Действие над положительными действительными числами. Действительные числа, определение, примеры

Тема № 1.

Действительные числа.Числовые выражения. Преобразование числовых выражений

I. Теоретический материал

Основные понятия

· Натуральные числа

· Десятичная запись числа

· Противоположные числа

· Целые числа

· Обыкновенная дробь

· Рациональные числа

· Бесконечная десятичная дробь

· Период числа, периодическая дробь

· Иррациональные числа

· Действительные числа

· Арифметические действия

· Числовое выражение

· Значение выражения

· Обращение десятичной дроби в обыкновенную

· Обращение обыкновенной дроби в десятичную

· Обращение периодической дроби в обыкновенную

· Законы арифметических действий

· Признаки делимости

Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными . Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.

Например : 24; 3711; 40125.

Множество натуральных чисел принято обозначать N .

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.

Например , числа 7 и – 7.

Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых Z .

Например : – 37; 0; 2541.

Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью . Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Например : , .

Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q .

Например : ; – 17,55; .

Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей.

Например : 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки.

Например : 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R .

Например : ; 0,(23); 41,3574…

Число является иррациональным.

Для всех чисел определены действия трёх ступеней:

· действия I ступени: сложение и вычитание;

· действия II ступени: умножение и деление;

· действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня.

Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым.

Например : ; .

Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения .

Числовое выражение не имеет смысла , если содержит деление на нуль.

При нахождении значения выражения выполняются последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок.

Преобразование числового выражения заключается в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др.

При нахождении значений некоторых числовых выражений приходится выполнять действия с дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной.

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную , достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.

Например : ; .

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную , надо разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Например : ;

;

.

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную , надо:

1) из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода;

2) записать эту разность числителем;

3) в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде;

4) дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например : ; .

Законы арифметических действий над действительными числами

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется:

2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется:

3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой:

4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением:

.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения:

Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1.

Признаки делимости

Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости .

Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8.

Например : 12834; –2538; 39,42.

Признак делимости на 3 . Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например : 2742; –17940.

Признак делимости на 4 . Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Например : 15436; –372516.

Признак делимости на 5 . Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Например : 754570; –4125.

Признак делимости на 9 . Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например : 846; –76455.

Повторение неполной средней школы

Интеграл

Производная

Объемы тел

Тела вращения

Метод координат в пространстве

Прямоугольная система координат. Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов.

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса.

Площадь поверхности конуса. Сфера и шар. Площадь сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелœепипеда. Объем прямой призмы, цилиндра. Объем пирамиды и конуса. Объём шара.

Раздел III. Начала математического анализа

Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной.

Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функции. Экстремумыфункции. Применение производной к построению графиков. Наибольшее, наименьшее значенияфункции.

Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинœейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.

Учебно-тренировочные задания к экзаменам

Раздел I. Алгебра

Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Для решения задач и доказательства различных теорем крайне важно понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.

Натуральные числа - ϶ᴛᴏ числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}

Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (ᴛ.ᴇ. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел.

Целые числа - ϶ᴛᴏ числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={1,2,3,....}. Рациональные числа - ϶ᴛᴏ числа, представимые в виде дроби , где m - целое число, а n - натуральное число.

Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, к примеру . В случае если, к примеру, попытаться записать число в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм делœения уголком, то получится бесконечная десятичная дробь . Бесконечную десятичную дробь называют периодической, повторяющуюся цифру 3 – её периодом. Периодическую дробь коротко записывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три в периоде».

Вообще, периодическая дробь - ϶ᴛᴏ бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.

К примеру, десятичная дробь периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде».

Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где - целое число, - натуральное число.

Действительные (вещественные) числа - ϶ᴛᴏ числа, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа - ϶ᴛᴏ числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (к примеру, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел - ϶ᴛᴏ .

Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:

Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание: множество натуральных чисел входит во множество целых чисел, множество целых чисел входит во множество рациональных чисел, а множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Упражнения для самостоятельного решения

В данной статье собраны основные сведения про действительные числа . Сначала дано определение действительных чисел и приведем примеры. Дальше показано положение действительных чисел на координатной прямой. А в заключение разобрано, как действительные числа задаются в виде числовых выражений.

Навигация по странице.

Определение и примеры действительных чисел

Действительные числа в виде выражений

Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами являются:

• любое натуральное число ;
• любое целое число ;
• любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
• любое смешанное число;
• любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Но очень часто действительные числа можно видеть в виде , и т.п. Более того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа (смотрите действия с действительными числами ). К примеру, - это действительные числа.

А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и есть действительные числа.

В заключение этой статьи заметим, что следующим этапом расширения понятия числа является переход от действительных чисел к комплексным числам .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом.

Из данного утверждения следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные периодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J+.

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+.

Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью - периодической (если оно является рациональным) либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сводятся к действиям над положительными рациональными числами. В связи с этим для каждого положительного действительного числа вводят его приближенные значения по недостатку и по избытку.

Пусть даны два положительных действительных числа a и b , an и bn - соответственно их приближения по недостатку, a¢n и b¢n - их приближения по избытку.

Суммой действительных чисел a и b a + b n удовлетворяет неравенству an + bn ≤ a + b < a¢n + b¢n.

Произведением действительных чисел a и b называется такое действительное число a × b , которое при любом натуральном n удовлетворяет неравенству an × bn ≤ a b × b¢n.