Вопрос: Раньше номера трамваев обозначали двумя цветными фонариками. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, используя фонари восьми различных цветов? Задания для контрольной работы

Задачи по комбинаторике

1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.

Ответ˸ 55 440.

2. Комиссия состоит из председателя, ᴇᴦο заместителя и ещё пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?

Ответ˸ 42.

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Ответ˸ 1 140.

4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, в случае если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?

Ответ˸ 968.

5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

Ответ˸ 253.

6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, в случае если использовать фонари восьми цветов?

Ответ˸ 64.

7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.

Ответ˸ 240.

8. Замок открывается только в том случае, в случае если набран определенный трехзначный номер.
Размещено на реф.рф
Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр.
Размещено на реф.рф
Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

Ответ˸ 124.

9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

Ответ˸ 32 760.

10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют ещё 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?

Ответ˸ 25!/20!.

11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, в случае если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)

Ответ˸ 3 126.

12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?

Ответ˸ 896.

13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?

Ответ˸ 8!.

14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько должна быть различных составов групп?

Ответ˸ 30!/(10!) .

15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, в случае если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

Ответ˸ 42.

16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?

Ответ˸ 9!.

17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

Задачи по комбинаторике - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Задачи по комбинаторике" 2015, 2017-2018.

Оренбург 250 300 200 300 600 Заказ 600 500 200 100 с1 = 250; с2 = 200; с3 = 150. б) Таблица 22 Филиалы Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Объем закупки Поставщик Гданьск 200 300 250 150 550 Краснодар 300 400 300 250 650 Оренбург 150 250 200 200 800 Заказ 450 700 300 300 с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150. в) Таблица 23 Филиалы Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Объем закупки Поставщик Гданьск 200 300 250 150 650 Краснодар 250 400 300 250 750 Оренбург 150 250 200 200 600 Заказ 500 750 400 300 с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150. Задача 2. Четыре магазина «Лига-плюс», «Умка», «Гурман» и «Улей» торгуют молочной продукцией, ко- торую поставляют три молокозавода. Первый завод имеет соглашение с фирменным магазином "Гурман" о фиксированной поставке ему своей продукции. Тарифы на доставку молочной продукции и объем фиксирован- ной поставки (в ящиках) даны в таблицах по вариантам. Найдите оптимальный план поставок молочной про- дукции. а) Таблица 24 Магазин «Лига-плюс» «Гурман» «Умка» «Улей» Объем закупки Завод 1 5 8 6 10 700 200 2 9 6 7 5 800 3 6 7 5 8 500 800 400 600 200 б) Таблица 25 Магазин «Лига-плюс» «Гурман» «Умка» «Улей» Объем закупки Завод 1 5 10 7 400 300 5 2 6 8 5 8 600 3 7 9 6 4 900 500 700 200 500 К РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА» Задание 3 Таблица 26 Вариант № Задания I а) Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены ко- миссии могут распределить между собой обязанности? б) Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, про- водится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести. в) Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений? II а) Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек? б) Замок открывается толь- ко в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной? в) Порядок выступления восьми участников конкурса определя- ется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно? III а) Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосоче- тание может содержать от трех до десяти звуков? б) Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эста- феты 800 + 400 + 200 + 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты? в) На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и вто- рой тома не стояли рядом? IV а) В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета? б) Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды? в) Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распре- делиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке? Продолжение табл. 26 Вариант Задания V а) Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество раз- личных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов? б) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладъя мо- жет взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски). в) Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр? К РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»: Задание 4 Таблица 27 Вариант Задания а) Классическое и статистическое определение вероятности I Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях четная, причем на грани одной из костей появится шестерка II При перевозке ящика, в котором содержалась 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем не известно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки ящика) деталь оказа- лась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь III Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одина- кового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероят- ность того, что наудачу извлеченный кубик имеет: а) одну окрашенную грань; б) две окрашенные грани; в) три окрашенные грани IV В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная V В коробке пять одинаковых деталей, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие б) Теоремы сложения и умножения вероятностей I На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь наудачу вы- бирает три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете Продолжение табл. 27 Вариант Задания II В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена III Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, а вероятность того, что при аварии сработает второй сигнализатор, равна 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор IV Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при первом залпе в мишень попадет только один из стрелков V Из партии товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта в) Вероятность появления хотя бы одного события I В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от дру- гого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны p1 = 0,1; p2 = 0,15; p3 = 0,2, найти вероятность того, что тока в цепи не будет II Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответ- ственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент III Для разрушения моста достаточно попадании одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответ- ственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 07 IV Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле V Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спорт- смены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами г) Формула полной вероятности I В урну, содержащую два шара, спущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Най- ти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету) Продолжение табл. 27 Окончание таб Вариант Задания II В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95 для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки III В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из ка- ждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров был наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар IV В каждой из трех урн содержится б черных с 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен одни шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется бе- лым V В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе 1, 20 деталей, изготовленных на заводе 2 и 18 деталей, изготовленных на заводе 3. Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе 1 отлич- ного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах 2 и 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества д) Основные формулы теории вероятностей I В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок сразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без опти- ческого прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? II В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием А, 30 % – с за- болеванием Б, 20 % – с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7; для бо- лезней Б и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием А III Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются IV В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рожде- ния мальчика принять равной 0,51 V Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что орел выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз Задание 5 Таблица 28 Вариант Задание а) Дискретные случайные величины, числовые характеристики дискретных случайных величин I 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,1 0,3 0,6 0,8 P 0,2 0,1 0,4 0,3 Построить многоугольник распределения. 1.2 Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероят- ность того, что тираж содержит пять бракованных книг. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,2 II 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,10 0,15 0,20 0,25 P 0,1 0,3 0,2 0,4 Построить многоугольник распределения. 1.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в момент вре- мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,7 III 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,2 0,4 0,5 0,6 P 0,3 0,1 0,2 0,4 Построить многоугольник распределения. 1.2 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди отобранных 200 деталей окажется ровно 4 бракованных. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,5 Продолжение табл. 28 Вариант Задание IV 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,2 0,6 0,9 1,2 P 0,3 0,1 0,2 0,4 Построить многоугольник распределения. 1.2 Завод направил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,6 V 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,3 0,4 0,7 0,10 P 0,4 0,1 0,2 0,3 Построить многоугольник распределения. 1.2 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, то бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1. вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,1 б) Непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерыв- ных случайных величин, распределения непрерывной случайной величины. I 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X 0, x ≤ 0; F(X)= sin x, 0 < x ≤ Π /2; 1, x > Π/2. Найти плотность распределения f(x). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2x на интервале (0; 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математиче- ское ожидание и дисперсию величины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 0,5x в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого по- рядков. 1.4 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случай- ной величины X, распределенной равномерно в интервале (2; 8) Продолжение табл. 28 Вариант Задание II 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X 0, x ≤ 0; F(X) = sin 2x, 0 < x ≤ Π /4; 1, x > Π/4. Найти плотность распределения f(x). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/2)x на интервале (0; 2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти матема- тическое ожидание и дисперсию величины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2x в интервале (0; 1), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого поряд- ков. 1.4 Случайные величины X и Y независимы и распределены равно- мерно: X в интервале (a, b), Y – в интервале (c, d). Найти математиче- ское ожидание и дисперсию произведения XY III 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X 0, x≤0; F(X) = cos 2x, 0Π/2. Найти плотность распределения f(x). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (–3/4)x 2 + (9/2)x – 6 на интервале (2; 4); вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание, дисперсию и медиану величины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 4x в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого поряд- ков. 1.4 Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 12. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (10; 14) IV 1.1 Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины X 0, x ≤ 0; f(x) = cos x, 0 < x ≤ Π /2; 1, x > Π/2. Продолжение табл. 28 Вариант Задание IV Найти функцию распределения F(X). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (–3/4)x 2 + 6x – 45/4 на интервале (3; 5); вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание, дисперсию и медиану величины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/3)x в интервале (0; 3), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого по- рядков. 1.4 Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25) V 1.1 Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины X 0, x ≤ 0; f(x) = sin, 0 < x ≤ Π /2; 1, x > Π/2. Найти функцию распределения F(X). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (–3/4)x 2 + 12x – 8 на интервале (7; 9); вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание, дисперсию и медиану ве- личины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 1,5x в интервале (0; 6), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого по- рядков. 1.4 Производится измерение диаметра вала без систематических (од- ного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нор- мальному закону со средним квадратическим отклонением равным 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм Варианты контрольной работы приведены в табл. 29. Номер выполняемого варианта совпадает с порядко- вым номером студента в списке группы. Таблица 29 № Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 1 в, табл. 18 1, а), 21 I, табл. 26 II, табл. 27 III, табл. 28 2 а, табл. 16 1, б), 22 II, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 3 б, табл. 17 1, в), 23 III, табл. 26 IV, табл. 27 V, табл. 28 4 в, табл. 18 2, а), 24 IV, табл. 26 V, табл. 27 I, табл. 28 5 г, табл. 19 2, б), 25 V, табл. 26 I, табл. 27 I, табл. 28 6 д, табл. 20 1, в), 23 II, табл. 26 II, табл. 27 II, табл. 28 7 а, табл. 16 2, а), 24 V, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 8 б, табл. 17 1, а), 21 II, табл. 26 IV, табл. 27 V, табл. 28 9 в, табл. 18 1, б), 22 III, табл. 26 V, табл. 27 V, табл. 28 10 г, табл. 19 2, а), 24 I, табл. 26 IV, табл. 27 II, табл. 28 11 д, табл. 20 1, в), 23 II, табл. 26 II, табл. 27 III, табл. 28 12 в, табл. 18 2, а), 24 III, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 13 а, табл. 16 2, б), 25 I, табл. 26 IV, табл. 27 I, табл. 28 14 б, табл. 17 1, в), 23 II, табл. 26 V, табл. 27 II, табл. 28 15 г, табл. 17 2, а), 24 III, табл. 26 I, табл. 27 III, табл. 28 16 д, табл. 18 1, а), 21 IV, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 17 а, табл. 19 1, б), 22 V, табл. 26 II, табл. 27 V, табл. 28 18 в, табл. 20 2, б), 25 I, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 19 г, табл. 18 1, в), 23 III, табл. 26 IV, табл. 27 II, табл. 28 20 д, табл. 20 1, а), 21 II, табл. 26 V, табл. 27 III, табл. 28 21 г, табл. 18 1, б), 22 III, табл. 26 I, табл. 27 IV, табл. 28 22 а, табл. 16 1, в), 23 IV, табл. 26 V, табл. 27 V, табл. 28 23 а, табл. 18 2, а), 24 V, табл. 26 I, табл. 27 IV, табл. 28 24 б, табл. 17 2, б), 25 I, табл. 26 II, табл. 27 I, табл. 28 25 в, табл. 20 1, б), 22 V, табл. 26 III, табл. 27 II, табл. 28 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник для вузов / под ред. В.И. Ермакова. – М. : ИНФРА-М, 1999. 2 Зайцев, М.В. Прикладная математика: учебное пособие / М.В. Зайцев, А.А. Беляев. – М. : Изд-во МГУК, 1999. – Ч. 1, 2. 3 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М. : Высшая школа, 1977. 4 Гнеденко, Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей: учебное пособие / Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. – М. : Наука, 1976. 5 Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турун- даевский. – М. : Высшая школа, 1991. 6 Матвеев, В.И. Курс линейного программирования для экономистов: учебное пособие / В.И. Матвеев, Р.В. Сагитов, В.Г. Шершнев. – М. : Менеджер, 1998. Таблица 11

1. Решить задачу

1. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из группы в 24 человека?

2. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

3. Из 20 спортсменов выбирается команда на соревнование по плаванию в количестве 5-ти человек. Сколько различных команд можно составить?

4. Номер кодового замка состоит из пяти цифр. Сколько различных кодов можно составить, используя 10 цифр.

5. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

6. Сколькими способами можно выбрать двух студентов из группы в 15 человек?

7. Сколькими способами можно распределить три призовых места среди 20 спортсменов?

8. Из группы студентов 20 человек выбирают старосту и заместителя. Сколько вариантов такого выбора возможно?

9. Номер кодового замка состоит из четырех цифр. Сколько различных кодов можно составить, используя 10 цифр.

10. Контрольная работа содержит 5 задач. Сколько вариантов можно составить при выборе из 20 задач?

2. Решить задачу

1. В группе 15 девушек и 11 парней. Случайным образом выбирают одного студента. Какова вероятность, что это юноша?

2. На карточках написаны буквы У, Ч, Е, Б, Н, И, К. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово Учебник?

3. На карточках написаны буквы м, а, т, е, м, а, т, и, к, а. Берут подряд четыре карточки. Какова вероятность, что при этом получится слово тема ?

4. Среди 20 студентов группы, в которой 8 девушек, составляется команда для соревнований из 6 участников. Какова вероятность, что в команде окажутся 2 девушки?

5. Из 15 книг, стоящих на полке 10 по теории вероятностей. Найти вероятность того, что среди 5 взятых с полки книг три по теории вероятностей.

6. В ящике находятся 10 красных, 5 голубых и 5 белых шаров. Наудачу вынимают 4. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 красных, 1 голубой и 1 белый шар?

7. В бригаде 4 женщины и три мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность, что среди обладателей билетов окажутся две женщины?

8. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых три бракованных, наудачу извлекают три изделия. Найти вероятность того, что в полученной выборке одно изделие бракованное?

9. Из 10 билетов выигрышными являются два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?

10. На шести одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, о, к. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность, что получится слово молоко ?

3. Решить задачу

1. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,9. найти вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

2. Спортсмен стреляет по мишени. Вероятность попадания в первый сектор при этом равна 0,4, а во второй – 0,3. Какова вероятность того, что спортсмен попадет в один из секторов?

3. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,014, 0,011, 0,009, 0,006. Найти вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.

4. Найти вероятность того, что при подбрасывании игрального кубика на верхней грани окажется четное или кратное трем число очков.

5. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (без возвращения). Найти вероятность того, что оба шара белые.

6. При работе с тремя аппаратами вероятность выхода из строя первого равна 0,6, второго – 0,72, третьего 0,8. Какова вероятность того, что все три аппарата одновременно выйдут из строя?

7. В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность, что это будут мальчик и девочка?

8. В вазе 12 красных и 9 белых роз. Наудачу составляют букет из трех цветов. Какова вероятность, что все розы красного цвета?

9. Завод изготавливает продукции первого сорта 50%, а высшего 30%. Какова вероятность, что случайно взятое изделие первого или высшего сорта?

10. Вероятности попадания каждого из трех выстрелов соответственно равны 0,9, 0,8, 0,7. Найти вероятность попадания двух выстрелов.

4. Решить задачу

1. При механической обработке станок обычно работает в двух режимах: рентабельном и нерентабельном. Рентабельный режим наблюдается в 80% из всех случаев работы, нерентабельный – в 20%. Вероятность выхода из строя за время t работы в рентабельном режиме равна 0.1, в нерентабельном – 0,7. Найти вероятность выхода станка из строя за время t

2. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт на разных перфораторах. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица

3. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из 2-ой партии. Найти вероятность того, что изделие из второй партии будет бракованным

4. На фабрике на машинах трех видов производят соответственно 25, 35 ,40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5,4 и 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие фабрики будет дефектно.

5. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении , причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%, 2%, 1%. Прибор, приобретенный НИИ, оказался бракованным. Какова вероятность того, что прибор произведен первым заводом?

6. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй 40%, третий всю остальную часть продукции. Брак в их продукции составляет: у первого 2%, у второго -3%, у третьего 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим.

7. В продажу поступила партия запасных деталей, произведенных на двух станках. Причем, 70% продукции произведено на первом станке. Среди деталей, произведенных первым станком 4% бракованных, вторым -1%. Найти вероятность того, что купленная покупателем деталь оказалась бракованной.

8. Безаварийная работа объекта обеспечивается тремя сигнализаторами. Вероятности того, что первым отказом будет отказ 1, 2, 3 сигнализатора равны . В каждом из этих случаев может произойти авария с вероятностями 0,04; 0,03; 0,012. Найти вероятность аварии при первом отказе какого либо сигнализатора.

9. В некотором вузе 75% юношей и 25 % девушек. Среди юношей курящих 20%, среди девушек 10%. Наудачу выбранное лицо оказалось курящим. Какова вероятность, что это юноша?

10. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков: 10% от первого, 40% от второго и 50% от третьего. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков не потребуют ремонта в течении гарантийного срока соответственно в 98%, 88%, 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течении гарантийного срока.

5. Решить задачу

1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

2. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность того, что выпало ровно 2 герба.

3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 7 выстрелах произойдет ровно 3 попадания в мишень.

4. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность того, что выпало более 2 гербов.

5. Всхожесть семян растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех семян взойдут три.

6. . Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 4 раза.

7. В семье трое детей. Какова вероятность того, что все они мальчики. Вероятность рождения мальчика 0,51

8. Всхожесть семян растения равна 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут меньше трех.

9. В семье 6 детей. Какова вероятность того, что среди них не более 2-х девочек. Вероятность рождения мальчика 0,51.

10. Всхожесть семян растения равна 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее трех.

6. Решить задачу

1. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 независимых испытаний. Найти вероятность появления события не менее 1470 и не более 1500 раз.

2. Найти вероятность того, что среди 500 новорожденных окажется от100 до 200 мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять 0,51.

3. Вероятность рождения девочки 0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет 50 девочек.

4. Вероятность появления события в каждом из 300 независимых испытаний постоянна и равна 0,7. Найти вероятность появления события не менее 150 раз.

5. . Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено более 3-х изделий

6. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено более трех.

7. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

8. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено не более трех.

9. Найти вероятность того, что событие А наступит в 2000 испытаниях 1000 раз. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,6.

10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что при 90 выстрелах мишень будет поражена 50 раз.

7. Дискретная с.в. X задана законом распределения

Требуется:

1) построить функцию распределения,

2) найти математическое ожидание,

4) дисперсию,

5) среднее квадратическое отклонение,

6) коэффициент вариации,

7) коэффициент асимметрии

8. Непрерывная с.в.Х задана плотностью распределения вероятностей. Требуется.

Пусть есть некоторое конечное множество элементов U ={a 1 , a 2 , ..., a n }. Рассмотрим набор элементов , где ÎU , j = 1, 2, ..., r .

Этот набор называется выборкой объема r из n элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U , так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).

Комбинаторные задачи связаны с подсчетом числа выборок объема r из n элементов, где выборки подчиняются определенным условиям, т.е. выбор производится по какому-нибудь принципу. Подсчет числа выборок основывается на двух правилах теории множеств.

Принцип суммы: если card A = m , card B = n и A ÇB = Æ , то card A È B = =m +n A можно выбрать m способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор “A или B ” может быть осуществлен m +n способами.

Принцип произведения : если card A =m , card B =n , то card (A ´B )=m +n . На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран m способами, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор “A и B ” может быть осуществлен m×n способами.

Пример 1. A = 10 {различных шоколадок}, B = 5 { различных пачек печенья}. Выбор “A или B ” означает, что выбирается что-то одно и способов выбора в этом случае будет 15. Выбор “A и B ” означает, что выбирается 1 шоколадка и 1 пачка печенья и различных вариантов для такого выбора будет 50.

Пример 2. Бросают 2 игральные кости. Сколькими способами они могут выпасть так, что на каждой кости выпадет четное число очков либо на каждой кости выпадет нечетное число очков?

Пусть m – число возможностей для выпадения четного числа на одной кости, n – число возможностей для выпадения нечетного числа. Здесь m = n = 3. По правилу произведения количество выпадения четных чисел, как и нечетных, равно 9. По правилу суммы количество возможностей для выпадения двух четных и двух нечетных чисел будет 18.

Рассмотрим основные способы формирования выборок.

Определение. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.

Из определения следует, что две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.

Перестановки. Упорядоченные выборки, объемом n из n элементов, где все элементы различны, называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов обозначается P n .

Теорема . P = n !

Доказательство проводится по индукции. Очевидно, если n = 1, то перестановка только одна и P 1 = 1!. Пусть для n = k теорема верна и P k = k !, покажем, что она тогда верна и для n = k +1. Рассмотрим (k +1)- й элемент, будем считать его объектом A , который можно выбрать k +1 способами. Тогда объект B – упорядоченная выборка из оставшихся k элементов по k . B соответствии с индуктивным предположением объект B можно выбрать k ! способами. По принципу произведения выбор A и B можно осуществить k !(k +1) = (k +1)! способами. Совместный выбор A и B есть упорядоченная выборка из k + 1 элементов по k + 1.

Пример 3. Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 10 различных книг? Ответ: 10!

Можно рассуждать иначе. Выбираем первый элемент, это можно сделать n способами. Затем выбираем второй элемент, это можно сделать (n - 1) способами. По правилу произведения упорядоченный выбор двух элементов можно осуществить n ´(n - 1) способами. Затем выбираем третий элемент, для его выбора останется n - 2 возможности, последний элемент можно выбрать единственным способом. Мы вновь приходим к формуле: n (n - 1)(n - r ) ... 1.

Размещения . Упорядоченные выборки объемом m из n элементов (m < n ), где все элементы различны, называются размещениями. Число размещений из n элементов по m обозначается .

Теорема. =

Обозначим x = . Тогда оставшиеся (n – m ) элементов можно упорядочить (n – m )! способами. По принципу произведения, если объект A можно выбрать x способами, объект B (n – m )! способами, то совместный выбор “A и B ” можно осуществить x ×(n – m )! способами, а выбор “A и B ” есть перестановки и P n = n ! Отсюда x = =

Рассуждая иначе: первый элемент выбираем n способами, второй – (n – 1) способами и т.д. , m –й элемент выбираем (n – m + 1) способом. По принципу произведения вновь имеем: n (n – 1)...(n – m +1), что совпадает с .

Пример 4. Группа из 15 человек выиграла 3 различных книги. Сколькими способами можно распределить эти книги среди группы?

Имеем = 15 ×14 ×13 = 2730.

Сочетания . Неупорядоченные выборки объемом m из n элементов (m < n ) называются сочетаниями. Их число обозначается .

Теорема.

Доказательство. Очевидно, Действительно, объект A – неупорядоченная выборка из n элементов по m , их число . После того, как эти m элементов отобраны, их можно упорядочить m ! способами (в роли объекта B выступает “порядок“ в выборке). Совместный выбор “A и B “ – упорядоченная выборка.

Пример 5 . Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?

Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.

Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (n ).

Теорема. (n ) = n m .

Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и так далее, m -й элемент также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем n m .

Пример 6 . Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 10 4 .

Пример 7 . Рассмотрим вектор длины m , каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов?

Это есть выборка, объемом m из двух элементов.Ответ:2 m

Перестановки с повторениями . Пусть имеется n элементов, среди которых k 1 элементов первого типа, k 2 элементов второго типа и т.д., k s элементов s -го типа, причем k 1 + k 2 + ... + k s = n . Упорядоченные выборки из таких n элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается C n (k 1 , k 2 , ..., k s ). Числа C n (k 1 , k 2 , ..., k s) называются полиномиальными коэффициентами.

Теорема. C n (k 1 , ..., k s)=

Доказательство проведем по индукции по s , т. е. по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k 1 = n , все элементы одного типа и C n (n ) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k 1 + k 2 . В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k 1 (или k 2): выбираем k 1 место, куда помещаем элементы первого типа.

C n (k 1 ,k 2) =

Пусть формула верна для s = m , т.е. n = k 1 + ... + k m и

C n (k 1 , ..., k m )=

Докажем, что она верна для s = m + 1 (n = k 1 +... + k m + k m +1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объект A – выбор k m + 1 места для элементов (m + 1)-го типа; объект B – перестановка с повторениями из (n – k m +1) элементов. Объект A можно выбрать способом, B – (k 1 , ..., k m) способами. По принципу произведения

и мы получили требуемую формулу.

Замечание . Числа называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что

Пример 8 . Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?

Решение. Буква “а” входит 3 раза (k 1 = 3), буква “м” – 2 раза (k 2 = 2), “т” – 2 раза (k 3 = 2), буквы “е”, ”к”, ”и” входят по одному разу, отсюда k 3 = k 4 = k 5 = 1.

C 10 (3, 2, 2, 1, 1, 1) = =151200.

Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число ³ m ´n ) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается (n ).

Теорема. (n ) = .

Доказательство. Пусть в выборку вошло m 1 элементов первого типа, m 2 элементов второго типа, ...m n – n -го типа. Причем каждое 0 £ m i £ m и m 1 +m 2 + ...+ m n = =m . Сопоставим этой выборке вектор следующего вида: Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов {b n } существует биекция (докажите это!). Следовательно, (n ) равно числу векторов b n . “ Длина вектора” b n равна числу 0 и 1, или m + +n– 1. Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить на m + n - 1 мест, а это будет .

Пример 9. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать? (Предполагается, что пирожных каждого вида ³ 4).

Число способов будет

Пример10. Пусть V = {a , b , c }. Объем выборки m = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

1. Перестановки: {abc , bac , bca , acb , cab , cba }. P 3 =3!=6.

2. Размещения: {(ab ), (bc ), (ac ), (ba ), (cb ), (ca )}.

3. Сочетания: {(ab ), (ac ), (bc )}.

4. Размещения с повторениями: {(ab ), (bc ), (ac ), (ba ), (cb ), (ca ), (aa ), (bb ), (cc )}. (3)= 3 2 = 9.

5. Сочетания с повторениями: {(ab ), (bc ), (ca ), (aa ), (bb ), (cc )}.

Задачи по комбинаторике

1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.

Ответ: 55 440.

2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Ответ: 1 140.

4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?

Ответ: 968.

5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

Ответ: 253.

6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.

Ответ: 240.

8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

Ответ: 124.

9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

Ответ: 32 760.

10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?

Ответ: 25!/20!.

11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)

Ответ: 3 126.

12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?

Ответ: 896.

13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?

14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?

Ответ: 30!/(10!) .

15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?

17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

Ответ: 2 520.

19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.

Ответ: 12!/(2!) .

20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?

Ответ: 204.

21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?

Ответ: 2×9!.

22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).

Ответ: 2 027 025.

23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?

Ответ: 5 6 ; 6×4 5 .

24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Ответ: 2 10 .

25. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?

Ответ: 16 100 .

26. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

27. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 80!(3! ×75!).

28. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 10!/48.

29. Три автомашины №1,2,3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину №1?

Ответ: 3 6 ×6!.

30. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную секцию. В секцию хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики – только девушек, а в лыжную и конькобежную секции – и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?

Ответ: 2304.

31. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?

Ответ: 15 368.

32. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова –15, в вокальном кружке – 12, в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?

Ответ: 15!10/7!

33. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?

34. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 15 015.

35. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 3 5 .

36. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в лифте?

Ответ: 16!/(2 6 ×3 2).

38. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 – второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).

Ответ: 420.

39. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа: не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Ответ: 1800.

40. Семь яблок и два апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 105.

41. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

42. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Ответ: 9×10 6 .

43. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?

44. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?

45. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Ответ: 2(6!) 2 .

46. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?

Ответ: 2 200 .

47. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на восьмой этаж будет доставлено не более двух материалов?

Ответ: 8 6 ; 8 6 –13×7 5 .

48. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?

Ответ: 2(11!) 2 .

49. На книжной полке книги по математике и по логике – всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.

Ответ: C 5 10– x × C 5 10+ x (C 5 10) 2 .

50 .Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры группами выходят по два, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?

Ответ: 10!/4.

51. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?

52. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?

53. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?

Ответ: 6 × 8! × 2!.

54. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться; г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.

Ответ: а) 5 × 5 × 4 × 3=300; б) 5 × 6 = 1080; в) 3 4 ; г) 5 × 6 × 6 × 3 = 540.

55. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?

56. На одной прямой взято m точек, на параллельной ей прямой n точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?

Ответ:

57 . Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например, 67876.

Ответ: 9 × 10 × 10 = 900.

58. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число

59. В прямоугольной матрице A = {a ij } m строк и n столбцов. Каждое a ij Î{+1, –1}, причем произведение a ij по любой строке или любому столбцу равно 1. Сколько таких матриц? разных книг в красных переплетах и q разных книг в синих переплетах (q £ p + 1). Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?

65. Сколькими способами можно упорядочить {1, 2, ... n } чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?

Ответ: (n – 2)!.

66. На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A. Сколькими способами можно установить их очередность.

Ответ: 12 = 3! + 2× 2 +2.

67. Сколькими способами m + n + s предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой – n , в третьей – s предметов.

Ответ:

68. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение x 1+ x 2+ ... + xm = n.

69. Найти число векторов Z = (a 1a 2... an ), координаты которых удовлетворяют условиям:

1) ai Î {0, 1};

2) ai Î {0, 1, ... k – 1};

3) ai Î {0, 1, ... ki – 1};

4) ai Î {0, 1} и a 1+ a 2+ ... + an = r .

Ответ: 1) 2n ; 2) kn ; 3) k 1k 2... kn ; 4) .

70. Каково число матриц {aij }, где aij Î{0,1} и в которой m строк и n столбцов? 1) строки могут повторяться; 2) строки попарно различны.

Ответ: 1) 2m ×n ; 2) .

71. Дано m предметов одного сорта и n другого. Найти число выборок, составленных из r элементов одного сорта и s другого.

72. Сколькими способами число n можно представить в виде суммы k натуральных слагаемых (представления, различающиеся лишь порядком слагаемых считаются разными).

73. Бросаются 10 одинаковых игральных костей. Сколькими способами они могут упасть так, что:

1) ни на одной кости не выпадет 6 очков;

2) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков;

3) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков;

4) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков, на 2-х других выпадет 5 очков.

Ответ: 5 10 , 6 10 -5 10 , 24´5 8 , 630´4 6

74. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем могут начинаться и с 0 тоже, найти число телефонных номеров, таких что:

1) 4 последние цифры одинаковы и не встречаются среди первых 3-х (первые 3 цифры различны.);

2) все цифры различны;

3) номер начинается с цифры 5;

4) номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2.

Ответ: 5040, , 10 6 , 210.

75. 10 человек, среди которых Иванов и Петров, размещаются в гостинице в двух 3-х местных и в одном 4-х местном номерах. Сколькими способами они могут быть размещены? Сколькими способами их можно разместить, если Иванов и Петров помещены в 4-х местный номер?

78. Сколькими способами можно выстроить 9 человек:

1) в колонну по одному;

2) в колонну по 3, если в каждой шеренге люди выстраиваются по росту и нет людей одинакового роста?

Ответ: 9!, .

79. Из n букв, среди которых a встречается α раз, буква b встречается β раз, а остальные буквы попарно различны, составляются слова. Сколько среди них будет различных r -буквенных слов, содержащих h раз букву a и k раз букву b ?

80. Имеется колода из 4n (n ³5) карт, которая содержит карты 4-х мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1,2…n . Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся:

1) 5 последовательных карт одной масти;

2) 4 карты из 5-ти с одинаковыми номерами;

3) 3 карты с одним номером и 2 карты с другим;

4) 5 карт одной масти;

5) 5 последовательно занумерованных карт;

6) 3 карты из 5-ти с одним и тем же номером;

7) не более 2-х карт каждой масти.

Ответ: 4(n –4), 4n (n –1), 12n (n –1), , 4 5 (n –4), , .

81. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы между любыми 2-мя единицами находилось не менее m нулей?

Ответ: .

ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

множеством векторов {b n } существует биекция (докажите это!). Следовательно,

C n m (n ) равно числу векторовb n . “ Длина вектора”b n равна числу 0 и 1, илиm + +n–

1. Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить наm +n 1 мест, а это будет C n m +m- 1 .

Пример 9. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4

пирожных. Сколькими способами он может это сделать? (Предполагается, что

Пример10 . ПустьV = {a ,b ,c }. Объем выборкиm = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

1. Перестановки: { abc ,bac ,bca ,acb ,cab ,cba }.P 3 =3!=6.

2. Размещения : {(ab ), (bc ), (ac ), (ba ), (cb ), (ca )}.A 3 2 1 3 ! ! 6 .

1.2. Задачи по комбинаторике

1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.

Ответ: 55 440.

2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек.

Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20

Ответ: 1 140.

4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?

Ответ: 968.

5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

Ответ: 253.

6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е.

каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.

Ответ: 240.

8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

Ответ: 124.

9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты

800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

Ответ: 32 760.

10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в

которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?

Ответ: 25!/20!.

11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую,

если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)

Ответ: 3 126.

12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?

Ответ: 896.

13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?

14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой.

Сколько может быть различных составов групп?

Ответ: 30!/(10!) 3 .

15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?

17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

Ответ: 30! 2 29!.

18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

Ответ: 2 520.

19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.

Ответ: 12!/(2!) 6 .

20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?

Ответ: 204.

21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?

Ответ: 2 9!.

22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).

Ответ: 2 027 025.

23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?

Ответ: 56 ; 6 45 .

24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими

способами они могут распределить работу? Ответ: 210 .

25. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?

Ответ: 16100 .

26. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

27. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 80!(3! 75!).

28. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 10!/48.

29. Три автомашины №1,2,3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины

в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину №1?

Ответ: 3 6 6!.

30. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную секцию. В секцию хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики – только девушек, а в лыжную и конькобежную секции – и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?

Ответ: 2304.

31. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы,

если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?

Ответ: 15 368.

32. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова –15, в вокальном кружке – 12, в фотокружке – 20 человек.

Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?

Ответ: 15!10/7!

33. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?

Ответ: 28!/(7!}4 .

34. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 15 015.

35. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам.

Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 35 .

36. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в лифте?

Ответ: 108 .

Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре – по две, два – по одной главе книги?

Ответ: 16!/(26 32 ).

38. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 –

второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).

Ответ: 420.

39. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа: не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в

которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Ответ: 1800.

40. Семь яблок и два апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 105.

41. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

42. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр.

Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Ответ: 9 106 .

43. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?

44. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?

45. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы.

Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Ответ: 2(6!)2 .

46. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?

Ответ: 2200 .

47. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В

скольких вариантах на восьмой этаж будет доставлено не более двух материалов?

Ответ: 86 ; 86 –13 75 .

48. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?

Ответ: 2(11!)2 .

49. На книжной полке книги по математике и по логике – всего 20 книг.

Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.

Ответ: C 5 10–x C 5 10+x(C 5 10) 2 .

50 . Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры группами выходят по два, три и четыре человека.

Сколькими способами это может произойти?

Ответ: 10!/4.

51. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком».

Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?

52. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?

A 10 6 .

Ответ: 28 8!.

53. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?

Ответ: 6 8! 2!.

54. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,

если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться; г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.

Ответ: а) 5 5 4 3=300; б) 5 6 = 1080; в) 34 ; г) 5 6 6 3 = 540.

55. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?

56. На одной прямой взятоm точек, на параллельной ей прямойn точек.

Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?

Ответ: mC n 2 nC m 2 .

57 . Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например, 67876.

Ответ: 9 10 10 = 900.

58. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число

35 54 ?

59. В прямоугольной матрицеA = {a ij }m строк иn столбцов. Каждоеa n n = 2n –1.

61. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

Ответ: C 9 4 = 126.

62. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?

Ответ: C 10 4 = 210.

63. Имеетсяp белых иq черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы никакие 2

черных шара не лежали рядом (q p + 1)?

Ответ: C q .p 1

64. Имеетсяp разных книг в красных переплетах иq разных книг в синих переплетах (q p + 1).

Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?

Ответ: C q p! q! .p 1

65. Сколькими способами можно упорядочить {1, 2, ...n } чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?

Ответ: (n – 2)!.

66. На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A.

Сколькими способами можно установить их очередность.

Ответ: 12 = 3! + 2 2 +2.

67. Сколькими способамиm +n +s предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой –n , в третьей –s предметов.

Ответ: (m + n + s)!.

68. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнениеx 1 +x 2 + ... +x m =n.

Ответ: C n .n m 1

69. Найти число векторов = (1 2 ...n ), координаты которых удовлетворяют условиям:

1) i {0, 1};

2) i {0, 1, ...k – 1}; 3)i {0, 1, ...k i – 1};

4) i {0, 1} и1 +2 + ... +n =r .

Ответ: 1) 2n ; 2)k n ; 3)k 1 k 2 ...k n ; 4)

70. Каково число матриц {a ij }, гдеa ij {0,1} и в которойm строк иn столбцов? 1) строки могут

повторяться; 2) строки попарно различны.

Ответ: 1) 2m n ; 2) .

Главная » Правила в английском языке » Вопрос: Раньше номера трамваев обозначали двумя цветными фонариками. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, используя фонари восьми различных цветов? Задания для контрольной работы