Что такое многогранный угол. Трехгранный и многогранный углы
№1 Дата05.09.14
Предмет Геометрия
Класс 11
Тема урока: Понятие о многогранном угле. Трехгранный угол.
Цели урока:
ввести понятия: “трехгранные углы”, “многогранные углы”, “многогранник”;
ознакомить учащихся с элементами трехгранного и многогранного углов, многогранника, а также определениями выпуклого многогранного угла и свойствами плоских углов многогранного угла;
продолжить работу по развитию пространственных представлений и пространственного воображения, а также логического мышления учащихся.
Тип урока: изучения нового материала
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.
2. Формирование новых понятий и способов действия.
Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать философскому осмыслению усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися своего субъективного опыта с признаками научного знания.
Пусть даны три луча а, b и с с общим началом точкой О (рис. 1.1). Эти три луча не обязательно лежат в одной плоскости. На рисунке 1.2 лучи b и с лежат в плоскости р, а луч а не лежит в этой плоскости.
Лучи а, b и с попарно задают три выделенных дугами плоских угла (рис. 1.3).
Рассмотрим фигуру, состоящую из трех указанных выше углов и части пространства, ограниченной этими плоскими углами. Эту пространственную фигуру называют
трехгранным углом
(рис. 2).
Лучи а, b и с называются ребрами трехгранного угла, а углы: = AOC, = AOB,
=
BOC
,
ограничивающие трехгранный угол, - его
гранями.
Эти углы-грани образуют
поверхность трехгранного угла.
Точка
О
называется
вершиной трехгранного угла.
Трехгранный угол можно обозначать так:
OABC
Рассмотрев внимательно все многогранные углы, изображенные на рисунке 3, мы можем заключить, что у каждого из многогранных углов одинаковое число ребер и граней:
4 грани и одна вершина;
у шестигранного угла - 6 ребер, 6 граней и одна вершина и т. д.
у пятигранного угла - 5 ребер, 5 граней и одна вершина;
Многогранные углы бывают выпуклыми и невыпуклыми.
Представьте себе, что мы взяли четыре луча с общим началом, как на рисунке 4. В этом случае мы получили невыпуклый многогранный угол.
Определение 1. Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Другими словами, выпуклый многогранный угол всегда можно положить любой его гранью на некоторую плоскость. Вы видите, что в случае, изображенном на рисунке 4, так поступить не всегда удается. Четырехгранный угол, изображенный на рисунке 4, является невыпуклым.
Отметим, что в нашем учебнике, если мы говорим “многогранный угол”, то имеем в виду, что он выпуклый. Если рассматриваемый многогранный угол невыпуклый, об этом будет сказано отдельно.
Свойства плоских углов многогранного угла
Теорема 1. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.
Теорема 2. Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
3. Применение. Формирование умений и навыков.
Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.
6.Этап информации о домашнем задании.
Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
§1(1.1, 1.2) стр. 4, № 9.
7.Подведение итогов урока.
Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.
8.Этап рефлексии.
Задачи: Инициировать рефлексию учащихся на самооценку своей деятельности. Обеспечить усвоение учащимися принципов само регуляции и сотрудничества.
Беседа по вопросам:
Что тебе на уроке было интересно?
Что не понятно?
На что обратить внимание учителю на следующем уроке?
Как ты оценишь свою работу на уроке?
2.4. Многогранные углы
В соответствии с тематическим планированием, на данный параграф отводится один час учебного времени (один урок).
1. Проверка домашнего задания (5 мин.)
2. Выполняем этап работы с информацией (20 –25 мин.)
Технологически этап ориентирован на преимущественное формирование познавательных универсальных учебных действий (умения формулировать вопросы к тексту, самостоятельно формулировать ответы с опорой на текст).
В этом параграфе находит дальнейшее развитие понятие трёхгранного угла. Появляется многогранный угол, и в связи с этим появляется возможность уточнить понятие многоугольника.
В связи с многогранными углами ещё раз обсуждается проблема выпуклости фигур. На примере многогранных углов мы дополнительно уточняем представления учащихся о выпуклых и невыпуклых фигурах (многоугольники, многогранные углы, произвольные фигуры).
Для многогранных углов полезно сформулировать свойства их плоских углов , аналогичные соответственным свойствам плоских углов трёхгранного угла (без доказательства):
1. Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов.
2. Сумма всех плоских углов многогранного угла меньше 360º.
3. Выполняем этап развития умений (15 –20 мин.)
Этап ориентирован на выработку
познавательных УУД – формирование умений:
– по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов;
– по использованию доказательной математической речи;
– по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами;
Регулятивных УУД – формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты;
коммуникативных УУД – формирование умений совместно с другими детьми в группе находить решение задачи и оценивать полученные результаты.
Обсуждаем, что это этап разъяснения всего непонятного, а также тренинга. Устанавливаем цели работы на данном этапе, добиваясь при этом от детей личного целеполагания: разъяснить для себя всё, что недостаточно хорошо понятно, потренироваться в решении тех задач, которые вызывают затруднения.
Здесь можно поработать с заданиями 34, 35 на стр. 29–30.
Предлагаем также несколько дополнительных задач.
1) Многогранный угол имеет n граней. Сколько у него рёбер?
Ответ: n рёбер.
2) Можно ли изготовить модель четырёхгранного угла с плоскими углами: 1) 80°, 130°, 70°, 100°; 2) 45°, 60°, 120°, 90°; 3) 80°, 80°, 80°, 80°? Если модель получилась, то какого угла: выпуклого или невыпуклого?
Ответ: 1) можно; 2) можно как выпуклого, так и невыпуклого; 3) можно, только выпуклого.
3) Опираясь на известное вам свойство плоских углов трёхгранного угла, докажите, что каждый плоский угол четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных его плоских углов.
Указание: Через два противолежащих ребра нужно провести плоскость и рассмотреть получившиеся трёхгранные углы. Доказательство справедливо только для выпуклых углов.
4) В четырёхгранном угле все плоские углы равны. Докажите, что они острые.
Решение: 1. Пусть α – градусная мера плоского угла.
2. Тогда 4α < 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).
3. Следовательно, α < 90°, т. е. α – острый угол.
5) В выпуклом многогранном угле каждый из плоских углов равен а) 30°; б) 45°; в) 80°; г) 150°. Сколько граней может иметь такой многогранный угол?
Ответ: а) 3 ≤ n < 12; б) 3 ≤ n < 8; в) 3 ≤ n < 4,5; г) 3 ≤ n < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что n – число целое.
6) В выпуклом многогранном угле все плоские углы равны между собой. Многогранный угол имеет а) 6; б) 8; в) 10 граней. Чему могут быть равны плоские углы данного многогранного угла?
Рассуждаем так же, как и при решении задачи 5, n α < 360°, где n – количество граней многогранного угла, α– градусная мера плоского угла; 0 ≤ α < 360°/ n .
Ответ: а) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.
По истечении времени, отведённого для выполнения заданий, результаты работы выносятся педагогом на доску и обсуждаются учащимися. Подводится итог работы, происходит самооценка, связанная с определением того, что ясно и получается и того, что не ясно и не получается.
4. Формулируем домашнее задание по различным уровням сложности – в зависимости от результатов работы на предыдущем этапе.
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Многогранный угол является пространственным аналогом многоугольника. Напомним, что многоугольником на плоскости называется фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней областью. Будем считать аналогом точки на плоскости луч в пространстве и аналогом отрезка на плоскости плоский угол в пространстве. Тогда аналогом простой замкнутой ломаной на плоскости является поверхность, образованная конечным набором плоских углов A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 с общей вершиной S (рис. 1), в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а несоседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом . Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1 , …, SA n называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1 … A n , указывающими вершину и точки на его ребрах. В зависимости от числа граней многогранные углы называются трехгранными, четырехгранными, пятигранными (рис. 2) и т. д.
Многогранный угол называется выпуклым
, если он является выпуклой
фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их
отрезок.
На рисунке 2 трехгранный и
четырехгранный углы выпуклые, а пятигранный угол – нет.
Рассмотрим некоторые
свойства треугольников и аналогичные им свойства трехгранных углов.
Свойство 1
(Неравенство треугольника). Каждая сторона
треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Аналогичным свойством для
трехгранных углов является следующее свойство.
Свойство 1
". Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы
двух других его плоских углов.
Доказательство.
Рассмотрим трехгранный угол SABC
.
Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC
.
Тогда выполняются неравенства
ASB ASC < ASC + BSC ;BSC ASC < ASC + ASB .
Таким образом, остается
доказать неравенство ASС
< ASB
+ BSC
.
Отложим на грани ASC
угол
ASD
, равный ASB
,
и
точку B
выберем так, чтобы SB = SD
(рис. 3). Тогда треугольники ASB
и ASD
равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB
= AD
. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC
.
Вычитая из обеих его частей AD = AB
, получим неравенство DC < BC.
В треугольниках DSC
и BSC
одна
сторона общая (SC
), SD = SB
и DC < BC.
В этом случае
против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, DSC < BSC
. Прибавляя к обеим частям
этого неравенства угол ASD
,
равный
ASB
, получим требуемое неравенство ASС
< ASB
+ BSC
.
Следствие 1.
Сумма плоских углов
трехгранного угла меньше 360
°
.
Доказательство.
Пусть SABC
– данный трехгранный угол.
Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A
, образованный гранями ABS,
ACS
и углом BAC
. В силу доказанного свойства, имеет место
неравенство BAС
< BAS
+ CAS
. Аналогично, для
трехгранных углов с вершинами B
и С
имеют место
неравенства: ABС
< ABS
+ CBS
, ACB
< ACS
+ BCS
. Складывая эти
неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC
равна 180
°
, получаем 180
°
< BAS +CAS
+ ABS
+ CBS +BCS
+ ACS =
180
°
- ASB +
180
°
- BSC
+ 180
°
- ASC
. Следовательно, ASB + BSC + ASC <
360
°
.
Следствие 2.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла
меньше 360.
Доказательство аналогично
предыдущему.
Следствие 3.
Сумма двугранных углов трехгранного угла больше 180
°
.
Доказательство.
Пусть SABC
– трехгранный угол. Выберем
какую-нибудь точку P
внутри него и опустим из нее перпендикуляры PA
1 ,
PB
1 ,
PC
1 на
грани (рис. 4).
Плоские углы B
1 PC
1 ,
A
1 PC
1 ,
A
1 PB
1 дополняют
соответствующие двугранные углы с ребрами SA, SB, SC
до 180
°
. Следовательно, сумма этих двугранных углов равна 540
°
- (B
1 PC
1 +A
1 PC
1 + A
1 PB
1 ).
Учитывая, что сумма плоских углов трехгранного с вершиной P
угла меньше
360
°
, получаем, что сумма двугранных углов исходного
трехгранного угла больше 180
°
.
Свойство 2.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Свойство 2".
Биссектральные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по
одной прямой.
Доказательство аналогично
плоскому случаю. А именно, пусть SABC
– трехгранный угол. Биссектральная
плоскость двугранного угла SA
является ГМТ угла, равноудаленных от его
граней ASC
и ASB
. Аналогично, биссектральная плоскость
двугранного угла SB
является ГМТ угла, равноудаленных от его граней
BSA
и BSC
.
Линия их
пересечения SO
будет равноудалена от всех граней трехгранного угла и, следовательно,
через нее будет проходить биссектральная плоскость двугранного угла SC
.
Свойство 3.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
Свойство 3".
Плоскости, проходящие через биссектрисы граней
трехгранного угла и перпендикулярные этим граням, пересекаются по одной прямой.
Доказательство аналогично
доказательству предыдущего свойства.
Свойство 4.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Свойство 4".
Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и
биссектрисы противоположных граней пересекаются по одной прямой.
Доказательство.
Рассмотрим трехгранный угол SABC, SA = SB = SC
(рис.
5). Тогда биссектрисы SA
1 ,
SB
1 ,
SC
1 углов
BSC, ASC, ASB
являются
медианами соответствующих треугольников. Поэтому AA
1 ,
BB
1 ,
CC
1 –
медианы треугольника ABC
. Пусть O
– точка их пересечения. Прямая SO
содержится во всех трех рассматриваемых плоскостях и, следовательно, является
линией их пересечения.
Свойство 5.
Высоты треугольника
пересекаются в одной точке.
Свойство 5
". Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла
и перпендикулярные противоположным граням, пересекаются по одной прямой.
Доказательство.
Рассмотрим трехгранный угол с вершиной S
и
ребрами a, b, c.
Обозначим a
1 ,
b
1 ,
c
1 –
линии пересечения граней с плоскостями, проходящими через соответствующие ребра
и перпендикулярные этим граням (рис. 6). Зафиксируем точку C
на ребре c
и опустим из нее перпендикуляры CA
1
и CB
1 на прямые a
1 и b
1 .
Обозначим A
и B
пересечения
прямых CA
1 и CB
1 с прямыми a
и b
. Тогда SA
1
является проекцией AA
1
на грань BSC
. Так как BC
перпендикулярна SA
1 , то
она перпендикулярна и AA
1 .
Аналогично, AC
перпендикулярна BB
1 . Таким образом, AA
1 и BB
1
являются высотами треугольника ABC
. Пусть O
– точка их пересечения. Плоскости, проходящие через прямые a
и a
1 ,
b
и b
1
перпендикулярны плоскости ABC
и,
следовательно, линия их пересечения SO
перпендикулярна ABC
.
Значит, SO
перпендикулярна AB
. С другой стороны, CO
перпендикулярна
AB
. Поэтому плоскость, проходящая через ребро c
и SO
будет
перпендикулярна противоположной грани.
Свойство 6 (теорема
синусов).
В треугольнике ABC
со
сторонами a, b, c
соответственно, имеют место равенства a
: sin A = b
: sin B = c
: sin
C.
Свойство 6".
Пусть
a
,
b
,
g
- плоские углы трехгранного угла, a, b, c
– противолежащие им
двугранные углы. Тогда
sin
a
: sin a
= sin
b
: sin b
=
sin
g
: sin c
.
Доказательство.
Пусть SABC
–
трехгранный угол. Опустим из точки C
перпендикуляр CC
1
на плоскость ASB
и перпендикуляр CA
1
на ребро SA
(рис. 7). Тогда угол CA
1 C
1
будет линейным углом двугранного угла a
. Поэтому CC
1
=
CA
1 sin a
=
SC
sin
b
sin a.
Аналогично
показывается, что CC
1
= CB
1 sin b = SC
sin
a
sin b.
Следовательно, имеет место равенство sin
b
sin a =
sin
a
sin b
и, значит,
равенство sin
a
: sin a
= sin
b
: sin b
.
Аналогичным образом доказывается, что имеет место равенство sin
b
: sin b
= sin
g
: sin c
.
Свойство 7.
Если
в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных
сторон равны.
Свойство 7".
Если в выпуклый четырехгранный угол
можно вписать сферу, то суммы противоположных плоских углов равны.
Литература
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – М.: Учпедгиз,
1938.
2. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в
пространстве. – М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
3. Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия. - М.; 1963.
4. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
В планиметрии одним из объектов изучения является угол.
Угол - это геометрическая фигура, состоящая из точки - вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки.
Два угла одна сторона, которых общая и две другие являются продолжением одна другой, в планиметрии называются смежными.
Циркуль можно рассматривать как модель плоского угла.
Вспомним понятие двухгранного угла.
Это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости - это грани двугранного угла. Прямая а - это ребро двугранного угла.
Крыша дома наглядно демонстрирует двухгранный угол.
Но крыша дома на рисунке два выполнена в виде фигуры образованной из шести плоских углов с общей вершиной так, что углы берутся в определенном порядке и каждая пара соседних углов, включая первый и последний, имеет общую сторону. Как называется такая форма крыши?
В геометрии фигура, составленная из углов
А углы из которых составлен этот угол называются плоскими углами. Стороны плоских углов называются ребрами многогранного угла. Точка О называется вершиной угла.
Примеры многогранных углов можно найти в тетраэдре и параллелепипеде.
Грани тетраэдра DBA, ABC, DBC образуют многогранный угол ВADC. Чаще он называется трёхгранным углом.
В параллелепипеде грани АА1D1D, ABCD, AA1B1B образую трехгранный угол AA1DB.
Ну а крыша дома выполнена в форме шестигранного угла. Она состоит из шести плоских углов.
Для многогранного угла справедлив ряд свойств. Сформулируем их и докажем. Здесь говорится, что утверждение
Во-первых, для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.
Рассмотри для доказательства многогранный угол ОА1А2 А3…Аn.
По условию он выпуклый. Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.
Так как по условию этот угол выпуклый, то точки О, А1, А2 ,А3, Аn лежат по одну сторону от плоскости ОА1А2
Проведем среднюю линию KM треугольника ОА1А2 и выберем из ребер ОА3, ОА4, ОАn то ребро которое образует с плоскостью ОКМ, наименьший двугранный угол. Пусть это будет ребро ОАi.(оа итое)
Рассмотрим полуплоскость α с границей КМ, делящую двугранный угол ОКМАi на два двухгранных угла. Все вершины от А до Аn лежат по одну сторону от плоскости α, а точка О по другую сторону. Следовательно, плоскость α пересекает все ребра многогранного угла. Утверждение доказано.
Выпуклые многогранные углы обладают ещё одним важным свойством.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной в точке О. В силу доказанного утверждения существует плоскость, которая пересекает все его ребра.
Проведем такую плоскость α, пусть она пересекает рёбра угла в точках А1, А2, А3 и так далее Аn.
Плоскость α от внешней области плоского угла будет отсекать треугольник. Сумма углов которого 180°. Получим, что сумма всех плоских углов от А1ОА2 до АnОА1 равна выражению преобразуем, данное выражение перегруппируем слагаемые, получим
В данном выражении суммы указанные в скобках, являются суммами плоских углов трехгранного угла, а как известно они больше третьего плоского угла.
Данное неравенство можно записать для всех трёхгранных углов образующих данный многогранный угол.
Следовательно, получим следующее продолжение равенства
Полученный ответ доказывает, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.
Многогранный угол
часть пространства, ограниченная одной полостью многогранной конической поверхности, направляющая которой - плоский многоугольник без самопересечений. Грани этой поверхности называются гранями М. у., вершину - вершиной М. у. М. у. называют правильным, если равны все его линейные углы и все его двугранные углы. Мерой М. у. является площадь, ограниченная сферическим многоугольником полученным пересечением граней М. у., сферой с радиусом, равным единице, и с центром в вершине М. у. См. также Телесный угол .
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Многогранный угол" в других словарях:
См. Телесный угол … Большой Энциклопедический словарь
См. Телесный угол. * * * МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ, см. Телесный угол (см. ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ) … Энциклопедический словарь
Часть пространства, ограниченная одной полостью многогранной конич. поверхности, направляющая к рой плоский многоугольник без самопересечений. Грани этой поверхности наз. гранями М. у., вершина верши н о й М. у. Многогранный угол наз. правильным … Математическая энциклопедия
См Телесный угол … Естествознание. Энциклопедический словарь
многогранный угол - матем. Часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, проходящими через одну точку (вершину угла) … Словарь многих выражений
МНОГОГРАННЫЙ, многогранная, многогранное (книжн.). 1. Имеющий несколько граней или сторон. Многогранный камень. Многогранный угол (часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке; мат.). 2. перен.… … Толковый словарь Ушакова
- (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β 1 Ο 1 Α 1. Наложим их так, чтобы… …
- (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Наложим их так, чтобы вершины О … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения). Угол ∠ Размерность ° Единицы измерения СИ Радиан … Википедия
Плоский, геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами У.), выходящими из одной точки (вершины У.). Всякий У., имеющий вершину в центре О некоторой окружности (центральный У.), определяет на окружности дугу AB, ограниченную… … Большая советская энциклопедия
