Как доказать теорему ферма. Разоблачаем! Великая теорема Ферма доказана? Работа Шимуры и Таниямы

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Завистники утверждают, что французский математик Пьер Ферма вписал свое имя в историю всего одной фразой. На полях рукописи с формулировкой знаменитой теоремы в 1637 году он сделал пометку: "Я нашел удивительное решение, но здесь маловато места, чтобы его поместить". Тогда и началась удивительная математическая гонка, в которую наряду с выдающимися учеными включилась армия дилетантов.

В чем коварство задачи Ферма? На первый взгляд, она понятна даже школьнику.

В основе - известная каждому теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: х 2 + у 2 = z 2 . Ферма утверждал: уравнение при любых степенях больше двух не имеет решения в целых числах.

Казалось бы, просто. Протяни руку, и вот ответ. Неудивительно, что академии разных стран, научные институты, даже редакции газет были завалены десятками тысяч доказательств. Их число беспрецедентно, уступает разве что проектам "вечных двигателей". Но если эти сумасшедшие идеи серьезная наука давно не рассматривает, то работы "фермистов" честно и заинтересованно изучает. И, увы, находит ошибки. Говорят, что за три с лишним века образовалось целое математическое кладбище решений теоремы.

Не зря говорят: близок локоть, а не укусишь. Проходили года, десятилетия, века, и задача Ферма представлялась все более удивительной и заманчивой. Вроде бы простенькая, она оказалась не по зубам стремительно наращивающему мускулы прогрессу. Человек уже расщепил атом, добрался до гена, ступил на Луну, а Ферма не давался, продолжая манить потомков ложными надеждами.

Однако попытки одолеть научную вершину не прошли даром. Первый шаг сделал великий Эйлер, доказав теорему для четвертой степени, затем для третьей. В конце XIX века немец Эрнст Куммер довел число степеней до ста. Наконец, вооружившись компьютерами, ученые увеличили эту цифру до 100 тысяч. Но Ферма-то говорил о любых степенях. В этом состояла вся загвоздка.

Конечно, мучились ученые над задачей не из-за спортивного интереса. Знаменитый математик Давид Гильберт говорил, что теорема - это пример, как вроде бы малозначительная проблема может оказать на науку огромное влияние. Работая над ней, ученые открыли совершенно новые математические горизонты, например, были заложены фундаменты теории чисел, алгебры, теории функций.

И все же Великая теорема была в 1995 году покорена. Ее решение представил американец из Принстонского университета Эндрю Уайлс, и оно официально признано научным сообществом. Более семи лет жизни отдал он, чтобы найти доказательство. По мнению ученых, эта выдающаяся работа свела воедино труды многих математиков, восстановив утраченные связи между разными ее разделами.

Итак, вершина взята, и наука ответ получила, - сказал корреспонденту "РГ" ученый секретарь Отделения математики Российской академии наук, доктор технических наук Юрий Вишняков. - Теорема доказана, пусть и не простейшим способом, на чем настаивал сам Ферма. А теперь желающие могут печатать свои варианты.

Однако семейство "фермистов" вовсе не собирается признавать доказательство Уайлса. Нет, они не опровергают решение американца, ведь оно очень сложное, а потому понятно лишь узкому кругу специалистов. Но не проходит недели, чтобы в Интернете ни появилось новое откровение очередного энтузиаста, "наконец-то поставившего точку в многолетней эпопее".

Кстати, буквально вчера в редакцию "РГ" позвонил один из старейших в нашей стране "фермистов" Всеволод Ярош: "А вы знаете, что теорему Ферма я доказал еще до Уайлса. Более того, потом нашел у него ошибку, о чем написал выдающемуся нашему математику академику Арнольду с просьбой напечатать об этом в научном журнале. Теперь жду ответа. Переписываюсь по этому поводу и с французской академией наук".

И вот только что, как сообщается в ряде СМИ, с "легким изяществом раскрыл великую тайну математики", еще один энтузиаст - бывший генеральный конструктор ПО "Полет" из Омска, доктор технических наук Александр Ильин. Решение оказалось настолько простым и коротким, что поместилось на маленьком участке газетной площади одного из центральных изданий.

Редакция "РГ" обратилась в ведущий в стране Институт математики им. Стеклова РАН с просьбой оценить это решение. Ученые были категоричны: нельзя комментировать газетную публикацию. Но после долгих уговоров и учитывая повышенный интерес к знаменитой задаче, согласились. По их словам, в опубликованном очередном доказательстве допущено несколько принципиальных ошибок. Кстати, их вполне мог бы заметить даже студент математического факультета.

И все же редакция хотела получить информацию из первых рук. Тем более что вчера в академии авиации и воздухоплавания Ильин должен был представить свое доказательство. Однако оказалось, что о такой академии мало кто знает даже среди специалистов. А когда все-таки с величайшим трудом удалось разыскать телефон ученого секретаря этой организации, то, как выяснилось, он даже не подозревал, что именно у них должно состояться столь историческое событие. Словом, корреспонденту "РГ" стать свидетелем мировой сенсации так и не удалось.

Ивлиев Ю.А.

Статья посвящена описанию принципиальной математической ошибки, допущенной в процессе доказательства Великой теоремы Ферма в конце ХХ века. Обнаруженная ошибка не только искажает истинный смысл теоремы, но и препятствует развитию нового аксиоматического подхода к исследованию степеней чисел и натурального ряда чисел.

В 1995 году вышла статья , по размеру похожая на книгу и сообщавшая о доказательстве знаменитой Великой (Последней) теоремы Ферма (ВТФ) (об истории теоремы и попытках ее доказать см., например, ). После этого события появилось множество научных статей и научно-популярных книг, пропагандирующих это доказательство, однако ни в одном из этих трудов не была вскрыта принципиальная математическая ошибка в нем, вкравшаяся даже не по вине автора , а по какому-то странному оптимизму, охватившему умы математиков, занимавшихся указанной проблемой и смежными с ней вопросами. Психологические аспекты этого феномена были исследованы в . Здесь же дается детальный анализ произошедшей оплошности, которая носит не частный характер, а является следствием неправильного понимания свойств степеней целых чисел. Как показано в , проблема Ферма коренится в новом аксиоматическом подходе к изучению этих свойств, который до сих пор в современной науке не применялся. Но на его пути встало ошибочное доказательство , предоставившее специалистам по теории чисел ложные ориентиры и уводящее исследователей проблемы Ферма в сторону от ее прямого и адекватного решения. Данная работа посвящена устранению этого препятствия.

1. Анатомия ошибки, допущенной в ходе доказательства ВТФ

В процессе очень длинных и утомительных рассуждений первоначальное утверждение Ферма было переформулировано в терминах сопоставления диофантова уравнения p -ой степени с эллиптическими кривыми 3-его порядка (см. Теоремы 0.4 и 0.5 в ). Такое сопоставление заставило авторов фактически коллективного доказательства в объявить о том, что их метод и рассуждения приводят к окончательному решению проблемы Ферма (напомним, что ВТФ не имела признанных доказательств для случая произвольных целых степеней целых чисел вплоть до 90-х годов прошлого столетия). Целью данного рассмотрения является установление математической некорректности указанного выше сопоставления и, как результат проведенного анализа, нахождение принципиальной ошибки в доказательстве, предъявленном в .

а) Где и в чем ошибка?

Итак, будем идти по тексту , где на с.448 говорится, что после «остроумной идеи» Г.Фрея (G.Frey) открылась возможность доказательства ВТФ. В 1984 году Г.Фрей предположил и

К.Рибет (K.Ribet) позднее доказал, что предполагаемая эллиптическая кривая, представляющая гипотетическое целое решение уравнения Ферма,

y 2 = x(x + u p)(x - v p) (1)

не может быть модулярной. Однако А.Уайлс (A.Wiles) и Р.Тейлор (R.Taylor) доказали, что всякая полустабильная эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел, является модулярной. Отсюда следовал вывод о невозможности целочисленных решений уравнения Ферма и, следовательно, о справедливости утверждения Ферма, которое в обозначениях А.Уайлса записывалось как Теорема 0.5: пусть имеется равенство

u p + v p + w p = 0 (2)

где u, v , w - рациональные числа, целый показатель p ≥ 3; тогда (2) выполняется, только если uvw = 0 .

Теперь, по-видимому, следует вернуться назад и критически осмыслить, почему кривая (1) была априори воспринята как эллиптическая и какова ее реальная связь с уравнением Ферма. Предвидя этот вопрос, А.Уайлс ссылается на работу И.Эллегуарша (Y.Hellegouarch) , в которой тот нашел способ сопоставить уравнению Ферма (предположительно решаемому в целых числах) гипотетическую кривую 3-его порядка. В отличие от Г.Фрея И.Эллегуарш не связывал свою кривую с модулярными формами, однако его метод получения уравнения (1) был использован для дальнейшего продвижения доказательства А.Уайлса.

Остановимся подробнее на работе . Свои рассуждения автор проводит в терминах проективной геометрии. Упрощая некоторые его обозначения и приводя их в соответствие с , находим, что абелевой кривой

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

сопоставляется диофантово уравнение

x p + y p + z p = 0 (4)

где x , y, z - неизвестные целые числа, p - целый показатель из (2), а решения диофантова уравнения (4) α p , β p , γ p используются для записи абелевой кривой (3).

Теперь, чтобы удостовериться в том, что это кривая эллиптическая 3-его порядка, необходимо рассмотреть переменные X и Y в (3) на евклидовой плоскости. Для этого воспользуемся известным правилом арифметики эллиптических кривых: если имеются две рациональные точки на кубической алгебраической кривой и прямая, проходящая через эти точки, пересекает эту кривую еще в одной точке, то последняя также является рациональной точкой. Гипотетическое уравнение (4) формально представляет собой закон сложения точек на прямой. Если сделать замену переменных x p = A, y p = B, z p = C и направить полученную таким образом прямую по оси X в (3), то она пересечет кривую 3-ей степени в трех точках: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0), (X = - γ p , Y = 0), что и отражено в записи абелевой кривой (3) и в аналогичной записи (1). Однако, является ли кривая (3) или (1) на самом деле эллиптической? Очевидно, что нет, потому что отрезки евклидовой прямой при сложении точек на ней взяты в нелинейном масштабе.

Возвращаясь к линейным координатным системам евклидова пространства, получаем вместо (1) и (3) формулы, весьма отличные от формул для эллиптических кривых. Например, (1) может быть следующей формой:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)

где ξ p = x, η p = y, и апелляция к (1) в таком случае для вывода ВТФ представляется неправомерной. Несмотря на то, что (1) удовлетворяет некоторым критериям класса эллиптических кривых, все же самому главному критерию быть уравнением 3-ей степени в линейной системе координат оно не удовлетворяет.

б) Классификация ошибки

Итак, еще раз вернемся к началу рассмотрения и проследим, как делается в вывод об истинности ВТФ. Во-первых, предполагается, что существует некое решение уравнения Ферма в положительных целых числах. Во-вторых, это решение произвольно вставляется в алгебраическую форму известного вида (плоскую кривую 3-ей степени) в предположении, что полученные таким образом эллиптические кривые существуют (второе неподтвержденное предположение). В-третьих, поскольку другими методами доказывается, что построенная конкретная кривая немодулярна, то, значит, она не существует. Отсюда следует заключение: целочисленного решения уравнения Ферма нет и, следовательно, ВТФ верна.

В этих рассуждениях есть одно слабое звено, которое после детальной проверки оказывается ошибкой. Эта ошибка совершается на втором этапе процесса доказательства, когда предполагается, что гипотетическое решение уравнения Ферма является одновременно и решением алгебраического уравнения 3-ей степени, описывающего эллиптическую кривую известного вида. Само по себе такое предположение было бы оправданным, если бы указанная кривая действительно являлась эллиптической. Однако, как видно из п.1а), эта кривая представлена в нелинейных координатах, что делает ее «иллюзорной», т.е. реально не существующей в линейном топологическом пространстве.

Теперь надо четко классифицировать найденную ошибку. Она заключается в том, что в качестве аргумента доказательства приводится то, что нужно доказать. В классической логике эта ошибка известна как «порочный круг». В данном случае целочисленное решение уравнения Ферма сопоставляется (по-видимому, предположительно однозначно) с фиктивной, несуществующей эллиптической кривой, а потом весь пафос дальнейших рассуждений уходит на то, чтобы доказать, что конкретная эллиптическая кривая такого вида, полученная из гипотетических решений уравнения Ферма, не существует.

Как же так получилось, что в серьезной математической работе была пропущена столь элементарная ошибка? Наверно, это произошло из-за того, что ранее в математике не изучались «иллюзорные» геометрические фигуры указанного вида. Действительно, кого могла заинтересовать, например, фиктивная окружность, полученная из уравнения Ферма заменой переменных x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C ? Ведь ее уравнение C 2 = A 2 + B 2 не имеет целочисленных решений при целых x, y, z и n ≥ 3 . В нелинейных координатных осях X и Y такая окружность описывалась бы уравнением, по внешнему виду очень похожему на стандартную форму:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

где A и B уже не переменные, а конкретные числа, определяемые указанной выше заменой. Но если числам A и B придать первоначальный вид, заключающийся в их степенном характере, то сразу же бросается в глаза неоднородность обозначений в сомножителях правой части уравнения. Этот признак помогает отличить иллюзию от действительности и перейти от нелинейных координат к линейным. С другой стороны, если рассматривать числа как операторы при их сравнении с переменными, как например в (1), то те и другие должны быть однородными величинами, т.е. должны иметь одинаковые степени.

Такое понимание степеней чисел как операторов позволяет также увидеть, что сопоставление уравнения Ферма иллюзорной эллиптической кривой не является однозначным. Возьмем, к примеру, один из сомножителей в правой части (5) и разложим его на p линейных сомножителей, введя такое комплексное число r, что r p = 1 (см. например ):

ξ p + u p = (ξ + u )(ξ + ru )(ξ + r 2 u )...(ξ + r p-1 u ) (6)

Тогда форму (5) можно представить в виде разложения на простые сомножители комплексных чисел по типу алгебраического тождества (6), однако единственность такого разложения в общем случае стоит под вопросом, что и было в свое время показано Куммером .

2. Выводы

Из предыдущего анализа следует, что так называемая арифметика эллиптических кривых не способна пролить свет на то, где надо искать доказательство ВТФ. После работы утверждение Ферма, кстати, взятое эпиграфом к этой статье, стало восприниматься, как историческая шутка или розыгрыш. Однако на деле оказывается, что пошутил не Ферма, а специалисты, собравшиеся на математический симпозиум в Обервольфахе в Германии в 1984 году, на котором Г.Фрей озвучил свою остроумную идею. Последствия такого неосторожного заявления привели математику в целом на грань утраты ею общественного доверия, что подробно описано в и что с необходимостью ставит перед наукой вопрос об ответственности научных учреждений перед обществом. Сопоставление уравнения Ферма кривой Фрея (1) является «замкóм» всего доказательства Уайлса относительно теоремы Ферма, и, если нет соответствия между кривой Ферма и модулярными эллиптическими кривыми, то значит нет и доказательства.

В последнее время появляются различные интернет-сообщения о том, будто бы некоторые видные математики, наконец-то, разобрались с доказательством Уайлса теоремы Ферма, придумав ему оправдание в виде «минимального» пересчета целых точек в евклидовом пространстве. Однако никакие новшества не в силах отменить классические результаты, уже добытые человечеством в математике, в частности, тот факт, что хотя любое порядковое число и совпадает с его количественным аналогом, оно не может быть ему заменой в операциях сравнения чисел между собой, а отсюда с неизбежностью следует вывод, что кривая Фрея (1) не является эллиптической изначально, т.е. не является ею по определению.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Ивлиев Ю.А. Реконструкция нативного доказательства Великой теоремы Ферма - Объединенный научный журнал (раздел «Математика»). Апрель 2006 № 7 (167) с.3-9, см. также Працi Луганського вiддiлення Мiжнародноϊ Академiϊ iнформатизацiϊ. Мiнiстерство освiти та науки Украϊни. Схiдноукраϊнський нацiональний унiверситет iм. В.Даля. 2006 № 2 (13) с.19-25.
2. Ивлиев Ю.А. Величайшая научная афера ХХ века: «доказательство» Последней теоремы Ферма - Естественные и технические науки (раздел «История и методология математики»). Август 2007 № 4 (30) с.34-48.
3. Эдвардс Г. (Edwards H.M.) Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Пер. с англ. под ред. Б.Ф.Скубенко. М.: Мир 1980, 484 с.
4. Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI p.253-263.
5. Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat´s Last Theorem - Annals of Mathematics. May 1995 v.141 Second series № 3 p.443-551.

Библиографическая ссылка

В 17 веке во Франции жил юрист и по совместительству математик Пьер Ферма, который отдавал своему увлечению долгие часы досуга. Как-то зимним вечером, сидя у камина, он выдвинул одно прелюбопытнейшее утверждение из области теории чисел – именно оно в дальнейшем было названо Великой или Большой теоремой Ферма. Возможно, ажиотаж не был бы настолько весомым в математических кругах, не случись одно событие. Математик часто проводил вечера за штудированием любимой книги Диофанта Александрийского «Арифметика» (3 век), при этом записывал на ее полях важные мысли – этот раритет бережно сохранил для потомков его сын. Так вот, на широких полях этой книги рукой Ферма была оставлена такая надпись: «У меня есть довольно поразительное доказательство, но оно слишком большое, чтобы его можно было поместить на полях». Именно эта запись стала причиной ошеломительного ажиотажа вокруг теоремы. У математиков не вызывало сомнений, что великий ученый заявил о том, что доказал собственную теорему. Вы наверняка задаетесь вопросом: «Неужели он на самом деле ее доказал, или это была банальная ложь, а может есть другие версии, зачем эта запись, не дававшая умиротворенно спать математикам последующих поколений, оказалась на полях книги?».

Суть Великой теоремы

Довольно известная теорема Ферма проста по своей сути и заключается в том, что при условии, когда n больше двойки, положительного числа, уравнение Х n +Y n =Z n не будет иметь решений нулевого типа в рамках натуральных чисел. В этой с виду простой формуле была замаскирована невероятная сложность, и на ее доказательством бились целых три века. Есть одна странность – теорема опоздала с рождением на свет, так как ее частный случай при n=2 появился еще 2200 лет тому назад – это не менее знаменитая теорема Пифагора.

Необходимо отметить, что история, касающаяся всем известной теоремы Ферма, является очень поучительной и занимательной, причем не только для ученых-математиков. Что самое интересное, так это то, что наука являлась для ученого не работой, а простым хобби, которое в свою очередь, доставляла Фермеру огромное удовольствие. Также он постоянно поддерживал связь с ученым-математиком, а по совместительству, еще и другом, делился идеями, но как ни странно, собственные работы опубликовывать в свет не стремился.

Труды математика Фермера

Что касается самих работ Фермера, то их обнаружили именно в форме обычных писем. Местами не было целых страниц, и сохранились лишь обрывки переписок. Более интересен тот факт, что на протяжении трех веков ученые искали ту теорему, которая была обнаружена в трудах Фермера.

Но кто бы не решался ее доказать, попытки сводились к «нулю». Известный математик Декарт и вовсе обвинял ученого в хвастовстве, но все это сводилось лишь к самой обычной зависти. Помимо создания, Фермер еще и доказал собственную теорему. Правда решение было найдено для того случая, где n=4. Что касается случая для n=3, то его выявил математик Эйлер.

Как пытались доказать теорему Фермера

В самом начале 19 века данная теорема продолжила свое существование. Математики нашли много доказательств теорем, которые ограничивались натуральными числами в пределах двухсот.

А в 1909 году была поставлена на кон довольно крупная сумма, равная ста тысячам маркам немецкого происхождения – и все это только лишь за то, чтобы решить вопрос, связанный с этой теоремой. Сам фонд призовой категории был оставлен богатым любителем математики Паулем Вольфскелем, родом из Германии, кстати, именно он хотел «наложить на себя руки», но благодаря такой вовлеченности в теорему Фермера, захотел жить. Возникший ажиотаж породил тонны «доказательств», заполонивших германские университеты, а в кругу математиков родилось прозвище «фермист», которым полупрезрительно называли всякого амбициозного выскочку, не сумевшего привести явные доказательства.

Гипотеза японского математика Ютаки Танияма

Сдвигов в истории Великой теоремы до середины 20 столетия так и не наблюдалось, но одно занимательное событие все-таки произошло. В 1955 году математик из Японии Ютака Танияма, которому было 28 лет, явил миру утверждение из абсолютно другой математической области – его гипотеза в отличие от Ферма опередило свое время. Она гласит: «Каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма». Вроде бы абсурд для каждого математика, подобно, что дерево состоит из определенного металла! Парадоксальную гипотезу, как и большинство прочих ошеломляющих и гениальных открытий, не приняли, так как еще попросту не доросли до нее. И Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством, спустя три года – поступок необъяснимый, но, вероятно, честь для истинного гения-самурая была превыше всего.

Целое десятилетие о гипотезе не вспоминали, но в семидесятые она поднялась на пик популярности – ее подтверждали все, кто мог в ней разобраться, но, как и теорема Ферма, она оставалась недоказанной.

Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма

Спустя 15 лет в математике произошло ключевое событие, и оно объединило гипотезу прославленного японца и теорему Ферма. Герхард Грей заявил, что когда будет доказана гипотеза Танияма, тогда и найдутся доказательства теоремы Ферма. То есть последняя – это следствие гипотезы Танияма, и уже через полтора года профессором университета в Калифорнии Кеннетом Рибетом теорема Ферма была доказана.

Шло время, регресс заменялся прогрессом, а наука стремительно продвигалась вперед, особенно в области компьютерных технологий. Таким образом, значение n стало все больше повышаться.

В самом конце 20 века самые мощные компьютеры находились в лабораториях военного направления, было осуществлено программирование на вывод решения задачи всем известного Ферма. Как следствие всем попыткам было выявлено то, что данная теорема правильная для многих значений n, x, y. Но, к сожалению, окончательным доказательством это не стало, так как не было конкретики как таковой.

Джон Уайлс доказал великую Теорему Ферма

И вот, наконец, только в конце 1994 года, математик из Англии, Джон Уайлс нашел и продемонстрировал точное доказательство спорной теоремы Фермера. Тогда, после множества доработок, дискуссии по этому поводу пришли к своему логическому завершению.

Опровержение было размещено на более ста страницах одного журнала! Причем теорема была доказана на более современном аппарате высшей математики. И что удивительно, на тот момент, когда Фермер писал свой труд, такого аппарата в природе не существовало. Словом, человек был признан гением в этой области, с чем поспорить не мог никто. Несмотря на все что было, на сегодняшний день можно быть уверенными в том, что представленная теорема великого ученого Фермера оправдана и доказана, и споры и на эту тему не заведет ни одни математик со здравым смыслом, с чем согласны даже самые заядлые скептики всего человечества.

Полное имя человека, в честь которого была названа представленная теорема, звали Пьер де Фермер. Он внес свой вклад в самые разнообразные области математики. Но, к сожалению, большинство его трудов были опубликованы только после его смерти.

Много лет назад я получил письмо из Ташкента от Валерия Муратова, судя по почерку, человека юношеского возраста, проживавшего тогда на улице Коммунистической в доме № 31. Парень был настроен решительно: "Сразу к делу. Сколько вы мне заплатите за доказательство теоремы Ферма? Меня устраивает не менее 500 рублей. В другое время я бы доказал вам бесплатно, но сейчас мне нужны деньги..."

Удивительный парадокс: мало кто знает, кто такой Ферма, когда он жил и что сделал. Еще меньше людей могут даже в самых общих словах описать его великую теорему. Но всем известно, что есть какая-то теорема Ферма, над доказательством которой математики всего мира бьются уже более 300 лет, а доказать не могут!

Людей честолюбивых много, и само сознание того, что есть нечто, чего другие сделать не могут, еще больше подстегивает их честолюбие. Поэтому в академии, научные институты и даже редакции газет всего мира приходили и приходят тысячи (!) доказательств Великой теоремы, — невиданный и никем никогда не побитый рекорд псевдонаучной самодеятельности. Существует даже термин: "ферматисты", т. е. люди, одержимые желанием доказать Великую теорему, которые совершенно измучили математиков-профессионалов требованиями оценить их труды. Известный немецкий математик Эдмунд Ландау даже заготовил стандартку, по которой и отвечал: "В вашем доказательстве теоремы Ферма ошибка на странице... ", а номер страницы проставляли его аспиранты. И вот летом 1994 года газеты всего мира сообщают нечто совершенно сенсационное: Великая теорема доказана!

Итак, кто такой Ферма, в чем суть проблемы и решена ли она действительно? Пьер Ферма родился в 1601 году в семье кожевника, человека состоятельного и уважаемого, — он занимал должность второго консула в родном городке Бомоне, — это что-то вроде помощника мэра. Пьер учился сначала у монахов-францисканцев, потом на юридическом факультете в Тулузе, где затем занимался адвокатурой. Однако круг интересов Ферма выходил далеко за рамки юриспруденции. Особенно занимала его классическая филология, известны его комментарии к текстам древних авторов. И вторая страсть — математика.

В XVII веке, как, впрочем, и долгие годы спустя, не существовало такой профессии: математик. Поэтому все великие математики того времени были математиками "по совместительству": Рене Декарт служил в армии, Франсуа Виет был юристом, Франческо Кавальери — монахом. Научных журналов тогда не было, и классик науки Пьер Ферма при жизни не опубликовал ни одной научной работы. Существовал достаточно узкий круг "любителей", которые решали разные для них интересные задачи и писали по этому поводу письма друг другу, иногда спорили (как Ферма с Декартом), но, в основном, оставались единомышленниками. Они и стали основателями новой математики, сеятелями гениальных зерен, из которых пошло в рост, набирая силу и ветвясь, могучее древо современных математических знаний.

Так вот, таким же "любителем" был и Ферма. В Тулузе, где он прожил 34 года, все знали его, прежде всего, как советника следственной палаты и опытнейшего юриста. В 30 лет он женился, имел трех сыновей и двух дочерей, иногда отлучался в служебные командировки и во время одной из них скоропостижно скончался в возрасте 63 лет. Все! Жизнь этого человека, современника "Трех мушкетеров", удивительна бедна событиями и лишена приключений. Приключения достались на долю его Великой теоремы. Не будем говорить обо всем математическом наследии Ферма, да и трудно рассказать о нем популярно. Поверьте на слово: наследие это велико и разнообразно. Утверждение, что Великая теорема — вершина его творчества, весьма спорно. Просто судьба Великой теоремы удивительно интересна, и огромный мир людей, непосвященных в таинства математики, всегда интересовала не сама теорема, а все, что вокруг нее...

Корни всей этой истории надо искать в античности, столь любимой Ферма. Примерно в III веке жил в Александрии греческий математик Диофант, — ученый своеобразно, нестандартно мыслящий и нестандартно мысли свои излагающий. Из 13 томов его "Арифметики" до нас дошло только 6. Как раз, когда Ферма исполнилось 20 лет, вышел новый перевод его сочинений. Ферма очень увлекался Диофантом, и эти сочинения были его настольной книгой. На ее полях Ферма и записал свою Великую теорему, которая в самом простом современном виде выглядит так: уравнение Xn + Yn = Zn не имеет решения в целых числах при п — больше 2. (При п = 2 решение очевидно: З2 + 42 = 52). Там же, на полях Диофантова тома, Ферма добавляет: "Я открыл это поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки".

На первый взгляд, вещица простенькая, но когда другие математики начали доказывать эту "простенькую" теорему, ни у кого ничего не получалось лет сто. Наконец, великий Леонард Эйлер доказал ее для п = 4, потом через 20 (!) лет — для п = 3. И снова работа застопорилась на многие годы. Следующая победа принадлежит немцу Петеру Дирихле (1805—1859) и французу Андриену Лежандру (1752—1833), — они признали, что Ферма прав при п = 5. Потом француз Габриель Ламе (1795—1870) сделал то же для п = 7. Наконец, в середине прошлого века немец Эрнст Куммер (1810—1893) доказал Великую теорему для всех значений п меньше или равных 100. Причем доказал методами, которые не могли быть известны Ферма, чем еще более усилил флер таинственности вокруг Великой теоремы.

Таким образом, получалось, что доказывали теорему Ферма "по кусочкам", а "целиком" ни у кого не получалось. Новые попытки доказательств приводили лишь к количественному увеличению значений п. Все понимали, что, затратив бездну труда, можно доказать Великую теорему для сколь угодно большого числа п, но Ферма-то говорил о любом его значении больше 2! Вот в этой-то разнице между "сколько угодно большим" и "любым" и сосредотачивался весь смысл проблемы.

Однако надо отметить, что попытки доказать теорему Фермга не были просто некоей математической игрой, рсшсением сложного ребуса. В процессе этих доказательств открывались новые математичес кие горизонты, возникали и решались задачи, становившиеся новыми ветгвями математического древа. Великий немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) приводил Великую теорему, как пример того, "какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первыш взгляд малозначительная проблема". Тот же Куммер, работая над теоремой Ферма, сам доказал теоремы, которые легли в фундамент теории чисел, алгебры и теории функций. Так что доказательство Великой теорсемы — не спорт, а настоящая наука.

Время шло, и на помощь профеессиональным "фсрматнтстам" пришла электроника. Электронные мозги но)вых методов выдумать не могли, но зато брали скоростыю. Примерно к началу 80-х годов теорема Ферма с помощью ЭВМ была доказана для n меньше или равной 5500. Постепенно эта цифра выросла до 100 000, но все понимали, что подобное "накопление" — дело чисстой техники, ничего не дающее ни уму ни сердцу. Крепость Великой теоремы "в лоб" взять не смогли щ начали искать обходные маневрья.

В середине 80-х годов молодой немеадкий математик Г. Филытингс доказал так называемую "гипотезу Морделла", которая, кстати, тоже "не давалась в руки" никому из математиков 61 год. Возникла надежда, что теперь, так сказать, "атакой с фланга", может быть решена и теорема Ферма. Однако тогда ничего не получилось. В 1986 году немецкий математик Герхард Фрей в Эссеще предложил новый метод доказательства. Не берусь объяснить его строго, но не на маатематическом, а на общечеловеческом языке он звучит примерно так: если мы убедимся, что доказательство некой другой теоремы есть косвенное, неким образом трансформированное доказательство теоремы Ферма, то, следовательно, мы докажем Великую теорему. Через год американец Кеннет Рибет из Беркли показал, что Фрей прав и, действительно, можно одно доказательство свести к другому. По этому пути пошли многие математики в разных странах мира. У нас очень много для доказательства Великой теоремы сделал Виктор Александрович Колыванов. Трехсотлетние стены неприступной крепости зашатались. Математики поняли, что долго она не устоит.

Летом 1993 года в старинном Кембридже, в Институте математических наук имени Исаака Ньютона собрались 75 виднейших математиков мира, чтобы обсудить свои проблемы. Среди них был и американский профессор Эндрю Уайлс из Принстонскош университета, — крупный специалист в теории чисел. Все знали, что он уже много лет занимается Великой теоремой. Уайлс сделал три доклада и на последнем — 23 июня 1993 года — в самом конце, отвернувшись от доски, сказал с улыбкой:

— Пожалуй, я продолжать не буду...

Вначале наступила мертвая тишина, затем — обвал аплодисментов. Сидящие в зале были достаточно квалифицированы, чтобы понять: Великая теорема Ферма доказана! Во всяком случае, никто из присутствующих не обнаружил в приведенном доказательстве каких-либо погрешностей. Заместитель директора Ньютоновского института Питер Годдард заявил журналистам:

— Большинство экспертов не думали, что узнают разгадку до конца своей жизни. Это одно из крупнейших достижений математики нашего столетия...

Прошло несколько месяцев, никаких замечаний и опровержений не последовало. Правда, Уайлс доказательства своего не опубликовал, а лишь разослал, так называемые, припринты своей работы очень узкому кругу своих коллег, что, естественно, мешает математикам комментировать эту научную сенсацию, и я понимаю академика Людвига Дмитриевича Фаддеева, который сказал:

— Смогу утверждать, что сенсация произошла, когда увижу доказательство своими глазами.

Фаддеев считает, что вероятность победы Уайлса весьма велика.

— Мой отец, известный специалист в теории чисел, был, например, уверен, что теорема будет доказана, но не элементарными средствами, — добавил он.

Скептически отнесся к новости другой наш академик, — Виктор Павлович Маслов, который считает, что доказательство Великой теоремы вообще не является актуальной математической проблемой. По своим научным интересам Маслов — председатель совета по прикладной математике — далек от "ферматистов", и, когда он говорит о том, что полное решение Великой теоремы представляет лишь спортивный интерес, его понять можно. Однако смею заметить, что понятие актуальности в любой науке есть величина переменная. 90 лет назад Резерфорду, наверное, тоже говорили: "Ну, хорошо, ну теория радиоактивного распада... И что? Какой от нее прок?.."

Работа над доказательством Великой теоремы уже дала очень много математике, и можно надеется, что даст еще.

— То, что сделал Уайлс, продвинет математиков в другие области, — сказал Питер Годдард. — Скорее, это не закрывает одно из направлений мысли, а ставит новые вопросы, которые потребуют ответа...

Профессор МГУ Михаил Ильич Зеликин так объяснил мне сегодняшнюю ситуацию:

Никто не видит в работе Уайлса каких-то ошибок. Но чтобы работа эта стала научным фактом, необходимо, чтобы несколько авторитетных математиков независимо друг от друга повторили это доказательство и подтвердили его правильность. Это непременное условие осознания работы Уайлса математической общественностью...

Как много времени потребуется для этого?

Этот вопрос я задал одному из ведущих наших специалистов в области теории чисел, доктору физико-математических наук Алексею Николаевичу Паршину.

— У Эндрю Уайлса еще много времени впереди...

Дело в том, что 13 сентября 1907 года немецкий математик П. Вольфскель, который, в отличие от подавляющего большинства математиков, был человек богатый, завещал тому, кто в ближайшие 100 лет докажет Великую теорему, 100 тысяч марок. В начале века проценты с завещанной суммы шли в казну знаменитого Гетгангентского университета. На эти деньги приглашали ведущих математиков для чтения лекций, вели научную работу. В то время председателем комиссии по присуждению премии был уже упоминавшийся мною Давид Гильберт. Выплачивать премию ему очень не хотелось.

— К счастью, — говорил великий математик, — кажется, у нас нет математика, кроме меня, которому была бы под силу эта задача, я же никогда не решусь зарезать курицу, которая несет нам золотые яйца-

До срока — 2007 года, обозначенного Вольфскелем, осталось немного лет, и, мне кажется, над "курицей Гильберта" нависла серьезная опасность. Но не в премии, собственно, дело. Дело в пытливости мысли и человеческом упорстве. Триста с лишним лет бились, а все же доказали!

И еще. Для меня самое интересное во всей этой истории: как доказал свою Великую теорему сам Ферма? Ведь все сегодняшние математические ухищрения были ему неведомы. И доказал ли он ее вообще? Ведь есть версия, что доказал вроде бы, но сам нашел ошибку, а потому и доказательства другим математикам рассылать не стал, а зачеркнуть запись на полях Диофантова тома забыл. Поэтому, мне кажется, что доказательство Великой теоремы, очевидно, состоялось, но тайна теоремы Ферма осталась, и вряд ли мы когда-нибудь раскроем ее...

Может быть, Ферма и ошибся тогда, но он не ошибался, когда писал: "Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям..."

Главная » Глаголы » Как доказать теорему ферма. Разоблачаем! Великая теорема Ферма доказана? Работа Шимуры и Таниямы