Параметры орбиты

С этой силой мы тоже сталкиваемся практически постоянно, поскольку Земля является вращающейся системой отсчета, и стоит нам начать перемещаться по ее поверхности, как появляется F K . Но так как скорость нашего перемещения и угловая скорость вращения Земли сравнительно невелики, физически мы ее не ощущаем.

Сила Кориолиса также обусловливает очень интересные физические эффекты.

ü При свободном падении тел F K заставляет тело отклоняться к востоку от линии отвеса. Эта сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на полюсах.

ü Летящий снаряд также испытывает отклонения, обусловленные кориолисовыми силами инерции. При выстреле из орудия, направленного на север, снаряд будет отклоняться к востоку в северном полушарии и к западу – в южном. При стрельбе вдоль меридиана на юг направления отклонения будут противоположными. При стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведен в направлении на запад, и поднимать его кверху; если выстрел произведен в восточном направлении.

ü Этот эффект приводит к тому, что у рек вымывается всегда правый берег в северном полушарии и левый берег – в южном. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении.

ü Движение воздушных масс в атмосфере подвергается воздействию силы Кориолиса и поэтому всегда превращается в атмосферные вихри, которые вращаются в направлении по и против часовой стрелки, в зависимости от того, в каком полушарии (северном или южном) движется данная воздушная масса и каково давление в зоне этого атмосферного вихря. Циклоны, антициклоны, ураганы, тайфуны – это все вихревые движения воздух в атмосфере Земли.

ü Действием силы Кориолиса объясняется и возникновение таких ветров, как пассаты. Пасса́т (от исп. viento de pasada - ветер, благоприятствующий переезду, передвижению) - ветер, дующий между тропиками круглый год, в Северном полушарии с северо-восточного, в Южном - с юго-восточного направления, отделяясь друг от друга безветренной полосой. Вследствие действия солнечных лучей в экваториальной полосе нижние слои атмосферы, сильнее нагреваясь, поднимаются вверх и стремятся по направлению к полюсам, между тем как внизу приходят новые более холодные потоки воздуха с севера и с юга; вследствие суточного вращения Земли согласно силе Кориолиса эти течения воздуха принимают в Северном полушарии направление в сторону юго-запада (северо-восточный пассат), а в Южном полушарии - направление на северо-запад (юго-восточный пассат).

Параметры орбиты

Любая орбита полностью характеризуется так называемы­ми кеплеровскими элементами, определяющими ориентацию плоскости орбиты в пространстве, ее размеры и форму, а так­же либо положение некоторой точки на орбите, через которую проходит КА в заданный момент времени, либо момент времени прохождения его через эту заданную точку.

Рисунок 3.1. Элементы орбиты ИСЗ:

i - наклонение орбиты; а - большая полуось орбиты; Ω - долгота восходящего узла;

ω - угловое расстояние перигея от восходящего узла; 1 - направление на точку весен­него равноденствия; 2 - центр орбиты; 3 - линия узлов; 4- нисходящий узел; 5 - Зем­ля;

6- перигей орбиты (точка орбиты, ближайшая к поверхности Земли); 7 - плоскость ор­биты; 8 -плоскость экватора Земли; 9 - восходящий узел; 10 - фокус орбиты;

11 - апогей орбиты (точка орбиты, наиболее удаленная от поверхности Земли)

Такими элементами (параметрами) орбиты (рис. 3.1) являются: наклонение i , долгота восходящего узла Ω, угловое расстояние перигея от восходящего узла ω, большая полуось а, эксцентриситет е (отношение расстояния между центром орбиты и ее фокусом к большой полуоси) и момент прохожде­ния через перигей Т. Элементы i и Ω характеризуют положение плоскости орбиты (ее наклон по отношению к плоскости эквато­ра и ориентацию по отношению к постоянному направлению в пространстве), элемент ω – положение орбиты (ее ориентацию) в плоскости ее расположения, элементы а и е - размеры, форму (окружность, эллипс, парабола, гипербола) и период обращения (время, в течение которого совершается полный оборот вокруг центрального тела в невозмущенном движении), элемент Т - положение тела, находящегося на орбите, в начальный момент времени.

Когда ИСЗ движется по эллиптической орбите, высота его над поверхностью Земли h изменяется. Если высота апогея и перигея одинаковы, орбита является круговой, и высота спутника над поверхнос­тью Земли все время остается постоянной. Степень вытянутости орбиты может быть охарактеризована ее эксцентриситетом. Эксцентриситет – большая полуось орбиты, перигейное и апогейное расстояния связаны между собой соотношениями

Из этих соотношений следует, что большая полуось равна среднему расстоянию спутника от центра Земли

Законы Кеплера

Законы Кеплера - три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом /→ 0, где,,

Массы планеты и Солнца соответственно.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов):

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При, и, следовательно, эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму.

Вспомним, что в полярных координатах:

В координатной форме запишем:

Подставляя и во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение

для некоторой константы, которая является удельным угловым моментом ().Пусть

Уравнение движения в направлении становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с

расстоянием как

где G - универсальная гравитационная константа и M - масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ0.

Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей):

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера

По определению угловой момент L точечной частицы с массой m и скоростью v записывается в виде:

где - радиус-вектор частицы аимпульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором r за времяdt из геометрических соображений равна

где представляет собой угол между направлениями r иv .

По определению

В результате мы имеем

Продифференцируем обе части уравнения по времени^

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что L , а следовательно и

пропорциональная ей скорость заметания площади - константа.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)^

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

где T1 иT2 - периоды обращения двух планет вокруг Солнца, аa1 иa2 - длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен - в действительности в него входит и масса планеты/

где M - масса Солнца, аm1 иm2 - массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Параметры орбиты в плоскости:

В небесной механике это траектория небесного тела в гравитационном поле другого тела, обладающего значительно большей массой (планеты, кометы, астероида в поле звезды). В прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с центром масс, траектория может иметь форму конического сечения (окружности, эллипса, параболы или гиперболы). При этом его фокус совпадает с центром масс системы.

Кеплеровы орбиты

Долгое время считалось, что планеты должны иметь круговую орбиту. После долгих и безуспешных попыток подобрать круговую орбиту для Марса, Кеплер отверг данное утверждение и, впоследствии, используя данные измерений, сделанных Тихо Браге, сформулировал три закона (см. Законы Кеплера), описывающих орбитальное движение тел.

Кеплеровыми элементами орбиты являются:

фокальный параметр, большая полуось, радиус перицентра, радиус апоцентра - определяют размер орбиты,

эксцентриситет (е) - определяет форму орбиты,

наклонение орбиты (i),

долгота восходящего узла () - определяет положение плоскости орбиты небесного тела в пространстве,

аргумент перицентра () - задаёт ориентацию аппарата в плоскости орбиты (часто задают направление на перицентр),

момент прохождения небесного тела через перицентр (To) - задаёт привязку по времени.

Эти элементы однозначно определяют орбиту независимо от её формы (эллиптической, параболической или гиперболической). Основной координатной плоскостью может быть плоскость эклиптики, плоскость галактики, плоскость земного экватора и т. д. Тогда элементы орбиты задаются относительно выбранной плоскости.

Элементы орбиты - шесть величин, определяющих форму и размеры орбиты небесного тела, ее положение в пространстве, а также положение самого небесного тела на орбите. Элементы орбиты описывают закон движения небесного тела: зная их, можно вычислить, в какой точке пространства находится небесное тело в любой заданный момент времени.

Форма и размеры орбиты определяются большой полуосью орбиты () и эксцентриситетом орбиты е:

где b - малая полуось орбиты. Для эллиптической орбиты значения эксцентриситета заключены в пределах: . При e = 0 орбита имеет форму окружности; чем ближе эксцентриситет к единице, тем более вытянута орбита. При е=1 орбита уже не замкнута и имеет вид параболы; при е>1 орбита гиперболическая (см. Орбиты небесных тел).

Ориентация орбиты в пространстве определяется относительно некоторой плоскости, принятой за основную.

Для планет, комет и других тел Солнечной системы такой плоскостью служит плоскость эклиптики. Положение плоскости орбиты задается двумя элементами орбиты: долготой восходящего узла Q и наклоном (наклонением) орбиты i. Долгота восходящего узла - это угол при Солнце между линией пересечения плоскостей орбиты и эклиптики и направлением на точку весеннего равноденствия. Угол отсчитывается вдоль эклиптики от точки весеннего равноденствия у по часовой стрелке до восходящего узла орбиты Q, т. е. той точки, в которой тело пересекает эклиптику, переходя из южной полусферы в северную. (Противоположная точка называется нисходящим узлом, а линия, соединяющая узлы, - линией узлов.) Долгота восходящего узла может иметь значения от 0 до 360°.

При изучении движения искусственных спутников Земли в качестве основной берут плоскость экватора; в этом случае линия узлов - это линия пересечения плоскостей орбиты и небесного экватора. Ее положение определяется прямым восхождением восходящего узла , отсчитываемого от точки весеннего равноденствия вдоль экватора (см. Небесная сфера).

Положение орбиты в плоскости Q определяется аргументом перигелия со, представляющим собой угловое расстояние перигелия орбиты от восходящего узла:. Аргумент перигелия отсчитывается в плоскости орбиты в направлении движения небесного тела и может иметь любые значения от 0 до 360°. Для искусственных спутников Земли этот элемент орбиты называется аргументом перигея.

В качестве шестого элемента, определяющего положение небесного тела на орбите в какой-нибудь определенный момент времени, используют момент прохождения через перигелий . Положение тела на орбите в любой другой момент определяется с помощью законов Кеплера. Угол при Солнце, отсчитанный от направления на перигелий до направления на тело, называется истинной аномалией . Истинная аномалия при движении тела по орбите изменяется неравномерно; в соответствии со вторым законом Кеплера тело движется быстрее около перигелия П и медленнее - у афелия А. Истинную аномалию вычисляют по известным формулам с помощью вспомогательной величины, называемой средней аномалией М. Средняя аномалия изменяется равномерно, причем она равна 0 и 180° одновременно с истинной аномалией (т. е. фиктивная точка, определяющая среднюю аномалию, проходит через перигелий и афелий в тот же момент, что и реальное тело).

Среднюю аномалию тела в эпоху (т. е. в некоторый заданный момент времени, например в начале заданных суток) используют часто вместо шестого элемента . Иногда вместо этого элемента задают - момент прохождения тела через восходящий узел орбиты.

При известной массе центрального тела большая полуось орбиты а однозначно связана со средним движением п тела по орбите и периодом обращения Р. Эти величины могут задаваться в качестве одного из элементов орбиты вместо а.

Элементы орбиты постоянны только в случае задачи двух тел (см. Небесная механика). Если же на движение тела оказывает влияние притяжение третьих тел или какие-либо иные силы (например, сопротивление атмосферы в случае искусственных спутников Земли), то элементы орбиты непрерывно медленно изменяются.

В этом случае понятие периода обращения приобретает несколько значений, в зависимости от того, относительно какой точки он отсчитывается. Так, полный период обращения, отсчитанный относительно направления на ту или иную звезду, называется сидерическим периодом. Если период отсчитывается относительно перигелия, то он носит название аномалистического периода; если относительно восходящего узла, то название драконического периода. В случае невозмущенного (кеплеровского) движения все эти периоды имеют одинаковое значение; при возмущенном движении они могут существенно различаться.

Главная » Транскрипции » Типы спутниковых орбит и их определения.