Абсолютные величины и их классификация. Элективный курс «Абсолютная величина (модуль)

Нет решение методом интервалов. Рассматриваются ли уравнения и неравенства с двумя и более модулями.

Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины в школьном курсе математики как отдельная тема не изучается. Впервые понятие модуля встречается в 6 классе, где дается определение модуля числа. Но в учебниках разных авторов даются в различных главах. В учебниках Г.В. Дорофеева модуль числа дается при сравнении рациональных чисел на примере: модуль числа -6,5 равен 6,5, модуль числа -4 равен 4.

Потом объяснение происхождения модуль и после этого вводится обозначение |а|.

В учебнике Н.Я. Виленкина дается при изучении положительных и отрицательных чисел как отдельный пункт «Модуль».

Понятие модуля числа вводится как расстояние от точки, изображающей это число, до начальной точки на координатной прямой.

Затем формулируется правило нахождения модуля числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным, ибо модуль числа – это расстояние, что модуль положительного числа и нуля он равен самому числу, а для противоположного – противоположному числу и противоположные числа имеют равные модули |-а|=|а|.

По учебнику Ю.Н. Макарычева, модуль встречается в дополнительных упражнениях в главе 7 «Графики», параграфа «функции и их графики».

Например: определите область определения у=10/(|х|-1)

А в 8 классе при решении неравенств с одной переменной и их системы.

В учебнике Никольского 8 класс рассматривают функцию у=|х| и ее график у= х, если х≥0

Х, если х≤0

В курсе девятилетней школы рассматриваются простейшие уравнения с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля. К ним относится уравнения вида |ах+в|=с.

При решении таких уравнений надо различить случаи:

Если с < 0, то уравнение |ах+в|=с не имеет корней.

Если с = 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно уравнению ах+в=0.

Если с > 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно ах+в= -с или ах+в=с.

Кроме указанного вида уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, учащиеся 8 класса встречается еще с уравнениями вида |ах+в|= ах+в или вида |ах+в|= -(ах+в). К таким уравнениям сводится, например, уравнения √ х²=х, √х²-4х+4=2-х.

Так как равенство |m|=m верно тогда и только тогда, когда m≥0,

а равенство |m|=-m верно тогда и только тогда, когда m ≤ 0,

то уравнение |ах+в|= ах+в равносильно неравенству ах+в≥0,

а уравнение |ах+в| = -(ах+в) равносильно неравенству ах+в≤0.

Из неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, в курсе девятилетней школы рассматриваются только неравенства вида |ах+в|>в и |ах+в|<в.

В качестве дополнительных заданий даются более сложные задания, например, двойное неравенство к<|ах+в|< m. Это двойное неравенство можно записать в виде системы |ах+в| > к

|ах+в|< m и, решив каждое из неравенств системы, найти пересечение множеств их решений с помощью координатной прямой.

Способы решений неравенств:

1. Решение связывается с понятием расстояния между точками координатной прямой.

2. Исходя из определения модуля.

3. Наглядно – графический прием.

4. В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений - по одному на каждом промежутке. Этот метод называется методом интервалов.

Пояснительная записка

Математика – это язык, на котором говорят не только наука и техника, математика – это язык человеческой цивилизации. Она практически проникла во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требует математической грамотности.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений.

Элективный курс «Уравнения и неравенства содержащие знак абсолютной величины» создан для реализации в 9 классах.

Курс призван расширить знания и умения учащихся по вопросам, касающимся понятия абсолютной величины числа, построения графиков функций и графического решения уравнений и неравенств, которые содержат знак абсолютной величины.

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ОГЭ, ЕГЭ и экзаменов при поступлении в вузы.

Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа: 7,5 часов лекций и 26,5 часов практических занятий.

Содержание курса состоит из восьми разделов, включая введение и итоговое занятие. Учитель, в зависимости от уровня подготовки учащихся, уровня сложности изучаемого материала и восприятия его школьниками, может взять для изучения не все темы, увеличив при этом количество часов на изучение других. Учитель также может изменить уровень сложности представленного материала.

Программа содержит темы творческих работ и список литературы по предложенным темам.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.

Цели курса:

• формирование у учащихся устойчивого интереса к математике;
• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности;
• подготовка к сознательному усвоению систематического курса алгебра и геометрия;
• обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»; обретение практических навыков выполнения заданий с модулем; повышение уровня математической подготовки школьников.

Задачи курса:

• сформировать у учащихся умения строить графики функций, содержащих знак абсолютной величины, методом геометрических преобразований, решать уравнения и неравенства с модулями;
• сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;
• подготовить учащихся к ЕГЭ;
• сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;
• сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;
• сформировать умения и навыки исследовательской работы;
• способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;
• способствовать формированию познавательного интереса к математике.

(1 ч. в неделю, всего 34 ч)

1. Введение (1 ч.)

Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые к участникам курса. Аукцион «Что я знаю об абсолютной величине?».

2. Абсолютная величина действительного числа а (4 ч.)

Абсолютная величина действительного числа а. Модули противоположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия модуля а. Модуль суммы и модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и модуль частного. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Применение свойств модуля при решении олимпиадных задач.

3. Графики уравнений (в т.ч. функций), аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины (5 ч.)

Применение компьютерной программы «Advanced Grapher» при построении графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Правила и алгоритмы построения графиков уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики уравнений

Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики уравнений (в т.ч. функций), аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпиадных заданиях.

4. Уравнения, содержащие абсолютные величины (11 ч.)

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов, графический метод, использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида

Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Уравнения вида

Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолютные величины. Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений. Уравнения с параметрами, содержащие абсолютные величины. Защита решенных олимпиадных заданий.

5. Неравенства, содержащие абсолютные величины (7 ч.)

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы решения неравенств с модулем. Неравенства вида

Неравенства вида

Метод интервалов при решении неравенств, содержащих знак модуля. Неравенства с параметрами, содержащие абсолютные величины. Неравенства с двумя переменными.

Системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины.

Другие вопросы, при решении которых используется понятие абсолютной величины.

6. Итоговое занятие (1 ч.)

Календарно-тематическое планирование

Перечень учебно – методических материалов

1. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – М.: ВЗМШ при МГУ, 1983.

2. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. – М.: Просвещение, 1993.

3. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М.: Просвещение, 1968.

4. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре 8 – 9 кл. – М.: Просвещение, 1995.

5. Говоров В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике.– М.: Просвещение, 1983.

6. Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.

7. Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному

Экзамену. М.: Айрис-пресс, 2004.

8. Мерзляк А.Г. и др. Алгебраический тренажер. – М.: Илекса, 2001.

9. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл. – М.: Мнемозина, 2000.

10. Нешков К.И. и др. Множества. Отношения. Числа. Величины. – М.: Просвещение, 1978.

11. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1995.

12. Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10 – 11 кл. –

М.: Дрофа, 1995.

13. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 1989.

14. Электронный учебник «Алгебра 7 – 11».

15. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.

Темы творческих работ

1. Применение модуля в механике и векторной алгебре.
2. Модуль в определении предела.
3. Погрешности.
4. Проект памятки правил и алгоритмов построения графиков уравнений (в т.ч. функций), аналитическое выражение которых содержит знак модуля.
5. Изготовление игры «Математическое лото» по теме «Графики уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак модуля».
6. Проект опорных сигналов по способам решения уравнений и неравенств с модулем.
7. Простейшие функции, заданные явно и неявно, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, и их графики.

При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.

Пример: Решить неравенство

х 2 - 2 + х < 0. (*)

Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х 2 - 2, стоящего под знаком абсолютной величены.

1) Предположим, что

тогда неравенство (*) принимает вид

х 2 + х -2 < 0.

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х 2 -2 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): х(-2; -].

• 2) Предположим, что х 2 - 2
• 2 - х 2 + х

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х 2 - 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)

Ответ: х(-2; -1).

В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде

х - 2 < -х.

Построим функции y 1 =х 2 - 2 и y 2 = -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y 1

На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х. Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство х 2 = х 2 .

Рисунок 3

Пример: Решить неравенство

Решение: Исходное неравенство при всех х -2 эквивалентно неравенству

х - 1> х + 2. (**)

Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство

6х < -3, т.е. х < -1/2.

Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех х(-; -2)(-2; -1/2).

Ответ: (-; -2)(-2; -1/2).

Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

Решение: Так как х +1 0 и, по условию, х +1 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > х +1. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств -(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5,

• -(2х + 5)
• 2х + 5 > х +1,

Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.

Пример: Решить неравенство:

Ответ: [-1; 1].

Пример: Решить неравенство

х2 - 3х + 2+ 2х + 1 5.

Решение. х 2 - 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

• 2. - Ѕ ? х? 1. Имеем неравенство х2 - х - 2 ? 0. Его решение -1 ? х? 2. Следовательно, весь отрезок -Ѕ ? x ? 1удовлетворяет неравенству.
• 4. х? 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.

Ответ: 5 - 41 2 ? х? 2.

Пример: Решить неравенство.

х 3 + х - 3- 5 х 3 - х + 8.

Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.

х 3 + х - 3 - 5 х 3 - х + 8,

х 3 + х - 3 - 5 -х 3 + х - 8

х 3 + х - 3 х 3 - х + 13

х 3 + х - 3 - х 3 + х - 3

х 3 + х - 3 х 3 - х + 13,

х 3 + х - 3 -х 3 + х - 13,

х 3 + х - 3 -х 3 + х - 3,

х 3 + х - 3 х 3 - х + 3

Абсолютные величины и их классификация.

Абсолютные величины — это результаты статистических наблюдений. В статистике в отличие от математики все абсолютные величины имеют размерность (единицу измерения), а также могут быть положительными и отрицательными.

Единицы измерения абсолютных величин отражают свойства единиц статистической совокупности и могут быть простыми , отражая 1 свойство (например, масса груза измеряется в тоннах) или сложными , отражая несколько взаимосвязанных свойств (например, тонно-километр или киловатт-час).

Единицы измерения абсолютных величин могут быть 3 видов :

1. Натуральные — применяются для исчисления величин с однородными свойствами (например, штуки, тонны, метры и т.д.). Их недостаток состоит в том, что они не позволяют суммировать разнородные величины.
2. Условно-натуральные — применяются к абсолютным величинам с однородными свойствами, но проявляющим их по-разному. Например, общая масса энергоносителей (дрова, торф, каменный уголь, нефтепродукты, природный газ) измеряется в т.у.т. — тонны условного топлива, поскольку каждый его вид имеет разную теплотворную способность, а за стандарт принято 29,3 мДж/кг. Аналогично общее количество школьных тетрадей измеряется в у.ш.т. — условные школьные тетради размером 12 листов. Аналогично продукция консервного производства измеряется в у.к.б. — условные консервные банки емкостью 1/3 литра. Аналогично продукция моющих средств приводится к условной жирности 40%.
3. Стоимостные единицы измерения выражаются в рублях или в иной валюте, представляя собой меру стоимости абсолютной величины. Они позволяют суммировать даже разнородные величины, но их недостаток состоит в том, что при этом необходимо учитывать фактор инфляции, поэтому статистика стоимостные величины всегда пересчитывает в сопоставимых ценах.

Абсолютные величины могут быть моментными или интервальными. Моментные абсолютные величины показывают уровень изучаемого явления или процесса на определенный момент времени или дату (например, количество денег в кармане или стоимость основных фондов на первое число месяца). Интервальные абсолютные величины — это итоговый накопленный результат за определенный период (интервал) времени (например, зарплата за месяц, квартал или год). Интервальные абсолютные величины, в отличие от моментных, допускают последующее суммирование.

Абсолютная статистическая величина обозначается X , а их общее число в статистической совокупности — N .

Количество величин с одинаковым значением признака обозначается f и называется частота (повторяемость, встречаемость).

Cами по себе абсолютные статистические величины не дают полного представления об изучаемом явлении, так как не показывают его динамику, структуру, соотношение между частями. Для этих целей служат относительные статистические величины.

средняя общеобразовательная школа с.Ошторма Юмья

Согласовано Утверждено

на заседании УМО на заседании экспертной

учителей математики комиссии

Протокол № 1 от _________ Протокол № __________

Руководитель УМО: Председатель экспертной

Гилязева М.М. группы:

Садикова А.Р.
Элективный курс

«Абсолютная величина (модуль)»

(Учебный курс профильной подготовки для учащихся 10-х классов, 34 часа)

Учитель математики Васильева В.А.

2008 г.
Пояснительная записка

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах математики , физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешности приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля векто­ра). В математическом анализе понятие абсолютной величины чис­ла содержится в определениях таких основных понятий, как пре­дел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, ЕГЭ.

Программой школьного курса математики не предусмотре­ны обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах , полученных учащимися за весь период обучения. Это позволит сделать программа «».

Курс рассчитан на профильную подготовку учащихся 10 классов общеобразова­тельных школ, проявляющих интерес к изучению математики.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с абсолютной величиной, подгото­виться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует выработке и закреплению навыков работы на компь­ютере.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ , экзаменов при поступлении в вузы.

Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа.

В процессе изучения данного курса предполагается исполь­зование различных методов активизации познавательной деятель­ности школьников, а также различных форм организации их само­стоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представ­ление школьниками творческих индивидуальных и групповых ра­бот на итоговом занятии.

Цели курса: обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме абсолютная величина, обретение практи­ческих навыков выполнения заданий с модулем, повышение уровня ма­тематической подготовки школьников.

Задачи курса

Вооружить учащихся системой знаний по теме абсолютная величина;

Сформировать навыки применения данных знаний при ре­шении разнообразных задач различной сложности;

Сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

Сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;

Сформировать умения и навыки исследовательской работы;

Способствовать развитию алгоритмического мышления уча­щихся;

Способствовать формированию познавательного интереса к

математике.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы элективного курса «Аб­солютная величина (модуль)» учащиеся получают возможность знать и понимать:

Определение абсолютной величины действительного числа;

Правила построения графиков функций, содержащих знак абсолютной величины;

Алгоритмы решения уравнений, неравенств, систем уравне­ний и неравенств, содержащих переменную под знаком мо­дуля.

Уметь:

применять определение , свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

Тематическое планирование

1. Введение (1 ч).

Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматривае­мые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые к участникам курса. Аукцион «Что я знаю об абсолютной величине».

2. Абсолютная величина действительного числа а (4 ч).

Абсолютная величина действительного числа а. Модули проти­воположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия |а |. Модуль суммы и модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и мо­дуль частного. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Приме­нение свойств модуля при решении олимпиадных задач.

3. Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины (5 ч).

Правила и алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики функций y=f |х|,

y=f (-|x|), y=|f(x)|, y= |f |х||, |у| =f(x), где f(х) ≥ 0, | у| = |f (х)|. Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно, аналитическое выражение кото­рых содержит знак модуля. Графики функций, аналитическое вы­ражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпи­адных заданиях.

4. Уравнения, содержащие абсолютные величины (11 ч).

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскры­тие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравне­ния, метод интервалов, графический метод , использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида | f(х)| = a , f \ x \ = а, где а R ; |f(x)| = g (х) и | f(х)| = | g (x) |. Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные вели­чины. Уравнения вида |f 1 (х)| ± |f 2 (х)| ±.. .±|f n (х)| = а, где а е R , |f 1 (х)| ± |f 2 (х)| ±.. .± |f n (х)| = g (x ). Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолют­ные величины. Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений. Уравнения с параметрами, содержащие абсо­лютные величины. Защита решенных заданий ЕГЭ.

5. Неравенства, содержащие абсолютные величины (7 ч).

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы ре­шения неравенств с модулем. Неравенства вида |f(x)| >  ≥ ≤ а, где а R .. Неравенства вида |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|. Метод интерва­лов при решении неравенств, содержащих знак модуля. Неравенст­ва с параметрами, содержащие абсолютные величины.

6. Системы уравнений и неравенств, содержащие абсо­лютные величины (4 ч).

7. Другие вопросы, при решении которых используется понятие абсолютной величины (1 ч).

8. Итоговое занятие (1 ч).

Ожидаемые результаты
После изучения курса учащиеся должны:

Уметь применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

Решать уравнения, неравенства, системы уравнений и нера­венств, содержащих переменную под знаком модуля.

Литература для учителя

1. 
   С.И.Колесникова «Решение сложных задач ЕГЭ» 300 задач с подробным решением. Издательство Москва Айрис пресс 2005 год.
2. 
   Г.А.Воронина Практическое руководство для учителя «Элективные курсы» Издательство Москва Айрис пресс 2006 год
3. 
   М.И.Сканави Сборник задач по математике М.: ОНИКС, 2006
4. 
   Электронный учебник «Алгебра 7 – 11»
5. 
   Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы

Литература для учащихся
1. М.И.Сканави Сборник задач по математике М.: ОНИКС, 2006

2. А.Г. Мордкович. Алгебра 9. Углубленное изучение. Учебник.

Главная » Английский алфавит » Абсолютные величины и их классификация. Элективный курс «Абсолютная величина (модуль)