Умножение чисел что. Умножение чисел
Умножение
Умножение - одно из четырёх основных действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В под умножением понимают краткую запись указанного количества одинаковых слагаемых. Например, запись обозначает «сложить три пятёрки», то есть . Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа - множителями или сомножителями . Первый множитель иногда называется «множимое».
Запись
Умножение крестиком "×" или точкой "∙". Записи
обозначают одно и то же. Знак умножения часто пропускают, если это не приводит к путанице. Например, вместо обычно пишут .
Если сомножителей много, то часть их можно заменить многоточием. Например, произведение целых чисел от 1 до 100 может быть записано как .
В буквенной записи применяется также символ произведения: 
. Например, произведение можно записать кратко так: .
Свойства умножения
Умножение обладает следующими свойствами:
Освоение таблицы умножения в начальных классах занимает значительное место. Начиная со второго класса (УМК «Перспективная начальная школа»), идёт её изучение. Из педагогической практики известно, что при запоминании таблицы умножения учащимися у них развивается произвольное внимание, наблюдательность, логическое мышление, сообразительность, математическая речь. Освоение действий умножения способствует развитию таких процессов познавательной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, обобщение.
Программа начальной школы требует развития самостоятельности у младших школьников в освоении таблицы умножения. По нормативным документам каждый ученик должен уметь записать любой столбик действий умножения, иллюстрируя его с помощью рисунка, чертежа, схемы, обосновать каждый шаг в своём действии, проверить правильность вычислений. Но на практике такие виды деятельности выполняются не полностью, что приводит к серьёзным пробелам в знаниях учеников. К сожалению, многие учителя считают, что наглядность обязательно должна присутствовать только на начальном этапе урока обучения, а с развитием абстрактного мышления учащихся она своё значение теряет. На практике чертежи, схемы, рисунки редко применяются в качестве наглядности во 2-3 классах. А между тем, наглядность нужна на всем протяжении обучения, так как является важным средством развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий. Рисунки, схемы, чертежи побуждают младших школьников активно мыслить, искать наиболее рациональные пути в вычислительных действиях, помогают не только усваивать знания.
1) Первый этап - составление и усвоение таблиц умножения и деления включается в содержательную линию курса. Табличные случаи умножения учащиеся усваиваются в процессе изучения смысла умножения. Это позволяет предложить учащимся интересные содержательные упражнения и задания, выполнение которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения». Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся в на обобщающих уроках по теме «Умножение», где учащимся даётся задание, при выполнении которых они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения. Из вышесказанного, мы можем сделать вывод, что сначала формируются навыки таблицы умножения. При этом работа, связанная с составлением и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени и органически включается в содержательную линию курса. В процессе усвоения смысла деления, правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления включены задания на деление чисел, при выполнении которых учащиеся используют таблицу умножения и взаимосвязь между компонентами. Следующие особенности данного подхода к формированию навыка табличного умножения и деления:
2) составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9 (от более трудного к более лёгкому), что позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток, заменяя произведение суммой, но также сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях таблицы умножения: 9 · 8, 9 · 7, 9 · 6, по отношению к которым даётся установка на запоминание.
3) Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запомнить таблицу умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике, в определённой системе даются установки на запоминание трёх-четырёх табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована на запоминание определённых табличных случаев. 4) Для организации самостоятельной работы учащихся рекомендуется фиксировать все случаи табличного умножения на карточке. Например, на одной стороне выражение, а на другой – его значение. Аналогично надо поступать со всеми случаями таблицы деления, что поможет учащимся действовать при запоминании табличных случаев умножения и деления, а также осуществлять самоконтроль». В процессе исследования также познакомились с подходом к интересующей нас теме в системе обучения Л.В. Занкова по учебнику И.И. Аргинской. При изучении табличного умножения и деления, автором выделено только два этапа в работе учащихся:
1 этап – ознакомление с теоретическими сведениями, в том числе с порядком действия в выражениях. 2 этап – изучение таблицы умножения и деления с помощью таблицы Пифагора.
И.И. Аргинская выделяет два подхода – прямой и косвенный, давая им подробную характеристику, указывая на преимущества косвенного. «Прямой подход характеризуется наличием готового образца выполнения изучаемой операции и большим количеством готовых тренировочных упражнений, в процессе выполнения которых ученики овладевают навыком на основе репродуктивной деятельности, где владение навыком выступает как самоцель по принципу «решай, чтобы научиться решать». Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что учащийся получает готовую информацию, воспринимает её, понимает, осознаёт, запоминает, а затем сам воспроизводит. Основная цель этого вида деятельности – формирование у учащихся ЗУН, развитие внимания и памяти». Главным преимуществом здесь является очень быстрое достижение требуемого результата, поэтому он так широко распространён и занимает прочные позиции в школьной практике. Однако есть и отрицательные стороны. И.И. Аргинская считает прямой подход «противоестественным, ведь человек овладевает технической стороной любого дела не как самоцелью, а ради решения актуальных для него задач. Преобладание репродуктивной деятельности в формировании вычислительных навыков значительно содержит возможность продвижение детей в развитии, а в настоящее время развитие школьников является приоритетной задачей обучения в любой системе».
Ирэн Ильинична указывает на преимущества косвенного подхода, используемого ею в учебнике «Математика. 3 класс» таким образом: «Высшей особенностью косвенного подхода к формированию навыков являются отсутствие готового образца выполнения операции, которой предстоит овладеть, самостоятельный поиск способов её выполнения самими учащимися, что сразу включает детей в продуктивную творческую деятельность. Такой подход характеризуется высокой эффективностью процесса формирования навыков табличного умножения и соответствующих случаев деления полноценным осознанием теоретический и практических знаний, повышение интереса к математике. Недостатком является заметное увеличение времени, затрачиваемого на достижение результата». Почему же система предпочитает именно косвенный подход к формированию вычислительных навыков? Дело в том, что практически любое задание должно способствовать продвижению детей в развитии, а прямой подход полностью исключает этот компонент. Для формирования развития у детей познавательных интересов, необходимо заинтересовать их, что требует активных форм и методов обучения для пробуждения в детях активного восприятия материала. Наилучшему усвоению и запоминанию учащимися материала способствуют различные средства наглядности, а также таблицы, чертежи, схемы, применяющиеся на каждом уроке.
Особый интерес вызвала статья журнала «Начальная школа», где раскрыт совершенно другой подход к изучению табличного умножения и деления, который предлагает нам Степных В.А.
При работе над темой выделяется два этапа: 1. Ознакомление с действиями умножения и деления. Изучение переместительного свойства умножения. Установление связи между результатами и компонентами умножения и деления, а также между самими действиями. Ознакомление с особыми случаями умножения и деления. Знакомство с модернизированной таблицей Пифагора. 2. Изучение табличного умножения и деления. В связи с изучением случаев умножения и деления с десятками, нулём и единицей до изучения таблицы умножения и деления, у учащихся отпадает необходимость задавать вопрос: «Почему в таблице умножения нет результатов умножения с числами 1 и 10?» После раскрытия смысла умножения и деления учитель знакомит учащихся с таблицей Пифагора. Структура этой таблицы аналогична структуре таблицы на сложение и вычитание в пределах 20, которую учащиеся изучали в 1 классе. Часть таблицы Пифагора выделена. При её удалении получится срезанная таблица Пифагора. При работе со срезанной таблицей Пифагора ученики чаще пользуются переместительным законом умножения. При работе с таблицей числа нужно искать по определённой системе: по строкам (сверху вниз); по столбцам (слева направо). Это позволяет с минимальной затратой времени находить результаты таблицы умножения и деления.
УМНОЖЕНИЕ значение
Т.Ф. Ефремова Новый словарь русского языка. Толково- словообразовательный
умножение
Значение:
умноже ́ние
ср.1) Процесс действия по знач. глаг.: умножать (1), умножить.
Значение:
арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "?" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями. Умножение дробных чисел а/b и с/d определяется равенством Умножение двух рациональных чисел дает число, абс. величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме? = а+bi и? = с+di, определяется равенством?? = ас - bd + (a + bc)i.
Малый академический словарь русского языка
умножение
Значение:
Я, ср.
Действие по глаг. умножить -умножать (во 2 знач. ); действие и состояние по знач. глаг. умножиться -умножаться .
По мере умножения семейства, присмотр делался сложнее. Помяловский, Данилушка.
- Нам необходимо умножение человеческих наслаждений и облегчение человеческих страданий. Вс. Иванов, Голубые пески.
Обратное делению математическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором.
Таблица умножения.
Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков
умножение
умножения, м.н. нет, ср.
действие по глаг. умножить - умножать и состояние по глаг. умножиться - умножаться. Умножение трех на два. Умножение доходов.
Арифметическое действие, повторение данного числа в качестве слагаемого столько раз, сколько единиц находится в другом данном числе (мат.). Таблица умножения. Умножение целых чисел.
Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.
умножение
Математическое действие посредством к-рого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), к-рое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором. Таблица умножения. Задача на у.
Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
Энциклопедический словарь, 1998 г.
умножение
арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "?" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями. Умножение дробных чисел а/b и с/d определяется равенством Умножение двух рациональных чисел дает число, абс. величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме? = а+bi и? = с+di, определяется равенством?? = ас - bd + (a + bc)i.
Умножение
операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком Х (ввёл англ. математик У. Оутред в 163
или ∙ (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а ` b или а ∙ b пишут ab. У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а +... + а (b слагаемых). Число а называется множимым, b √ множителем. У. дробных чисел ═и ═определяется равенством ═(см. Дробь). У. рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (√), если они разного знака. У. иррациональных чисел определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел, заданных в форме a = а + bi и b = с + di, определяется равенством ab = ac √ bd + (ad + bc) i. При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
a = r1 (cosj1 + isin j1),
b = r2 (cosj2 + isin j
их модули перемножаются, а аргументы складываются:
ab = r1r2{cos (j1 + j2) + i sin ((j1 + j2)}.
У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами:
1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон);
2) a (bc) = (ab) c (ассоциативность, сочетательный закон);
a (b + c) = ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ×0 = 0; a×1 = а. Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.
Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r (cosj + i sin j) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол j вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего √ свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.
Википедия
Умножение
Умноже́ние - одна из основных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов. Например для натуральных чисел: $c=a \cdot b = \underbrace{ a+a+\cdots+a }_{b}= a_1 + a_2 + \ldots + a_b = {\displaystyle\sum_{i=1}^b a_i}$
В общем виде можно записать: Π(a , b ) = c . То есть каждой паре элементов (a , b ) ставится в соответствие элемент c = a ⋅ b , называемый произведением a и b .
На письме обычно обозначается с помощью одного из « знаков умножения » - « ⋅ , × , * », например: a ⋅ b = c . Умножение может быть определено также для рациональных, вещественных, комплексных чисел и других математических, физических и абстрактных величин.
У умножения есть несколько важных свойств:
Коммутативность: a ⋅ b = b ⋅ a ; Ассоциативность: (a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ); Дистрибутивность: x ⋅ (a + b ) = (x ⋅ a ) + (x ⋅ b ), ∀a , b ∈ A ; Умножение на нуль (нулевой элемент) даёт число равное нулю: x ⋅ 0 = 0; Умножение на единицу (нейтральный элемент) даёт число равное исходному: x ⋅ 1 = x .
На рисунке показан пример подсчёта яблок посредством операции умножения, 3 группы по 5 яблок, в результате даёт 15 яблок: 5 ⋅ 3 = 15.
На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы .
Примеры употребления слова умножение в литературе.
Он сравнивает их дело также с заквашиванием, с сеянием семян и с умножением горчичных зерен.
Затем были и те, кто не решался вмешиваться вообще, потому что сознание их исследовало события вторичных и третьестепенных эффектов по мере их умножения и запутывания по всем направлениям всей системы.
умножение грехов и сниже-ние греховного порога в результате внедрившегося в умы людей антих-риста в виде материалистическо-атеистического учения и лжепророка в лице Коммунистической партии Маркса -Ленина.
За прошедшее столетие вновь произошло умножение грехов и сниже-ние греховного порога в результате внедрившегося в умы людей антих-риста в виде материалистическо-атеистического учения и лжепророка в лице Коммунистической партии Маркса-Ленина.
Это критика доктрины меркантилизма, отождествлявшей умножение количества денег в стране с ростом благосостояния населения.
Прежде нежели описывать действия войск, чрез неожиданное умножение поступивших из, так сказать, разбойнической шайки в наездничью партию, не лишнее будет познакомить читателя с частными начальниками оной.
Однажды на улице я услышал затейливую песенку, зарифмовывающую начало таблицы умножения : Одиножды один -- приехал господин.
Действия и ужимки его бессмысленны, они свидетельствуют о раздвоении Чичикова, его умножении в зеркальной 32 игре имитаций, в которой уже нет оригинала, а есть только паясничанье копий.
По крайней мере трижды он рассказывал об этом впоследствии, оставляя будущему пересказчику свободу монтажа подробностей: -- Гейзенберговское правило умножения не выходило у меня из головы, и после напряженных размышлений однажды утром я прозрел: вспомнил алгебраическую теорию, которую изучал еще в студенческие годы.
Исследования ее показывают, что Земля становилась все более и более разнородной по мере умножения слоев, образующих ее кору, далее, что она становилась все разнороднее и относительно состава этих слоев, из которых последние, образовавшиеся из обломков старых слоев, сделались чрезвычайно сложными через смешение содержавшихся в них материалов и, наконец, что эту разнородность значительно усиливало действие все еще раскаленного ядра Земли на ее поверхность, отчего и произошло не только громадное разнообразие плутонических гор, но и наклонение осаждавшихся слоев под разными углами, образование разрывов, металлических жил и бесконечные неправильности и уклонения Геологи говорят еще, что размеры возвышений на поверхности Земли изменялись, что древнейшие горные системы наименее высоки и что Анды и Гималаи суть возвышения новейшие, между тем, по всем вероятностям, и на дне океана происходили соответственные изменения.
Если трудно сделать умножение при напряжении во время подымания рояля, то как же возможно владеть тончайшими внутренними чувствами в сложной роли с тонкой психологией Отелло!
Мы -- специалисты исследования, анализа и измерения, мы -- хранители и постоянные проверщики всех алфавитов, таблиц умножения и методов, мы -- клеймовщики духовных мер и весов.
Он не читал книг, наш капитан Тротта, и втихомолку жалел своего подраставшего сына, который должен был вскоре столкнуться с грифелем, доской и губкой, бумагой, линейкой и таблицей умножения и которого уже дожидались неизбежные хрестоматии.
Новый заведующий -- мужик крепкий, соленый -- быстро вывел Ужика на чистую воду, обнаружил, что тот не усвоил даже таблицы умножения , и с громом выгнал его из школы.
В число этих операций могут входить сложение, вычитание и умножение функций, сравнение функций, аналогичные операции над функцией и числом, отыскание максимума функций, вычисление неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла от производной двух функций, сдвиг функции по абсциссе и т.
Есть арифметическое действие, посредством которого по данным двум числам, множимому и множителю, находят произведение. Если число а есть множимое, а b множитель, то произведение обозначается таким образом: a·b или просто ab. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Умножение - это арифметическое действие, в котором первое число повторяется в качестве слагаемого столько раз, сколько показывает второе число.
Число, которое повторяется как слагаемое, называется множимым (оно умножается), число, которое показывает сколько раз повторить слагаемое, называется множителем . Число, полученное в результате умножения, называется произведением .
Например, умножить натуральное число 2 на натуральное число 5 - значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 2:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
В этом примере мы находим сумму обыкновенным сложением. Но когда число одинаковых слагаемых велико, нахождение суммы посредством сложения всех слагаемых становится слишком утомительным делом.
Для записи умножения используется знак × (косой крест) или · (точка). Он ставится между множимым и множителем, при этом множимое записывается слева от знака умножения, а множитель - справа. Например, запись 2 · 5 означает, что число 2 умножается на число 5. Справа от записи умножения ставят знак = (равно), после которого записывают результат умножения. Таким образом, полная запись умножения выглядит так:
Эта запись читается так: произведение двух и пяти равняется десяти или два умножить на пять равно десять.
Таким образом, мы видим, что умножение представляет собой просто краткую форму записи сложения одинаковых слагаемых.
Проверка умножения
Для проверки умножения можно произведение разделить на множитель. Если в результате деления получится число, равное множимому, то умножение выполнено верно.
Рассмотрим выражение:
где 4 - это множимое, 3 - это множитель, а 12 - произведение. Теперь выполним проверку умножения, разделив произведение на множитель.
