются аргументы). В этом смысле, информация – знание, полученное из анализа данных (данные, сами по себе, не являются информацией). Данные, полученные из наблюдения явлений, могут перестраиваться осмысленным образом, но без искажений или фундаментальных изменений. Данные в информатике – это факты или идеи, выраженные средствами формальной системы, обеспечивающей возможность их хранения, обработки или передачи.

Информационные технологии – это совокупность методов и приемов решения типовых задач обработки данных.

Информационная технология – создаваемая прикладной информатикой совокупность систематических и массовых способов и приемов обработки информации во всех видах человеческой деятельности с использованием современных средств связи, полиграфии, вычислительной техники и программного обеспечения.

Непрерывная и дискретная информация

Информация о различных природных явлениях и технологических процессах воспринимается человеком (при помощи органов чувств и/или различной измерительной аппаратуры) в виде каких-либо полей. С математической точки зрения такие поля представляют собой функции , где t – время, x – точка, в которой измеряется поле, y – величина поля в этой точке. При измерениях поля в фиксированной точке x=a функция вырождается в функцию времени , которую можно изобразить в виде графика. В большинстве случаев все скалярные величины, входящие в соотношение (т.е. t , y и координаты точки x ), могут принимать непрерывный ряд значений, измеряемых вещественными числами.

Под непрерывностью здесь понимается то, что рассматриваемые величины могут изменяться сколь угодно мелкими шагами. Поэтому представленную таким образом информацию называют непрерывной информацией . Иногда для этой цели используется термин аналоговая информация .

Если применительно к той же самой информации о поле установить минимальные шаги изменения всех характеризующих ее скалярных величин, то получим так называемое дискретное представление информации, или по-другому, говорят – дискретная информация . Т. к. точность измерений (как и человеческого восприятия) всегда ограничена, то, даже имея дело с непрерывной информацией, человек воспринимает ее в дискретном виде. Однако, любая непрерывная информация может быть аппроксимирована дискретной информацией с любой степенью точности. Поэтому можно говорить об универсальности дискретной формы представления информации.

Результаты измерения любых скалярных величин представляются в конечном итоге в числовом виде. И т.к. при заданной точности измерений эти числа представимы в виде конечных наборов цифр (с запятой или без нее), то дискретную форму представления информации часто отождествляют с цифровой информацией .

2.2.Кодирование

Для начала введем необходимое понятие абстрактного алфавита . Ведь цифровая информация в действительности представляет собой частный случай так называемого алфавитного способа представления дискретной информации. Его основа – это произвольный фиксированный конечный набор символов любой природы, который и называют абстрактным алфавитом или просто алфавитом .

Примеры алфавитов. 1) совокупность десятичных цифр вместе с запятой для отделения дробной части числа можно рассматривать в качестве частного случая абстрактного алфавита с 11 символами – буквами этого алфавита; 2) алфавит естественного человеческого языка (русского); 3) язык математических и других научных текстов может включать в себя наряду с обычными буквами данного языка буквы других языков (греческого), а также различные специальные символы (символы арифметических операций +, - и др.).

При обработке информации часто возникает необходимость в представлении средствами одного алфавита буквы других алфавитов. Такое представление носит в информатике свое специальное название – кодирование . Задача имеет простое решение, если требуется закодировать буквы алфавита X с меньшим числом букв, чем у кодирующего алфавита Y .

Пример . Пусть X – алфавит десятичных цифр, Y – обычный русский алфавит. Тогда для кодирования X в Y достаточно положить 0=а, 1=б, 2=в, 3=г,ююю,9=к. Возможны и другие способы кодирования, в том числе такие, в которых буквы алфавита X кодируются несколькими буквами алфавита Y . Одним из наиболее естественных способов такого кодирования является простая замена десятичных цифр их русскими названиями: нуль, один, два и т.д.

При кодировании алфавитов с большим числом букв в алфавите использование для кодирования последовательностей букв является обязательным условием для возможности различения кодов различных букв, что есть непременное условие правильного кодирования.

Пример . Буквы русского алфавита можно закодировать парами десятичных цифр: а=01, б=02,…, к=10, л=11,…

Можно сказать, что кодирование – это, вообще говоря, перевод сообщений с одного языка на другой; этот термин применяется чаще всего при передаче информации по каналам связи. При этом предназначенное кодирующее устройство сопоставляет каждому символу передаваемого текста, или целым словам, или фразам (сообщениям) определенную комбинацию сигналов (приемлемую для передачи по данному каналу связи), называемую кодом или кодовым словом. Именно эту операцию перевода сообщений в определенные последовательности сигналов принято называть кодированием, а обратную операцию, восстанавливающую по принятым сигналам (кодовым словам) передаваемые сообщения, - декодированием . Чтобы передать информацию по каналу, необходимо предварительно перевести сообщение с помощью преобразователя в сигналы той природы, которая соответствует носителю информации в канале, например, в электрические сигналы, дискретные или непрерывные. При использовании сигналов непрерывного характера обычно не возникает каких-либо особенных проблем кодирования. Однако, сигналы непрерывного характера более уязвимы к воздействию всякого рода помех и трудно поддаются процедуре защиты. На электрические каналы связи воздействуют помехи непрерывного характера: природные – молнии и др. разряды, а также «индустриальные» помехи. Каналы для передачи непрерывных сигналов являются «малоскоростными», т.е. с малой пропускной способностью. Примерами каналов с передачей непрерывных сигналов, являются каналы: 1) телефонной связи, 2) радиосвязи (эфирной), в том числе, телевидение. Примеры каналов с передачей дискретных сигналов, это: 1) телеграфные, 2) любые, так называемые, каналы цифровой связи – для передачи «компьютерной информации» (например, по Интернет) – телевизионной информации, преобразованной в дискретные («цифровые») сигналы. Каналы связи с дискретной информацией более продуктивны. Это связано, в первую очередь, с уменьшением избыточности при преобразовании сообщений человека в дискретные сигналы. Кодирование, выполняемое при переводе сообщений в письменной или устной форме в дискретные сигналы по соответствующим каналам связи с максимально возможным уменьшением избыточности и создают основные проблемы, которые рассматриваются теорией кодирования.

Теперь попытаемся определить основное понятие кода (раздел дискретной математики). Задача уменьшения избыточности передаваемых сообщений – задача противоречивая: с одной стороны, требуется уменьшение избыточности с целью улучшения пропускной способности канала передачи информации; с другой стороны, необходим достаточный уровень избыточности, чтобы обеспечить достоверность передаваемой информации при помощи ее контроля и устранения помех, возникающих в каналах связи при воздействии помех. Намеренно вводимая избыточность необходима как для определения искажений дискретных сигналов, так и выделения «чужих» сигналов (из «чужих» сообщений).

О пределение . Код – это набор правил, которые устанавливают однозначное соответствие между элементами информации (словами, числами, фразами, химическими структурными группами и т.д.) и символическими метками . Т.о, код включает в себя: 1) элементы информации; 2) символические метки; 3) способы установления однозначного соответствия между теми и др.

Элементы информации составляют основу кода и выбираются в зависимости от решаемой задачи. Выбору элементов информации предшествует тщательный анализ информации; сущность анализа состоит в выборе характерных, специфических ее особенностей, которые наиболее четко отвечают требованиям поставленной задачи. Число выбранных элементов информации согласуется с емкостью носителя (кода) и его способом кодирования. Можно сказать, что коды и кодирование – средство для экономной, удобной и практически безошибочной передачи сообщений.

Примечание . Коды появились в древности в виде криптограмм (тайнописи); ими пользовались для засекречивания важного сообщения от тех, кому оно было предназначено. Греческий историк Геродот (V в. до н.э.) приводил примеры писем, понятных лишь для одного адресата. Спартанцы имели специальный механический набор, при помощи которого важные сообщения можно было писать особым способом, обеспечивающим сохранность тайны. Собственная секретная азбука была у Юлия Цезаря. В средние века и эпоху Возрождения над изобретением тайных шифров трудились: Фрэнсис Бэкон, Франсуа Виет, Джераламо Кардано, Джон Валлис. Много позднее Шеннон показал, что можно построить криптограмму, которая не поддается никакой расшифровке, если, конечно, не известен способ ее составления.

Различные символы или сообщения должны кодироваться различными кодовыми словами, в противном случае по кодовым словам невозможно восстановить передаваемые сообщения.

2.2.1. Двоичный алфавит . Простейший абстрактный алфавит, являющийся достаточным для кодирования любого другого алфавита, это алфавит, состоящий из двух букв. Такой алфавит называется двоичным , а его буквы принято отождествлять с цифрами 0 и 1. Кодовые слова могут быть представлены как последовательности из нулей и единиц. Число двоичных последовательностей длины n равно .

Следовательно, M сообщений можно закодировать двоичными последовательностями длины n тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие , т.е. когда .

Примечание . Френсис Бэкон был первый, кто понял, что для кодирования достаточно двух символов.

Наряду с двоичными кодами применяют коды, использующие не два, а большее число элементарных сигналов (кодовых символов). Их число d называют основанием кода , а множество кодовых символов называют кодовым алфавитом .

Общее число n -буквенных слов, использующих d символов равно .

1.2.1.1. Подстановочное и перестановочное кодирование. Как упоминалось выше, алфавита из двух (подавно - из большего числа) символов достаточно для кодирования любого множества сообщений. Однако, кодирование всех сообщений словами одинаковой длины не всегда бывает выгодно. Наиболее часто передаваемые сообщения лучше кодировать более короткими словами, оставив более длинные слова для кодирования сообщений, появляющихся реже. В результате такого подхода кодовый текст станет в среднем короче и на его передачу потребуется меньше времени. Именно так обеспечивается экономия. Впервые эта идея была реализована американским инженером Морзе в предложенном им коде.

Мерой частоты появления того или иного события (сообщения) является его вероятность . Пусть - доля тех случаев, в которых событие (сообщение) появляется, от общего числа появившихся сообщений.

Примером экономных кодов могут служить так называемые неравномерные коды, коды Фано.

Показателем экономности или эффективности неравномерного кода являются не длины отдельных кодовых слов, а «средняя» их длина , где - длина кодового обозначения для сообщения , - вероятность появления сообщения , N – общее число сообщений. Т.о., наиболее экономный код – это код с наименьшей средней длиной .

Перечислим основные свойства оптимального кода. Пусть сообщения имеют вероятности () соответственно, и кодируются двоичными словами , имеющими длины .

15. Принцип частотно-временной неопределённости. Проблема дискретного представления непрерывных сигналов.

Первым базовым свойством непрерывных сигналов является ПРИНЦИП ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. Он заключается в следующем. Поскольку некоторая функция x (t ) и ее спектрX (f ) однозначно выражаются друг через друга, то сигнал можно рассматривать в любом из этих эквивалентных представлений – временном или частотном. Исследуем зависимость масштабных параметров этих представлений. С этой целью изменим масштаб по оси времени вa раз (т.е. воспроизведем сигналx (t ) с другой скоростью) и найдем спектр функцииx (at ) :

Масштаб по частотной оси изменился в 1/a раз. Более того, из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длительностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной полосой частот длятся бесконечно долго.Этот математический результат находится в противоречии с практикой: в реальности все сигналы конечны по длительности, а все чувствительные к сигналам устройства не могут воспринимать и воспроизводить абсолютно все частоты. Например, диапазон частот, к которым чувствителен слух человека, простирается от нескольких Гц до 20-30 кГц, а все различимые звуки человеческой речи длятся доли секунды. Таким образом, тот факт, что аналитическая функция времени не может быть одновременно ограниченной и по длительности, и по ширине спектра, является свойством данной модели сигнала. Это приводит к необходимости введения конечной точности реализаций функции времени, что придает результатам некоторую относительность.

Например, можно использовать энергетический критерий точности: сигнал считается имеющим конечную длительность T , если в этом интервале времени сосредоточена основная часть всей энергии функцииx (t ) ; в то же время и ширина спектраF сигнала определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектраX (f ) :

В данном выражении величина  меньше 1, но достаточно близка к ней, а величина (1- ) характеризует косвенным образом точность, о которой шла речь. Теперь можно говорить о том, какую «площадь» на плоскости «частота-время» занимает тот или иной сигнал. Изменяя форму сигналаs (t ) , можно изменять и занимаемую им площадь, причем уменьшать ее можно только до определенного предела, который достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по амплитуде гауссовым импульсом. При этом спектр этой кривой имеет такую же форму:

Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемую им на плоскости «частота-время», называется принципом частотно-временной неопределенности сигналов (по аналогии с принципом неопределенности в квантовой механике):

F   T  const > 0

ПРОБЛЕМА ДИСКРЕТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ отображает второе базовое свойство. Она формулируется следующим образом: существуют ли условия, при которых любой непрерывной функции x (t ) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел {C k (x ) }, k =…-2, -1, 0, 1, 2… ?

Наиболее используемым в настоящее время является разложение x (t ) по координатным функциям { k (t ) }:
,

где координатные функции заранее известны и не должны зависеть от x (t ) . Числовые коэффициенты {C k (x ) } содержат всю информацию обx (t ) , соответственно, являются функционалами от этой функции (функционал – отображение множества функций в множество чисел). Однако значительный интерес привлекли разложения случайного процесса с ограниченной полосой частот. Теорема отсчетов:любая функция со спектром, находящимся в интервале , полностью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих друг от друга на 1/(2 F ) единиц времени . Эта теорема является теоретическим обоснованием возможности на практике восстанавливатьx (t ) по значениям ее реализации, взятым в моменты времениk /(2 F ) . Эти значения
называютсяотсчетами .

Главная » Времена в английском языке » §2. пороговая концепция