Метод средних величин, теория. Определение среднего значения, вариации и формы распределения

Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средняя величина - это обобщающий показатель, в котором находят отражение действия общих условий и закономерностей изучаемого явления.

Средняя - это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней, определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное, позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Статистические средние рассчитываются на основе данных, правильно организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения. При этом, обобщая общее свойство совокупности, средняя затушевывает (занижает) одни показатели и завышает другие.

Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т. д.

Средняя выработка отражает общее свойство всей совокупности.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков в целом, необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

Важнейшим условием научного использования средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности , для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления, средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления.

Существуют различные виды средних в форме простoй или взвешенной:

• средняя арифметическая
• средняя геометрическая
• средняя гармоническая
• средняя квадратическая
• средняя хронологическая
• структурные средние (мода, медиана)

Для определения средних величин используются следующие формулы:

(кликабельно)

Правило мажорантности средних: чем выше показатель степени m, тем больше величина средней.

Средняя арифметическая величина обладает следующими свойствами:

• Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.
• Если все значения признака (х ) увеличить (уменьшить) в одно и то же число K раз, то средняя увеличится (уменьшится) в K раз.
• Если все значения признака (x ) увеличить (уменьшить) на одно и то же число A , то средняя увеличится (уменьшится) на это же число А.
• Если все значения весов (f ) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя не изменится.
• Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменную сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

Одновременное использование некоторых свойств позволяют упростить расчет средней арифметической: можно из всех значений признака вычесть постоянную величину А, разности сократить на общий множитель K , а все веса f разделить на одно и то же число и, по измененным данным, рассчитать среднюю. Затем, если полученное значение средней умножить на K , а к произведению прибавить А , то получим искомое значение средней арифметической по формуле:

Полученная, таким образом, преобразованная средняя, называется моментом первого порядка , а вышеизложенный способ расчета средней — способом моментов , или отсчетом от условного нуля.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины, в качестве значения признака в группах, принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака необходимо определять экспертным путем, исходя из сущности свойств признака и совокупности. При отсутствии возможности экспертной оценки, значения признака в открытых интервалах для нахождения недостающей границы открытого интервала, применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип «соседа»). Иными словами — ширину (шаг) открытого интервала определяют по величине рядом стоящего интервала.

Признаки единиц статистических совокупностей различны по своему значению, например, заработная плата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не одинакова за один и тот же период времени, различны цены на рынке на одинаковую продукцию, урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствах района и т.д. Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, рассчитывают средние величины.
Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.

Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состоит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние, как общие причины, так и индивидуальные условия. В среднем значении отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются. Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

Средняя, рассчитываемая для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц, называется типической средней . Например, можно рассчитать среднемесячную заработную плату работника той или иной профессиональной группы (шахтера, врача библиотекаря). Разумеется, уровни месячной заработной платы шахтеров в силу различия их квалификации, стажа работы, отработанного за месяц времени и многих других факторов отличаются друг от друга, так и от уровня средней заработной платы. Однако в среднем уровне отражены основные факторы, которые влияют на уровень заработной платы, и взаимно погашаются различия, которые возникают вследствие индивидуальных особенностей работника. Средняя заработная плата отражает типичный уровень оплаты труда для данного вида работников. Получению типической средней должен предшествовать анализ того, насколько данная совокупность качественно однородна. Если совокупность состоит их отдельных частей, следует разбить ее на типические группы (средняя температура по больнице).

Средние величины, используемые в качестве характеристик для неоднородных совокупностей, называются системными средними . Например, средняя величина валового внутреннего продукта (ВВП) на душу населения, средняя величина потребления различных групп товаров на человека и другие подобные величины, представляющие обобщающие характеристики государства как единой экономической системы.

Средняя должна вычисляться для совокупностей, состоящих из достаточно большого числа единиц. Соблюдение этого условия необходимо для того, чтобы вошел в силу закон больших чисел, в результате действия которого случайные отклонения индивидуальных величин от общей тенденции взаимно погашаются.

Виды средних и способы их вычисления

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждой варианты осредняемого признака не изменился итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель , который связан с осредняемым показателем. Например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и тоже время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы. Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.
Наиболее часто применяются средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и средняя кубическая.
Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой:
,
где – среднее значение исследуемого признака;
m – показатель степени средней;
– текущее значение (варианта) осредняемого признака;
n – число признаков.
В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:
при m = -1 – средняя гармоническая ;
при m = 0 – средняя геометрическая ;
при m = 1 – средняя арифметическая ;
при m = 2 – средняя квадратическая ;
при m = 3 – средняя кубическая .
При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше показатель степени m в вышеприведенной формуле, тем больше значение средней величины:
.
Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется правилом мажорантности средних .
Каждая из отмеченных средних может приобретать две формы: простую и взвешенную .
Простая форма средней применяется, когда средняя вычисляется по первичным (несгруппированными) данным. Взвешенная форма – при расчете средней по вторичным (сгруппированным) данным.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая применяется, когда объем совокупности представляет собой сумму всех индивидуальных значений варьирующего признака. Следует отметить, что если вид средней величины не указывается, подразумевается средняя арифметическая. Ее логическая формула имеет вид:

Средняя арифметическая простая рассчитывается по несгруппированным данным по формуле:
или ,
где – отдельные значения признака;
j – порядковый номер единицы наблюдения, которая характеризуется значением ;
N – число единиц наблюдения (объем совокупности).
Пример. В лекции «Сводка и группировка статистических данных» рассматривались результаты наблюдения стажа работы бригады из 10 человек. Рассчитаем средний стаж работы рабочих бригады. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

По формуле средней арифметической простой вычисляются также средние в хронологическом ряду , если интервалы времени, за которое представлены значения признака, равны.
Пример. Объем реализованной продукции за первый квартал составил 47 ден. ед., за второй 54, за третий 65 и за четвертый 58 ден. ед. Среднеквартальный оборот составляет (47+54+65+58)/4 = 56 ден. ед.
Если в хронологическом ряду приведены моментные показатели, то при вычислении средней они заменяются полусуммами значений на начало и конец периода.
Если моментов больше двух и интервалы между ними равны, то средняя вычисляется по формуле средней хронологической

,
где n- число моментов времени
В случае, когда данные сгруппированы по значениям признака (т. е. построен дискретный вариационный ряд распределения) средняя арифметическая взвешенная рассчитывается с использовании либо частот , либо частостей наблюдения конкретных значений признака , число которых (k) значительно меньше числа наблюдений (N) .
,
,
где k – количество групп вариационного ряда,
i – номер группы вариационного ряда.
Поскольку , а , получаем формулы, используемые для практических расчетов:
и
Пример. Рассчитаем средний стаж рабочих бригад по сгруппированному ряду.
а) с использованием частот:

б) с использованием частостей:

В случае, когда данные сгруппированы по интервалам , т.е. представлены в виде интервальных рядов распределения, при расчете средней арифметической в качестве значения признака принимают середину интервала, исходя из предположения о равномерном распределении единиц совокупности на данном интервале. Расчет ведется по формулам:
и
где - середина интервала: ,
где и – нижняя и верхняя границы интервалов (при условии, что верхняя граница данного интервала совпадает с нижней границей следующего интервала).

Пример. Рассчитаем среднюю арифметическую интервального вариационного ряда, построенного по результатам исследования годовой заработной платы 30 рабочих (см. лекцию «Сводка и группировка статистических данных»).
Таблица 1 – Интервальный вариационный ряд распределения.

грн. или грн.
Средние арифметические, вычисленные на основе исходных данных и интервальных вариационных рядов, могут не совпадать из-за неравномерности распределения значений признака внутри интервалов. В этом случае для более точного вычисления средней арифметической взвешенной следует использовать не средины интервалов, а средние арифметические простые, рассчитанные для каждой группы (групповые средние ). Средняя, вычисленная по групповым средним с использованием взвешенной формулы расчета, называется общей средней .
Средняя арифметическая обладает рядом свойств.
1. Сумма отклонений вариант от средней равна нулю:
.
2. Если все значения вариант увеличиваются или уменьшаются на величину А, то и средняя величина увеличивается или уменьшается на ту же величину А:

3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в В раз, то средняя величина также увеличится или уменьшатся в то же количество раз:
или
4. Сумма произведений вариант на частоты равна произведению средней величины на сумму частот:

5. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая не изменится:

6) если во всех интервалах частоты равны друг другу, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней арифметической:
,
где k – количество групп вариационного ряда.

Использование свойств средней позволяет упростить ее вычисление.
Допустим, что все варианты (х) сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в В раз. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение середины интервала, обладающего наибольшей частотой, а в качестве В – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому этот метод вычисления средней называется спосо бом отсчета от условного нуля или способом моментов .
После такого преобразования получим новый вариационный ряд распределения, варианты которого равны . Их средняя арифметическая, называемая моментом первого порядка, выражаетсяформулой и согласно второго и третьего свойств средней арифметической равна средней из первоначальных вариант, уменьшенной сначала на А, а потом в В раз, т. е. .
Для получения действительной средней (средней первоначального ряда)нужно момент первого порядка умножить на В и прибавить А:

Расчет средней арифметической по способу моментов иллюстрируется данными табл. 2.
Таблица 2 – Распределение работников цеха предприятия по стажу работы

Находим момент первого порядка . Затем, зная, что А=17,5, а В=5, вычисляем средний стаж работы работников цеха:
лет

Средняя гармоническая
Как было показано выше, средняя арифметическая применяется для расчета среднего значения признака в тех случаях, когда известны его варианты x и их частоты f.
Если статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как их произведение , применяется формула средней гармонической взвешенной . Чтобы вычислить среднюю, обозначим , откуда . Подставив эти выражения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:
,
где - объем (вес) значений признака показателя в интервале с номером i (i=1,2, …, k).

Таким образом, средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины: .
В тех случаях, когда вес каждой варианты равен единице, т.е. индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу, применяется средняя гармоническая простая :
,
где – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу;
N – число вариант.
Если по двум частям совокупности численностью и имеются средние гармонические, то общая средняя по всей совокупности рассчитывается по формуле:

и называется взвешенной гармонической средней из групповых средних .

Пример. В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключены три сделки. Данные о сумме продажи гривны и курсе гривны по отношению к доллару США приведены в табл. 3 (графы 2 и 3). Определить средний курс гривны по отношению к доллару США за первый час торгов.
Таблица 3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже

Средний курс доллара определяется отношением суммы проданных в ходе всех сделок гривен к сумме приобретенных в результате этих же сделок долларов. Итоговая сумма продажи гривны известна из графы 2 таблицы, а количество купленных в каждой сделке долларов определяется делением суммы продажи гривны к ее курсу (графа 4). Всего в ходе трех сделок куплено 22 млн. дол. Значит, средний курс гривны за один доллар составил
.
Полученное значение является реальным, т.к. замена им фактических курсов гривны в сделках не изменит итоговой суммы продаж гривны, выступающей в качестве определяющего показателя : млн. грн.
Если бы для расчета была использована средняя арифметическая, т.е. гривны, то по обменному курсу на покупку 22 млн. дол. нужно было бы затратить 110,66 млн. грн., что не соответствует действительности.

Средняя геометрическая
Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня к предыдущему.
Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:
,
где – знак произведения,
N – число осредняемых величин.
Пример. Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в 1,57 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12 раза. Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет: , т.е. число зарегистрированных преступлений ежегодно росло в среднем на 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Для расчета средней квадратической взвешенной определяем и заносим в таблицу и . Тогда средняя величина отклонений длины изделий от заданной нормы равна:

Средняя арифметическая в данном случае была бы непригодна, т.к. в результате мы получили бы нулевое отклонение.
Применение средней квадратической будет рассмотрено далее в показателях вариации.

Средняя величина является наиболее ценной с аналитической точ­ки зрения и универсальной формой выражения статистических пока­зателей. Наиболее распространенная средняя - средняя арифметичес­кая - обладает рядом математических свойств, которые могут быть использованы при ее расчете. В то же время при исчислении конкрет­ной средней всегда целесообразно опираться на ее логическую фор­мулу, представляющую собой отношение объема признака к объему совокупности. Для каждой средней существует только одно истинное исходное соотношение, для реализации которого, в зависимости от имеющихся данных, могут потребоваться различные формы средних. Однако во всех случаях, когда характер осредняемой величины под­разумевает наличие весов, нельзя вместо взвешенных формул сред­них использовать их невзвешенные формулы.

Средняя величина - это наиболее характерное для совокупности значение признака и распределенный равными долями между единицами совокупности раз­мер признака совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величи­на, носит название осредняемый .

Средняя величина - показатель, рассчитываемый сопоставлением абсолютных или относительных величин. Среднюю величину обозначают

Средняя величина отражает влияние всех факторов, влия­ющих на исследуемое явление, и является для них равнодей­ствующей. Другими словами, погашая индивидуальные откло­нения и устраняя влияние случаев, средняя величина, отражая общую меру результатов этого действия, выступает общей закономерностью изучаемого явления.

Условия применения средних величин:

Ø однородность исследуемой совокупности. Если некоторые подверженные влиянию случайного фактора элементы совокупности имеют значитель­но отличающиеся от остальных величины изуча­емого признака, то данные элементы повлияют на размер средней для данной совокупности. В этом случае средняя не будет выражать наиболее ти­пичную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление неоднородно, требуется его разбивка на содержащие однородные элементы группы. В данном случае рассчитывают средние по группам - груп­повые средние, выражающие наиболее характерную вели­чину явления в каждой группе, а затем рассчитывается об­щая средняя величина для всех элементов, характеризующая явление в целом. Она рассчитывается как средняя из группо­вых средних, взвешенных по числу включенных в каждую группу элементов совокупности;

Ø достаточное количество единиц в совокупности;

Ø максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности.

Средняя величина (показатель) – это обобщенная количественная характеристика признака в систематической совокупности в конкретных условиях места и времени .

В статистике применяется следующие формы (виды) средних величин, называемых степенными и структурными:

Ø средняя арифметическая (простая и взвешенная);

простая

Лекция 5. Средние величины

Понятие средней величины в статистике

Средняя арифметическая и ее свойства

Другие виды степенных средних величин

Мода и медиана

Квартили и децили

Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя - это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Средняя величина - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действия общих условий, закономерностей изучаемого явления.

Средняя величина (в статистике) – обобщающий показатель, характеризующий типичный размер или уровень общественных явлений в расчете на единицу совокупности при прочих равных условиях.

С помощью метода средних решаются следующие основные задачи :

1. Характеристика уровня развития явлений.

2. Сравнение двух или нескольких уровней.

3. Изучение взаимосвязей социально - экономических явлений.

4. Анализ размещения социально-экономических явлений в пространстве.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения. Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т.д.

Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

Существуют различные средние:

Средняя арифметическая;

Средняя геометрическая;

Средняя гармоническая;

Средняя квадратическая;

Средняя хронологическая.

Тема 4

Основные вопросы: 1. Абсолютные статистические величины.

2. Виды абсолютных статистических величин.

3. Относительные величины.

4. Виды относительных величин.

5. Средняя величина. Виды средних величин.

6. Средняя арифметическая.

7. Средняя гармоническая.

8. Средняя геометрическая.

9. Средняя квадратическая и средняя кубическая.

10. Структурные средние.

11. Соотношения между средней арифметической, медианой и модой в статистических распределениях.

1. Абсолютные статистические величины. Чтобы отразить размер, объем явлений в статистике применяются абсолютные величины. Абсолютная величина (А.В.) получается в результате сводки статистического материала. А.В. выражаются в различных единицах измерения – натуральных, стоимостных (денежных), условных, трудовых.

1) Натуральные единицы измерения характеризуют величину и размер изучаемых явлений. Они выражаются в метрах, тоннах, литрах и т.д. Натуральные единицы можно суммировать только по однородным продуктам, нельзя сложить тонны стали с метрами ткани.

2) Стоимостные единицы применяются для оценки в стоимостном выражении многих статистических показателей: размер розничного товарооборота, ВВП, доходы населения и т.д.

3) Условные. В ряде случаев не все виды однородной продукции можно суммировать. Нельзя суммировать мыло (т.к. оно имеет различный процент жирности), топливо (различную калорийность) и т.д. У.е.и. применяют для учета однородной продукции различных разновидностей. Например, консервы выпускают в банках разной емкости. Поэтому их считают в тысячах условных банок. За одну условную банку принят вес продукции нетто 400 гр.

4) Трудовые единицы измерения – человеко-часы, человеко-дни и т.п. Используются для измерения трудовых ресурсов, затрат труда.

2. Виды абсолютных статистических величин. По способу выражения:

1) Индивидуальные – А.В., характеризующие размеры признака у отдельных единиц совокупности (например, зарплата отдельного работника, размер посевной площади конкретного фермерского хозяйства). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах.

2) Суммарные А.В. – выражают величину того или иного признака всех единиц изучаемой совокупности или отдельных ее групп и получаются в результате суммирования индивидуальных А.В. (зарплата по предприятию).

А.В. всегда являются именованными числами. Они выражаются в определенных единицах измерения (кг, шт., тонны, га, м и т.п.).

В практической деятельности при отсутствии необходимой информации абсолютные величины получают расчетным путем, например на основе балансовой увязки:

где – запас на начало периода; – поступление за период; – расход за период; – запас на конец периода.

Отсюда .

Абсолютные статистические величины широко используют в анализе и прогнозировании состояния и развития явлений общественной жизни.

На основе А.В. исчисляют относительные величины.

3. Относительные величины (О.В.). Получаются в результате деления одной величины на другую. Числитель отношения – сравниваемая величина, ее называют текущей или отчетной величиной, знаменатель отношения называют базой сравнения или основанием сравнения.

Если база сравнения равна 100, то О.В. выражена в (%), если база сравнения 1 000 – промилле (‰), 10 000 – в продецимилле (‰0).

Сопоставляемые величины могут быть одноименными и разноименными. Если сравнивают одноименные величины, то их выражают в коэффициентах, процентах, промилле. При сопоставлении разноименных величин наименования относительных величин образуется от наименований сравниваемых величин: плотность населения – чел./км 2 , урожайность – ц/га и т.д.

4. Виды относительных величин (показателей).

1) планового задания – ОППЗ;

2) выполнения плана – ОПВП;

3) динамики (ОПД);

4) структуры (d);

5) интенсивности и уровня развития;

6) координации (ОПК);

7) сравнения (ОПС).

1) ОППЗ – служит для планирования. Вычисляется отношением уровня, запланированного на предстоящий период (П), к уровню показателя, достигнутому в предыдущем периоде ():

2) ОПВП – служит для сравнения реально достигнутых результатов с намеченными ранее.

,

– достигнутый уровень в текущем периоде; – план на этот же период.

3) ОПД – характеризует изменение уровня какого-либо экономического явления во времени и получается делением уровня признака за определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предыдущий период или момент времени. По другому, их называют – темпом роста. Вычисляются в коэффициентах или %.

4) d – характеризуют состав изучаемой совокупности, доли, удельный вес элементов совокупности в общем итоге и представляют собой отношение части единиц совокупности () ко всей численности единиц совокупности ():

5) Интенсивности и уровня развития – характеризуют степень насыщенности или развития данного явления в определенной среде, являются именованными и могут выражаться в кратных отношениях, %, ‰ и др. формах.

6) ОПК – характеризует отношение частей изучаемой совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. Они показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой, или сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000 единиц другой части. Эти относительные величины могут быть исчислены как по абсолютным показателям, так и по показателям структуры.

7) ОПС – характеризуют отношения одноименных абсолютных или относительных показателей, соответствующих одному и тому же периоду или моменту времени, но относящиеся к различным объектам или территориям.

5. Средняя величина. Виды средних величин.

Определение : Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Виды средних величин: 1) арифметическая;

2) гармоническая;

3) геометрическая;

4) квадратическая;

5) кубическая.

Все эти средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях m ):

,

где – среднее значение исследуемого явления;

– показатель степени средней;

– текущее значение осредняемого признака;

– число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:

при – средняя гармоническая ;

при – средняя геометрическая ;

при – средняя арифметическая ;

при – средняя квадратическая ;

при – средняя кубическая .

При использовании одних и тех же данных, чем больше m, тем больше значение средней величины:

– правило мажорантности средних.

Вид средней выбирается в каждом случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления.

6. Средняя арифметическая.

а) Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц (наиболее распространенная).

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны.

Среднее из средних величин вычисляется по следующей формуле, считая :

,

где – число единиц в каждой группе.

Свойства средних величин:

1. Если все индивидуальные значения признака уменьшить (увеличить) в раз, тогда среднее значение нового признака соответственно уменьшится (увеличится) в раз.

;

2. Если варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на , то средняя арифметическая соответственно уменьшится (увеличится) на то же число .

3. Если веса всех усредняемых вариантов уменьшится (увеличится) в раз, то средняя арифметическая не изменится.

4. Сумма отклонений от средней равна нулю.

7. Средняя гармоническая. Применяется в тех случаях, когда не известны частоты по отдельным вариантам x совокупности, а представлено их произведение . Обозначим это произведение через , тогда получим формулу средней гармонической взвешенной:

.

является преобразованной формой и тождественна ей. Вместо всегда можно рассчитать , но для этого нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, применяется средняя гармоническая простая :

,

где – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу,

– число вариантов.

Если по двум частям совокупности (численности и ) даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить как взвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:

.

8. Средняя геометрическая. Применяется, когда индивидуальные значения признака характеризует средний коэффициент роста (представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики). Вычисляется по формуле:

– число вариантов; – знак произведения.

Наиболее широко применяется для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения (рассмотрим ее применение позднее).

9. Средняя квадратическая и средняя кубическая.

– применяется для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, диаметров труб и т.п.

Определение: Мода ()– значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

Широко используется при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Формула для вычисления:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Определение: Медиана – варианта, которая находится в середине вариационного ряда.

Делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части – квартили, на пять – квинтили, на десять – децили, на сто – перцентили.

Главная » Транскрипции » Метод средних величин, теория. Определение среднего значения, вариации и формы распределения