Линейные неоднородные дифференциальные уравнения примеры. Лнду второго порядка с постоянными коэффициентами, примеры
Основы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛНДУ-2) с постоянными коэффициентами (ПК)
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами $p$ и $q$ имеет вид $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, где $f\left(x\right)$ - непрерывная функция.
В отношении ЛНДУ 2-го с ПК справедливы два следующих утверждения.
Предположим, что некоторая функция $U$ является произвольным частным решением неоднородного дифференциального уравнения. Предположим также, что некоторая функция $Y$ является общим решением (ОР) соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогда ОР ЛНДУ-2 равно сумме указанных частного и общего решений, то есть $y=U+Y$.
Если правая часть ЛНДУ 2-го порядка представляет собой сумму функций, то есть $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+...+f_{r} \left(x\right)$, то сначала можно найти ЧР $U_{1} ,U_{2} ,...,U_{r} $, которые соответствуют каждой из функций $f_{1} \left(x\right),f_{2} \left(x\right),...,f_{r} \left(x\right)$, а уже после этого записать ЧР ЛНДУ-2 в виде $U=U_{1} +U_{2} +...+U_{r} $.
Решение ЛНДУ 2-го порядка с ПК
Очевидно, что вид того или иного ЧР $U$ данного ЛНДУ-2 зависит от конкретного вида его правой части $f\left(x\right)$. Простейшие случаи поиска ЧР ЛНДУ-2 сформулированы в виде четырех следующих правил.
Правило № 1.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)=a_{0} \cdot x^{n} +a_{1} \cdot x^{n-1} +...+a_{n-1} \cdot x+a_{n} $, то есть называется многочленом степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных нулю. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом неопределенных коэффициентов (НК).
Правило № 2.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)$ представляет собой многочлен степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} \cdot e^{\alpha \cdot x} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha $. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом НК.
Правило № 3.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)$, где $a$, $b$ и $\beta $ - известные числа. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right)\cdot x^{r} $, где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $i\cdot \beta $. Коэффициенты $A$ и $B$ находят методом НК.
Правило № 4.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left$, где $P_{n} \left(x\right)$ - многочлен степени $n$, а $P_{m} \left(x\right)$ - многочлен степени $m$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left\cdot x^{r} $, где $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ - многочлены степени $s$, число $s$ - максимальное из двух чисел $n$ и $m$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha +i\cdot \beta $. Коэффициенты многочленов $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ находят методом НК.
Метод НК состоит в применении следующего правила. Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочлена, которые входят в состав частного решения неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ-2, необходимо:
- подставить ЧР $U$, записанное в общем виде, в левую часть ЛНДУ-2;
- в левой части ЛНДУ-2 выполнить упрощения и сгруппировать члены с одинаковыми степенями $x$;
- в полученном тождестве приравнять коэффициенты при членах с одинаковыми степенями $x$ левой и правой частей;
- решить полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
Пример 1
Задача: найти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. Найти также ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$.
Записываем соответствующее ЛОДУ-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Характеристическое уравнение: $k^{2} -3\cdot k-18=0$. Корни характеристического уравнения: $k_{1} =-3$, $k_{2} =6$. Эти корни действительны и различны. Таким образом, ОР соответствующего ЛОДУ-2 имеет вид: $Y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} $.
Правая часть данного ЛНДУ-2 имеет вид $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. В ней необходимо рассматривать коэффициент показателя степени экспоненты $\alpha =3$. Этот коэффициент не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Поэтому ЧР данного ЛНДУ-2 имеет вид $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
Будем искать коэффициенты $A$, $B$ методом НК.
Находим первую производную ЧР:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$
$=A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$
Находим вторую производную ЧР:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$
$=3\cdot A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$
Подставляем функции $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в данное ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x}. $ При этом, поскольку экспонента $e^{3\cdot x} $ входит как множитель во все составляющие, то её можно опустить. Получаем:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Выполняем действия в левой части полученного равенства:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Применяем метод НК. Получаем систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Решение этой системы таково: $A=-2$, $B=-1$.
ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $ для нашей задачи выглядит следующим образом: $U=\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
ОР $y=Y+U$ для нашей задачи выглядит следующим образом: $y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
С целью поиска ЧР, удовлетворяющего заданным начальным условиям, находим производную $y"$ ОР:
$y"=-3\cdot C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +6\cdot C_{2} \cdot e^{6\cdot x} -2\cdot e^{3\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} .$
Подставляем в $y$ и $y"$ начальные условия $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$:
$6=C_{1} +C_{2} -1; $
$1=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -2-3=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -5.$
Получили систему уравнений:
$C_{1} +C_{2} =7;$
$-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} =6.$
Решаем её. Находим $C_{1} $ по формуле Крамера, а $C_{2} $ определяем из первого уравнения:
$C_{1} =\frac{\left|\begin{array}{cc} {7} & {1} \\ {6} & {6} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-3} & {6} \end{array}\right|} =\frac{7\cdot 6-6\cdot 1}{1\cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1} =\frac{36}{9} =4; C_{2} =7-C_{1} =7-4=3.$
Таким образом, ЧР данного дифференциального уравнения имеет вид: $y=4\cdot e^{-3\cdot x} +3\cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
Основы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛНДУ-2) с постоянными коэффициентами (ПК)
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами $p$ и $q$ имеет вид $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, где $f\left(x\right)$ - непрерывная функция.
В отношении ЛНДУ 2-го с ПК справедливы два следующих утверждения.
Предположим, что некоторая функция $U$ является произвольным частным решением неоднородного дифференциального уравнения. Предположим также, что некоторая функция $Y$ является общим решением (ОР) соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогда ОР ЛНДУ-2 равно сумме указанных частного и общего решений, то есть $y=U+Y$.
Если правая часть ЛНДУ 2-го порядка представляет собой сумму функций, то есть $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+...+f_{r} \left(x\right)$, то сначала можно найти ЧР $U_{1} ,U_{2} ,...,U_{r} $, которые соответствуют каждой из функций $f_{1} \left(x\right),f_{2} \left(x\right),...,f_{r} \left(x\right)$, а уже после этого записать ЧР ЛНДУ-2 в виде $U=U_{1} +U_{2} +...+U_{r} $.
Решение ЛНДУ 2-го порядка с ПК
Очевидно, что вид того или иного ЧР $U$ данного ЛНДУ-2 зависит от конкретного вида его правой части $f\left(x\right)$. Простейшие случаи поиска ЧР ЛНДУ-2 сформулированы в виде четырех следующих правил.
Правило № 1.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)=a_{0} \cdot x^{n} +a_{1} \cdot x^{n-1} +...+a_{n-1} \cdot x+a_{n} $, то есть называется многочленом степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных нулю. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом неопределенных коэффициентов (НК).
Правило № 2.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)$ представляет собой многочлен степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} \cdot e^{\alpha \cdot x} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha $. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом НК.
Правило № 3.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)$, где $a$, $b$ и $\beta $ - известные числа. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right)\cdot x^{r} $, где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $i\cdot \beta $. Коэффициенты $A$ и $B$ находят методом НК.
Правило № 4.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left$, где $P_{n} \left(x\right)$ - многочлен степени $n$, а $P_{m} \left(x\right)$ - многочлен степени $m$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left\cdot x^{r} $, где $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ - многочлены степени $s$, число $s$ - максимальное из двух чисел $n$ и $m$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha +i\cdot \beta $. Коэффициенты многочленов $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ находят методом НК.
Метод НК состоит в применении следующего правила. Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочлена, которые входят в состав частного решения неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ-2, необходимо:
- подставить ЧР $U$, записанное в общем виде, в левую часть ЛНДУ-2;
- в левой части ЛНДУ-2 выполнить упрощения и сгруппировать члены с одинаковыми степенями $x$;
- в полученном тождестве приравнять коэффициенты при членах с одинаковыми степенями $x$ левой и правой частей;
- решить полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
Пример 1
Задача: найти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. Найти также ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$.
Записываем соответствующее ЛОДУ-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Характеристическое уравнение: $k^{2} -3\cdot k-18=0$. Корни характеристического уравнения: $k_{1} =-3$, $k_{2} =6$. Эти корни действительны и различны. Таким образом, ОР соответствующего ЛОДУ-2 имеет вид: $Y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} $.
Правая часть данного ЛНДУ-2 имеет вид $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. В ней необходимо рассматривать коэффициент показателя степени экспоненты $\alpha =3$. Этот коэффициент не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Поэтому ЧР данного ЛНДУ-2 имеет вид $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
Будем искать коэффициенты $A$, $B$ методом НК.
Находим первую производную ЧР:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$
$=A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$
Находим вторую производную ЧР:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$
$=3\cdot A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$
Подставляем функции $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в данное ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x}. $ При этом, поскольку экспонента $e^{3\cdot x} $ входит как множитель во все составляющие, то её можно опустить. Получаем:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Выполняем действия в левой части полученного равенства:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Применяем метод НК. Получаем систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Решение этой системы таково: $A=-2$, $B=-1$.
ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $ для нашей задачи выглядит следующим образом: $U=\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
ОР $y=Y+U$ для нашей задачи выглядит следующим образом: $y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
С целью поиска ЧР, удовлетворяющего заданным начальным условиям, находим производную $y"$ ОР:
$y"=-3\cdot C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +6\cdot C_{2} \cdot e^{6\cdot x} -2\cdot e^{3\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} .$
Подставляем в $y$ и $y"$ начальные условия $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$:
$6=C_{1} +C_{2} -1; $
$1=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -2-3=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -5.$
Получили систему уравнений:
$C_{1} +C_{2} =7;$
$-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} =6.$
Решаем её. Находим $C_{1} $ по формуле Крамера, а $C_{2} $ определяем из первого уравнения:
$C_{1} =\frac{\left|\begin{array}{cc} {7} & {1} \\ {6} & {6} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-3} & {6} \end{array}\right|} =\frac{7\cdot 6-6\cdot 1}{1\cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1} =\frac{36}{9} =4; C_{2} =7-C_{1} =7-4=3.$
Таким образом, ЧР данного дифференциального уравнения имеет вид: $y=4\cdot e^{-3\cdot x} +3\cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
где p и q - являются произвольными действительных чисел , а функция f(x) - непрерывна на интервале интегрирования X .
Выразим теорему, отображающая вид, в котором необходимо находить общее решение линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Теорема.
Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения: с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения y 0 соответствующего линейного неоднородного дифференциального уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения, т.е., .
Значит, общим решением ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами оказывается сумма общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и частного решения : .
Вычисление y 0 расписано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , сейчас рассмотрим метод нахождения .
Есть некоторые методы определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Эти методы определяются учитывая вид функции f(x) , которая находится в правой части уравнения. Назовем их и в последующих статьях рассмотрим решения каждого ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
2. Если функция f(x)
представляется произведением многочлена степени n
и экспоненты 
, значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка находится как 
,
где Qn(x) является многочленом n -ой степени,
r - количество корней характеристического уравнения, которые равняются .
Коэффициенты многочлена Qn(x) можно определить из равенства .
3. Если функция f(x) выглядит так: , где А 1 и В 1 оказываются числами, значит, частное решение линейного неопределенного дифференциального уравнения представляют как ,
где А и В являются неопределенными коэффициентами,
r - является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны . Коэффициенты многочлена А и В определяются исходя из равенства .
4. Если , значит, ,
где r является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны ,
Pn(x) ,Qk(x) , Lm(x) и Nm(x) являются многочленами степени n , k , m и m соответственно, m = max(n, k) .
Найти коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) можно используя равенство .
5. Для всех остальных видов функции f(x) используется такой порядок действий:
- первым шагом определяем общее решение необходимого линейного однородного уравнения как y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения, а С 1 и С 2 являются произвольными постоянными;
- далее варьируем произвольные постоянные, т.е., как общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- и последним шагом необходимо определить производные функций C 1 (x) и С 2 (x) из системы уравнений:
,
а функции C 1 (x) и C 2 (x) определяют при дальнейшем интегрировании.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида
,
где p
и q
- функции переменной x
.
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида
Член q(x) называется неоднородной частью уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)
.
Существует три способа решения этого уравнения:
- метод интегрирующего множителя;
Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя
Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя
.
Умножим обе части исходного уравнения (1)
на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:
По правилу дифференцирования сложной функции:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставляем в (2)
:
Интегрируем:
Умножаем на .
Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
:
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Решить уравнение
Решение
Разделим обе части исходного уравнения на x
:
(i)
.
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:
Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1
).
Умножим (i)
на x 3
:
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов :
.
Делим на x 3
:
.
Ответ
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид
где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.
1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:
то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа
(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть
3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа
(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде
Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:
Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.
Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть
Составим и решим характеристическое уравнение:
Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение данного однородного дифференциального уравнения:
В этом случае характеристическое уравнение
Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь
Характеристическое уравнение
Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как
Характеристическое уравнение здесь
Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.
Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
Характеристическое уравнение
Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:
Примеры для самопроверки.
