Идеальная жидкость. Законы Пуазейля и Стокса

Постановка задачи

Ламинарные течения, некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются в разнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостях машин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть, различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье–Стокса. Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, в МГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течение электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном магнитном поле.

Задача данного курсового проекта – рассмотрение и нахождение основных характеристик плоского стационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости при параболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).

Уравнение неразрывности

Закон сохранения массы для движущейся произвольным образом жидкости выражается уравнением неразрывности или сплошности, которое является одним из фундаментальных уравнений гидромеханики. Для его вывода проведем в жидкости фиксированную в пространстве замкнутую поверхность S, ограничивающую объем W, и выделим на ней элементарную площадкуdS.Черезn обозначим единичный вектор внешней к Sнормали. Тогда произведение сV n dSбудет представлять собой массу, вытекающую из объема Wили поступившую в него за единицу времени, в зависимости от направления скорости на площадкеdS.Так какnвнешняя нормаль, тоV п > 0 на тех площадкахdS, где жидкость вытекает из объема W, и V п < 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Это изменение массы можно подсчитать и иным способом. Для этого выделим элементарный объем dW. Масса жидкости в этом объеме может изменяться из-за неодинаковости притока и оттока. Секундное изменение массы в объеме dW будет равно а секундное изменение массы в объеме W выразится интегралом .

Получившиеся выражения можно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следует учесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность S вытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии – отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом в рассматриваемом случае плотность уменьшается во времени .

По теореме Остроградского – Гаусса:

В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае

поэтому уравнение (1) можно переписать в виде

Так как объем Wпроизвольный, подынтегральная функция равна нулю, т.е.

(2)

Уравнение (2) является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку с = с (x, y, z, t) и при движении жидкого объема х = х(t),

у = у (t), z =z (t), то

т. е. уравнение (2) будет иметь вид

(3)

гдеdс/dt- полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем

Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно

(5)

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Уравнение движения жидкости в напряжениях:

Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости (она косвенно подтверждается на практике), можно написать выражения для нормальных и касательных напряжений в вязкой жидкости:

(7)

Внося в уравнение (6) выражения (7), получим

Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:

Эти уравнения называются уравнениями Навье - Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.

Уравнения движения невязких жидкостей и газов легко получить из уравнений Навье - Стокса как частный случай при м=const; для несжимаемых жидкостей следует принять с = const.

Система уравнений Навье - Стокса незамкнута, так как содержит шесть неизвестных:V x , V y , V z , р, с и м. Еще одним уравнением, связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности (3).

В качестве уравнений, замыкающих систему, используют уравнения состояния среды и зависимости вязкости от параметров состояния. Во многих случаях приходится применять также другие термодинамические соотношения.

Для несжимаемой жидкости divV = 0, получим выражения, напрямую следующие из системы (8)

В векторной форме уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости примет вид:

Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

Пусть вязкая жидкость течет в канале, образованном двумя параллельными стенками, одна из которых движется в своей плоскости с постоянной скоростью (см. рисунок).

а – схема течения; б – распределение скоростей при отсутствии градиента давления (течение Куэтта); в – распределение скоростей в случае неподвижных граничных плоскостей (течение в плоском канале).

Размер канала по направлению нормали к плоскости чертежа (вдоль оси z) считаем достаточно большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок, параллельных плоскости хОу. Кроме того, допускаем, что движение вызвано не только перемещением одной из стенок канала, но и перепадом (или градиентом) давления по направлению оси х. Влиянием массовых сил пренебрегаем, т.к. число Фруда мало из-за малости h, а линии тока считаем прямыми, параллельными оси х.

Тогда исходные условия задачи выражаем в виде:

Из уравнения неразрывности сразу заключим, что а поскольку это будет выполнено во всех точках, то и Ввиду отсутствия движения вдоль оси z все производные по этой координате также обратятся в нуль, и уравнение Навье-Стокса в проекции на ось z можно не писать.

Тогда система уравнений движения сведется к двум уравнениям:

Первое получается из проекции уравнения Навье-Стокса на координатную ось x, а второе из этих уравнений свидетельствует, что давление зависит только от х, т.е. p(y)=p(z)=0, и так как то можно перейти от частных производных к полным:

Обозначим , проинтегрируем это уравнение дважды, получим:

Так как в соответствии с рисунком и принятыми допущениями давление зависит только от координаты x. Для отыскания постоянных интегрирования и используем граничные условия:

Таким образом закон распределения скоростей в плоском канале запишется в виде:

(10)

Течение Куэтта

Течение Куэтта – безградиентное течение В этом случае единственной причиной движения служит перемещение пластины. Течение характеризуется линейным законом распределения скоростей (рис. б).

Касательное (вязкое) напряжение будет постоянным по толщине слоя, а величина удельного расхода, т.е. расхода через живое течение S=h·1, увлекаемого движущейся пластиной, равна:

6. Течение Пуазейля

Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис. в). В соответствии с уравнением (10) получим:

Максимальная скорость на оси (при y=h/2) ввиду параболического распределения скоростей:

(12)

Разделив (11) на (12), получим закон распределения скорости

Нетрудно вычислить и другие характеристики течения. Касательное напряжение

На стенках, т.е при y=0 и при y=h, принимает максимальные значения

А на оси при y=h/2 обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный закон распределения касательных напряжений по толщине слоя

Удельный расход жидкости определится формулой

Средняя скорость

(13)

Средняя скорость будет в полтора раза меньше максимальной.

Проинтегрировав (13) по х, в предположении, что при х=0 давление р=р 0 * , получаем искомую разность давления:

Нетрудно также вычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данном случае V y =V z =0 и V x =V, то

Учитывая, что dp/dx<0, мы получи:

· при y < h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· при y > h/2, щ z > 0, т.е. частицы вращаются против часовой стрелки (рис. в).

Таким образом, рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченные вихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения.

Общий случай течения между параллельными стенками

Для этого случая характерно

Распределение скоростей определяется уравнением (10), где градиент давления dp/dx может быть как отрицательным, так и положительным. В первом случае давление падает в направлении скорости пластины V 0 , во втором – возрастает. Наличие положительного градиента давления может вызывать возвратные течения. Уравнение (10) удобно представить в безразмерной форме

которая графически изображается семейством кривых с одним параметром

Безразмерные профили скоростей для общего случая течения между параллельными стенками.

Пример задачи

Рассмотрим течение Пуазейля применительно к МГД-генератору.

Магнитогидродинамический генератор,МГД-генератор - энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой, выберем скорость равную V max =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров . Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр . Максимальное значение вязкости плазмы примем 3·10 -4 Па·Чс=8,3·10 -8 Па·с .

Подставляя данные в формулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора раза меньше максимальной, получим:

Такова потеря давления при прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.

Список используемой литературы

1. Бекнев В.С., Панков О.М., Янсон Р.А. – М.: Машиностроение, 1973г. – 389 с.

2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1978г. – 458 с.

3. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1987г. – 438 с.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

Решение системы уравнений, описывающей поведение вязкой жидкости, аналитическими методами, в общем случае невозможно. Только в случае некоторых простейших видов течений эти уравнения имеют аналитические решения. Задачи, имеющие практическое значение, решаются в основном с помощью приближенных численных методов на ЭВМ. Основная трудность аналитического решения этих уравнений обусловлена нелинейным членом. В этом параграфе мы рассмотрим простейшие стационарные течения, для которых член тождественно равен нулю. Это течения Куэтта и Пуазейля .

Вызвать движение вязкой жидкости можно двумя способами: с помощью внешних сил (объемных сил или сил давления, например, создав разность давлений на концах горизонтальной трубки или выводя трубку из горизонтального положения), или перемещая стенки, ограничивающие жидкость.

Стационарное течение, вызванное внешними силами давления, называется течением Пуазейля, а течение, вызванное перемещением стенок, - течением Куэтта. Течения, описанные в предыдущем параграфе, являются примерами таких течений.

1 . Плоско-параллельное течение Куэтта. Исследуем распределение скоростей и давлений в течении, изображенном на рис. 19.13а. Связав координатную плоскость XY с нижней пластиной, для краевых условий получим:

. (19.64)

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности примет следующий вид:

(19.65)

а уравнение Навье-Стокса

. (19.66)

Исходя из симметрии течения, можно утверждать, что отлична от нуля только одна составляющая скорости. Очевидно также, что скорость (как и давление) не может зависеть от координаты. В этом случае из уравнения неразрывности (19.65) следует, что =0, то есть не зависит также и от координаты x . Значит, . При этих условиях очевидно, что

. (19.67)

Проектируя уравнение (19.66) на оси X и Z , учитывая, и что в течении Куэтта отсутствует падение давления вдоль течения, то есть p = p (z ), получим

. (19.68)

Второе уравнение дает распределение гидростатического давления в жидкости, которое не имеет никакого влияния на динамику течения, а из первого уравнения получаем закон

Постоянные интегрирования А и В определяются из краевых условий (19.64): . Следовательно, в плоско-параллельном течении Куэтта скорость имеет следующее распределение:

, (19.69)

представленое на рис.19.13 б (линейный профиль скорости). Напряжение трения в жидкости везде одинаково и равно по величине

(19.70)

причем на нижней пластине оно имеет направление течения, а на верхней – противоположное направление. Поэтому для того, чтобы нижняя пластина не двигалась, к ней необходимо приложить силу, где – площадь поверхности пластины.

2 . Плоско-параллельное течение Пуазейля. В этом случае пластины неподвижны, но вдоль оси X поддерживается постоянная разность давлений:

. (19.71)

И снова, исходя из соображений симметрии, пользуясь уравнением неразрывности, получим условие. Так что верны также соотношения (19.67). Проектируя уравнение Навье-Стокса на оси X и Z , получим

. (19.72)

Из первого уравнения получаем. Подставляя его во второе уравнение, получим

(19.73)

левая часть которой зависит только от X , а правая – от z . Это возможно, если левая и правая части уравнения равны одной и той же постоянной А, которая и выражена в (19.73). Пользуясь условием (19.71), получим

(19.74)

где. Интегрирование уравнения (19.73) по z даст

. (19.74)

Постоянные B и C интегрирования определим, исходя из условия «сцепления»

. (19.75)

Определив постоянные B , C и подставив их в (19.74), получим:

. (19.76)

Рис.19.14

Как видим, плоско-параллельное течение Пуазейля характеризуется параболическим профилем поля скоростей (рис. 19.14). Напряжение трения на стенках направлено по оси X и равно.

3 . Течение Пуазейля в круглой цилиндрической трубке. Так как в прямой трубке течение симметрично относительно сои цилиндра, то удобно вдоль этой оси направить ось, а с основанием связать координатную плоскость (рис. 19.15). Течение создается и поддерживается постоянной разностью давлений:

. (19.77)

Понятно, что скорость в цилиндре имеет только составляющую. Благодаря осевой симметрии течения, величины будут независимы от координаты (в этой задаче сила тяжести не учитывается). Из уравнения неразрывности следует, что не может зависеть также от:

. (19.78)

В этом случае

С учетом последних, составляющие и уравнения Навье-Стокса дадут

. (19.79)

Из первого уравнения следует, что, а левая и правая части второго уравнения, будучи зависимы от разных независимых переменных, должны быть равны одной и той же постоянной величине. Из условия (19.77) определим

рис.19.15

Подставляя это в (19.79) и интегрируя по, получим:

Из конечности скорости на оси следует, что, а определяется из краевого условия скорости:

(19.80)

где – радиус цилиндра. Значит, профиль скорости снова является параболическим

(19.81)

в котором скорость достигает максимального значения на оси цилиндра:

Масса жидкости, протекающая по поперечному сечению трубки за единицу времени, будет

(19.82)

то есть прямо пропорциональна произведению четвертой степени радиуса трубки и падения давления и обратно пропорциональна кинетической вязкости жидкости.

Напряжение трения на стенке трубки в данном случае равно

и направлено вдоль течения.

Течения, рассмотренные в данном параграфе, являются идеализациями, так как твердые тела (пластинки, трубка) предполагаются бесконечными. Однако полученные результаты применяются на практике, если, например, длина и ширина пластин намного больше расстояния между ними или если длина цилиндра намного больше его радиуса. Эксперименты, проведенные в подобных цилиндрах, привели Хагена (1839) и Пуазейля (1840) к результату (19.82), которое впоследствии было теоретически получено Стоксом (1845). Существенно, что Хаген утверждал также, что результат (19.82) имеет место в опыте при небольших скоростях и не очень маленьких значениях вязкости.

Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Анимация

Описание

Вследствие ламинарного (слоистого) характера течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе скорость потока некоторым образом распределена по сечению трубы (рис. 1).

Распределение скоростей у входа в трубу при ламинарном течении

Рис. 1

L1 - длина начального участка формирования постоянного профиля скоростей.

Закон Пуазейля (математическим выражением которого является формула Пуазейля ) устанавливает зависимость между объемом жидкости, протекающим через трубу в единицу времени (расходом), длиной и радиусом трубы, и перепадом давления в ней.

Пусть ось трубы совпадает с осью Oz прямоугольной декартовой системы координат. При ламинарном течении скорость v жидкости во всех точках трубы параллельна оси Oz , т.е. v x = v y = 0, v z = v . Из уравнения неразрывности

dv /dt =F - (1/ r )grad p ,

где F - напряженность поля массовых сил;

р - давление;

r - плотность жидкости,

следует, что

дv/дz = 0, т.е. v = f(x,y) .

Из уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (Навье-Стокса) следует:

дp/дx = дp/дy= 0,

дp/дz = dp/dz = h(д 2 v/дx 2 + д 2 v/дy 2 ) = const = -(D p/l) ,

где D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Для круглой цилиндрической трубы данное уравнение можно представить в виде

(1/r)d(r(dv/dr))/dr = - D p/ h l ,

где r = sqr(x 2 + y 2 ) - расстояние от оси трубы.

Распределение скоростей по сечению трубы является параболическим и выражается формулой:

v(r) = (D p / 4 h l) (R 2 - r 2 ) ,

где R - радиус трубы;

r - расстояние от оси до рассматриваемой точки поперечного сечения;

h - динамическая вязкость жидкости;

D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Секундный объемный расход жидкости определяется по формуле Пуазейля :

Q c = [(p R 4 ) /8 h l] D p.

Данная формула справедлива для ламинарных потоков, условие существования которых характеризуются критическим числом Рейнольдса Re кр (Re = 2Q c /p R n , n - кинематическая вязкость). При Re = Re кр ламинарное течение переходит в турбулентное. Для гладких круглых труб Re кр » 2300.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -1 до 1);

Время существования (log tc от -1 до 5);

Время деградации (log td от -1 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от 0 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Закон Пуазейля применяется для определения коэффициентов различных жидкостей при различных температурах посредством капиллярных вискозиметров.

Техническая реализация эффекта

Рис. 2

Обозначения:

1 - контрольный участок трубы;

2 - баллон;

3 - редуктор;

4 - регулятор давления;

5 - манометр;

6 - вентиль;

7 - расходомер.

Уравнение Пуазейля играет важную роль в физиологии нашего кровообращения.

Применение эффекта

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Литература

1.Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука, 1982.

2. Разработка и эксплуатация нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений / Под ред. Ш.К. Гиматудинова.- М.: Недра, 1988.

Ключевые слова

вязкость
давление
динамическая вязкость
гидродинамика
жидкость вязкая
ламинарное течение
напор
перепад давления
труба
Пуазейля закон
Пуазейля формула
число Рейнольдса
число Рейнольдса критическое

Разделы естественных наук:

Идеа́льная жи́дкость - в гидродинамике - воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Так как в ней отсутствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемыхгидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.

Закон Пуазейля представляет собой формулу для объемной скорости течения жидкости. Он был открыт экспериментально французским физиологом Пуазейлем, который исследовал течение крови в кровеносных сосудах. Закон Пуазейля часто называют главным законом гидродинамики.

Закон Пуазейля связывает объемную скорость течения жидкости с разностью давления в начале и конце трубки как движущей силой потока, вязкостью жидкости, радиусом и длиной трубки. Закон Пуазейля используют в случае, если течение жидкости ламинарное. Формула закона Пуазейля:

где Q - объемная скорость жидкости (м 3 /с), (P 1 - P 2) - различие давления через концы трубки (Па ), r - внутренний радиус трубки (м ),l - длина трубки (м ), η - вязкость жидкости (Па с ).

Закон Пуазейля показывает, что величина Q пропорциональна разнице давления P 1 - P 2 в начале и конце трубки. Если P 1 равняется P 2 , поток жидкости прекращается. Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к снижению объемной скорости течения жидкости. Оно также показывает, что объемная скорость жидкости чрезвычайно зависима от радиуса трубки. Это подразумевает, что умеренные изменения радиуса кровеносных сосудов могут обеспечивать большие различия объемной скорости жидкости, протекающей через сосуд.

Формула закона Пуазейля упрощается и становится более универсальной при введении вспомогательной величины - гидродинамического сопротивления R , которое для цилиндрической трубки может быть определено по формуле:

Течение Пуазейля - ламинарное течение жидкости через тонкие цилиндрические трубки. Описывается законом Пуазейля.

Окончательно потери напора при ламинарном движении жидкости в трубе:

Несколько преобразовав формулу для определения потерь напора, получим формулу Пуазейля:

Закон установившегося течения в вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения. Сформулирован впервые Готтфильхом Хагеном в 1839 и вскоре повторно выведен Ж.Л. Пуазейлем в 1840. Согласно закону, секундный объемный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки. Закон Пуазейля применим только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка необходимую для развития ламинарного течения в трубке.

Свойства течения Пуазейля:

Течение Пуазейля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.

В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

Из формулы Пуазейля видно, что потери напора при ламинарном движении пропорциональны первой степени скорости или расхода жидкости.

Гидравлическое сопротивление

в трубопроводах (a. hydraulic resistance; н. hydraulischer Widerstand; ф. resistance hydraulique; и. perdida de presion por rozamiento) - сопротивление движению жидкостей (и газов), оказываемое трубопроводом. Г. с. на участке трубопровода оценивается величиной "потерянного" давления ∆p, представляющего собой ту часть удельной энергии потока, к-рая необратимо расходуется на работу сил сопротивления. При установившемся течении жидкости (газа) в трубопроводе круглого сечения ∆p (н/м 2) определяется по формуле

где λ - коэфф. гидравлич. сопротивления трубопровода; u - ср. по сечению скорость потока, м/с; D - внутр. диаметр трубопровода, м; L - длина трубопровода, м; ρ - плотностьжидкости, кг/м 3 .
Местные Г. с. оцениваются по формуле

где ξ - коэфф. местного сопротивления.
В процессе эксплуатации магистральных трубопроводов Г. с. возрастает вследствиеотложения парафина (нефтепроводы), скоплений воды, конденсата или образования гидратов углеводородных газов (газопроводы). Для снижения Г. с. производят периодич. очистку внутр. полости трубопроводов спец. скребками или разделителями

В 1851 Джордж Стокс получил выражение для силы трения (также называемой силойлобового сопротивления), действующей на сферические объекты с очень маленькимичислами Рейнольдса (например, очень маленькие частицы) в непрерывной вязкойжидкости, решая уравнение Навье - Стокса:

· g - ускорение свободного падения (м/с²),

· ρ p - плотность частиц (кг/м³),

· ρ f - плотность жидкости (кг/м³),

· - динамическая вязкость жидкости (Па с).

Течение в длинной трубе кругового сечения под действием разности давлений на концах трубы было изучено Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. Можно считать, что течение, как и граничные условия, имеет осевую симметрию, так что - функция только расстояния от оси трубы. Соответствующее решение Уравнения (4.2.4) таково:

При в этом решении имеется нереальная особенность (связанная с конечной силой, действующей на жидкость на единицу

длины отрезка оси), если постоянная А не равна нулю; поэтому выберем именно это значение А. Выбирая постоянную В такой, чтобы получить на границе трубы при находим

Практический интерес представляет объемный поток жидкости через любое сечение трубы, величина которого

где (модифицированные) давления в начальном и концевом сечениях отрезка трубы, имеющего длину Гаген и Пуазейль установили в экспериментах с водой, что поток зависит от первой степени перепада давления и четвертой степени радиуса трубы (половина этой степени получается вследствие зависимости площади поперечного сечения трубы от ее радиуса, а другая половина связана с увеличением скорости и для данной результирующей силы вязкости при увеличении радиуса трубы). Точность, с которой получено постоянство отношения в наблюдениях, убедительно подтверждает предположение об отсутствии скольжения частиц жидкости на стенке трубы, а также косвенно подтверждает гипотезу о линейной зависимости вязкого напряжения от скорости деформации в данных условиях.

Касательное напряжение на стенке трубы равно

так что полная сила трения в направлении течения на участке трубы длиной I равна

Такого выражения для полной силы трения на стенке трубы и следовало ожидать, так как все элементы жидкости внутри этой части трубы в данный момент времени находятся в состоянии установившегося движения под действием нормальных сил на двух концевых сечениях и силы трения на стенке трубы. Кроме того, из выражения (4.1.5) видно, что скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости под влиянием вязкости определяется в данном случае выражением

Таким образом, полная скорость диссипации в жидкости, заполняющей в данный момент отрезок круговой трубы длиной I, равна

В случае, в котором среда в трубе представляет собой капельную жидкость и на обоих концах трубы действует атмосферное давление (как если бы жидкость поступала в трубу из мелкого открытого резервуара и вытекала из конца трубы), градиент давления вдоль трубы создается силой тяжести. Абсолютное давление в данном случае одно и то же на обоих ее концах и поэтому постоянно во всей жидкости, так что модифицированное давление равно а и

Главная » Времена в английском языке » Идеальная жидкость. Законы Пуазейля и Стокса

Оглавление