Синус между ребром и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между прямой и плоскостью считается нулевым. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними по определению считается равным `90^@`. Если вектор `vecn(a;b;c)` перпендикулярен плоскости `alpha`, то угол `varphi` между этой плоскостью и прямой `a`, проходящей через точки `A` и `B`, определяется из равенства

`sinvarphi=|cos(vecn,vec(AB))|=|(vecn*vec(AB))/(|vecn|*|vec(AB)|)|`.

Пусть ребро куба имеет длину`a`. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке `D` и базисом `{vece_1,vece_2,vece_3}`, где векторы `vece_1,vece_2,vece_3` имеют единичные длины и сонаправлены с векторами `vec(DA)`, `vec(DC)`, `vec(D D_1)` (см. рис. 12). В этой системе координат вершины куба имеют координаты: `A(a,0,0)`, `B(a,a,0)`, `C(0,a,0)`, `D(0,0,0)`, `A_1(a,0,a)`, `B_1(a,a,a)`, `C_1(0,a,a)`, `D_1(0,0,a)`.

Направляющий вектор прямой `BD_1` - вектор `vec(BD_1)=(-a,-a,a)`.

Составим уравнение плоскости `BC_1D`. Пусть оно имеет вид `a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0`. Эта плоскость проходит через три точки: `(0, 0, 0)`, `(a , a , 0)` и `(0, a,a)`, подставляем координаты этих точек в уравнение плоскости и получаем систему уравнений:

d 1 = 0 , a · a 1 + a · b 1 + d 1 = 0 , a · b 1 + a · c 1 + d 1 = 0 . \left\{\begin{array}{l}d_1=0,\\a\cdot a_1+a\cdot b_1+d_1=0,\\a\cdot b_1+a\cdot c_1+d_1=0.\end{array}\right.

Находим `a_1=-b_1=c_1`, `d_1=0`. Тогда уравнение этой плоскости будет `x-y+z=0`, `vecn=(1,-1,1)`.

Искомый угол равен

`sinvarphi=((1*(-a)+(-1)*(-a)+1*a))/(asqrt(1^2+(-1)^2+1^2))=a/(3a)=1/3`,

т. е. `varphi=arcsin 1/3`.

При геометрическом способе нахождения угла между наклонной `a` и плоскостью `alpha`, пересекающей эту наклонную в некоторой точке `O`, выбирают какую-нибудь точку `A` прямой `a` и опускают из неё перпендикуляр `A A^"` на плоскость `alpha`. Угол `AOA^"` будет искомым углом между прямой `a` и плоскостью `alpha`. Для его нахождения можно использовать значения тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника `AOA^"` или теорему косинусов.

Задача 11

В правильной шестиугольной призме `A...F_1`, все рёбра которой равны `1`, найти угол между прямой `CD_1` и плоскостью `AB B_1`.

Пусть `O_1` - центр верхнего основания (рис. 13), прямая `O_1H` перпендикулярна `A_1B_1`. Прямая `BO_1` параллельна `CD_1`. Искомый угол `varphi` равен углу `HBO_1`. В прямоугольном треугольнике `HBO_1` имеем `BO_1=sqrt2`, `O_1H=(sqrt3)/2`. Следовательно, `sinvarphi=(sqrt6)/4`.

С помощью векторов угол находится так. Пусть в пространстве заданы плоскость `alpha` с известным базисом `{veca,vecb}`, точка `A`, лежащая в этой плоскости, и точка `M` вне её, причём вектор `vec(AM)=vecr` предполагается известным (в том же базисе). Пусть `N` - ортогональная проекция точки `M` на плоскость `alpha` (рис. 14). Задача заключается в нахождении угла `MAN`. Представим вектор `vec(MN)` в виде разности векторов `vec(AN)` и `vec(AM)`, а затем, пользуясь компланарностью векторов `vec(AN)`, `veca` и `vecb`, запишем его в виде `vec(MN)=xveca+yvecb-vecr`, где `x` и `y` - неизвестные пока числа. Эти числа можно найти из условия перпендикулярности вектора `vec(MN)` векторам `veca` и `vecb`, т. е. из следующей системы уравнений:

X a → + y b → - r → · a → = 0 , x a → + y b → - r → · b → = 0 . \left\{\begin{array}{l}\left(x\overrightarrow a+y\overrightarrow b-\overrightarrow r\right)\cdot\overrightarrow a=0,\\\left(x\overrightarrow a+y\overrightarrow b-\overrightarrow r\right)\cdot\overrightarrow b=0.\end{array}\right.

Если `vec(AN)=vec0`, то, очевидно, прямая `AM` перпендикулярна плоскости `alpha`, иначе `cos/_(AM,alpha)=cos/_(AM,AN)=(|(xveca+yvecb)*vecr|)/(|xveca+yvecb|*|vecr|)`.

Задача 12

В кубе `A...D_1` найти угол между прямой `BD_1` и плоскостью `BC_1D`.

Пусть длина ребра куба равна `a`. Введём базис `veca=vec(DA)`, `vecb=vec(DC)`, `vecc=vec(D D_1` (рис. 15). Обозначим через `D_2` - ортогональную проекцию точки `D_1` н а плоскость `BC_1D` . Тогда `vec(D_1D_2)=x(veca+vecb)+y(vecb+vecc)+veca+vecb-vecc`.

Составим систему уравнений для нахождения неизвестных чисел `x` и `y`: x a → + b → + y b → + c → + a → + b → - c → a → + b → = 0 , x a → + b → + y b → + c → + a → + b → - c → b → + c → = 0 . \left\{\begin{array}{l}\left(x\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)=0,\\\left(x\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)=0.\end{array}\right.

Приведём эту систему к равносильной:

2 x + y + 2 = 0 , x + 2 y = 0 . \left\{\begin{array}{l}2x+y+2=0,\\x+2y=0.\end{array}\right.

Отсюда находим `x=-4/3`, `y=2/3`. Теперь найдём косинус искомого угла

`cosvarphi=(|vec(D_1B)*vec(BD_2)|)/(|vec(D_1B)|*|vec(BD_2)|)=(|(veca+vecb-vecc)(-4/3veca-2/3vecb+2/3vecc)|)/(sqrt((veca+vecb-vecc)^2)*sqrt((-4/3veca-2/3vecb+2/3vecc)^2))=`

`=(8/3 a^2)/(asqrt3*(2sqrt2)/(sqrt3)a)=(2sqrt2)/3`.

Следовательно, `/_(BD_1,BC_1D)=arccos (2sqrt2)/3`.

Тип задания: 14

Условие

На рёбрах AD и BD правильного тетраэдра DABC взяты точки M и K соответственно так, что MD:AM=BK:KD=2.

а) Пусть L — точка пересечения прямой KM с плоскостью ABC . Докажите, что AB:AL=3.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABC .

Решение

а) План решения.

1. Выполним схематический чертёж.

2. Сделаем предположение, что MK \perp BD, и докажем это утверждение (например, методом «от противного»).

3. Обозначим ребро тетраэдра какой-нибудь буквой (например, a ) и через неё выразим другие величины.

4. Рассмотрим треугольник AML , найдём его углы. Из равенства \angle AML=\angle ALM сделаем вывод о том, что треугольник равнобедренный: AL=AM.

5. Найдём отношение AB:AL.

Решение.

1. Так как MK и AB лежат в плоскости ABD , то они пересекутся, L — точка их пересечения.

2. В \triangle MDK,\, \angle MDK=60^{\circ}, MD=2DK, значит, MK \perp BD. Действительно, допустим, что это не так. Тогда опустим перпендикуляр MK", MK" \perp BD. В прямоугольном треугольнике MK"D по определению косинуса \frac{K"D}{MD}=\cos \angle MDK", K"D=MD \cos 60^{\circ}=\frac12MD. Но тогда точки K и K" совпадают. Получили противоречие. Значит, MK \perp BD.

3. Обозначим AB=AD=a, тогда MD =\frac23a, DK =\frac13a, AM=\frac13a.

4. \angle DMK=30^{\circ}. Следовательно, \angle AML=30^{\circ} (по свойству вертикальных углов). Так как \angle MLA= 180^{\circ}-\angle MAL-\angle AML= 180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}= 30^{\circ}, то \triangle AML — равнобедренный и AL=AM=\frac13a.

5. Тогда AB:AL=a:\frac13a=3.

Замечание. Вместо рассуждений, проведённых в пункте 4 , можно было рассмотреть прямоугольный треугольник LBK и воспользоваться свойством катета, лежащего против угла в 30^{\circ}.

б) План решения.

1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Построим проекцию отрезка KL на плоскость ABC . Для этого опустим перпендикуляр KH, KH \perp ABC, точка H лежит в плоскости ABC . HL — проекция KL .

2. Найдём \sin \angle KLH (из треугольника KHL ) и по синусу угла определим угол. Для этого выполним следующие действия.

2.1. Пусть O — центр основания ABC тетраэдра. Из подобия треугольников KHB и DOB найдём KH (для этого найдём DO ).

2.2. Из треугольника BKL найдём KL .

2.3. Из треугольника KHL найдём \sin \angle KLH и \angle KLH.

Решение.

1. Искомый угол равен углу KLH .

2. Найдём \sin \angle KLH =\frac{KH}{KL}

2.1. \triangle KHB \sim \triangle DOB. Следовательно,

KH= \frac23DO= \frac23\sqrt {BD^2-BO^2}= \frac23\sqrt{BD^2-\left(\frac23BF\right)^2}= \frac23\sqrt {a^2-\left(\frac23\cdot \left(\frac{a\sqrt 3}2\right) \right) ^2}= \frac{2\sqrt 2}{3\sqrt 3}\cdot a.

2.2. В прямоугольном треугольнике BKL,\, BL =\frac43a, BK=\frac23a найдём KL=\sqrt {BL^2-BK^2} =\frac{2\sqrt 3}3a.

2.3. \sin \angle KLH =\frac{KH}{KL}=\frac{\sqrt 2}{3}, \angle KLH=arcsin \frac{\sqrt 2}3.

Ответ

arcsin \frac{\sqrt 2}3.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Угол между прямой и плоскостью

Условие

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB=12,BC=5 . Боковые ребра SA= 3\sqrt{3},SB= \sqrt{171}, SD = 2\sqrt{13}.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между SC и BD .

Решение

а) Заметим, что треугольник SAB является прямоугольным, так как в нем SB^2=171=27+144=SA^2+AB^2. Аналогично треугольник SAD тоже является прямоугольным, поскольку SD^2=52=27+25=SA^2+AD^2. Получаем, что прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD , а значит, перпендикулярна плоскости основания ABCD .

б) Отложим на прямой AD за точку D отрезок DE , равный отрезку AD . Тогда в четырехугольнике BCED стороны BC и DE равны и параллельны. Следовательно, BCED является параллелограммом, поэтому BD\parallel CE , и угол между SC и BD будет равен углу между SC и CE .

По теореме Пифагора BD^2=AB^2+AD^2=144+25=169,

SC^2= SA^2+AC^2= SA^2+BD^2= 27+169= 196 ,

SE^2=SA^2+AE^2=27+100=127.

Значит, BD=CE=13, SC=14, SE=\sqrt{127}.

Пусть \angle SCE=\alpha. По теореме косинусов для треугольника SCE имеем: SE^2=SC^2+CE^2-2SC\cdot CE\cdot \cos \alpha,

\cos \alpha= \frac{SC^2+CE^2-SE^2}{2SC\cdot CE}= \frac{196+169-127}{2\cdot 13\cdot 14}= \frac{119}{182} .

Откуда \alpha=\arccos\frac{119}{182}.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Понятие угла между прямой и плоскостью можно ввести для любого взаимного расположения прямой и плоскости.

Если прямая l перпендикулярна плоскости, то угол между l и считается равным 90 .

Если прямая l параллельна плоскости или лежит в этой плоскости, то угол между l и считается равным нулю.

Если прямая l является наклонной к плоскости, то угол между l и это угол " между прямой l и её проекцией p на плоскость (рис. 39 ).

Рис. 39. Угол между прямой и плоскостью

Итак, запомним определение для этого нетривиального случая: если прямая является наклонной, то угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой

и её проекцией на данную плоскость.

7.1 Примеры решения задач

Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача уровень C2 на ЕГЭ по математике.

Задача 1. В правильном тетраэдре найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1 боковое ребро равно стороне основания. Найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1 .

Решение. Угол между прямой и плоскостью не изменится при параллельном сдвиге прямой. Поскольку CC1 параллельна AA1 , искомый угол " есть угол между прямой CC1 и плоскостью ABC1 (рис.41 ).

B 1"

Рис. 41. К задаче 2

Пусть M середина AB. Проведём высоту CH в треугольнике CC1 M. Покажем, что CH перпендикуляр к плоскости ABC1 . Для этого нужно предъявить две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные CH.

Первая прямая очевидна это C1 M. В самом деле, CH ? C1 M по построению.

Вторая прямая это AB. Действительно, проекцией наклонной CH на плоскость ABC служит прямая CM; при этом AB ? CM. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что AB ? CH.

Итак, CH ? ABC1 . Стало быть, угол между CC1 и ABC1 есть " = \CC1 H. Величину CH найдём из соотношения

C1 M CH = CC1 CM

(обе части этого соотношения равны удвоенной площади треугольника CC1 M). Имеем:

CM = a 2 3 ;

Остаётся найти угол ":

Ответ: arcsin 3 7 .

sin " = CH =3 : CC1 7

Задача 3. На ребре A1 B1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 взята точка K так, что A1 K: KB1 = 3: 1. Найдите угол между прямой AK и плоскостью BC1 D1 .

Решение. Сделав чертёж (рис. 42 , слева), мы понимаем, что нужны дополнительные построения.

Во-первых, заметим, что прямая AB лежит в плоскости BC1 D1 (поскольку AB k C1 D1 ). Во-вторых, проведём B1 M параллельно AK (рис.42 , справа). Проведём также B1 C, и пусть N есть точка пересечения B1 C и BC1 .

Покажем, что прямая B1 C перпендикулярна плоскости BC1 D1 . В самом деле:

1) B 1 C ? BC1 (как диагонали квадрата);

2) B 1 C ? AB по теореме о трёх перпендикулярах (ведь AB перпендикулярна прямой BC проекции наклонной B1 C на плоскость ABC).

Таким образом, B1 C перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BC1 D1 ; следовательно, B1 C ? BC1 D1 . Поэтому проекцией прямой MB

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Главная » Словарный запас » Синус между ребром и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения