Обобщение опыта. Текстовые задачи в школьном курсе математики

Cтраница 1

Арифметическое решение довольно запутанное, но задача решается просто, если обратиться к услугам алгебры и составить уравнение.  

При арифметическом решении должны быть выписаны все вопросы плана и арифметические действия, служащие ответами на них, а при алгебраическом - мотивы выбора неизвестных, составленные уравнения и их решение.  

Шульц дал арифметическое решение этого уравнения, пользуясь произвольными значениями констант, и пришел к выводу, что эффективность фракционирования должна сильно повышаться при работе с разбавленными растворами.  

Задача допускает чисто арифметическое решение, причем можно обойтись даже без действий над дробями.  

А теперь приведем арифметическое решение этой задачи - решение, в котором удается обойтись вообще без составления уравнений.  

Возможны еще и другие арифметические решения.  

В этом параграфе некоторые задачи допускают как алгебраическое, гак в арифметическое решение; они могут быть использованы при повторении курса арифметики.  

Они предусматривают применение арифметических действий по плану решения задачи. Арифметическое решение часто применяется в расчетах по химическим формулам и уравнениям, по концентрациям растворов и пр.  

Но здесь мы приводим только арифметические решения задач.  

Мы не подразделяем задачи на алгебраические и арифметические, так как задачи, решаемые арифметически, всегда можно решить и алгебраически. Наоборот, задачи, решаемые с помощью уравнений, нередко допускают более простое арифметическое решение. В отделе решений мы даем иногда арифметическое, иногда алгебраическое решение, но это не должно ни в какой мере стеснять инициативу учащегося в выборе способа решения.  

Мы не подразделяем задачи на алгебраические и арифметические, так как задачи, решаемые арифметически, всегда можно решить и алгебраически. Наоборот, задачи, решаемые с помощью уравнений, нередко допускают более простое арифметическое решение. В отделе решений мы даем иногда арифметическое, иногда алгебраическое решение, но это не должно ни L какой мере стеснять инициативу учащегося в выборе способа решения.  

Вот пример косвенной задачи: кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм3 имеет массу 8 14 кг. Здесь из условия задачи не видно, какие действия ведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить план решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Труд вычислителя затрачивается нерационально.  

Для подтверждения своей мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие нешабдаояности очень затрудняли опытных искусных учителей, но легко решались более способными учениками, еще не испорченными учебой. К числу таких задач (их Петров сочинил несколько) относится и задача об артели косцов. Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения, но простое арифметическое решение от них ускользало. Между тем, задача настолько проста, что привлекать для ее решения алгебраический аппарат совсем не стоит.  

Вот пример косвенной задачи: кусок сплава меди и цинка объемом в дм3 весит 8 14 кг. Здесь из условия задачи не видно, какие действия ведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить пл н решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Труд вычислителя затрачивается нерационально.  

Низкопоклонная Мария, Брянцева Людмила

Работа показывает способы решения текстовых задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 64 г. Волгограда

Городской конкурс учебно-исследовательских работ

« Я и Земля» им. В.И. Вернадского

(районный этап)

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Секция « Математика»

Выполнили: Брянцева Людмила,

Обучающаяся 9 А класса МОУ СОШ № 64,

Низкопоклонная Мария,

Обучающаяся 9 А класса МОУ СОШ № 64.

Руководитель: Носкова Ирина Анатольевна,

Учитель математики МОУ СОШ № 64

Волгоград 2014

Введение …………………………………………………………… 3

Глава 1. Нестандартные способы решения задач

1. Задачи по теме « Натуральные числа» ………………….. 5

1. . Задачи « на части и проценты» …………………………... 8
2. Задачи на движение……………………………………...... 11
3. Задачи на совместную работу…………………………… 14

Заключение ………………………………………………………. 16

Литература ………………………………………………………. 16

Введение.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определённое « правило». Таким образом, в давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся в практике (в торговых расчётах и пр.).

Одна из причин этого заключалась в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определённого набора вычислительных умений, связанных с практическими расчётами. При этом линия арифметики – линия числа – ещё не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи. В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого, например, дроби рассматривались как именованные числа(не просто , а рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными, например: « Продано кг сахара по рубля за килограмм…», которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребности обучения вычислениям.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приёмов рассуждений. Научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов.

Ещё один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие во многом напоминает развитие человечества, поэтому использование старинных задач, разнообразных арифметических способов их решения позволяет идти в историческом контексте, что развивает творческий потенциал. Кроме того, разнообразные способы решения будят фантазию детей, позволяют организовать поиск решения каждый раз новым способом, что создаёт благоприятный эмоциональный фон для обучения.

Таким образом, актуальность данной работы можно обобщить в нескольких положениях:

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С помощью их учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач;

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык;

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами, истолковывать результат каждого действия, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи;

Арифметические способы решения текстовых задач приучают к абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес к процессу поиска решения, а затем и к самому предмету;

Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащает опыт мыслительной деятельности, но и позволяет осваивать важный культурно-исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Из всего вышесказанного, мы делаем следующие выводы:

предметом исследования является блок текстовых задач по математике 5-6 классов;

объектом исследования является арифметический способ решения задач.

целью исследования является рассмотрение достаточного количества текстовых задач школьного курса математики и применение к их решению арифметического способа решения;

задачами для реализации цели исследования являются разбор и решение текстовых задач по основным разделам курса « Натуральные числа», « Рациональные числа», «Пропорции и проценты», « Задачи на движение»;

методом исследования является практико - поисковый.

Глава 1. Нестандартные способы решения задач.

1. Задачи по теме « Натуральные числа ».

На данном этапе работы с числами арифметические способы решения задач имеют преимущество над алгебраическими уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки жизненного опыта. Поэтому быстрее и лучше усваиваются различные приёмы рассуждений, опирающиеся на воображаемые действия с известными величинами, чем единый для задач с различной арифметической ситуацией способ решения, основанный на применении уравнения.

1. Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. Найдите задуманное число.

Для решения можно использовать схематичный рисунок, помогающий наглядно представить взаимосвязь операций сложения и вычитания. Особенно эффективной помощь рисунка окажется при большем числе действий с неизвестной величиной. Задумали число 21.

2. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй – 2 комара, в третий – 3 и т.д. Сколько комаров влетело за сутки?

Здесь используется метод разбивания всех слагаемых на пары (первое с последним; второе с предпоследним и т.д.), найти сумму каждой пары слагаемых и умножить на количество пар.

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 · 12 = 300.

Влетело 300 комаров.

3. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из сестёр? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет; Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой сестре?

1. 38 – 28 = 10 (лет) – Любе;

2. 23 – 10 = 13 (лет) – Наде;

3.28 – 13 = 15 (лет) – Вере.

Любе 10 лет, Наде 13 лет, Вере 15 лет.

4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино – 21 ,а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Рассмотрим решение задачи, на рисунке отражены этапы рассуждения.

1. 30 – 5 = 25(чел.) – ходили в кино, или на

Экскурсию;

1. 25 – 23 = 2 (чел.) – ходили только в кино;
2. 21 – 2 = 19 (чел.) – ходили и в кино, и на

Экскурсию.

19 человек ходили и в кино, и на экскурсию.

5. Некто имеет 24 купюры двух видов – по 100 и 500 рублей на сумму 4000 рублей. Сколько у него купюр по 500 рублей?

Поскольку полученная сумма, число «круглое», то следовательно, количество купюр по 100 рублей кратно 1000. Таким образом, количество купюр по 500 рублей тоже кратно 1000. Отсюда имеем – по 100 рублей 20 купюр; по 500 рублей – 4 купюры.

У некто 4 купюры по 500 рублей.

6. Дачник пришёл от своей дачи на станцию через 12 минут после отхода электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 минуты меньше, то пришёл бы как раз к отходу электрички. Далеко ли от станции живёт дачник?

Тратя на каждый километр на 3 минуты меньше, дачник мог бы сэкономить 12 минут на расстоянии 12: 3 = 4 км.

Дачник живёт в 4 км от станции.

7. Родник в 24 минут даёт бочку воды. Сколько бочек воды даёт родник в сутки?

Поскольку надо обойти дроби, то не надо находить, какую часть бочки наполняют за 1 минуту. Узнаем, за сколько минут наполнится 5 бочек: за 24 · 5 = 120 минут, или 2 часа. Тогда за сутки наполнится в 24: 2 = 12 раз больше бочек, чем за 2 часа, то есть 5· 12 = 60 бочек.

Родник даёт в сутки 60 бочек.

8. На некотором участке меняют старые рельсы длиной 8м на новые длиной 12 м. Сколько потребуется новых рельсов вместо 240 старых?

На участке длиной 24 м вместо 3 старых рельсов положат 2 новых. Рельсы заменят на 240: 3 =80 таких участках, а положат на них 80 · 2 = 160 новых рельсов.

Потребуется 160 новых рельсов.

9. В булочной было 654 кг чёрного и белого хлеба. После того как продали 215 кг чёрного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько килограммов чёрного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

1) 215 + 287 = 502 (кг) – продали хлеба;

2) 654 – 502 = 152 (кг) – хлеба осталось продать;

3) 152: 2 = 76 (кг) белого (и чёрного) хлеба осталось продать;

4) 215 + 76 = 291 (кг) – чёрного хлеба было первоначально;

5) 287 + 76 = 363 (кг) – белого хлеба было первоначально.

291 кг чёрного хлеба было первоначально и 363 кг белого хлеба было первоначально.

1. Задачи « на части и проценты».

В результате работы с задачами данного раздела необходимо принимать подходящую величину за 1 часть, определять сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность), затем получить ответ на вопрос задачи.

10. Первая бригада может выполнить задание за 20ч, а вторая – за 30ч. Сначала бригады выполнили при совместной работе ¾ задания, а остальная часть задания выполнила одна первая бригада. За сколько часов было выполнено задание?

Задачи на производительность труда менее понятны, чем задачи на движение. Поэтому здесь необходим детальный анализ каждого шага.

1)Если первая бригада работает одна, то она выполнит задание за 20ч – это означает, что каждый час она выполняет всего задания.

2)Аналогично рассуждая, получаем производительность труда для второй бригадой - всего задания.

3)Сначала, работая вместе, бригады выполнили всего задания. А сколько же времени они затратили? . То есть, за один час совместной работы обе бригады выполняют двенадцатую часть задания.

4)Тогда задания они выполнят за 9 часов, так как (по основному свойству дроби).

5)Осталось выполнить задания, но уже только первой бригаде, которая за 1 час выполняет всего задания. Стало быть первой бригаде надо работать 5 часов , чтобы довести дело до конца, так как .

6)Окончательно имеем, 5 + 9 = 14 часов.

За 14 часов будет выполнено задание.

11 . Объёмы ежегодной добычи из первой, второй, и третьей скважины относятся как 7: 5: 13. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 5% и из второй – на 6 % . На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился ?

Задачи на части и проценты ещё более трудоёмкая и непонятная область задач. Поэтому конкретнее всего нам их было понять на числовых примерах. Пример 1. Пусть годовая добыча нефти составляет 1000 баррелей. Тогда, зная, что эта добыча разбита на 25 частей (7+5+13=25, т.е. одна часть составляет 40 баррелей) имеем: первая вышка качает 280 баррелей, вторая – 200 баррелей, третья – 520 баррелей в год. При снижении добычи на 5% первая вышка теряет 14 баррелей (280·0,05 = 14), то есть её добыча составит 266 баррелей. При снижении добычи на 6% вторая вышка теряет 12 баррелей (200·0,06 = 12), то есть её добыча составит 188 баррелей.

Всего за год они вместе будут качать 454 баррелей нефти, тогда третьей вышке вместо 520 баррелей необходимо будет добывать 546 баррелей.

Пример 2. Пусть годовая добыча нефти составляет 1500 баррелей. Тогда, зная, что эта добыча разбита на 25 частей (7+5+13=25, т.е. одна часть составляет 60 баррелей) имеем: первая вышка качает 420 баррелей, вторая – 300 баррелей, третья – 780 баррелей в год. При снижении добычи на 5% первая вышка теряет 21 баррелей (420·0,05 = 21), то есть её добыча составит 399 баррелей. При снижении добычи на 6% вторая вышка теряет 18 баррелей (300·0,06 = 18), то есть её добыча составит 282 баррелей.

Всего за год они вместе будут качать 681 баррелей нефти, тогда третьей вышке вместо 780 баррелей необходимо будет добывать 819 баррелей.

Это на 5% больше прежней добычи, так как .

На 5% нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился.

Можно рассмотреть и другой вариант подобной задачи. Здесь мы вводим некоторую переменную, которая является лишь «символом» единиц объёма.

12. Объём ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин относятся как 6:7:10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой нефти не изменился?

Пусть объёмы ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин равны соответственно 6х, 7х, 10х некоторых единиц объёма.

1) 0,1 ·6х = 0,6х (единиц) – снижение добычи на первой скважине;

2)0,1 ·7х = 0,7х (единиц) – снижение добычи на второй скважине;

3)0,6х + 0,7х= 1,3х (единиц) – должно составить повышение объёма добычи нефти на третьей скважине;

На столько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины.

Годовую добычу нефти из третьей скважины нужно увеличить на 13%.

13. Купили 60 тетрадей – в клетку было в 2 раза больше, чем в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку?

При решении задачи лучше опираться на схематический рисунок, легко воспроизводимый в тетради и дополняемый по ходу решения нужными записями. Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.

1) 1 + 2 = 3(части) – приходится на все тетради;

2) 60: 3 = 20 (тетрадей) – приходится на 1 часть;

3) 20 · 2 = 40 (тетрадей) – тетради в клетку;

4) 60 – 40 = 20 (тетрадей) – в линейку.

Купили 20 тетрадей в линейку и 40 тетрадей в клетку.

14. В 1892 году некто думает провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведёт в деревне. Сколько времени некто проведёт в Петербурге?

Так как 1час равен 60 минутам и число минут равно числу часов, то некто в деревне проведёт в 60 раз больше времени, чем в Петербурге (время на переезд здесь не учитывается). Если число дней, проведённых в Петербурге, составляет 1 часть, то число дней, проведённых в деревне, составляет 60 частей. Так как речь идёт о високосном годе, то на 1 часть приходится 366: (60 + 1) = 6 (дней).

Некто проведёт в Петербурге 6 дней.

15. Яблоки содержат 78% воды. Их немного подсушили, и теперь они содержат 45% воды. Сколько процентов своей массы яблоки потеряли при сушке?

Пусть х кг – масса яблок, тогда в ней содержится 0,78х кг воды и х – 0,78х = 0, 22х (кг) сухого вещества. После подсушки сухое вещество составляет 100 – 45 = 55(%) массы сухих яблок, поэтому масса сухих яблок равна 0,22х: 0,55 = 0,46х(кг).

Итак, яблоки при сушке потеряли х – 0,46х = 0,54х, то есть 54%.

При сушке яблоки потеряли 54% своей массы.

16. Трава содержит 82% воды. Её немного подсушили, и теперь она содержит 55% воды. Сколько своей массы трава потеряла при сушке?

При начальных условиях живая масса травы составляла 100% - 82% = 18%.

После сушке эта величина увеличилась до 45%, но при этом общая масса травы уменьшилась на 40 % (45: 18 ·10% = 40%).

40% своей массы трава потеряла при сушке.

1. Задачи на движение.

Эти задачи считаются традиционно трудными. Поэтому есть необходимость более детально разобрать арифметический способ решения такого типа задач.

17. Из пункта А в пункт В одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 2 км/ч меньше другого. Велосипедист, который первый прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1ч 30 мин. после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

Эта задача также решается на примере предметных образов и ассоциаций.

После того как рассмотрен ряд примеров, и число - расстояние 1,5 км ни у кого не вызывает сомнений, необходимо обосновать его нахождение из данных представленной задачи. А, именно, 1.5 км – это разность в отставании 2 от 1велосипедиста пополам: за 1,5 ч второй отстанет от первого на 3 км, поскольку 1 возвращается, то оба велосипедиста сближаются друг с другом на половину разницы пройденного пути, то есть на 1,5 км. Отсюда вытекает ответ задачи и метод решения такого рода текстовых задач.

Встреча произошла на расстоянии 1,5 км от пункта В.

18. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

1) 26 · 2 = 52 (версты) – на сколько второй поезд отстал от первого;

2) 39 – 26 = 13 (вёрст) – столько второй поезд отставал от первого за 1 час;

3) 52: 13 = 4 (ч) – столько времени был в пути первый поезд;

4) 39 · 4 = 156 (вёрст) – расстояние от Москвы до Твери.

От Москвы до Твери 156 вёрст.

1. Задачи на совместную работу.

19. Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая – за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

1) 1: 9 = (задания) – выполнит первая бригада за один день;

2 ) · 3 = (задания) - выполнила первая бригада за три дня;

3) 1 - = (задания) – выполнила вторая бригада;

4) 1: 12 = (задания) – выполнит вторая бригада за один день;

5) 8 (дней) – работала вторая бригада;

6) 3 + 8 = 11 (дней) – затрачено на выполнение задания.

Задание было выполнено за 11 дней.

20. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Пусть лошадь, коза и овца едят сено 6 месяцев. Тогда лошадь съест 6 возов, коза – 3 воза, овца – 2 воза. Всего 11 возов, значит, в месяц они воза, а один воз съедят за 1: = (месяца).

Лошадь, коза, овца съедят воз сена за месяца.

21. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй – за 2 года, третий – за 3 года, четвёртый - за 4 года. За сколько времени они построят дом при совместной работе?

За 12 лет каждый в отдельности плотник может построить: первый – 12 домов; второй – 6 домов; третий – 4 дома; четвёртый – 3 дома. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 домов. Следовательно, один двор, работая вместе, они сумеют построить за 175,2 дней.

Плотники смогут построить дом, работая вместе за 175, 2 дня.

Заключение.

В заключении следует сказать, что представленные в исследовании задачи лишь небольшой пример применения арифметических способов при решении текстовых задач. Надо сказать об одном важном моменте – выборе фабулы задач. Дело в том, что невозможно предусмотреть всех трудностей при решении задач. Но тем не менее, в момент первоначального усвоения приёма решения какого-либо типа задач их фабула должна быть как можно проще.

Приведённые образцы представляют особый случай, но они отражают направление – приближение школы к жизни.

Литература

1.Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. – Вып.I.Арифметика и алгебра/ перев. с нем. П.С. Юшкевича. – М.-Л.:1932.

2.Тоом А.Л. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы //Математика,2004.

3.Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики.М, 2006.

Учителю начальных классов просто необходимо знать, какие имеются виды задач. Сегодня вы узнаете про простые текстовые арифметические задачи. Простые текстовые арифметические задачи — это задачи, которые решаются одним арифметическим действием . Когда мы читаем задачу, мы автоматически соотносим ее с каким либо видом, а тут уже сразу легко становится понятно, каким действием ее надо решать.

Я предоставлю вам не только саму классификацию простых текстовых задач, но и приведу их примеры, а также расскажу про решение текстовых задач арифметическим способом. Все примеры я взяла из учебников математики для 2 класса (ч.1, ч.2), по которым обучаются в школах Беларуси.

Все простые арифметические задачи подразделяют на две большие группы:

— АД I (+/-), то есть те, которые решаются арифметическими действиями первого порядка (сложением или вычитанием);

— АД II (*/:), то есть те, которые решаются арифметическими действиями второго порядка (умножением или делением).

Рассмотрим первую группу простых текстовых арифметических задач (АД I):

1) Задачи, раскрывающие конкретный смысл сложения (+)

В соревнованиях по бегу приняли участие 4 девочки и 5 мальчиков. Сколько учеников из класса участвовало в соревнованиях?

После того, как Саша решил 9 примеров, ему осталось решить еще 3 примера. Сколько всего примеров нужно было решить Саше?

Решаются такие задачи сложением: a+b=?

2) Задачи, раскрывающие конкретный смысл вычитания (-)

Мама испекла 15 пирожков. Сколько пирожков осталось после того, как съели 10 пирожков?

В банке было 15 стаканов сока. За обедом выпили 5 стаканов. Сколько стаканов сока осталось?

Решаются такие задачи вычитанием: a-b=?

3) Задачи на взаимосвязь между компонентами и результатом действия сложения или вычитания:

а) на нахождение неизвестного 1-го слагаемого (?+а=b)

Мальчик положил в коробку 4 карандаша. Там их стало 13. Сколько карандашей было в коробке первоначально?

Чтобы решить эту задачу, надо от результата действия отнять известное 2-е слагаемое: b-a=?

б) на нахождение неизвестного 2-го слагаемого (a+?=b)

В кастрюлю и чайник налили 13 стаканов воды. Сколько стаканов воды налили в чайник, если в кастрюлю налили 5 стаканов?

Задачи такого типа решаются вычитанием, от результата действия отнимается известное 1-е слагаемое: b-a=?

в) на нахождение неизвестного уменьшаемого (?-а=b)

Ольга собрала букет. В вазу она поставила 3 цвета, и у нее осталось 7 цветов. Сколько цветов было в букете?

Арифметическим способом решение текстовых задач данного типа производится сложением результата действия и вычитаемого: b+a=?

г) на нахождение неизвестного вычитаемого (а-?=b)

Купили 2 десятка яиц. После того как несколько яиц взяли для выпечки, осталось 15. Сколько яиц взяли?

Эти задачи решаются вычитанием: от уменьшаемого отнимаем результат действия: а-b=?

4) Задачи на уменьшение / увеличение на несколько единиц в прямой, косвенной форме

примеры задач на уменьшение на несколько единиц в прямой форме:

В одной коробке было 20 кг бананов, а во второй — на 5 меньше. Сколько килограммов бананов было во второй коробке?

Первый класс собрал 19 ящиков яблок, а второй — на 4 ящика меньше. Сколько ящиков яблок сорвал второй класс?

Эти задачи решаются вычитанием (a-b=? )

Примеров задач на уменьшение в косвенной форме, а также на увеличение в прямой или косвенной форме в учебнике 2-го класса по математике я не обнаружила. Если будет необходимость, пишите в комментариях — и я дополню статью собственными примерами.

5) Задачи на разностные сравнения

Масса гуся — 7 кг, а курицы — 3 кг. На сколько килограммов масса курицы меньше массы гуся?

В первой коробке 14 карандашей, а во второй — 7. На сколько больше карандашей в первой коробке, чем во второй?

Решение текстовых задач на разностные сравнения производится вычитанием от большего числа меньшего.

Мы закончили разбираться с простыми текстовыми арифметическими задачами 1 группы и переходим к задачам 2 группы. Если вам было что-либо непонятно, спрашивайте в комментариях.

Вторая группа простых текстовых арифметических задач (АД II):

1) Задачи, раскрывающие конкретный смысл умножения

Сколько ног у двух собак? У трех собак?

Возле дома стоят три машины. У каждой машины по 4 колеса. Сколько колес у трех машин?

Данные задачи решаются умножением: a*b=?

2) Задачи, раскрывающие конкретный смысл деления:

а) по содержанию

10 пирожных раздали детям, по два каждому. Сколько детей получили пирожные?

В пакетах по 2 кг находится 14 кг муки. Сколько таких пакетов?

В этих задачах мы узнаем, сколько частей получилось с равным содержанием.

б) на равные части

Полоску длиной 10 см разрезали на две равные части. Какой длины каждая часть?

Нина разложила 10 пирожных на 2 тарелки поровну. Сколько пирожных на одной тарелке?

А в этих задачах мы узнаем, каково содержание одной равной части.

Как бы то ни было, все эти задачи решаются делением: a:b=?

3) Задачи на взаимосвязь между компонентом и результатом действий умножения и деления:

а) на нахождение неизвестного первого множителя: ?*а=b

Собственный пример:

В нескольких коробках по 6 карандашей. Всего в коробках 24 карандаша. Сколько коробок?

Решается делением произведения на известный второй множитель: b:a=?

б) на нахождение неизвестного второго множителя: а*?=b

В кафе за один столик можно посадить 3 человека. Сколько таких столиков будет занято, если туда придут 15 человек?

Решается делением произведения на известный первый множитель: b:a=?

в) на нахождение неизвестного делимого: ?:а=b

Собственный пример:

Коля принес в класс конфеты и поделил их поровну между всеми учениками. В классе 16 детей. Каждый получил по 3 конфеты. Сколько конфет принес Коля?

Решается умножением частного на делитель: b*a=?

г) на нахождение неизвестного делителя: а:?=b

Собственный пример:

Витя принес 44 конфеты в класс и поделил их поровну между всеми учениками. Каждый получил по 2 конфеты. Сколько учеников в классе?

Решается делением делимого на частное: а:b=?

4) Задачи на увеличение / уменьшение в несколько раз в прямой или косвенной форме

В учебнике 2 класса примеров подобных текстовых арифметических задач не найдено.

5) Задачи на кратное сравнение

Решаются делением большего на меньшее.

Друзья, вся вышеизложенная классификация простых текстовых задач — это лишь часть большой классификации всех текстовых задач. Кроме того, имеются еще задачи на нахождение процентов, о которых я вам не рассказала. Обо всем этом вы можете узнать из данного видео:

И моя благодарность останется с вами!

Общие замечания к решению задач арифметическим методом.

Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий.

Задачи на пропорциональное деление.

Задачи на проценты и части.

Задачи, решаемые обратным ходом.

1. Арифметический метод – это основной метод решения текстовых задач в начальной школе. Находит он свое применение и в среднем звене общеобразовательной школы. Этот метод позволяет глубже понять и оценить всю важность и значимость каждого этапа работы над задачей.

В некоторых случаях решение задачи арифметическим методом значительно проще, чем другими методами.

Подкупая своей простотой и доступностью, арифметический метод вместе с тем достаточно сложен, и овладение приемами решения задач этим методом требует серьезной и кропотливой работы. Большое разнообразие видов задач не позволяет сформировать универсального подхода к анализу задач, поиску пути их решения: задачи, даже объединенные в одну группу, имеют со­вершенно разные способы решения.

2 . К задачам на нахождение неизвестных по их разности и отношению относятся задачи, в которых по известным разности и частному двух значений некоторой величины тре­буется найти эти значения.

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам: х = ак/(к – 1), у = а/(к – 1).

Пример. В плацкартных вагонах скорого поезда на 432 пассажира больше, чем в купейных. Сколько пассажиров находится в плацкартных и купейных вагонах отдельно, если в купейных вагонах пассажиров в 4 раза меньше, чем в плацкартных?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рис. 4.

Рис. 4

Число пассажиров в купейных вагонах примем за 1 часть. Тогда можно найти, сколько частей приходится на число пассажиров в плацкартных вагонах, а затем, сколько частей приходится на 432 пассажира. После этого можно определить число пассажиров, составляющих 1 часть (находящихся в купейных вагонах). Зная, что в плацкартных вагонах пассажиров в 4 раза больше, найдем их число.

1  4 = 4 (ч.) – приходится на пассажиров в плацкартных вагонах;

4 – 1 = 3 (ч.) – приходится на разность между числом пассажиров в плацкартных и купейных вагонах;

432: 3 = 144 (п.) – в купейных вагонах;

144  4 = 576 (п.) – в плацкартных вагонах.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом, а именно:

1  4 = 4(ч.);

4 – 1 = 3 (ч.);

432: 3 = 144 (п.);

144 + 432 = 576 (п.).

Ответ: в купейных вагонах 144 пассажира, в плацкартных – 576.

К задачам на нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям , относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо или обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами значения этой величины.

Алгебраическая модель:

Ответы находятся по формулам:

Пример. Два поезда прошли с одинаковой скоростью – один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч. больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 5.

Рис. 5

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч. дольше, а пройденное им за это время расстояние можно найти. Он шел лишних 19 ч. – очевидно, за это время прошел и лишнее расстояние.

837 – 248 = 589 (км) – на столько километров больше прошел пер­вый поезд;

589: 19 = 31 (км/ч) – скорость первого поезда;

837: 31 = 27 (ч.) – был в пути первый поезд;

4) 248: 31 = 8 (ч.) – был в пути второй поезд.

Проверим решение задачи установлением соответствия между данными и числами, полученными при решении задачи.

Узнав, сколько времени был в пути каждый поезд, найдем, на сколько часов больше был в пути первый поезд, чем второй: 27 – 8 = 19 (ч.). Это число совпадает с данным в условии. Следовательно, задача решена верно.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом. Все четыре вопроса и первые три действия остаются те же.

4) 27 –19 = 8 (ч.).

Ответ: первый поезд был в пути 31ч., второй поезд – 8 ч.

Задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно:

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

х = (а – b + с)/2, у = (а + b – с)/2, z = (b + с – a )/ 2.

Пример. Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки изучают 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 6.

Сколько школьников изучает каждый из языков?

Графическая модель задачи показывает: если сложить численности школьников, данные в условии (116 + 90 + 46), то получим удвоенное число школьников, изучающих английский, немецкий и испанский языки. Разделив его на два, найдем общее число школьников. Чтобы найти число школьников, изучающих английский язык, достаточно из этого числа вычесть число школьников, изучающих немецкий и испанский языки. Аналогично находим остальные искомые числа.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

116 + 90 + 46 = 252 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих языки;

252: 2 = 126 (шк.) – изучают языки;

126 – 46 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

126 – 90 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык;

126 – 116 = 10 (шк.) – изучают испанский язык.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом.

116 – 46 = 70 (шк.) – на столько больше школьников изучают английский язык, чем испанский;

90 + 70 = 160 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих английский язык;

160: 2 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

90 – 80 = 10 (шк.) – изучают испанский язык;

116 – 80 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык.

Ответ: английский язык изучают 80 школьников, немецкий язык – 36 школьников, испанский язык – 10 школьников.

3. К задачам на пропорциональное деление относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требуется разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены явно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения.

Выделяют пять видов задач на пропорциональное деление.

1) Задачи на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К задачам данного типа относятся задачи, в которых число А х 1, х 2 , х 3 , ..., х n прямо пропорционально числам а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n .

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

Пример. Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имеют корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й – 4 корпуса, 3-й – 5 корпусов, 4-й – 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?

Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 7.

Рис. 7

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе и сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) – расположено на территории 4 баз;

2112: 22 = 96 (ч.) – может разместиться в одном корпусе;

96  6 = 576 (ч.) – может разместиться на первой базе;

96  4 = 384 (ч.) – может разместиться на второй базе;

96  5 = 480 (ч.) – может разместиться на третьей базе;

96  7 = 672 (ч.) – может разместиться на четвертой базе.

Проверка. Подсчитываем, сколько отдыхающих может разместиться на 4 базах: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (ч.). Расхождения с условием задачи нет. Задача решена правильно.

Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй – 384 отдыхающих, на третьей – 480 отдыхающих, на четвертой – 672 отдыхающих.

2) Задачи на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К ним относятся задачи, в которых число А (зна­чение некоторой величины) нужно разделить на части x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., х„ обратно пропорционально числам а 1ь а 2 , а 3 ,..., а n .

Алгебраическая модель:

или

x 1 : x 2 :х 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...а n :а 1 а 3 ...а п :а 1 а 2 а 4 ...а n :...:а 1 а 2 ...а n -1

Ответ находится по формулам:

где S = а 2 а 3 ...а„ + a l a i ... a n + а ] а 2 а 4 ...а n + ... + а 1 а 2 ...а n -1.

Пример. За четыре месяца доход зверофермы от продажи пушнины составил 1 925 000 р., причем по месяцам полученные деньги распределились обратно пропорционально числам 2, 3, 5, 4. Каков доход фермы в каждом месяце отдельно?

Решение. Для определения названных в условии доходов дан общий доход за четыре месяца, то есть сумма четырех искомых чисел, а также отношения между искомыми числами. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4.

Обозначим искомые доходы соответственно через х, х 2 , х 3 , х 4 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 8.

Рис. 8

Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данному общему доходу за четыре месяца, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые доходы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4, а значит, прямо пропорциональны числам, обратным данным, то есть имеют место отношения . Данные отношения в дробных числах заменим отношениями целых чисел:

2. Зная, что х содержит 30 равных частей, х 2 – 20, х 3 – 12, х 4 – 15, найдем, сколько частей содержится в их сумме:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ч.).

3. Сколько рублей приходится на одну часть?

1 925 000: 77 = 25 000 (р.).

4. Каков доход фермы в первом месяце?

25 000 30 = 750 000 (р.).

5. Каков доход фермы во втором месяце?

25 000 20 = 500 000 (р.).

6. Каков доход фермы в третьем месяце?

25 000– 12 = 300 000 (р.).

7. Каков доход фермы в четвертом месяце?

25 000– 15 = 375 000 (р.).

Ответ: в первом месяце доход фермы составил 750 000 р., во втором – 500 000 р., в третьем – 300 000 р., в четвертом – 375 000 р.

3) Задачи на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел

К задачам этого типа относят те задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1 , х 2 , х 3 , ..., х„, когда дан ряд отношений для искомых чисел, взятых попарно. Алгебраическая модель:

х 1: х 2 = а 1 : b 1, х 2 : х 3 = а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3 : b 3 , ..., х п-1 : х n = а n -1 : b п-1 .

п = 4. Алгебраическая модель:

х х :х 2 = а 1 : b 1, х 2 :х 3= а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3: b 3 .

Итак, х 1: х 2 : х 3: х 4 = а 1 а 2 а 3 : b 1 а 2 а 3 : b 1 b 2 а 3 : b 1 b 2 b 3 .

где S = а 1 а 2 а 3 + b 1 а г а 3 + b 1 b 2 а 3 + b 1 b 2 b 3

Пример. В трех городах 168 000 жителей. Числа жителей первого и второго городов находятся в отношении , а второго и третьего городов – в отношении . Сколько жителей в каждом городе?

Решение. Обозначим искомые численности жителей соответственно через х 1 , х 2 , х 3 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 9.

Рис. 9

Для определения численности жителей даны числа жителей в трех городах, то есть сумма трех искомых чисел, а также отдельные отношения между искомыми числами. Заменив эти отношения рядом отношений, выразим численности жителей трех городов в равных частях. Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данной общей численности жителей в трех городах, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые численности жителей.

Запишем решение по действиям с пояснениями.

1. Заменяем отношение дробных чисел отношением целых чисел:

Числу жителей второго города ставим в соответствие число 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5).

Изменяем соответствующим образом получившиеся отношения:

х 1: х 2 = 4: 3 = (4-5):(3-5) = 20: 15, х 2: х 3 = 5: 7 = (5-3):(7-3) = 15: 21.

Из отдельных отношений составляем ряд отношений:

х 1: х 2 : х 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (ч.) – стольким равным частям соответствует число 168 000;

3. 168 000: 56 = 3 000 (ж.) – приходится на одну часть;

4. 3 000 20 = 60 000 (ж.) – в первом городе;

5. 3 000 15 = 45 000 (ж.) – во втором городе;

3 000 21 = 63 000 (ж.) – в третьем городе.

Ответ: 60 000 жителей; 45 000 жителей; 63 000 жителей.

4) Задачи на деление числа на части пропорционально двум, трем и так далее рядам чисел

К задачам этого типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1, х 2 , х 3 ,..., х n пропорционально двум, трем, ..., N рядам чисел.

Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 3 и N = 2. Пусть х 1 х 2 , х 3 прямо пропорциональны числам а 1 , а 2 , а 3 и обратно пропорциональны числам b 1 , b 2 , b 3 .

Алгебраическая модель:

(см. пункт 1 данного параграфа),

Пример. Двое рабочих получили 1 800 р. Один работал 3 дня по 8 ч., другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч. работы они получали поровну?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 10.

Рис. 10

Чтобы узнать, сколько получил каждый рабочий, надо знать, сколько рублей платили за 1 ч. работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч. работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать, сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

8  3 = 24 (ч.) – работал первый рабочий;

6  6 = 36 (ч.) – работал второй рабочий;

24 + 36 = 60 (ч.) – работали оба рабочих вместе;

1800: 60 = 30 (р.) – получали рабочие за 1 ч работы;

30  24 = 720 (р.) – заработал первый рабочий;

30  36 = 1080 (р.) – заработал второй рабочий. Ответ: 720 р.; 1080 р.

5) Задачи на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности (сумме или разности некоторых из них)

Пример. На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы – в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 11.

Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем найдя их сумму, вычислим величину одной части (в рублях).

Запишем решение по действиям с пояснениями.

Принимаем за 1 часть количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, то есть 1  2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, то есть 2  3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 – 1 = 5 (ч.).

На оборудование детской площадки израсходована 1 часть, теплицы – 2 части, спортивного зала – 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + + 5 = 8 (ч.).

8 частей составляют 49 000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49 000: 8 = 6 125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6 125 р.

На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6 125  2 = 12 250 (р.).

На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6 125  5 = 30 625 (р.).

Ответ: 6 125 р.; 12 250 р.; 30 625 р.

6) Задачи на исключение одного из неизвестных

К задачам этой группы относятся задачи, в которых даны суммы двух произведений, имеющих два повторяющихся сомножителя, и требуется найти значения этих сомножителей. Алгебраическая модель

Ответ находится по формулам:

Эти задачи решаются способом уравнивания данных, спосо­бом уравнивания данных и искомых, способом замены данных, а также так называемым способом «на предположение».

Пример. На швейной фабрике на 24 пальто и 45 костюмов израсходовали 204 м ткани, а на 24 пальто и 30 костюмов – 162 м. Сколько ткани расходуется на один костюм и сколько – на одно пальто?

Решение . Решим задачу способом уравнивания данных. Краткая запись задачи.

Департамент образования

Государственное учреждение Ярославской области

«Центр оценки и контроля качества образования»

«Арифметические способы

решения текстовых задач

по математике в 5-6 классах»

Методическая разработка

Ореховой Елены Юрьевны,

учителя математики

МОУ Крюковской ООШ

Мышкинского МО

Ярославской области.

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук,

Ярославль, 2006

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….

ГЛАВА І Текстовые задачи и их типология…………………………… ..

1.1. Определение текстовой задачи………………………………………..

1.2 Роль текстовых задач в школьном курсе математики……………….

1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач…………….

1.4. Этапы решения текстовых задач……………………………………...

ГЛАВА ІІ Методика обучения учащихся решению текстовых задач арифметическим методом…………………………………………………..

2.1. Знания, умения учащихся по решению текстовых задач по

окончании начальной школы…………………………………………..

2.2. Планирование работы учителя по обучению учащихся решению

текстовых задач арифметическим способом…………………………

2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи…….

2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи……………..

2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения…

2.3.3. Реализация плана решения……………………………………….

2.3.4. Анализ найденного решения и работа по поиску других

вариантов решения………………………………………………………….

2.4. Формирование приёмов решения задач «на процессы»……………..

2.4.1. Формирование понятия о времени протекания процесса………

2.4.2 Формирование понятий о скорости протекания процесса

и его продукте (результате)………………………………………

2.4.3. Формирование понятия совместного действия………………….

2.5. Составление задач учащимися…………………………………………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………..

ПРИЛОЖЕНИЕ ……………………………………………………………..

Введение.

В последние годы большие затруднения у детей на уроках математики вызывает задание: решите задачу. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? – вот вопросы, которые я затронула в этой работе.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место. Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся на практике.

Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывающую определённое воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность, показывающую связь изучаемого с практикой.

С помощью задач формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему усвоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и других дисциплин.

Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счёт более раннего введения уравнений и функций, методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Но арифметические способы решения текстовых задач как раз и готовят ребёнка к овладению алгеброй. А когда это произойдёт, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых задач.

«Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Ещё два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики (конца 60-х годов) превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим.», - писал академик.

Тем не менее, в методической литературе мало внимания уделяется арифметическим методам решения задач, поэтому целью моей работы является разработка методических материалов обучения учащихся 5-6 классов решению текстовых задач арифметическим способом.

Для достижения этой цели передо мной встали следующие задачи:

Ø изучить психолого-педагогическую литературу по данной проблеме;

Ø познакомиться с опытом работы учителей математики, использующих арифметический метод решения текстовых задач и проанализировать свой опыт работы в этом направлении;

Ø обосновать необходимость обучения учащихся решению текстовых задач в 5-6 классах;

Ø показать преимущество арифметических способов решения текстовых задач;

Ø разработать и представить методику обучения решению текстовых задач;

Ø представить анализ результатов обучения с использованием данного метода.

Методическая разработка состоит из введения, двух глав, заключения, приложения. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, определяется цель работы и ставятся задачи. В 1-й главе даётся определение текстовой задачи, различные подходы к классификации задач, показана роль текстовых задач в курсе математики, а также раскрываются этапы решения задач арифметическим методом. Во 2-й главе даются методические рекомендации по обучению решению текстовых задач арифметическим методом; представляется работа учителя на каждом этапе решения задачи, более подробно раскрывается организация работы учителя по обучению решению задач «на процессы».

ГЛАВА І.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ТИПОЛОГИЯ.

1.1. Определение текстовой задачи.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют. Что же такое задача?

С точки зрения любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.

Задачи, в которых зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называются текстовыми. При этом главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, но и наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке. По определению задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными).

Под текстовой задачей я понимаю такую задачу, в которой речь идёт о реальных объектах, процессах, связях и отношениях. Реальные процессы – это движение, работа, наполнение и освобождение бассейнов, покупки, смеси, сплавы и др. Такой терминологии придерживается, кандидат педагогических наук, автор учебников и учебно-методических пособий по математике

1.2 . Роль текстовых задач в школьном курсе математики.

Можно кратко определить значение текстовых задач в школьном курсе математики. Работа над задачей:

Развивает логическое мышление;

Помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки;

Имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.

так определяет роль текстовых задач в курсе математики:

1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть формулировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям , позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету.

5. Обучение и воспитание ребёнка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал.

Пока мы будем учить детей на русском языке – не только великом и могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике.

1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач.

Существуют различные подходы к классификации текстовых задач. Можно говорить о типологии задач по методам решения: арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составлением уравнения, системы уравнений или неравенств), геометрический (использование подобия, площадей фигур и т. п.). Но эта типология, как и любая другая, условна, так как одна и та же задача может быть решена и алгебраическим, и арифметическим методами.

К середине ХХ века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая: задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и др. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но её реализация на практике не была свободна от недостатков. Вот как описывал академик практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране в то время: «Учеников – в том или ином порядке - знакомят с соответствующими «типами» задач, причём обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приёмов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае… В итоге – полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» Но менять необходимо было не методику, а негодную практику её применения.

Анализируя содержание арифметических задач, связанных с различными процессами – работа, движение, расход энергии, наполнение и освобождение бассейнов и др. – можно увидеть в них ориентировку на три взаимосвязанные величины: скорость процесса, время его протекания и продукт (результат). Указанные величины составляют сущность всех названных задач.

В самом деле, сравним следующие задачи:

1) В одном колхозе для корма коров и лошадей заготовлено 2400 центнеров сена. На сколько дней хватит сена, если в день расходуется по 8 ц на коров и по 4 ц на лошадей?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 760 км, одновременно отправляются навстречу друг другу два поезда, один со скоростью 50 км/ч, а другой со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

3) Двум слесарям, которые работают одновременно, дано задание изготовить 120 деталей. Через сколько времени это задание будет выполнено, если один слесарь изготовляет 7 деталей в час, а другой – 5 деталей в час?

4) Одновременно открыты три крана, каждый из них пропускает по 150 литров в час. Через сколько времени надо закрыть краны, если нужно набрать 1350 литров нефти?

Все 4 задачи различного предметного содержания, но имеют одинаковую математическую структуру. Во всех задачах требуется узнать время протекания какого-то процесса в ситуации совместного действия.

Таким образом, как писала в статье «Формирование общих приёмов решения арифметических задач»: «В основу типизации арифметических задач должны быть положены особенности отношений величин, представленных в условии задачи, а не сюжет.

Предварительный анализ показал, что задачи на «процессы» и задачи на «куплю-продажу» имеют идентичную систему отношений, что разница лишь в конкретно-предметном плане, что в данном случае не является существенным. Может быть найден способ анализа, позволяющий учащимся подходить к этим двум большим классам арифметических задач как к разновидностям одного и того же типа

С другой стороны, открывается возможность перенести рассмотренный приём в курс физики, где он успешно может быть применён не только при изучении движения, но и при определении давления, плотности, механической мощности и др.»

1.3 Этапы решения текстовых задач.

Под решением задачи будем понимать процесс, представляющий собой поиск необходимой последовательности действий на основе анализа условия и требования задачи, направленных на определение результата задачи; выполнение этих действий и получение результата, анализа и оценки последних.

В методике обучения математике выделены

4 основных этапа процесса решения задачи:

1) осмысление текста задачи и анализ её содержания;

2) осуществление поиска решения и составление плана решения;

3) реализация плана решения;

4) анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с текстовой задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи. Обычно говорят: «Сделать краткую запись». Для различных видов задач краткие записи могут быть разными. Это можно сделать в виде таблицы, отрезочных или столбчатых диаграмм, схематического чертежа, рисунков и т. д. Такая запись служит схематизации материала, даёт возможность одновременно видеть все связи между данными.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации. Поиск способа решения может занимать по времени самое большое место в общем процессе решения. При этом довольно часто поиск способа решения приходится производить не один раз, когда в процессе выполнения найденного способа решения мы убеждаемся в его ошибочности или сложности. Очень важно каждый раз в случае неудачи поиска решения возвращаться к анализу условия задачи.

Составление плана решения производится двумя методами: аналитическим и синтетическим. Анализ способа решения удобно начинать с вопроса к задаче и производить его по схеме: чтобы узнать – надо знать… Такой метод является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Исходя из данных условия составляют первую простую задачу. Полученный при её решении результат и одна из величин основной задачи позволяют составить новую простую задачу; так поступают до тех пор, пока ответ на последнюю простую задачу не будет ответом на вопрос основной задачи.

В процессе поиска решения обычно одновременно используют и анализ и синтез, то есть аналитико-синтетический метод . При этом ученик должен уметь:

1) переводить отношения между величинами на язык равенств;

2) записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.

Таблица 1.

Основные отношения и их перевод на язык равенств.

При арифметическом способе решения необходимо умение учеником найти в задаче три взаимосвязанные величины и по двум известным из них найти неизвестную.

Так успешное решение задач на «процессы» предполагает понимание отношений между величинами: скорость процесса (v) , время его протекания (t) и продукт или результат работы (s).

s=v t v=s:t t=s:v

Причём важно разбираться в отношениях между этими величинами как в условиях одного участника процесса, так и в условиях нескольких участников.

Третий этап работы с задачей предполагает решение построенной математической модели, интерпретацию результата решения математической модели в заданную ситуацию. Объяснение решения задачи может иметь такие формы:

1. Составление всего плана перед решением задачи и затем производство действий к каждому пункту плана.

2. Краткий вопрос и следующее за ним действие.

3. Краткое пояснение полученных результатов действий.

4. Производство всех действий с последующим подробным устным объяснением всего решения задачи.

5. Постановка полных вопросов с последующим решением.

На практике чаще всего используются первые три вида объяснения.

На четвёртом этапе работы с задачей необходимо выполнить проверку результата решения, сравнить результат с условиями задачи, проверить его на достоверность. На этом этапе можно предложить другие варианты решения. Поиск наиболее рационального способа решения будят мысль ученика, развивают сообразительность и уводят его от шаблона, повышая в то же время интерес к работе.

Наконец, если ученик научится внимательно, вдумчиво анализировать задачу, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приёмы, с помощью которых были найдены решения, способы решения, то постепенно у него выработается умение решать любую задачу, пусть незнакомую. Известный математик, профессор Московского университета на вопрос «Что значит решить задачу?» дала короткий ответ: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым.»

ГЛАВА ІІ

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ

ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.

2.1. Знания, умения, навыки учащихся по решению текстовых задач по окончании начальной школы.

К началу 5-го класса учащиеся должны знать связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; время, скорость, путь при равномерном движении; уметь применять к решению текстовых задач знание изученных зависимостей. Таковы основные требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся, обеспечивающие преемственную связь с курсом математики 5 класса , предъявляемые программой.

Основная цель обучения решению текстовых задач в начальной школе – осознанное усвоение детьми смысла арифметических действий , отношений «больше» - «меньше» (на несколько единиц и в несколько раз), «столько же» (или «равно»), взаимосвязи между компонентами и результатами действий, использованию действий вычитания (деления) для сравнения чисел.

Поэтому можно выделить следующие ключевые задачи, которые должны уметь решать выпускники начальной школы:

§ нахождение суммы величин, если эти величины известны с использованием сравнений «на…больше», «на…меньше», «в..раз больше», «в… раз меньше» в прямой и косвенной форме;

§ нахождение разницы между величинами с использованием действий вычитания и деления;

цена-количество-стоимость, норма расхода материала на 1 вещь-количество вещей-расход материала всего, скорость-время-расстояние;

§ нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости:

2.2. Планирование работы учителя по обучению решению текстовых задач арифметическим способом.

Несмотря на требования к знаниям, умениям учащихся, предъявляемые программой начальной школы, опыт моей работы показывает, что большинство учащихся начальной школы приходят в 5-й класс с небольшим багажом знаний и умений именно по решению текстовых задач. Поэтому основная цель моей работы на первых уроках математики в 5 классе во время повторения учебного материала – определить пробелы в знаниях и умениях учащихся, в том числе и по решению текстовых задач. Простейшие задачи в одно действие можно включить в тренировочные упражнения для устного счёта (см. приложение 1). При решении таких задач следует обращать внимание учащихся на те числовые данные, которые выражены не только числами, но и словами.

Иногда при анализе задач обнаруживается неумение некоторыми учащимися переводить на математический язык слова для сравнения величин. В таких случаях я пользуюсь таблицей, которую составляем вместе с учениками на первых уроках математики.

Таблица 2

Как было сказано выше, существуют различные подходы к определению типов задач. Несмотря на то, что любая классификация условна, обойтись без неё невозможно. В своей работе при планировании учебного материала и подготовке к урокам я выделяю некоторые так называемые ключевые задачи , приёмы решения которых должны освоить учащиеся 5 и 6 классов .

1. Задачи на процессы (на движение, на работу, на бассейны)

2. Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению.

3. Задачи на предположение.

4. Задачи на проценты.

5. Задачи на нахождение части от числа и числа по его части.

6. Задачи на пропорциональные зависимости.

Все эти задачи содержат новые приёмы решения. Поэтому требуется серьёзная подготовка к обучению.

В учебниках «Математика 5» и «Математика 6» автора, по которым я работаю, задачи разных видов «разбросаны», не систематизированы ни по сложности, ни по приёмам решения. Очевидно, для того, чтобы разрушить формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности учащихся. Но, на мой взгляд, при освоении нового приёма решения такого разнообразия лучше избегать и следовать «от простого к сложному». И только после того, как приём освоен и сформирован навык по его применению, его можно использовать и при решении составных задач разных видов.

Наиболее целенаправленно арифметический подход к решению текстовых задач раскрывается в учебниках «Арифметика 5», «Арифметика 6» и «Математика 5», «Математика 6» .

Поскольку я работаю по учебнику, который нацеливает учащихся на раннее введение уравнений и решение текстовых задач алгебраическим способом, то в тематическое планирование я внесла некоторые коррективы по использованию задачного материала (см. приложение 2).

2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи.

Как было сказано выше, работа над задачей включает 4 основных этапа. Причём все четыре этапа одинаково важны. Поэтому рассмотрим работу учителя и учащихся на каждом отдельном этапе при решении задач разных видов.

2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи.

На первом этапе необходимо добиться того, чтобы учащиеся «приняли задачу», то есть поняли её смысл, сделав целью своей деятельности. С этой целью оформляется краткая запись. Для разных видов задач это можно сделать по-разному.

1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?

Краткую запись к данной задаче (и любой задаче на движение) удобно выполнить в виде схематического чертежа.

Графическая иллюстрация создаёт перед учениками пространственный образ, помогает в задачах на движение правильно расположить те неподвижные точки, с которыми условие связывает движущийся объект.

В задачах на нахождение двух или нескольких величин по их отношению и сумме (или разности), а также в задачах на части удобно краткую запись оформить в виде отрезков. Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).

Например:

2. За рубашку и галстук заплатили 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук?

3. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было во второй пачке?

К этой задаче краткую запись можно выполнить в виде столбчатой диаграммы.

4. Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 9880 руб. Сколько стоит одно кресло, если один стул стоит 86 руб .

Оформить краткую запись можно с помощью таблицы:

5. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

Правильно составленная краткая запись указывает на сознательный анализ учеником условия и требования задачи и намечает план дальнейшего решения.

2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения.

Чаще всего при организации поиска решения задачи применяется аналитико - синтетический метод.

Рассмотрим план рассуждений на примере задачи 1.

1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?

В задаче требуется узнать расстояние между поездами через 3 часа.

Что для этого надо знать?

S, которое прошёл 1-й поезд за 3 часа, и s, которое прошёл 2-й поезд за 3 часа.

Что необходимо знать для определения этих расстояний?

- скорость каждого поезда, а это в задаче известно.

План решения следующий:

1) находим s, которое прошёл 1-й поезд за 3 часа

2) находим s, которое прошёл 2-й поезд за 3 часа

3) находим общее расстояние.

Рассмотренный метод составления плана решения задачи является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Например, задача:

2. Молодой рабочий выполнил задание за 8 часов, изготовляя в час по 18 деталей. За сколько часов выполнит то же задание его наставник, если в час он делает на 6 деталей больше, чем молодой рабочий ?

Краткая запись

Главная » Сленг » Обобщение опыта. Текстовые задачи в школьном курсе математики