Расчет момента инерции фигуры. Момент инерции и момент сопротивления
Как уже отмечалось выше, к числу простых плоских фигур относятся три фигуры: прямоугольник, треугольник и круг. Простыми эти фигуры считаются потому, что положение центра тяжести этих фигур заранее известно. Все остальные фигуры могут быть составлены из этих простых фигур и считаются сложными. Вычислим осевые моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей.
1. Прямоугольник.
Рассмотрим сечение
прямоугольного профиля размерами(Рис.4.6). Выделим элемент сечения двумя
бесконечно близко расположенными
сечениями на расстоянии
от
центральной оси
.
Вычислим момент инерции прямоугольного сечения относительно оси:
.
(4.10)
Момент
инерции прямоугольного сечения
относительно оси
найдем аналогично. Здесь вывод не
приводится.
.
(4.11)
и
равен нулю, так как оси
и
являются осями симметрии, а, следовательно,
главными осями.
2. Равнобедренный треугольник.
Рассмотрим сечение треугольного профиля
размерами
(Рис.4.7). Выделим элемент сечения двумя
бесконечно близко расположенными
сечениями на расстоянии
от центральной оси
.
Центр тяжести треугольника находится
на расстояни
от основания. Треугольник принимается
равнобедренным, так что ось
сечения является осью симметрии.
Вычислим
момент инерции сечения относительно
оси 
:
.
(4.12)
Величину
определим из подобия треугольников:
;
откуда
.
Подставляя
выражения для
в (4.12) и интегрируя, получим:
.
(4.13)
Момент
инерции для равнобедренного треугольника
относительно оси
находится аналогичным образом и равен:
(4.14)
Центробежный
момент инерции относительно осей
и
равен нулю, так как ось
является осью симметрии сечения.
3. Круг
. Рассмотрим сечение круглого
профиля диаметром
(Рис.4.8).
Выделим элемент сечения двумя бесконечно
близко расположенными концентрическими
окружностями, расположенными на
расстоянии
от центра тяжести круга
.
Вычислим полярный момент инерции круга, воспользовавшись выражением (4.5):
.
(4.15)
Используя условие инвариантности для
суммы осевых моментов инерции относительно
двух взаимно перпендикулярных осей
(4.6) и учитывая, что для круга в силу
симметрии
,
определяем величину осевых моментов
инерции:
.
(4.16)
.
(4.17)
Центробежный
момент инерции относительно осей
и
равен нулю, так как оси
и
являются осями симметрии сечения.
4.4. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
При вычислении моментов инерции для сложных фигур следует запомнить одно правило: значения для моментов инерции можно складывать, если они вычислены относительно одной и той же оси . Для сложных фигур чаще всего центры тяжести отдельных простых фигур и всей фигуры не совпадают. Не совпадают, соответственно, и центральные оси для отдельных простых фигур и всей фигуры. В связи с этим существуют приемы приведения моментов инерции к одной оси, например, центральной оси всей фигуры. Это может быть связано с параллельным переносом осей инерции и дополнительными вычислениями.
Рассмотрим определение моментов инерции относительно параллельных осей инерции, изображенных на рис.4.9.
Пусть
осевые и центробежный моменты инерции
изображенной на рис.4.9. фигуры относительно
произвольно выбранных осей
и
с началом координат в точке
известны. Требуется вычислить осевые
и центробежный моменты инерции фигуры
относительно произвольных параллельных
осей
и
с началом координат в точке
.
Оси
и
проведены на расстояниях
и
соответственно от осей
и
.
Воспользуемся
выражениями для осевых моментов инерции
(4.4) и для центробежного момента инерции
(4.7). Подставим в эти выражения вместо
текущих координат
и
элемента с бесконечно малой площадью
координаты
и
в новой системе координат. Получим:
Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что при вычислении моментов инерции относительно параллельных осей к моментам инерции, вычисленных относительно исходных осей инерции, следует призводить добавки в виде дополнительных членов, которые могут оказаться намного больше значений для моментов инерции относительно исходных осей. Поэтому пренебрегать этими дополнительными членами ни в коем случае нельзя.
Рассмотренный случай представляет собой самый общий случай параллельного переноса осей, когда в качестве исходных были взяты произвольные оси инерции. В большинстве расчетов встречаются частные случаи определения моментов инерции.
Первый частный случай . Исходные оси являются центральными осями инерции фигуры. Тогда, используя основное свойство для статического момента площади, можно исключить из уравнений (4.18)(4.20) члены уравнений, в которые входит статический момент площади фигуры. В результате получим:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Здесь оси
и
центральные оси
инерции.
Второй частный случай . Исходные оси являются главными осями инерции. Тогда, учитывая, что относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю, получим:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Здесь оси
и
главные оси инерции.
Воспользуемся полученными выражениями и рассмотрим несколько примеров вычисления моментов инерции для плоских фигур.
Пример 4.2.
Определить осевые моменты
инерции фигуры, приведенной на рис.
4.10, относительно центральных осей
и
.
В предыдущем примере 4.1 для изображенной
на рис.4.10 фигуры было определено положение
центра тяжести С. Координата центра
тяжести откладывалась от оси
и составила
.
Вычислим расстояния
и
между осями
и
и осями
и
.
Эти расстояния составили соответственно
и
.
Так как исходные оси
и
являются центральными осями для простых
фигур в виде прямоугольников, для
определения момента инерции фигуры
относительно оси
воспользуемся выводами для первого
частного случая, в частности, формулой
(4.21).
Момент инерции относительно оси
получим путем сложения моментов инерции
простых фигур относительно этой же оси,
так как ось
является общей центральной осью для
простых фигур и для всей фигуры.
см 4 .
Центробежный момент инерции относительно
осей
и
равен нулю, так как ось инерции
является главной осью (осью симметрии
фигуры).
Пример
4.3.
Чему равен
размер b
(в см)
фигуры,
изображенной на рис. 4.11, если момент
инерции фигуры относительно оси
равен 1000 см 4 ?
Выразим момент инерции относительно
оси
через неизвестный размер сечения
,
воспользовавшись формулой (4.21), учитывая,
что расстояние между осями
и
равно 7см:
см 4 .
(а)
Решая выражение (а) относительно размера
сечения
,
получим:
см.
Пример.4.4.
Какая из фигур, изображенных на рис.4.12
, имеет больший момент инерции относительно
оси
,
если обе фигуры имеют одинаковую площадь
см 2 ?
1. Выразим площади фигур через их размеры и определим:
а) диаметр сечения для круглого сечения:
см 2 ; Откуда
см.
б) размер стороны квадрата:
;
Откуда
см.
2. Вычисляем момент инерции для круглого сечения:
см 4 .
3. Вычисляем момент инерции для сечения квадратной формы:
см 4 .
Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что наибольшим моментом инерции будет обладать сечение квадратной формы по сравнению с сечение круглой формы при одинаковой у них площади.
Пример 4.5.
Определить полярный момент
инерции (в см 4) сечения прямоугольной
формы относительно его центра тяжести,
если ширина сечения
см,
высота сечения
см.
1. Найдем моменты инерции сечения
относительно горизонтальной
и вертикальной
центральных осей инерции:
см 4 ;
см 4 .
2. Определяем полярный момент инерции сечения как сумму осевых моментов инерции:
см 4 .
Пример
4.6.
Определить
момент инерции фигуры треугольной формы
изображенной на рис.4.13, относительно
центральной оси
,
если момент инерции фигуры относительно
оси
равен 2400 см 4 .
Момент инерции сечения треугольной
формы относительно главной оси инерции
будет меньше по сравнению с моментом
инерции относительно оси
на величину
.
Поэтому при
см
момент инерции сечения относительно
оси
найдем следующим образом.
Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой оси, т. е.
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки, т. е.
Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, т.е.
Моменты инерции выражаются в и т.д.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как в их выражения под знаки интегралов входят величины площадок (всегда положительные) и квадраты расстояний этих площадок от данной оси или полюса.
На рис. 9.5, а изображено сечение площадью F и показаны оси у и z. Осевые моменты инерции этого сечения относительно осей у :
Сумма этих моментов инерции
и, следовательно,
Таким образом, сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения указанных осей.
Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Так, например, центробежный момент инерции сечения, показанного на рис. 9.5, а, относительно осей у и положителен, так как для основной части этого сечения, расположенной в первом квадранте, значения , а следовательно, и положительны.
Если изменить положительное направление оси у или на обратное (рис. 9.5,б) или повернуть обе эти оси на 90° (рис. 9.5, в), то центробежный момент инерции станет отрицательным (абсолютная величина его не изменится), так как основная часть сечения будет тогда располагаться в квадранте, для точек которого координаты у положительны, а координаты z отрицательны. Если изменить положительные направления обеих осей на обратные, то это не изменит ни знак, ни величину центробежного момента инерции.
Рассмотрим фигуру, симметричную относительно одной или нескольких осей (рис. 10.5). Проведем оси так, чтобы хотя бы одна из них (в данном случае ось у) совпадала с осью симметрии фигуры. Каждой площадке расположенной справа от оси соответствует в этом случае такая же площадка расположенная симметрично первой, но слева от оси у. Центробежный момент инерции каждой пары таких симметрично расположенных площадок равен:
Следовательно,
Таким образом, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.
Осевой момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме осевых моментов инерции составляющих его частей относительно этой же оси.
Аналогично центробежный момент инерции сложного сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих же осей. Также и полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме полярных моментов инерции составляющих его частей относительно той же точки.
Следует иметь в виду, что нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.
Осевой момент инерции равен сумме произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до соответствующей оси.
(8)
Знак всегда «+».
Не бывает равным 0.
Свойство: Принимает минимальное значение, когда точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения.
Осевой момент инерции сечения применяют при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость.
1.3. Полярный момент инерции сечения Jρ
(9)
Взаимосвязь полярного и осевого моментов инерции:
(10)
(11)
Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов.
Свойство:
при повороте осей в любую сторону, один из осевых моментов инерции возрастает, а другой убывает (и наоборот). Сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной.
1.4. Центробежный момент инерции сечения Jxy
Центробежный момент инерции сечения равен сумме произведений элементарных площадок на расстояния до обеих осей
(12)
Единица измерения [см 4 ], [мм 4 ].
Знак «+» или «-».
,
если координатные оси являются осями
симметрии (пример – двутавр, прямоугольник,
круг), или одна из координатных осей
совпадает с осью симметрии (пример –
швеллер).
Таким образом для симметричных фигур центробежный момент инерции равен 0.
Координатные оси u иv , проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент равен нулю, называютсяглавными центральными осями инерции сечения. Главными они называются потому, что центробежный момент относительно них равен нулю, а центральными – потому, что проходят через центр тяжести сечения.
У
сечений, не обладающих симметрией
относительно осей x
илиy
, например у
уголка,
не будет равен нулю. Для этих сечений
определяют положение осейu
иv
с помощью
вычисления угла поворота осейx
иy
(13)
Центробежный
момент относительно осей u
иv
-
Формула для определения осевых моментов инерции относительно главных центральных осей u иv :
(14)
где
- осевые моменты инерции относительно
центральных осей,
- центробежный момент инерции относительно
центральных осей.
1.5. Момент инерции относительно оси, параллельной центральной (теорема Штейнера)
Теорема Штейнера:
Момент инерции относительно оси, параллельной центральной, равен центральному осевому моменту инерции плюс произведение площади всей фигуры на квадрат расстояния между осями.
(15)
Доказательство теоремы Штейнера.
Согласно рис. 5 расстояние у до элементарной площадкиdF
Подставляя значение у в формулу, получим:
Слагаемое
,
так как точка С является центром тяжести
сечения (см. свойство статических
моментов площади сечения относительно
центральных осей).
Для прямоугольника высотой h и шириной b :
Осевой момент инерции:
Момент сопротивления изгибу:
момент сопротивления изгибу равен отношению момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна от нейтральной линии:
т.к.
,
то
Для круга:
Полярный
момент инерции:
Осевой
момент инерции:
Момент
сопротивления кручению:
Т.к.
,
то
Момент
сопротивления изгибу:
Пример 2. Определить момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси С x .
Решение. Разобьём площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами b (ширина) иdy (высота). Тогда площадь такого прямоугольника (на рис. 6 заштрихована) равна dF =bdy . Вычислим значение осевого момента инерции J x
По аналогии запишем
- осевой момент инерции сечения
относительно центральной
Центробежный момент инерции
,
так как оси С
x
и Сy
являются
осями симметрии.
Пример 3. Определить полярный момент инерции круглого сечения.
Решение.
Разобьём круг на бесконечно тонкие
кольца толщиной
радиусом
,
площадь такого кольца
.
Подставляя значение
в выражение для полярного момента
инерции интегрируя, получим
Учитывая
равенство осевых моментов круглого
сечения
и
,
получаем
Осевые моменты инерции для кольца равны
с – отношение диаметра выреза к наружному диаметру вала.
Лекция №2 «Главные оси и главные моменты инерции
Рассмотрим, как изменяются моменты
инерции при повороте координатных осей.
Положим, даны моменты инерции некоторого
сечения относительно осей 0х
, 0у
(не обязательно центральных)-
,
-
осевые моменты инерции сечения. Требуется
определить
,
-
осевые моменты относительно осейu
,v
, повёрнутых
относительно первой системы на угол
(рис. 8)
Так как проекция ломаной линии ОАВС равна проекции замыкающей, находим:
(15)
Исключим uиvв выражениях моментов инерции:
(18)
Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим
Таким
образом, сумма осевых моментов инерции
относительно двух взаимно перпендикулярных
осей не зависит от угла
и при повороте осей остается постоянной.
Заметим при этом, что
Где
- расстояние от начала координат до
элементарной площадки (см. рис.5). Таким
образом
Где
-
уже знакомый нам полярный момент инерции:
Определим осевой момент инерции круга относительно диаметра.
Так
как в силу симметрии
но, как известно,
Следовательно, для круга
С
изменением угла поворота осей
значения моментов
и
меняются, но сумма остается неизменной.
Следовательно существует такое значение
,
при котором один из моментов инерции
достигает своего максимального значения,
в то время как другой момент принимает
минимальное значение. Дифференцируя
выражение
по углу
и приравнивая производную к нулю, находим
(19)
При
этом значении угла
один из осевых моментов будет наибольшим,
а другой - наименьшим. Одновременно
центробежный момент инерции
обращается в нуль, что можно легко
проверить, приравнивая к нулю формулу
для центробежного момента инерции
.
Оси,
относительно которых центробежный
момент инерции равен нулю, а осевые
моменты принимают экстремальные
значения, называются главными
осями.
Если они к тому же являются центральными
(точка начала координат совпадает с
центром тяжести сечения), то тогда они
называютсяглавными центральными
осями (u
;
v
).
Осевые моменты инерции относительно
главных осей называютсяглавными
моментами инерции -
и
И их значение определяется по следующей формуле:
(20)
Знак плюс соответствует максимальному моменту инерции, знак минус - минимальному.
Существует ещё одна геометрическая характеристика – радиус инерции сечения. Эта величина часто используется в теоретических выводах и практических расчётах.
Радиусом
инерции сечения относительно некоторой
оси, например 0
x
,
называется величина
,
определяемая из равенства
(21)
F – площадь поперечного сечения,
- осевой момент инерции сечения,
Из определения следует, что радиус инерции равен расстоянию от оси 0х до той точки, в которой следует сосредоточить (условно) площадь сеченияF, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Зная момент инерции сечения и его площадь, можно найти радиус инерции относительно оси 0х :
(22)
Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называютсяглавными радиусами инерции и определяются по формулам
(23)
Лекция 3. Кручение стержней круглого поперечного сечения.
Тела m на квадрат расстояния d между осями :
J = J c + m d 2 , {\displaystyle J=J_{c}+md^{2},}где m - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2 . {\displaystyle J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}Осевые моменты инерции некоторых тел
| Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции J a |
|---|---|---|---|
| Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная | ||
| Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | m r 2 {\displaystyle mr^{2}} | |
| Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра | 1 2 m r 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}mr^{2}} | |
| Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1 | Ось цилиндра | m r 2 2 + r 1 2 2 {\displaystyle m{\frac {r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}{2}}} | |
| Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 {\displaystyle {1 \over 4}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}} | ||
| Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 {\displaystyle {1 \over 2}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}} | |
| Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс | 1 12 m l 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}ml^{2}} | |
| Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец | 1 3 m l 2 {\displaystyle {\frac {1}{3}}ml^{2}} | |
| Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы | 2 3 m r 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}mr^{2}} | |
| Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара | 2 5 m r 2 {\displaystyle {\frac {2}{5}}mr^{2}} | |
| Конус радиуса r и массы m | Ось конуса | 3 10 m r 2 {\displaystyle {\frac {3}{10}}mr^{2}} | |
| Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) {\displaystyle {\frac {1}{24}}m(a^{2}+12h^{2})} | |
| Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс | 1 12 m a 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}ma^{2}} | |
| Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс | 1 6 m a 2 {\displaystyle {\frac {1}{6}}ma^{2}} | |
| Прямоугольник со сторонами a и b и массой m | Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс | 1 12 m (a 2 + b 2) {\displaystyle {\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})} | |
| Правильный n-угольник радиуса r и массой m | Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] {\displaystyle {\frac {mr^{2}}{6}}\left} | |
| Тор (полый) с радиусом направляющей окружности R , радиусом образующей окружности r и массой m | Ось перпендикулярна плоскости направляющей окружности тора и проходит через центр масс | I = m (3 4 r 2 + R 2) {\displaystyle I=m\left({\frac {3}{4}}\,r^{2}+R^{2}\right)} |
Вывод формул
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . {\displaystyle J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).}Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . {\displaystyle J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.}Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ . Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . {\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.}Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = {\displaystyle J=\int _{R_{1}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=} = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . {\displaystyle =2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{R_{1}}^{R}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}Поскольку объём и масса кольца равны
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , {\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h,}получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . {\displaystyle J={\frac {1}{2}}m\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}Однородный диск (сплошной цилиндр)
Вывод формулы
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0 ), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
J = 1 2 m R 2 . {\displaystyle J={\frac {1}{2}}mR^{2}.}Сплошной конус
Вывод формулы
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
r = R h H , {\displaystyle r={\frac {Rh}{H}},}где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; {\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;}Интегрируя, получим
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\left.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}={\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}}Сплошной однородный шар
Вывод формулы
Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
r = R 2 − h 2 . {\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.}Масса и момент инерции такого диска составят
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; {\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;} d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . {\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh.}Момент инерции шара найдём интегрированием:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{\frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}=\pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot {\frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}}Тонкостенная сфера
Вывод формулы
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . {\displaystyle J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.}Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}}Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Вывод формулы
Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . {\displaystyle dm={\frac {mdr}{l}};\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l}}.}Интегрируя, получим
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . {\displaystyle J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l}}\int _{0}^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\left.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l/2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.}Тонкий стержень (ось проходит через конец)
Вывод формулы
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l ⁄ 2 . По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . {\displaystyle J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}Безразмерные моменты инерции планет и спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра .
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины :
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , {\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,} J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , {\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,} J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , {\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,}где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела .
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции .
Геометрические моменты инерции
Геометрический момент инерции объёма
J V a = ∫ (V) r 2 d V , {\displaystyle J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,}где, как и ранее r - расстояние от элемента dV до оси a .
Геометрический момент инерции площади относительно оси - геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой :
J S a = ∫ (S) r 2 d S , {\displaystyle J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,}где интегрирование выполняется по поверхности S , а dS - элемент этой поверхности.
Размерность J Sa - длина в четвёртой степени ( d i m J S a = L 4 {\displaystyle \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} } ), соответственно единица измерения СИ - 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см 4 .
Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:
W = J S a r m a x . {\displaystyle W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}Здесь r max - максимальное расстояние от поверхности до оси.
| Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур | |
|---|---|
| Прямоугольника высотой h {\displaystyle h} и шириной b {\displaystyle b} : |
J
y
=
b
h
3
12
{\displaystyle J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}}
J z = h b 3 12 {\displaystyle J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}} |
| Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам H {\displaystyle H} и B {\displaystyle B} , а по внутренним h {\displaystyle h} и b {\displaystyle b} соответственно |
J
z
=
B
H
3
12
−
b
h
3
12
=
1
12
(B
H
3
−
b
h
3)
{\displaystyle J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3}-bh^{3})}
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) {\displaystyle J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3}-hb^{3})} |
| Круга диаметром d {\displaystyle d} | J y = J z = π d 4 64 {\displaystyle J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}} |
Момент инерции относительно плоскости
Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости .
Если через произвольную точку O {\displaystyle O} провести координатные оси x , y , z {\displaystyle x,y,z} , то моменты инерции относительно координатных плоскостей x O y {\displaystyle xOy} , y O z {\displaystyle yOz} и z O x {\displaystyle zOx} будут выражаться формулами:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , {\displaystyle J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,} J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , {\displaystyle J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,} J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . {\displaystyle J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .}В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.
Центральный момент инерции
Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции ) J O {\displaystyle J_{O}} - это величина, определяемая выражением :
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , {\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,}Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей :
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , {\displaystyle J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),} J O = J x O y + J y O z + J x O z . {\displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.}Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 {\displaystyle {\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\right\vert =1} , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , {\displaystyle I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad } (1)где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
и состоит из компонент центробежных моментов:
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора
J
^
{\displaystyle {\hat {J}}}
:
где
Q
^
{\displaystyle {\hat {Q}}}
- ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины
J
X
,
J
Y
,
J
Z
{\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}}
- главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на
I
s
{\displaystyle I_{s}}
и произведя замены:
ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , {\displaystyle \xi ={s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}},\eta ={s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}},\zeta ={s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}},}получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ξ η ζ {\displaystyle \xi \eta \zeta } :
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. {\displaystyle \xi ^{2}\cdot J_{X}+\eta ^{2}\cdot J_{Y}+\zeta ^{2}\cdot J_{Z}=1.}Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку.
Рассматривая в предыдущих разделах простейшие виды деформаций - осевое растяжение и сжатие, смятие, скалывание - мы выяснили, что их сопротивление действующей силе пропорционально только размерам площади поперечного сечения элемента, на который действует сила. Так, при одинаковой площади сечения, одном и том же материале и одинаковой силе, действующей на каждый из стержней, изображенный на рис. 9.14, в них возникнут равные напряжения.
Переходя далее к изучению других более сложных видов деформаций (кручение, изгиб, внецентренное сжатие и др.) мы увидим, что в этих случаях сопротивление элемента конструкции
внешним силам зависит не только от площади его поперечного сечения, но и от распределения этой площади в плоскости сечения, т. е. от формы сечения.
Из обыденного опыта ясно, что согнуть стержень 4 в вертикальном направлении труднее, чем стержень 5, а стержень 6 имеет еще большую жесткость, хотя площади сечений всех этих стержней одинаковые (рис. 9.14).
Параметрами,
характеризующими геометрические свойства различных плоских фигур,
кроме площади, являются: статические моменты, моменты инерции, моменты
сопротивления и радиусы инерции.
Статический момент
площади
. Представим брус с произвольной формой поперечного сечения
площадью F
, в плоскости которого проведена ось х
(рис.
9.15). Выделим элемент площади dF
, расположенный на расстоянии
у
от оси х
.. Статическим моментом элементарной площадки
, относительно
оси х называют произведение этой площадки на ее расстояние до оси:
Статический момент всей площади F
относительно оси х
равен сумме статических моментов всех элементарных площадок, которые
могут быть выделены на рассматриваемой площади:
Из теоретической механики известно, что координаты центра тяжести
площади фигуры определяют по формулам:
|
Следовательно, статический момент фигуры площадью F относительно какой-нибудь оси равен произведению площади на расстояние центра тяжести фигуры до этой оси. Размерность статического момента - единица длины в кубе ( , ).
Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют центральными.Если фигура имеет ось симметрии, то последняя всегда проходит через центр тяжести фигуры, т. е. оси симметрии одновременно являются и центральными осями.
Будем также иметь в виду, что статический момент сложной фигуры относительно некоторой оси равен сумме статических моментов относительно той же оси простых фигур, на которые может быть разбита исходная сложная фигура:
Рис. 9.16. Схема к определению координат центра тяжести сложной фигуры.
Для решения этой задачи выберем две оси координат х и у , совпадающие со сторонами фигуры. Разобьем фигуру, все размеры которой должны быть известны, на элементарные части - прямоугольники - координаты центров тяжести которых очевидны, так как эти части симметричны. Составим теперь выражения для вычисления статического момента всей площади, например относительно оси у . Это можно сделать двумя способами:
а) взять сумму статических моментов отдельных площадей
В этих выражениях F - площадь всей фигуры; - координата ее центра тяжести; - площади отдельных частей фигуры, а - координаты их центров тяжести.
Приравнивая друг к другу написанные выше формулы, получим уравнение с одной неизвестной :
Аналогично этому расстояние центра тяжести фигуры от оси х может быть выражено так:
Составляя интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой произведение элемента площади на квадрат расстояния до начала координат (рис. 9.17), получим полярный момент инерции :
Отметим еще одну характеристику, в которой площадка dF умножается на произведение координат
|
Эту величину называют центробежным моментом инерции . Приведенные моменты инерции измеряются в единицах длины" взятой в четвертой степени (, ).
Осевые и полярные моменты инерции фигуры - величины положительные и не могут быть равными нулю. Центробежный момент инерции в зависимости от положения осей может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями инерции и обозначаются . Для симметричной фигуры ось симметрии является и главной осью.
Осевые моменты инерции, определенные относительно главных осей, имеют максимальное и минимальное значения.
Так же как и для статического момента, момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции образующих ее фигур. Подчеркнем, что сказанное справедливо в том случае, когда все моменты инерции вычисляются относительно одной и той же оси.
Для моментов инерции существует еще одно правило, часто используемое в расчетах. Применительно к осевым моментам оно "формулируется следующим образом: момент инерции фигуры относительно оси, параллельной центральной, равен моменту инерции относительно центральной оси плюс произведение площади фигуры, на квадрат расстояния между осями (рис. 9.18):
Для центробежных моментов инерции соответствующее правило в аналитическом виде выглядит так:
|
Для получения значения момента инерции конкретной фигуры в принципе надо решить соответствующий интеграл по площади этой фигуры. Однако с целью облегчения инженерных расчетов такие интегралы для наиболее распространенных форм поперечных сечений строительных элементов уже решены и результаты решений в виде формул представлены в таблицах, одна из которых помещена в приложении 3.
Кроме того, в ГОСТах на все стандартные профили проката, выпускаемые в нашей стране (уголки, двутавры и др.), даются значения осевых моментов инерции и других геометрических характеристик для каждого типоразмера проката (см. приложение 4).
Наконец, для сложных по форме сечений моменты инерции определяют, используя изложенные выше два правила: о сложении моментов инерции и о пересчете моментов инерции относительно одних осей на другие оси.
Момент сопротивления . Осевым моментом сопротивления плоской фигуры относительно какой-либо оси, лежащей в плоскости фигуры, называется частное от деления момента инерции относительно той же оси на расстояние до наиболее удаленной точки фигуры (см. рис. 9.17):
Моменты сопротивления имеют размерность длины в кубе (, ).
Формулы для расчетов осевых моментов сопротивлений наиболее часто встречающихся фигур приведены в приложении 3, а конкретные значения этой характеристики для профилей стального проката даны в ГОСТах (приложение 4). Отметим, что в отличие от моментов инерции моменты сопротивления складывать нельзя.
Радиус инерции . Радиусом инерции называется величина, получаемая по формуле
а для круга диаметром d радиус инерции относительно оси, проходящей через центр круга, равен
Сфера применения рассмотренных выше геометрических характеристик сечений будет раскрыта при изучении видов деформаций, которым посвящены следующие подразделы настоящей главы.
