Дополнение доказательства о параллельности прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Курс геометрии широк, объемен и многогранен: он включает в себя множество различных тем, правил, теорем и полезных знаний. Можно представить, что все в нашем мире состоит из простого, даже наиболее сложное. Точки, прямые, плоскости - все это есть и в вашей жизни. И они поддаются имеющимся в мире законам о соотношении объектов в пространстве. Чтобы доказать это, можно попытаться доказать параллельность прямых и плоскостей.
Прямая - это линия, которая соединяет две точки по кратчайшей траектории, не заканчиваясь и длясь с обоих сторон в бесконечность. Плоскость - это поверхность, образующаяся при кинематическом движении образующей прямой линии по направляющей. Другими словами, если две любые прямые имеют точку пересечения в пространстве, они могут лежать и в одной плоскости. Однако как выразить и прямых, если этих данных недостаточно для подобного утверждения?
Главное условие параллельности прямой и плоскости - чтобы они не имели общих точек. В отличие от прямых, которые могут при отсутствии общих точек являться не параллельными, а расходящимися, плоскость двухмерна, что исключает такое понятие, как расходящиеся прямые. Если данное условие параллельности не соблюдено - значит, прямая пересекает данную плоскость в какой-то одной точке либо лежит в ней полностью.
Что же показывает нам условие параллельности прямой и плоскости нагляднее всего? То, что в любой точке пространства расстояние между параллельными прямой и плоскостью будет константой. При существовании хоть малейшего, в миллиардные доли градуса, уклона прямая рано или поздно пересечет плоскость за счет обоюдной бесконечности. Именно поэтому параллельность прямой и плоскости возможна только при соблюдении этого правила, иначе главное ее условие - отсутствие общих точек - соблюдено не будет.
Что можно добавить, рассказывая про параллельность прямых и плоскостей? То, что если одна из параллельных прямых принадлежит плоскости, то вторая или параллельна плоскости, или тоже принадлежит ей. Как это доказать? Параллельность прямой и плоскости, заключающей в себе прямую, параллельную данной, доказывается очень просто. не имеют общих точек - стало быть, они не пересекаются. А если прямая не пересекается с плоскостью в одной точке - значит, она или параллельна, или лежит на плоскости. Это еще раз доказывает параллельность прямой и плоскости, не имеющих точек пересечения.
В геометрии есть также теорема, которая утверждает, что если существуют две плоскости и прямая линия, перпендикулярна им обеим, то плоскости параллельны. Схожая теорема утверждает, что если две прямые бывают перпендикулярны одной любой плоскости, они обязательно будут параллельны друг другу. Верна ли и доказуема ли параллельность прямых и плоскостей, выраженная данными теоремами?
Оказывается, это так. Прямая, перпендикулярная плоскости, всегда будет строго перпендикулярна любой прямой, которая пролегает в данной плоскости и также имеет с другой прямой точку пересечения. Если прямая имеет подобные пересечения с несколькими плоскостями и во всех случаях является им перпендикулярной - значит, все данные плоскости параллельны друг другу. Наглядным примером может служить детская пирамидка: ее ось будет искомой перпендикулярной прямой, а кольца пирамидки - плоскостями.
Стало быть, доказать параллельность прямой и плоскости достаточно легко. Эти знания получаются школьниками при изучении азов геометрии и во многом определяют дальнейшее усвоение материала. Если уметь грамотно пользоваться полученными в начале обучения знаниями, можно будет оперировать куда большим количеством формул и пропускать ненужные логические связки между ними. Главное - это понимание основ. Если же его нет - то изучение геометрии можно сравнить со строительством без фундамента. Именно поэтому данная тема требует пристального внимания и досконального исследования.
Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости.Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Прямая и плоскость называются параллельными , если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.
Параллельность обозначается « ∥ ». Если в задании по условию прямая a и плоскость α параллельны, тогда обозначение имеет вид a ∥ α . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Считается, что прямая a , параллельная плоскости α и плоскость α , параллельная прямой a , равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.
Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности
Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости.Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.
Теорема 1
Если заданная прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна прямой b , которая принадлежит плоскости α , тогда прямая a параллельна плоскости α .
Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.
Теорема 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.
Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10 - 11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Теорема 3
Для параллельности прямой a , не принадлежащей плоскости α , и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.
Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.
Доказательство
Допустим, прямая а в систему координат О х у задается каноническими уравнениями прямой в пространстве, которые имеют вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или параметрическими уравнениями прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , плоскостью α с общими уравнениями плоскости A x + B y + C z + D = 0 .
Отсюда a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором с координатами прямой а, n → = (A , B , C) - нормальным вектором заданной плоскости альфа.
Чтобы доказать перпендикулярность n → = (A , B , C) и a → = (a x , a y , a z) , нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.
Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Отсюда a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором прямой a с координатами, а n → = (A , B , C) - нормальным вектором плоскости α .
Пример 1
Определить, параллельны ли прямая x = 1 + 2 · λ y = - 2 + 3 · λ z = 2 - 4 · λ с плоскостью x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .
Решение
Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой M (1 , - 2 , 2) не подходят. При подстановке получаем, что 1 + 6 · (- 2) + 5 · 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .
Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой x = 1 + 2 · λ y = - 2 + 3 · λ z = 2 - 4 · λ имеют значения a → = (2 , 3 , - 4) .
Нормальным вектором для плоскости x + 6 y + 5 z + 4 = 0 считается n → = (1 , 6 , 5) . Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и n → . Получим, что a → , n → = 2 · 1 + 3 · 6 + (- 4) · 5 = 0 .
Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.
Ответ: прямая с плоскостью параллельны.
Пример 2
Определить параллельность прямой А В в координатной плоскости О у z , когда даны координаты A (2 , 3 , 0) , B (4 , - 1 , - 7) .
Решение
По условию видно, что точка A (2 , 3 , 0) не лежит на оси О х, так как значение x не равно 0 .
Для плоскости O x z вектор с координатами i → = (1 , 0 , 0) считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой A B как A B → . Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора A B . Получим, что A B → = (2 , - 4 , - 7) . Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов A B → = (2 , - 4 , - 7) и i → = (1 , 0 , 0) , чтобы определить их перпендикулярность.
Запишем A B → , i → = 2 · 1 + (- 4) · 0 + (- 7) · 0 = 2 ≠ 0 .
Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.
Ответ: не параллельны.
Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой a плоскости α . Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.
При заданной прямой a с помощью уравнения двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , плоскостью α - общим уравнением плоскости A x + B y + C z + D = 0 .
Теорема 4
Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой a и плоскости α яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .
Доказательство
Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а также уравнению плоскости A x + B y + C z + D = 0 .
Следовательно, система уравнений, имеющая вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , называется несовместной.
Верно обратное: при отсутствии решений системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не существует точек в О х у z , удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.
Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.
Пример 3
Доказать, что прямая x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 параллельна плоскости 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Решение
Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:
x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 · x = - 1 · (y + 2) 3 · x = - 1 · z 3 · (y + 2) = - 1 · z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0
Чтобы доказать параллельность заданной прямой x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 с плоскостью 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.
Расписав уравнения, получаем, что 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .
Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.
Делаем вывод, что прямая x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 и плоскость 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.
Ответ: прямая и плоскость параллельны.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Некоторые следствия из аксиом
Теорема 1:
Через прямую и не
лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна
.
Дано: М ₵ а
Доказать: 1) Существует α: а ∈ α , М ∈ b ∈ α
2)
α -
единственная
Доказательство:
1) На прямой, а выберем точки P и Q. Тогда имеем 3 точки – Р , Q, M , которые не лежат на одной прямой.
2) По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость α, которая содержит прямую а и точку М , существует.
3) Теперь докажем, что α единственная. Предположим, что существует плоскость β, которая проходит и через точку М, и через прямую а, но тогда эта плоскость через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M , не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость.
4) Значит, эта плоскость совпадает с плоскостью α . Следовательно 1) На прямой, а выберем точки P и Q . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой. Следовательно α – единственная.
Теорема доказана.
1)На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть N ∈ b, N≠M
2)Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой a. По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N, существует.
3)Докажем единственность этой плоскости. Предположим противное. Пусть существует плоскость β, такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую а и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость β совпадает с плоскостью α.
4)Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
Теорема доказана.
Теорема о параллельности прямых
Теорема:
Через любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой.
Дано: прямая а, M ₵ а
Доказать: Существует единственная прямая b ∥ а, М ∈ b
Доказательство:
1) Через прямую а и точку М, не лежащей на ней, можно провести единственную плоскость (1 следствие). В плоскости α можно провести прямую b, параллельную а, проходящую через М.
2) Докажем, что она единственная. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку М и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда β проходит через М и прямую а. Но через прямую а и точку М проходит плоскость α.
3) Значит, α и β совпадают. Из аксиомы параллельных прямых следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельно заданной прямой.
Теорема доказана. 1.Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак скрещивающихся прямых. 2/Докажите, что если две
прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. 3.Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки A, C и M, где M – середина ребра AlDl.
Какая из фигур не является основной фигурой в пространстве? 1) точка; 2) отрезок; 3) прямая; 4) плоскость.2. Прямые a и b скрещивающиеся. Как расположена прямая b относительно плоскости α, если прямая а ϵ α?
1) пересекает; 2) параллельна; 3) лежит в плоскости; 4) скрещивается.
3. Определите, какое утверждение верно:
1) Перпендикуляр длиннее наклонной.
2) Если две наклонные не равны, то большая наклонная имеет меньшую проекцию.
3) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника.
4) Угол между параллельными прямой и плоскостью равен 90º.
4. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой, длина которого 17 см, расположен между ними так, что его концы принадлежат плоскостям. Найдите проекцию этого отрезка на каждую из плоскостей.
1) 15 см; 2) 9 см; 3) 25 см) 4) 12 см.
5. К плоскости МКРТ проведен перпендикуляр ТЕ, равный 6 дм. Вычислить расстояние от точки Е до вершины ромба К, если МК = 8 дм, угол М ромба равен 60º.
1) 10 дм; 2) 14 дм; 3) 8 дм; 4) 12 дм.
6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на расстоянии 10 см. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника.
1) 4 см; 2) 16 см; 3) 8 см; 4) 10 см.
7. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 60º. Найдите проекцию наклонной на данную плоскость, если перпендикуляр равен 5 см.
1) 5√3 см; 2) 10 см; 3) 5 см; 4) 10√3 см.
8. Найти боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании равны 30º.
1) 2 см2; 2) 2√3 см2; 3) √3 см2; 4) 3√2 см2.
9. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям, равным 3 см, 4 см, 5 см.
1) 94 см2; 2) 47 см2; 3) 20 см2; 4) 54 см2.
плоскости.
б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость.
в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются
г) если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскости
д) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек
плоскости;б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость;в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются;г)если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскостид) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек.
2. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда:
В этой статье всесторонне раскрыта тема «параллельность прямой и плоскости ». Сначала дано определение параллельных прямой и плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример. Далее сформулирован признак параллельности прямой и плоскости, а также озвучены необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости. В заключении приведены развернутые решения задач, в которых доказывается параллельность прямой и плоскости.
Навигация по странице.
Параллельные прямая и плоскость – основные сведения.
Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.
Определение.
Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.
Для обозначения параллельности используется символ «». То есть, если прямая a и плоскость параллельны, то можно кратко записать a .
Заметим, что выражения «прямая a и плоскость параллельны», «прямая a параллельна плоскости » и «плоскость параллельна прямой a » одинаково употребимы.
В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.
Параллельность прямой и плоскости - признак и условия параллельности.
Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости . Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых .
Теорема.
Если прямая a , не лежащая в плоскости , параллельна некоторой прямой b , которая лежит в плоскости , то прямая a параллельна плоскости .
Озвучим еще одну теорему, которую можно использовать для установления параллельности прямой и плоскости.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
Доказательство признака параллельности прямой и плоскости и доказательство озвученной теоремы приводятся в учебнике геометрии за 10 -11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.
Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости (a не лежит в плоскости ) примет вид , где - направляющий вектор прямой a , - нормальный вектор плоскости .
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Являются ли прямая и плоскость параллельными?
Решение.
Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой не удовлетворяют уравнению плоскости: . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно, - направляющий вектор прямой , - нормальный вектор плоскости . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Таким образом, векторы и перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.
Ответ:
Да, прямая и плоскость параллельны.
Пример.
Параллельна ли прямая АВ координатной плоскости Oyz , если .
Решение.
Точка не лежит в координатной плоскости Oyz , так как абсцисса этой точки отлична от нуля.
Нормальным вектором плоскости Oyz является вектор . В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор . позволяют вычислить координаты этого вектора, тогда . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности векторов и : . Следовательно, прямая AB и координатная плоскость Oyz не параллельны.
Ответ:
Нет, не параллельны.
Разобранное условие не совсем удобно для доказательства параллельности прямой a и плоскости , так как отдельно приходится проверять, что прямая a не лежит в плоскости . Поэтому, доказывать параллельность прямой a и плоскости удобнее с помощью следующего необходимого и достаточного условия.
Пусть прямая a
задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей ,
а плоскость - общим уравнением плоскости .
Теорема.
Для параллельности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений.
Доказательство.
Действительно, если прямая a параллельна плоскости , то они по определению не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Значит, система уравнений вида несовместна.
И обратно: если система уравнений вида не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно всем уравнениям системы. Тогда, не существует точки, координаты которой одновременно удовлетворяют и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Следовательно, прямая a и плоскость не имеют общих точек, то есть, они параллельны.
В свою очередь система уравнений не имеет решений, когда основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы (это следует из теоремы Кронекера-Капелли, при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений
Действительно, система уравнений несовместна, следовательно, заданные прямая и плоскость не имеют общих точек. Этим доказана параллельность прямой и плоскости .
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.