Определение четверти на координатной плоскости. Прямоугольная система координат
Среди примеров на модули
часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле
, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m
.
Если k=0
, то есть правая сторона равна постоянной (m)
то проще искать решение уравнения с модулями графически.
Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей
на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.
Пример 1.
Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение:
Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <->
x=0.
В точке x=0
уравнения с модулем разделяется на 2
.
При x < 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0
или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2
.
Решим уравнение
для отрицательных переменных (x < 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1)
, т.е.
Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе
и найдем решение
Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений
Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие
которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.
Пример 2.
Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение:
Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=>
x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших - положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 ->
x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4
или x-3=4-3x;
4-3=3x-x
или x+3x=4+3;
2x=1
или 4x=7;
x=1/2
или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.
Пример 3.
Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение:
Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=>
x=5/2=2,5.
Точка x=2,5
разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция
меняет знак при переходе через 2,5.
Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 ->
x>=-3
.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3)
. Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3
или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3
или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3
или x=7
.
Значение x=7
отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5].
Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5
. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3
или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3
или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1
или x=9
.
Первое значение x=1
не удовлетворяет условие x>2,5.
Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9,
а всего их два (x=1/3)
.Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ:
x=1/3; x=9.
Пример 4.
Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение:
Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=>
x=1/3.
Точка x=2,5
делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 ->
x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5
. Таким образом модульное уравнения
рассматриваем на двух интервалах
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3
или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3
или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5
или x=-7
.
Оба значения не попадают в промежуток
, то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5
. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3
.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3
или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6
или 2x+3x=6+3;
x=3
или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5
, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3
.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ:
x=1/3; x=9.
«Функции 9 класс» - У=х3. Функцию можно задать с помощью формулы, например: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. К элементарным функциям относятся практически все функции, встречающиеся в школьном учебнике. Руководитель Крючкова Татьяна Борисовна учитель, математики. Оглавление: Приложение 3. У=х2 У=3Х2. У=х2. Приложение4. У=0,3х2. Приложение 1.
«Свойства функции» - 0. 1.Определение функции. 3.Область значений. y=0, x=0 6.Промежутки знакопостоянства y > 0 на (0; +). 5.Ноль функции. Свойства функции. 7. Промежутки возрастания и убывания. y= x, n=2 2.Область определения D(y)=. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными. -p. T. y = f(x). -1. Далее.
«Исследование функции» - Используя схему исследования функции выполните задание: п. 24; №296 (а; б), №299 (а; б). Проверочная работа: Ответ:D(f)=R, нечётная, возростающая. Выполните устно: Для функции f(x)=х3 определить D(f), четность, возрастание, убывание. Докажите, что функция f(x)=х5+4х возрастает на множестве R. 2) Пример исследования функции.
«Координатная плоскость» - Уравнение прямой в. Формировать умение решать задачи на координатную плоскость. Координатная прямая, координатный угол. Задача №1. Правило чтения координат. Координатные четверти. Как отмечаются точки на плоскости. (2 способ). Уравнение прямой а. План урока. Координаты точек, расположенных на осях.
«Возрастание функции» - Алгоритм нахождения экстремумов функции. Решение неравенства выполняется аналитически, либо методом интервалов. Находим f / (x) Определяем критические точки функции f(x), т.е. точки, в которых f / (x)=0 или f / (x) не существует. Производная. Содержание. Tg(a)=k, к-коэффициент касания. Таблица производных.
Всего в теме 19 презентаций
Прямоугольная система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Прямые называют осями координат (или координатными осями). Точку пересечения этих прямых называют началом отсчёта и обозначают буквой O.
Обычно одна из прямых горизонтальна, другая — вертикальна. Горизонтальную прямую обозначают как ось x (или Ox) и называют осью абсцисс, вертикальную — ось y (Oy), называют осью ординат. Всю систему координат обозначают xOy.
Точка O разбивает каждую из осей на две полуоси, одну из из которых считают положительной (её обозначают стрелкой), другую — отрицательной.
Каждой точке F плоскости ставится в соответствие пара чисел (x;y) — её координаты.
Координата x называется абсциссой. Она равна Ox, взятому с соответствующим знаком.
Координата y называется ординатой и равна расстоянию от точки F до оси Oy (с соответствующим знаком).
Расстояния до осей обычно (но не всегда) измеряют одной и той же единицей длины.
Точки, расположенные справа от оси y, имеют положительные абсциссы. У точек, которые лежат левее оси ординат, абсциссы отрицательны. Для любой точки, лежащей на оси Oy, её координата x равна нулю.
Точки с положительной ординатой лежат выше оси x, с отрицательной — ниже. Если точка лежит на оси Ox, её координата y равна нулю.
Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями (или координатными углами или квадрантами).
1 координатная четверть
расположена в правом верхнем углу координатной плоскости xOy. Обе координаты точек, расположенных в I четверти, положительны.
Переход от одной четверти к другой ведётся против часовой стрелки.
2 координатная четверть находится в левом верхнем углу. Точки, лежащие во II четверти, имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату.
3 координатная четверть лежит в левом нижнем квадранте плоскости xOy. Обе координаты точек, принадлежащей III координатному углу, отрицательны.
4 координатная четверть — это правый нижний угол координатной плоскости. Любая точка из IV четверти имеет положительную первую координату и отрицательную вторую.
Пример расположения точек в прямоугольной системе координат:
