Виды равновесия. Равновесие механической системы
Для того чтобы судить о поведении тела в реальных условиях, мало знать, что оно находится в равновесии. Надо еще оценить это равновесие. Различают устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.
Равновесие тела называют устойчивым , если при отклонении от него возникают силы, возвращающие тело в положение равновесия (рис. 1 положение 2). В устойчивом равновесии центр тяжести тела занимает наинизшее из всех близких положений. Положение устойчивого равновесия связано с минимумом потенциальной энергии по отношению ко всем близким соседним положениям тела.
Равновесие тела называют неустойчивым , если при самом незначительном отклонении от него равнодействующая действующих на тело сил вызывает дальнейшее отклонение тела от положения равновесия (рис. 1 положение 1). В положении неустойчивого равновесия высота центра тяжести максимальна и потенциальная энергия максимальна по отношению к другим близким положениям тела.
Равновесие, при котором смещение тела в любом направлении не вызывает изменения действующих на него сил и равновесие тела сохраняется, называют безразличным (рис. 1 положение 3).
Безразличное равновесие связано с неизменной потенциальной энергией всех близких состояний, и высота центра тяжести одинакова во всех достаточно близких положениях.
Тело, имеющее ось вращения (например, однородная линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О, изображенная на рисунке 2), находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, проходит через ось вращения. Причем если центр тяжести С выше оси вращения (рис. 2,1), то при любом отклонении от положения равновесия потенциальная энергия уменьшается и момент силы тяжести относительно оси О отклоняет тело дальше от положения равновесия. Это неустойчивое положение равновесия. Если центр тяжести находится ниже оси вращения (рис. 2,2), то равновесие устойчивое. Если центр тяжести и ось вращения совпадают (рис. 2,3), то положение равновесия безразличное.
Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела не выходит за пределы площади опоры этого тела, т.е. за пределы контура образованного точками соприкосновения тела с опорой Равновесие в этом случае зависит не только от расстояния между центром тяжести и опорой (т.е. от его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли), но и от расположения и размеров площади опоры этого тела.
На рисунке 2 изображено тело, имеющее форму цилиндра. Если его наклонить на малый угол, то оно возвратится в исходное положение 1 или 2. Если же его отклонить на угол (положение 3), то тело опрокинется. При заданной массе и площади опоры устойчивость тела тем выше, чем ниже расположен его центр тяжести, т.е. чем меньше угол между прямой, соединяющей центр тяжести тела и крайнюю точку соприкосновения площади опоры с горизонтальной плоскостью.
Следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс.
Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю.
${\overrightarrow{F}}={\overrightarrow{F_1}}+{\overrightarrow{F_2}}+...= 0$
Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.
Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.
Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.
Произведение модуля силы $F$ на плечо d называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки.
Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:
В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил. Оба эти условия не являются достаточными для покоя.
Рисунок 1. Безразличное равновесие. Качение колеса по горизонтальной поверхности. Равнодействующая сила и момент сил равны нулю
Катящееся по горизонтальной поверхности колесо -- пример безразличного равновесия (рис. 1). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.
Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.
При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия. Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия.
Рисунок 2. Различные виды равновесия шара на опоре. (1) -- безразличное равновесие, (2) -- неустойчивое равновесие, (3) -- устойчивое равновесие
Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, -- пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 2).
Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси -- состояние равновесия неустойчиво (рис. 3).
Рисунок 3. Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска, закрепленного на оси O; точка C -- центр массы диска; ${\overrightarrow{F}}_т\ $-- сила тяжести; ${\overrightarrow{F}}_{у\ }$-- упругая сила оси; d -- плечо
Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается.
Задача 1
Наклонная плоскость наклонена под углом 30o к горизонту (рис. 4). На ней находится тело Р, масса которого m=2 кГ. Трением можно пренебречь. Нить, перекинутая через блок, составляет угол 45o с наклонной плоскостью. При каком весе груза Q тело Р будет в равновесии?
Рисунок 4
Тело находится под действием трех сил: силы тяжести Р, натяжения нити с грузом Q и силы упругости F со стороны плоскости, давящей на него в направлении, перпендикулярном к плоскости. Разложим силу Р на составляющие: $\overrightarrow{Р}={\overrightarrow{Р}}_1+{\overrightarrow{Р}}_2$. Условие ${\overrightarrow{P}}_2=$ Для равновесия, учитывая удвоение усилия подвижным блоком, необходимо, чтобы $\overrightarrow{Q}=-{2\overrightarrow{P}}_1$. Отсюда условие равновесия: $m_Q=2m{sin \widehat{{\overrightarrow{P}}_1{\overrightarrow{P}}_2}\ }$. Подставляя значения получим: $m_Q=2\cdot 2{sin \left(90{}^\circ -30{}^\circ -45{}^\circ \right)\ }=1,035\ кГ$.
При ветре привязной аэростат висит не над той точкой Земли, к которой прикреплен трос (рис. 5). Натяжение троса составляет 200 кГ, угол с вертикалью а=30${}^\circ$. Какова сила давления ветра?
\[{\overrightarrow{F}}_в=-{\overrightarrow{Т}}_1;\ \ \ \ \left|{\overrightarrow{F}}_в\right|=\left|{\overrightarrow{Т}}_1\right|=Тg{sin {\mathbf \alpha }\ }\] \[\left|{\overrightarrow{F}}_в\right|=\ 200\cdot 9.81\cdot {sin 30{}^\circ \ }=981\ Н\]
Равновесием механической системы называют такое её состояние, при котором все точки рассматриваемой системы покоятся по отношению к выбранной системе отсчета.
Моментом силы относительно какой‑либо оси называют произведение величины этой силы F на плечо d.
Проще всего выяснить условия равновесия на примере простейшей механической системы - материальной точки. Согласно первому закону динамики (см. Механика), условием покоя (или равномерного прямолинейного движения) материальной точки в инерциальной системе координат является равенство нулю векторной суммы всех приложенных к ней сил.
При переходе к более сложным механическим системам одного этого условия для их равновесия оказывается недостаточно. Кроме поступательного движения, к которому приводят нескомпенсированные внешние силы, сложная механическая система может совершать вращательное движение или деформироваться. Выясним условия равновесия абсолютно твердого тела - механической системы, состоящей из собрания частиц, взаимные расстояния между которыми не изменяются.
Возможность поступательного движения (с ускорением) механической системы можно устранить так же, как и в случае с материальной точкой, потребовав равенства нулю суммы сил, приложенных ко всем точкам системы. Это и есть первое условие равновесия механической системы.
В нашем случае твердое тело деформироваться не может, поскольку мы условились, что взаимные расстояния между его точками не изменяются. Но в отличие от материальной точки к абсолютно твердому телу можно приложить пару равных и противоположно направленных сил в разных его точках. При этом поскольку сумма этих двух сил равна нулю, то рассматриваемая механическая система поступательного движения совершать не будет. Однако очевидно, что под действием такой пары сил тело начнет вращаться относительно некоторой оси со всевозрастающей угловой скоростью.
Возникновение в рассматриваемой системе вращательного движения обусловлено наличием нескомпенсированных моментов сил. Моментом силы относительно какой‑либо оси называется произведение величины этой силы $F$ на плечо $d,$ т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из точки $O$ (см. рис.), через которую проходит ось, на направление силы. Отметим, что момент силы при таком определении - алгебраическая величина: он считается положительным, если сила приводит к вращению против часовой стрелки, и отрицательным - в противном случае. Таким образом, второе условие равновесия твердого тела заключается в требовании равенства нулю суммы моментов всех сил относительно любой оси вращения.
В случае, когда оба найденных условия равновесия выполнены, твердое тело будет пребывать в состоянии покоя, если в момент начала действия сил скорости всех его точек были равны нулю. В противном случае оно будет совершать равномерное движение по инерции.
Рассмотренное определение равновесия механической системы ничего не говорит о том, что произойдет, если система чуть‑чуть выйдет из положения равновесия. При этом имеется три возможности: система вернется в свое прежнее состояние равновесия; система, несмотря на отклонение, не изменит своего состояния равновесия; система выйдет из состояния равновесия. Первый случай называют устойчивым состоянием равновесия, второй - безразличным, третий - неустойчивым. Характер положения равновесия определяется зависимостью потенциальной энергии системы от координат. На рисунке показаны все три типа равновесия на примере тяжелого шарика, находящегося в углублении (устойчивое равновесие), на гладком горизонтальном столе (безразличное), на вершине бугорка (неустойчивое).
Изложенный выше подход к проблеме равновесия механической системы рассматривался учеными еще в древнем мире. Так, закон равновесия рычага (т. е. твердого тела с закрепленной осью вращения) был найден Архимедом в III в. до н. э.
В 1717 г. Иоганн Бернулли разработал совершенно иной подход к нахождению условий равновесия механической системы - метод виртуальных перемещений. В основе его лежит вытекающее из закона сохранения энергии свойство сил реакций связей: при малом отклонении системы от положения равновесия полная работа сил реакций связей равна нулю.
При решении задач статики (см. Механика) на основании описанных выше условий равновесия существующие в системе связи (опоры, нити, стержни) характеризуются возникающими в них силами реакции. Необходимость учета этих сил при определении условий равновесия в случае систем, состоящих из нескольких тел, приводит к громоздким расчетам. Однако благодаря равенству нулю работы сил реакции связей при малых отклонениях от положения равновесия можно избежать рассмотрения этих сил вообще.
Кроме сил реакции на точки механической системы действуют и внешние силы. Какова их работа при малом отклонении от положения равновесия? Так как система первоначально покоится, то для любого её перемещения необходимо совершить некоторую положительную работу. В принципе эту работу могут совершать как внешние силы, так и силы реакции связей. Но, как мы уже знаем, полная работа сил реакции равна нулю. Поэтому для того, чтобы система вышла из состояния равновесия, суммарная работа внешних сил при любом возможном перемещении должна быть положительной. Следовательно, условие невозможности движения, т. е. условие равновесия, можно сформулировать как требование неположительности полной работы внешних сил при любом возможном перемещении: $ΔA≤0.$
Допустим, что при перемещениях точек системы $Δ\overrightarrow{γ}_1…\ Δ\overrightarrow{γ}_n$ сумма работ внешних сил оказалась равной $ΔA1.$ А что произойдет, если система совершит перемещения $−Δ\overrightarrow{γ}_1,−Δ\overrightarrow{γ}_2,\ …,−Δ\overrightarrow{γ}_n?$ Эти перемещения возможны так же, как и первые; однако работа внешних сил теперь изменит знак: $ΔA2 =−ΔA1.$ Рассуждая аналогично предыдущему случаю, мы придем к выводу, что теперь условие равновесия системы имеет вид: $ΔA1≥0,$ т. е. работа внешних сил должна быть неотрицательной. Единственная возможность «примирить» два этих почти противоречивых условия - потребовать точного равенства нулю полной работы внешних сил при любом возможном (виртуальном) перемещении системы из положения равновесия: $ΔA=0.$ Под возможным (виртуальным) перемещением тут подразумевается бесконечно малое мысленное перемещение системы, которое не противоречит наложенным на неё связям.
Итак, условие равновесия механической системы в виде принципа виртуальных перемещений формулируется следующим образом:
«Для равновесия любой механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ действующих на систему сил при любом возможном перемещении была равна нулю».
С помощью принципа виртуальных перемещений решаются задачи не только статики, но и гидростатики, и электростатики.
Равновесие называют устойчивым , если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия. Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия.
Равновесие называется неустойчивым , если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия.
Равновесия называется безразличным , если при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю.
Центр тяжести
Центром тяжести называется точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом расположении тела.
Третий закон Ньютона
Тела действуют друг на друга с силами, вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одинаковую физическую природу; они приложены к разным телам и поэтому друг друга не компенсируют.
Сила упругости. Закон Гука
Сила упругости возникает в результате деформации тела и направлена в сторону, противоположную деформации.
При малых по сравнению с размерами тел деформациях сила упругости прямо пропорциональна величине абсолютной деформации тела. В проекции на направление деформирования сила упругости равна
Где x– абсолютная деформация,k– коэффициент жесткости.
Этот закон был установлен экспериментально английским ученым Робертом Гуком и называется законом Гука:
Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещений частиц тела при деформации.
Коэффициент пропорциональности в законе Гука называется жесткостью тела. Он зависит от формы и размеров тела и от материала, из которого оно изготовлено (уменьшается с увеличением длины и с уменьшением площади поперечного сечения – см. Молекулярную Физику).
В Си жесткость
выражается в ньютонах на метр
:
.
Упругая сила стремится восстановить форму тела, подвергнутого деформации, и приложена к телу, которое эту деформацию вызывает.
Природа силы упругости электромагнитная, т.к. сила упругости возникает в результате стремления электромагнитных сил, действующих между атомами вещества, вернуть атомы вещества в исходное положение при изменении их взаимного положения в результате деформации.
Упругая реакция опоры, нити, подвеса – пассивная сила, действующая всегда перпендикулярно поверхности опоры.
Сила трения. Коэффициент трения скольжения
Сила трения возникает при соприкосновении поверхностей двух тел и всегда препятствует их взаимному перемещению.
Сила, возникающая на границе соприкосновения тел при отсутствии относительного движения называется силой трения покоя . Сила трения покоя – упругая сила, она равна по модуля внешней силе, направленной по касательной к поверхности соприкосновения тел, и противоположна ей по направлению.
При движении одного тела по поверхности другого возникает сила трения скольжения .
Сила трения имеет электромагнитную природу, т.к. возникает благодаря существованию сил взаимодействия между молекулами и атомами соприкасающихся тел – электромагнитных сил.
Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления (или упругой реакции опоры) и не зависит от площади поверхности соприкосновения тел {закон Кулона}:
,
где – коэффициент
трения.
Коэффициент трения зависит от рельефа поверхности и всегда меньше единицы: «сдвинуть легче, чем оторвать».
Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Из второго закона Ньютона следует, что, если векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело сохраняет свою скорость неизменной. В частности, если начальная скорость равна нулю, тело остается в покое. Условие неизменности скорости тела можно записать в виде:
или в проекциях на оси координат:
.
Очевидно, что тело может покоиться только по отношению к одной определенной системе координат. В статике изучают условия равновесия тел именно в такой системе. Необходимое условие равновесия можно получить также, рассмотрев движение центра масс системы материальных точек. Внутренние силы не влияют на движение центра масс. Ускорение центра масс определяется векторной суммой внешних сил. Но если эта сумма равна нулю, то ускорение центра масс , а, следовательно, скорость центра масс . Если в начальный момент , то центр масс тела остается в покое.
Таким образом, первое условие равновесия тел формулируется следующим образом: скорость тела не изменяется, если сумма внешних сил, приложенных в каждой точке, равна нулю. Полученное условие покоя центра масс является необходимым (но недостаточным) условием равновесия твердого тела.
Пример
Может быть так, что все силы, действующие на тело, уравновешены, тем не менее, тело будет ускоряться. Например, если приложить две равных и противоположно направленных силы (их называют парой сил) к центру масс колеса, то колесо будет покоиться, если его начальная скорость была равна нулю. Если же эти силы приложить к разным точкам, то колесо начнет вращаться (рис. 4.5). Это объясняется тем, что тело находится в равновесии, когда сумма всех сил равна нулю в каждой точке тела. Но если сумма внешних сил равна нулю, а сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, не равна нулю, то тело не будет находиться в равновесии, возможно (как в рассмотренном примере) вращательное движение. Таким образом, если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.
Чтобы получить второе условие равновесия, воспользуемся уравнением вращательного движения , где – сумма моментов внешних сил относительно оси вращения. Когда , то и b = 0, а значит, угловая скорость тела не меняется . Если в начальный момент w = 0, то тело и в дальнейшем не будет вращаться. Следовательно, вторым условием механического равновесия является требование равенства нулю алгебраической суммы моментов всех внешних сил относительно оси вращения:
В общем случае произвольного числа внешних сил условия равновесия можно представить в следующем виде:
,
.
Эти условия необходимы и достаточны.
Пример
Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие является устойчивым, если при малых смещениях тела из положения равновесия действующие на него силы и моменты сил стремятся вернуть тело в положение равновесия (рис. 4.6а). Равновесие неустойчиво, если действующие силы при этом уводят тело еще дальше от положения равновесия (рис. 4.6б). Если при малых смещениях тела действующие силы по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное (рис. 4.6в). Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия.
 |
Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза, которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.
Пизанская башня получила известность благодаря тому, что она сильно наклонена. Башня «падает». Высота башни составляет 55,86 метров от земли на самой низкой стороне и 56,70 метров на самой высокой стороне. Её вес оценивается в 14700 тонн. Текущий наклон составляет около 5,5°. Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.
Полагали, что кривизна башни задумана зодчими изначально – ради демонстрации своего незаурядного умения. Но куда более вероятно другое: архитекторы знали, что строят на крайне ненадежном фундаменте, и потому заложили в конструкцию возможность легкого отклонения.
Когда возникла реальная угроза обрушения башни, за нее взялись современные инженеры. Ее затянули в стальной корсет из 18 тросов, фундамент утяжелили свинцовыми блоками и параллельно укрепили грунт, закачивая под землю бетон. С помощью всех этих мер удалось уменьшить угол наклона падающей башни на полградуса. Специалисты говорят, что теперь она сможет простоять еще как минимум 300 лет. С точки зрения физики принятые меры означают, что условия равновесия башни стали более надежными.
Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым (рис. 4.7а). Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 4.7б).
Особым случаем равновесия является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, то есть внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается.
