Геометрическая модель множества R действительных чисел – числовая прямая. Любому действительному числу соответствует единственная точка

Добавив к числовой прямой, соответствующей множеству всех действительных чисел ещё одно измерение – прямую, содержащую множество чисто м

Геометрический смысл операции сопряжения

Изображение действительных чисел

Изображение комплексных чисел

Примеры изображения комплексных чисел на координатной плоскости

Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел, у которых:

Существуют следующие формы комплексных чисел: алгебраическая (x+iy), тригонометрическая (r(cos+isin)), показательная (re i).

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z).

Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.

x+iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.

Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Подставляем полученные значения в начальную форму: , т.е.

r(cos +isin ) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа следует из формулы Эйлера:
,тогда

z=re i - показательная форма записи комплексного числа.

Действия над комплексными числами.

1. сложение. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . вычитание. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. умножение. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . деление. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.

Произведение.

z1=r(cos+isin); z2=r(cos+isin).

То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

;
;

Частное.

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.

Если комплексные числа заданы в показательной форме.

Возведение в степень.

1. Комплексное число задано в алгебраической форме.

z=x+iy, то z n находим по формуле бинома Ньютона :

- число сочетаний из n элементов по m (число способов, сколькими можно взять n элементов из m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Применяем для комплексного числа.

В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:

i 0 =1 Отсюда, в общем случае получаем: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Пример .

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. тригонометрической форме.

z=r(cos+isin), то

- формула Муавра .

Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).

3. Если комплексное число задано в показательной форме:

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение:
.

Его решением будет корень n–ой степени из комплексного числа z:
.

Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме:

z=r(cos+isin), то корень n-ой степени от z находится по формуле:

, где к=0,1…n-1.

Ряды. Числовые ряды.

Пусть переменная а принимает последовательно значения а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n . Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.

Числовым рядом называется выражение а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=. Числа а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n – члены ряда.

Например.

а 1 – первый член ряда.

а n – n-ый или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).

Числовой ряд имеет бесконечное число членов.

Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).

n-ый член находится по формуле а n =а 1 +d(n-1); d=а n -а n-1 .

Знаменатель – геометрическая прогрессия . b n =b 1 q n-1 ;
.

Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.

Sn=а1+а2+…+а n .

Sn – n-ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим предел:

S - сумма ряда.

Ряда сходящийся , если этот предел конечен (конечный предел S существует).

Ряд расходящийся , если этот предел бесконечен.

В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.

Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.

, C=const.

Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом , если
, и расходящимся, если
.

Также встречается гармонический ряд (ряд
). Этот рядрасходящийся .

Задание комплексного числа равносильно заданию двух действительных чисел а, b - действительной и мнимой частей данного комплексного числа. Но упорядеченная пара чисел изображается в декартовой прямоугольной системе координат точкой с координатами Таким образом, эта точка может служить изображением и для комплексного числа z: между комплексными числами и точками координатной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. При использовании координатной плоскости для изображения комплексных чисел ось Ох обычно называют действительной осью (так как действительная часть числа принимается за абсциссу точки), а ось Оу - мнимой осью (так как мнимая часть числа принимается за ординату точки). Комплексное число z, изображаемое точкой (а, b), называется аффиксом этой точки. При этом действительные числа изображаются точками, лежащими на действительной оси, а все чисто мнимые числа (при а = 0) - точками, лежащими на мнимой оси. Число нуль изображается точкой О.

На рис. 8 построены изображения чисел .

Два комплексно сопряженных числа изображаются точками, симметричными относительно оси Ох (точки на рис. 8).

Часто с комплексным числом связывают не только точку М, изображающую это число, но и вектор ОМ (см. п. 93), ведущий из О в М; изображение числа вектором удобно с точки зрения геометрического истолкования действия сложения и вычитания комплексных чисел.

На рис. 9, а показано, что вектор, изображающий сумму комплексных чисел получается как диагональ параллелограмма, построенного на векторах изображающих слагаемые.

Это правило сложения векторов известно как правило параллелограмма (например, для сложения сил или скоростей в курсе физики). Вычитание может быть сведено к сложению с противоположным вектором (рис. 9, б).

Как известно (п. 8), положение точки на плоскости можно задавать также ее полярными координатами Тем самым и комплексное число - аффикс точки также определится заданием Из рис. 10 ясно, что является в то же время модулем комплексного числа : полярный радиус точки, изображающей число , равен модулю этого числа.

Полярный угол точки М называют аргументом числа , изображаемого этой точкой. Аргумент комплексного числа (как и полярный угол точки) определен неоднозначно; если - одно из его значений, то все его значения выражаются формулой

Все значения аргумента в совокупности обозначаются символом .

Итак, всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие пара действительных чисел: модуль и аргумент данного числа, причем аргумент определяется неоднозначно. Напротив, заданным модулю и аргументу отвечает единственное число , имеющее данные модуль и аргумент. Особыми свойствами обладает число нуль: его модуль равен нулю, аргументу не приписывается никакого определенного значения.

Для достижения однозначности в определении аргумента комплексного числа можно условиться одно из значений аргумента называть главным. Его обозначают символом . Обычно в качестве главного значения аргумента выбирается значение, удовлетворяющее неравенствам

(в других случаях неравенствам ).

Обратим еще внимание на значения аргумента действительных и чисто мнимых чисел:

Действительная и мнимая части комплексного числа (как декартовы координаты точки) выражаются через его модуль и аргумент (полярные координаты точки) по формулам (8.3):

и комплексное число может быть записано в следующей тригонометрической форме.

Го) числа.

2. Алгебраическая форма представления комплексных чисел

Комплексным числом или комплексом, называется число, состоящее из двух чисел (частей) – вещественного и мнимого.

Вещественным называется любое положительное или отрицательное число, например, + 5, - 28, и т.п. Обозначим вещественное число буквой “L”.

Мнимым называется число, равное произведению вещественного числа на квадратный корень из отрицательной единицы, например, 8 , - 20 , и т.п.

Отрицательная единица называется мнимой и обозначается буквой «йот»:

Обозначим вещественное число в составе мнимого буквой “М”.

Тогда мнимое число можно записать так: j М. В таком случае, комплексное число А можно записать так:

А = L + j М (2).

Такая форма записи комплексного числа (комплекса) , представляющая собой алгебраическую сумму вещественной и мнимой частей, называется алгебраической .

Пример 1. Представить в алгебраической форме комплекс, вещественная часть которого равна 6, а мнимая 15.

Решение. А = 6 +j 15.

Кроме алгебраической формы, комплексное число можно представить еще тремя:

1. графической;

2. тригонометрической;

3. показательной.

Такое многообразие форм резко упрощает расчеты синусоидальных величин и их графическое изображение.

Поочередно рассмотрим графическую, тригонометрическую и показатель-

ную формы представления комплексных чисел.

Графическая форма представления комплексных чисел

Для графического представления комплексных чисел применяют прямо-

угольную систему координат. В обычной (школьной) системе координат вдоль осей «х» (ось абсцисс) и «y» (ось ординат) откладываются положительные или отрицательные вещественные числа.

В системе же координат, принятой в символическом методе, вдоль оси «х»

в виде отрезков откладывают действительные числа, а вдоль оси «у» – мнимые

Рис. 1. Система координат для графического изображения комплексных чисел

Поэтому ось абсцисс «х» называют осью вещественных величин или, для сокращения, вещественной осью.

Ось ординат называют осью мнимых величин или мнимой осью.

Саму же плоскость (т.е. плоскость рисунка), на которой изображают комплексные числа или величины, называют комплексной плоскостью.

В этой плоскости комплексное число А = L + j М изображено вектором А

(рис. 2), проекция которого на вещественную ось равна его вещественной части Re A = А" = L, а проекция на мнимую ось – мнимой части Im A = А" = М.

(Re – от англ. real – реальный, действительный, настоящий, Im – от англ.imaginary – нереальный, мнимый).

Рис. 2. Графическое представление комплексного числа

В этом случае число А можно записать так

А = А" + А" = Re A + j Im A (3) .

Используя графическое изображение числа А в комплексной плоскости, введем новые определения и получим некоторые важные соотношения:

1. длина вектора А называется модулем вектора и обозначается |A|.

По теореме Пифагора

|A| = (4) .

2. уголα, образованный вектором А и вещественной положительной полу-

осью, называется аргументом вектора А и определяется через его тангенс:

tg α = А" / А" = Im A / Re A (5).

Таким образом, для графического представления комплексного числа

А = А" + А" в виде вектора надо:

1. найти модуль вектора |A| по формуле (4);

2. найти аргумент вектора tg α по формуле (5);

3. найти угол α из соотношения α = arc tg α;

4. в системе координат j (х) провести под углом α вспомогательную

прямую и на ней в определенном масштабе отложить отрезок, равный модулю вектора |A|.

Пример 2. Комплексное число А = 3 + j 4 представить в графической форме.

Главная » Полезно знать » Геометрическое изображение комплексного числа определение. Графическая форма представления комплексных чисел