Ускорение движения в данный момент времени. Сложное движение точки

Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

Другими словами, мгновенная скорость – это радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.

Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.

Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.

Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

ПРИМЕР 3

Рассмотрен пример решения задачи со сложным движением точки. Точка движется по прямой вдоль пластины. Пластина вращается вокруг неподвижной оси. Определяется абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки.

Теория, применяемая для решения приведенной ниже задачи, излагается на странице “Сложное движение точки, теорема Кориолиса ”.

Условие задачи

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 6 t 2 - 3 t 3 . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO 1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40 (s - в сантиметрах, t - в секундах). Расстояние b = 20 см . На рисунке точка M показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка M находится по другую сторону от точки A ).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t 1 = 1 с .

Указания . Эта задача - на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка M на пластине в момент времени t 1 = 1 с , и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунке к задаче).

Решение задачи

Дано: b = 20 см , φ = 6 t 2 - 3 t 3 , s = |AM| = 40(t - 2 t 3) - 40 , t 1 = 1 c .

Определение положения точки

Определяем положение точки в момент времени t = t 1 = 1 c .
s = 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40(1 - 2·1 3) - 40 = -80 см.
Поскольку s < 0 , то точка M ближе к точке B, чем к D.
|AM| = |-80| = 80 см.
Делаем рисунок.

Согласно теореме о сложении скоростей , абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Определение относительной скорости точки

Определяем относительную скорость . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дифференцируя s по времени t , находим проекцию скорости на направление BD :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
см/с.
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительной скорости
v от = 200 см/с .

Определение переносной скорости точки

Определяем переносную скорость . Для этого считаем, что точка M жестко связана с пластиной, а пластина совершает заданное движение. То есть пластина вращается вокруг оси OO 1 . Дифференцируя φ по времени t , находим угловую скорость вращения пластины:
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
.
Поскольку , то вектор угловой скорости направлен в сторону положительного угла поворота φ , то есть от точки O к точке O 1 . Модуль угловой скорости:
ω = 3 с -1 .
Изображаем вектор угловой скорости пластины на рисунке.

Из точки M опустим перпендикуляр HM на ось OO 1 .
При переносном движении точка M движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H .
|HM| = |HK| + |KM| = 3 b + |AM| sin 30° = 60 + 80·0,5 = 100 см ;
Переносная скорость:
v пер = ω|HM| = 3·100 = 300 см/с .

Вектор направлен по касательной к окружности в сторону вращения.

Определение абсолютной скорости точки

Определяем абсолютную скорость . Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Проводим оси неподвижной системы координат Oxyz . Ось z направим вдоль оси вращения пластины. Пусть в рассматриваемый момент времени ось x перпендикулярна пластине, ось y лежит в плоскости пластины. Тогда вектор относительной скорости лежит в плоскости yz . Вектор переносной скорости направлен противоположно оси x . Поскольку вектор перпендикулярен вектору , то по теореме Пифагора, модуль абсолютной скорости:
.

Определение абсолютного ускорения точки

Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса) , абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Определение относительного ускорения

Определяем относительное ускорение . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дважды дифференцируя s по времени t , находим проекцию ускорения на направление BD :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
см/с 2 .
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительного ускорения
a от = 480 см/с 2 .
Изображаем вектор на рисунке.

Определение переносного ускорения

Определяем переносное ускорение . При переносном движении точка M жестко связана с пластиной, то есть движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H . Разложим переносное ускорение на касательное к окружности и нормальное ускорения:
.
Дважды дифференцируя φ по времени t , находим проекцию углового ускорения пластины на ось OO 1 :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
с -2 .
Поскольку , то вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то есть от точки O 1 к точке O. Модуль углового ускорения:
ε = 6 с -2 .
Изображаем вектор углового ускорения пластины на рисунке.

Переносное касательное ускорение :
a τ пер = ε |HM| = 6·100 = 600 см/с 2 .
Вектор направлен по касательной к окружности. Поскольку вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то направлен в сторону, противоположную положительному направлению поворота φ . То есть направлен в сторону оси x .

Переносное нормальное ускорение :
a n пер = ω 2 |HM| = 3 2 ·100 = 900 см/с 2 .
Вектор направлен к центру окружности. То есть в сторону, противоположную оси y .

Определение кориолисова ускорения

Кориолисово (поворотное) ускорение :
.
Вектор угловой скорости направлен вдоль оси z . Вектор относительной скорости направлен вдоль прямой |DB| . Угол между этими векторами равен 150° . По свойству векторного произведения,
.
Направление вектора определяется по правилу буравчика. Если ручку буравчика повернуть из положения в положение , то винт буравчика переместится в направлении, противоположном оси x .

Определение абсолютного ускорения

Абсолютное ускорение :
.
Спроектируем это векторное уравнение на оси xyz системы координат.

;

;

.
Модуль абсолютного ускорения:

.

Ответ

Абсолютная скорость ;
абсолютное ускорение .

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:

.

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

.

Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

.

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

Инструкция

Введите систему координат, относительно которой вы будете определять направление и модуль . Если в задаче уже задана зависимости скорости от времени, вводить систему координат не нужно – предполагается, что она уже есть.

По имеющейся функции зависимости скорости от времени можно найти значение скорости в любой момент времени t. Пусть, например, v=2t²+5t-3. Если требуется найти модуль скорости в момент времени t=1, просто подставьте это значение в и посчитайте v: v=2+5-3=4.

Источники:

• как находить зависимость пути от времени

Модуль числа n представляет собой количество единичных отрезков от начала координат до точки n. Причем не важно, в какую сторону будет отсчитываться это расстояние – вправо или влево от нуля.

Инструкция

Модуль числа также принято называть абсолютной величиной этого числа . Он короткими вертикальными линиями, проведенными слева и справа от числа . Например, модуль числа 15 записывается следующим образом: |15|.

Помните, что модуль может быть только положительным числом или . Модуль положительного числа равен числу. Модуль нулю. То есть для любого числа n, которое больше либо равно нулю, будет справедлива следующая |n| = n. Например, |15| = 15, то есть модуль числа 15 равен 15-ти.

Модулем отрицательного числа будет то же число, но с противоположным знаком. То есть для любого числа n, которое меньше нуля, будет справедлива формула |n| = -n. Например, |-28| = 28. Модуль числа -28 равен 28-ми.

Можно находить не только для целых, но и для чисел. Причем в отношении дробных чисел действуют те же правила. Например, |0,25| = 25, то есть модуль числа 0,25 будет равен 0,25. А |-¾| = ¾, то есть модуль числа -¾ будет равен ¾.

При работе полезно знать, что модули всегда равны друг другу, то есть |n| =|-n|. Это является основным свойством . Например, |10| = |-10|. Модуль числа 10 равен 10-ти, точно так же, как модуль числа -10. Кроме того, |a - b| = |b - a|, так как расстояние от точки a до точки b и расстояние от b до a равны друг другу. Например, |25 - 5| = |5 - 25|, то есть |20| = |- 20|.

Для нахождения изменения скорости определитесь с типом движения тела. В случае если движение тела равномерно, изменение скорости равно нулю. Если тело движется с ускорением, то изменение его скорости в каждый момент времени можно узнать, если отнять от мгновенной скорости в данный момент времени его начальную скорость.

Вам понадобится

• секундомер, спидометр, радар, рулетка, акселерометр.

Инструкция

Определение изменения скорости произвольно движущегося траекторииС помощью спидометра или радара измерьте скорость тела в начале и конце отрезка пути. Затем от конечного результата отнимите начальный, это и будет изменение скорости тела.

Определение изменения скорости тела, движущегося с ускорениемНайдите ускорение тела. Используйте акселерометр или динамометр. Если известна масса тела, тогда силу, действующую на тело, поделите на его массу (a=F/m). После этого измерьте время, за которое происходил изменения скорости . Чтобы найти изменение скорости , умножьте значение ускорения на время, за которое происходило это изменение (Δv=a t). Если ускорение измерить в метрах на секунду , а время - в секундах, то скорость получится в метрах на секунду. Если нет возможности замерить время, но , что скорость менялась на определенном отрезке пути, спидометром или радаром, измерьте скорость в начале этого отрезка, затем с помощью рулетки или дальномера измерьте длину этого пути . Любым из вышеописанных методов измерьте ускорение, которое действовало на тело. После этого найдите конечную скорость тела в конце участка пути. Для этого возведите начальную скорость в , прибавьте к ней произведение участка на ускорение и число 2. Из результата извлеките . Чтобы найти изменение скорости , от полученного результата отнимите значение начальной скорости .

Определение изменения скорости тела при поворотеЕсли не только величина, но и направление скорости , то найдите ее изменение векторную разность начальной и конечной скорости . Для этого измерьте угол между векторами. Затем от суммы квадратов скоростей отнимите удвоенное их произведение, умноженное на косинус угла между ними: v1²+v2²-2v1v2 Cos(α). Из полученного числа извлеките квадратный корень.

Видео по теме

Для определения скорости различных видов движения понадобятся разные формулы. Чтобы определить скорость равномерного движения, расстояние поделите на время его прохождения. Среднюю скорость движения находите сложением всех отрезков, которое прошло тело, на общее время движения. При равноускоренном движении узнайте ускорение, с которым двигалось тело, а при свободном падении высоту, с которой оно начало движение.

Вам понадобится

• дальномер, секундомер, акселерометр.

Инструкция

Скорость равномерного движения и средняя скоростьИзмерьте расстояние с помощью дальномера, которое прошло тело, а время, за которое оно его преодолело, с помощью секундомера. После этого поделите расстояние, пройденное телом на время его прохождения, результатом будет скорость равномерного движения (v=S/t). Если тело движется неравномерно, произведите те же измерения и примените ту же формулу - тогда получите среднюю скорость тела. Это , что если бы тело по данному отрезку пути двигалось с полученной скоростью, оно было бы в пути время, равное измеренному. Если тело движется по , измерьте ее и время прохождения оборота, затем радиус умножьте на 6,28 и поделите на время (v=6,28 R/t). Во всех случаях результат получится в метрах в секунду. Для перевода в час помножьте его на 3,6.

Скорость равноускоренного движенияИзмерьте ускорение тела с помощью акселерометра или динамометра, если известна масса тела. Секундомером замерьте время движения тела и его начальную скорость, если тело не начинает двигаться из состояния покоя. Если же тело двигается из состояния покоя, она равна нулю. После этого узнайте скорость тела, прибавив к начальной скорости произведение ускорения на время (v=v0+at).

Скорость свободно падающего телаС помощью дальномера измерьте , с которой тело в метрах. Чтобы узнать скорость, с которой оно долетит до поверхности Земли (без учета сопротивления ), умножьте высоту на 2 и на число 9,81 (ускорение свободного падения). Из результата извлеките квадратный . Чтобы найти скорость тела на любой высоте, применяйте ту же методику, только от начальной , отнимайте текущую и полученное значение подставляйте вместо высоты.

Видео по теме

Человек привык воспринимать понятие "скорость " как нечто более простое, чем это есть на самом деле. Действительно, проносящийся на перекрестке автомобиль движется с определенной скорость ю, в то время как человек стоит и наблюдает за ним. Но если человек находится в движении, то разумнее говорить не об абсолютной скорости, а об относительной ее величине. Найти относительную скорость очень легко.

Инструкция

Можно продолжить рассмотрение темы движущегося на перекрестка на автомобиле. Человек же, стоя на красном свете светофора, стоит и на проезжающий автомобиль. Человек неподвижен, поэтому примем его за систему отсчета. Система отсчета - такая , относительно которой движется какое-либо тело или иная материальная точка.

Допустим, автомобиль движется со скорость ю 50 км/ч. Но, допустим, что побежал вслед автомобилю (можно, например, вместо автомобиля представить маршрутку или проезжающий мимо ). Скорость бега 12 км/ч. Таким образом, скорость данного механического транспортного средства представится не столь и быстрой, как было раньше, когда он ! В этом вся и суть относительной скорости. скорость всегда измеряется касательно подвижной системы отсчета. Таким образом, скорость автомобиля не будет для пешехода 50 км/ч, а 50 - 12 = 38 км/ч.

Можно рассмотреть еще один . Достаточно вспомнить любой из моментов, когда человек, сидя у окна автобуса, наблюдает за проносящимися мимо автомобилями. Действительно, из окна автобуса их скорость кажется просто ошеломляющей. И это не удивительно, ведь, если принять автобус за систему отсчета, то скорость автомобиля и скорость автобуса нужно будет сложить. Допустим, что автобус движется со скорость ю 50 км/ч, а 60 км/ч. Тогда 50 + 60 = 110 км/ч. Именно с такой скорость ю эти самые автомобили проносятся мимо автобуса и пассажиров в нем.
Эта же скорость будет справедлива и действительна и в том случае, если за систему отсчета принять любой из проезжающих мимо автобусов автомобилей.

Кинематика изучает различные виды движения тела с заданной скоростью, направлением и траекторией. Чтобы определить его положение относительно точки начала пути, нужно найти перемещение тела .

Инструкция

Движение тела происходит по некоторой траектории. В случае прямолинейного движения ею линия, поэтому найти перемещение тела довольно просто: оно равно пройденному пути. В противном случае определить его можно начального и конечного положения в пространстве.

Главная » Обучение за рубежом » Ускорение движения в данный момент времени. Сложное движение точки