Элективный курс «Абсолютная величина (модуль). Элективный курс по математике "абсолютная величина"

Задания на построение графиков функции «модуль» и задачи с параметрами традиционно - это одна из самых трудных тем математики, поэтому она всегда включена в задания повышенного и высокого уровня ГИА и ЕГЭ.

Понятие «модуль» изучается в школе с 6 класса, причем на уровне,только определения и вычисления, несмотря на то, что он широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Перед выпускниками стоит проблема – удачно сдать ГИА в 9классе, а в дальнейшем и ЕГЭ.

В этом году на уроках математики мы познакомились с понятием линейной функции и научились строить ее график. Было показано, что этот ее график берется за основу построения функции «модуль». Кроме того, учитель сказала, что уравнения бывают с одним и несколькими модулям. Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов.

Тема «Графический метод решения уравнений, содержащих абсолютную величину»

Цель работы : исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения уравнений, содержащих модуль и параметр

Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем.

Научиться решать уравнения 1 й степени, содержащие знак абсолютной величины.

Классифицировать графические методы решения уравнений.

Проанализировать достоинства и недостатки различных методов построения графиков функции «модуль».

Узнать, что такое параметр

Применить рациональные методы для решения уравнений с параметром

Объект – методы решения уравнений с модулем

Предмет графический метод решения уравнений

Методы исследования: теоретические и практические:

теоретические - это изучение литературы по теме исследования; интернет – информации;

практические- это анализ информации, полученной при изучении литературы, результатов, полученных при решении уравнений с модулем различными способами;

сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования при решении различных уравнений с модулем.

Глава I

Понятия и определения

1.1.Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus », что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль– исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления.В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а , если а<0; модуль нуля равен нулю.

Модуль-это расстояние на координатной прямой от нуля до точки.

1.2. Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет. Методы решения уравнений с модулем:

1.По определению модуля - «снятие модуля». Решение происходит на основе определения.

2.Аналитический метод- решение уравнений с использованием преобразований выражений, входящих в уравнение и свойств модуля.

3.Метод интервалов: раскрытие модуля на интервалах и полуинтервалах, образованными «нулями» модулей.

4.Графический метод. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций, представляющих левую и правую часть уравнения. В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

1.3.Методы построения графиков функции с модулем

1.3.1. По определению. Строятся две прямые у=кх+в, где х>0, у=-кх+в, где х <0

1.3.2 Метод симметрии. Строится график у=кх+в, при х>0.Часть прямой при х <0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3.Преобразование функций:

а) у=|x |+n график сдвигается вверх по оси ординат на в единиц

б) у=|x |-n график сдвигается вниз по оси ординат

с) у=|x +n | график сдвигается влево по оси абцисс

d )у=|x -n | график сдвигается вправо по оси абцисс

1.3.4. Метод интервалов. Координатная прямая разбивается на интервалы и полуинтервалы нулями модулей. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке и получить функцию.

1.3.5. Метод расширения областей нулей. В том случае, когда модулей несколько, удобнее не раскрывать модули, а использовать следующее утверждение: алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейных отрезков.

Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя - с абсциссой, большей большего из корней.

1.4. Имеем уравнение ax+b=c. В этом уравнении х – неизвестное, a,b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами. Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

1.5.Выводы:

Таким образом, существуют разные методы построения графиков с модулем, которые необходимо исследовать на возможность их рационального применения.

Глава II

Анализ методов построения графиков функций, содержащих модуль, и применение

«График – это говорящая линия,

которая может о многом рассказать»

М.Б.Балк

2.1. Изучая виды уравнений с модулем, мы увидели, что их можно и разделить по типам и методам решения.

Таблица. Классификация типов уравнений и их методов решения.

Тип уравнения

Вид уравнения

Метод решения

1.Уравнение с одним модулем

|xn|=a

|x|n=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Аналитический

2.Уравнение, содержащее 2 модуля

|xn||xm|=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Метод интервалов

4.Аналитический

3.Вложенные модули

|||xn|m||= а

1.По определению модуля

2.Графический

Вывод: таким образом, классификация уравнений дает нам общие методы решения всех типов уравнений - это по определению модуля и графический метод.

2.2.Анализ построения графиков .

2.2.1. Тип 1. Построение у=|x |

2.2.1.1.По определению .

1.Строим прямую у=х

2.Выделяем часть прямой при х0

3.Строим прямую у=-х

4.Выделяем часть прямой при х<0

2.2.1.2. Метод симметрии

1.Строим прямую у=х

2.Строим симметрию относительно оси абцисс при х<0

2.2.1.3. Построение у=|x -2|

1.Строим прямую у=х-2

2.Выделяем часть прямой при х-20

3.Строим прямую у=-х+2

4.Выделяем часть прямой при х-2<0

Вывод: метод симметрии рациональнее

2.2.2. Тип 2.

Задание: построить график у=

2.2.2.1.Метод интервалов

1. на
получаем у=-х+3+1-х-4 ; у = -2х

2. на
получаему=-х+3-1+х-4; у = -2

3. на
получаем у=х-3-1+х-4; у = 2х-8

4.Строим все прямые.

5.Выделяем части прямых на интервалах

2.2.2.2.Метод расширения областей нулей

1.Нули: 3 и 1; расширенная область: 2,4,0

2.Вычисляем значения в: 3,1,2,4,0 это: -2, -2, -2, 0, 0

3.Расставляем точки с их координатами и соединяем

Вывод: Метод расширения области нулей рациональнее

2.2.3. Тип 3. Вложенные модули-«матрешка»

Исследуем построение у=||х|-1|

2.2.3.1. По определению модуля

По определению главного модуля имеем:

1) х>0 у=|х|-1

2) х<0 у=-|х|+1

2. «Снимаем» следующий модуль:

Модуль: у=х-1, х>0 и у=-х+1 х<0

у=-х+1 х>0 у=х-1 х<0

3. Строим графики

2.2.3.2.Метод симметрии

1. у=|х|-1
у=х-1,симметрия

2. Симметрия относительно оси абцисс части графика, где х-1<0

Вывод: метод симметрии рациональнее.

2.2.4. Сведем анализ результатов в таблицу:

Знания и умения

Недостатки

По определению

Определение модуля

Знать: как определяются координаты точек прямых

Уметь выделять часть прямой по неравенству

Громоздкие решения

Применение большого объема знаний

При «снятии» модуля можно допустить ошибки

Метод симметрии

Знать и уметь применять преобразование функции

Строить симметрию относительно оси абцисс

Знание алгоритмов преобразования графиков

Метод интервалов

Находить нули модуля

Определять интервалы и полуинтервалы

Раскрывать модули

Вычислять модули

Приводить подобные слагаемые

Уметь строить точки по их координатам

Строить прямые

Громоздкие решения

Много вычислений и преобразований при снятии нулей

Занимает много времени

Правильность определения интервалов и полуинтервалов

Метод расширения области нулей

Находить нули модуля

Уметь расширять область нулей

Уметь вычислять модули в этих точках

Уметь строить точки по их координатам

Допуск ошибок в вычислениях

Метод преобразований функций

Знать алгоритм преобразования

Уметь строить точки по их координатам

Уметь вычислять координаты точек

Уметь применять алгоритм преобразования

Знание алгоритмов преобразования графиков

Вывод: анализируя таблицу, делаем вывод, что метод симметрии и расширения области нулей самые рациональные, т.к. содержат меньше всего действий для построения, а значит экономят времени.

2.3.Применение рациональных методов построения графиков к решению уравнений с модулем и параметром

2.3.1. Решить уравнение:

Строим у=
и у=0,5-х

2.Расширенная область:-1,2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4.Проводим отрезки и лучи

2.3.2. ЕГЭ 2009г. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
, имеет ровно 1 корень.а =7. в ходе проделанной работы нам удалось изучить и проанализировать разные методы построения графиков. В результате анализа и сравнения методов построения графиков получили следующие выводы:

Перевод алгебраической задачи на язык г рафиков позволяет избежать громоздких решений;

При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым;

При построении графиков, содержащих 2 модуля и «матрешку» практичнее метод симметрии;

Хотя графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д., но этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений для решения уравнений с параметром.

Учитывая, что одни из самых популярных заданий на ЕГЭ и ГИА уравнения с модулем, то, что главным моим результатом является то, что я могу решать уравнения с модулем и параметром графическим способом.

Список литературы

1.Данкова И. «Предпрофильная подготовка по математике», Москва, 2006г.

2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.

3.Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж, 1994.

4. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2007

5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М,2006г.

средняя общеобразовательная школа с.Ошторма Юмья

Согласовано Утверждено

на заседании УМО на заседании экспертной

учителей математики комиссии

Протокол № 1 от _________ Протокол № __________

Руководитель УМО: Председатель экспертной

Гилязева М.М. группы:

Садикова А.Р.
Элективный курс

«Абсолютная величина (модуль)»

(Учебный курс профильной подготовки для учащихся 10-х классов, 34 часа)

Учитель математики Васильева В.А.

2008 г.
Пояснительная записка

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах математики , физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешности приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля векто­ра). В математическом анализе понятие абсолютной величины чис­ла содержится в определениях таких основных понятий, как пре­дел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, ЕГЭ.

Программой школьного курса математики не предусмотре­ны обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах , полученных учащимися за весь период обучения. Это позволит сделать программа «».

Курс рассчитан на профильную подготовку учащихся 10 классов общеобразова­тельных школ, проявляющих интерес к изучению математики.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с абсолютной величиной, подгото­виться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует выработке и закреплению навыков работы на компь­ютере.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ , экзаменов при поступлении в вузы.

Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа.

В процессе изучения данного курса предполагается исполь­зование различных методов активизации познавательной деятель­ности школьников, а также различных форм организации их само­стоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представ­ление школьниками творческих индивидуальных и групповых ра­бот на итоговом занятии.

Цели курса: обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме абсолютная величина, обретение практи­ческих навыков выполнения заданий с модулем, повышение уровня ма­тематической подготовки школьников.

Задачи курса

Вооружить учащихся системой знаний по теме абсолютная величина;

Сформировать навыки применения данных знаний при ре­шении разнообразных задач различной сложности;

Сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

Сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;

Сформировать умения и навыки исследовательской работы;

Способствовать развитию алгоритмического мышления уча­щихся;

Способствовать формированию познавательного интереса к

математике.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы элективного курса «Аб­солютная величина (модуль)» учащиеся получают возможность знать и понимать:

Определение абсолютной величины действительного числа;

Правила построения графиков функций, содержащих знак абсолютной величины;

Алгоритмы решения уравнений, неравенств, систем уравне­ний и неравенств, содержащих переменную под знаком мо­дуля.

Уметь:

применять определение , свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

Тематическое планирование

1. Введение (1 ч).

Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматривае­мые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые к участникам курса. Аукцион «Что я знаю об абсолютной величине».

2. Абсолютная величина действительного числа а (4 ч).

Абсолютная величина действительного числа а. Модули проти­воположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия |а |. Модуль суммы и модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и мо­дуль частного. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Приме­нение свойств модуля при решении олимпиадных задач.

3. Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины (5 ч).

Правила и алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики функций y=f |х|,

y=f (-|x|), y=|f(x)|, y= |f |х||, |у| =f(x), где f(х) ≥ 0, | у| = |f (х)|. Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно, аналитическое выражение кото­рых содержит знак модуля. Графики функций, аналитическое вы­ражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпи­адных заданиях.

4. Уравнения, содержащие абсолютные величины (11 ч).

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскры­тие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравне­ния, метод интервалов, графический метод , использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида | f(х)| = a , f \ x \ = а, где а R ; |f(x)| = g (х) и | f(х)| = | g (x) |. Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные вели­чины. Уравнения вида |f 1 (х)| ± |f 2 (х)| ±.. .±|f n (х)| = а, где а е R , |f 1 (х)| ± |f 2 (х)| ±.. .± |f n (х)| = g (x ). Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолют­ные величины. Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений. Уравнения с параметрами, содержащие абсо­лютные величины. Защита решенных заданий ЕГЭ.

5. Неравенства, содержащие абсолютные величины (7 ч).

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы ре­шения неравенств с модулем. Неравенства вида |f(x)| >  ≥ ≤ а, где а R .. Неравенства вида |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|. Метод интерва­лов при решении неравенств, содержащих знак модуля. Неравенст­ва с параметрами, содержащие абсолютные величины.

6. Системы уравнений и неравенств, содержащие абсо­лютные величины (4 ч).

7. Другие вопросы, при решении которых используется понятие абсолютной величины (1 ч).

8. Итоговое занятие (1 ч).

Ожидаемые результаты
После изучения курса учащиеся должны:

Уметь применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

Решать уравнения, неравенства, системы уравнений и нера­венств, содержащих переменную под знаком модуля.

Литература для учителя

1. 
   С.И.Колесникова «Решение сложных задач ЕГЭ» 300 задач с подробным решением. Издательство Москва Айрис пресс 2005 год.
2. 
   Г.А.Воронина Практическое руководство для учителя «Элективные курсы» Издательство Москва Айрис пресс 2006 год
3. 
   М.И.Сканави Сборник задач по математике М.: ОНИКС, 2006
4. 
   Электронный учебник «Алгебра 7 – 11»
5. 
   Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы

Литература для учащихся
1. М.И.Сканави Сборник задач по математике М.: ОНИКС, 2006

2. А.Г. Мордкович. Алгебра 9. Углубленное изучение. Учебник.

При решении неравенств, содержащих знак абсолютной величины (знак модуля), следует разбить область допустимых значений неравенства на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве решать неравенство и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

Неравенство вида |f(x)| ˂ g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции, равносильно системе f(x) ˂ g(x) -f(x) ˂ g(x) Для тех х, при которых g(x)0, эта система, а значит, и данное неравенство решений не имеют. В частности, неравенство |f(x)| ˂ a при а 0 решений не имеет, а при а ˃ 0 оно равносильно системе f(x) ˂ a -f(x) ˂ a

Неравенства вида |f(x)| ˃ g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции, равносильно совокупности двух неравенств: f(x) ˃ g(x) f(x) ˂ -g(x) Все те х из ОДЗ неравенства, для которых g(x) ˂ 0, входят в множество решений неравенства и равносильной ему совокупности. В частности неравенство |f(x)| ˃ a равносильно совокупности f(x) ˃ a f(x) ˂ -a Если а ˂ 0, то неравенство |f(x)| ˃ a выполняется при любом допустимом значении х данного неравенства.

Неравенства вида |f(x)| ˂ g(x) Можно решить двумя способами; оно равносильно совокупности двух систем |f(x)| ˂ g(x) |f(-x)| ˂ g(x) x0 x ˂ 0 А также равносильно системе неравенств f(|x|) ˂ g(x) f(|x|) ˃ -g(x). Выбор способа решения зависит от конкретного неравенства и от сложности функций f и g.

Неравенство вида |f(x)||g(x)| решается при помощи разбиения области его допустимых значений на промежутки, каждый из которых является промежутком знакопостоянства как функции f(x), так и функции g(x). Затем на каждом из этих промежутков решается неравенство без знака абсолютной величины. Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ исходного неравенства, получаем множество всех его решений.

г. Кемерово

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»

Элективный курс по выбору

для учащихся 10-11 классов

Уравнения, неравенства и системы,

Составила:

Каплунова Зоя Николаевна

учитель математики

Пояснительная записка………………………………………..стр.2

Учебно-тематический план…………………………………...стр. 6

Перечень ключевых слов……………………………………...стр.7

Литература для учителя………………………………………..стр.8

Литература для обучающихся………………………………...стр.8

Пояснительная записка.

Основная задача обучения математики в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи более глубокое изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовкой к обучению в вузах.

Актуальным остается вопрос о дифференцировании обучения математики, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес к предмету.

Программа данного курса «Уравнения, неравенства и системы, содержащие знак абсолютной величины» предлагает изучение таких вопросов, которые входят в курс математики основной школы не в полном объеме, но необходимые при дальнейшем её изучении.

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузах и на ЕГЭ.

В школьной программе курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения.

Таким образом, данный курс «Уравнения, неравенства и системы, содержащие знак абсолютной величины» предназначен для расширения базового курса алгебры и начала анализа и дает учащимся возможность познакомиться с основными приемами и методами выполнения заданий, связанных с модулями. Пробуждает исследовательский интерес к этим вопросам, развивает логическое мышление, способствует приобретению опыта работы с заданием более высоким по сравнению с обязательным уровнем сложности.

Курс «Уравнения, неравенства и системы, содержащие знак абсолютной величины» предназначен для профильной подготовки учащихся 10-11 классов и рассчитан на 34 часа (1 час в неделю).

В процессе обучения данного курса предлагается использование различных методов активизации познавательной деятельности учащихся, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

В ходе изучения данного курса обучающиеся осваивают теоретический материал и выполняют практические задания. Результатом освоения программы курса является представление творческих работ на итоговом занятии

При изучении курса предусмотрен тестовый контроль.

Цели курса:

*обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»;

*обретение практических навыков выполнения заданий с модулем;

*повышение уровня математической подготовки учащихся.

Задачи курса

* вооружить учащихся системой знаний по теме «Абсолютная величина»

*формировать навыки применения данных знаний при решении задач различной сложности;

*подготовить учащихся к ЕГЭ;

*формировать навыки самостоятельной работы, работы в группах;

*формировать навыки работы со справочной литературой;

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы курса учащиеся получают возможность

знать и понимать:

*определения, понятия и основные алгоритмы решения уравнений неравенств и систем с модулем;

*правила построения графиков функций, содержащих знак абсолютной величины;

Уметь:

*применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению действительного числа к решению конкретных задач;

*решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

*уметь самостоятельно осуществлять небольшие исследования.

1.Введение 1ч.

Цели и задачи курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ.

2. (4 часа)

Определение абсолютной величины. Геометрическая интерпретация понятия модуля. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Применение свойств модуля при решении задач.

3.Графики функций, содержащих знак абсолютной величины.(8 часов)

Правила и алгоритмы построения графиков функций. Определение четной функции. Геометрические преобразования графиков функций, содержащих знак модуля. Основные построения графиков на примерах простейших функций. Графики уравнений: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),где f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Уравнения, содержащие абсолютные величины.(10 часов)

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов, графический метод, использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида: |f(x)|=0; f|x|=о; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Метод замены переменных, при решении уравнений содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Уравнения вида:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолютные величины.

5.Неравенства, содержащие абсолютные величины (10 часов)

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы решения неравенств

с модулем |f(x)|>a. Неравенства вида a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.

6.Итоговое занятие (1 час)

Представление творческих работ.

Раздел III. Учебно-тематический план

Раздел IV. Перечень ключевых слов .

Алгоритм, уравнение, неравенство, модуль, график, оси координат, параллельный перенос, центральная и осевая симметрии, метод интервалов, квадратный трехчлен, многочлен, разложение многочлена на множители, формулы сокращенного умножения, симметрические уравнения, возвратные уравнения, свойства абсолютной величины, область определения, область допустимых значений.

Раздел V. Литература для учителя.

1. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. (Текст)/ М.И. Башмаков.-М.: ВЗМШ

при МГУ, 1983.-138с.

2.Виленкин Н.Я и др. Алгебра и математический анализ 11 класс. (Текст)/Н.Я.

Виленкин-М.: Просвещение, 2007.-280с.

3.Гайдуков И.И. Абсолютная величина. (Текст)/ Гайдуков И.И. –М.: Просвещение,1968.-96 с.

4.Гельфанд И. М. и др. Функции и графики.(Текст)/И.М.Гельфанд- М.: МЦНМО,

5.Гольдич В.А. Злотин С.Е.т 3000 задач по алгебре (Текст)/В.А. Гольдич С.Е.-М.:

Эксмо,2009.-350с.

6.Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому

Государственному экзамену. (Текст)/ Колесникова С.И.- М.: Айрис-пресс 2004.-299с.

7.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. (Текст)/И.Л. Никольская-

М.: Просвещение,1995.-80с.

8.Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения.

(Текст)/ .Олехник С.Н.-М.: Дрофа,2002.-219с.

Раздел VI. Литература для обучающихся

1. Гольдич В.А. Злотин С.Е.т 3000 задач по алгебре (Текст)/В.А. Гольдич С.Е.-М.:

Эксмо,2009.-350с.

2.Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому

... для выбора того или иного учебного предмета (в рамках учебного плана, раздел: «Элективные курсы» ) в 10 -11 классах ... а также в системе дополнительного образования. Для этих категорий учащихся разработаны и внедрены сетевые учебные курсы по всем...

Нет решение методом интервалов. Рассматриваются ли уравнения и неравенства с двумя и более модулями.

Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины в школьном курсе математики как отдельная тема не изучается. Впервые понятие модуля встречается в 6 классе, где дается определение модуля числа. Но в учебниках разных авторов даются в различных главах. В учебниках Г.В. Дорофеева модуль числа дается при сравнении рациональных чисел на примере: модуль числа -6,5 равен 6,5, модуль числа -4 равен 4.

Потом объяснение происхождения модуль и после этого вводится обозначение |а|.

В учебнике Н.Я. Виленкина дается при изучении положительных и отрицательных чисел как отдельный пункт «Модуль».

Понятие модуля числа вводится как расстояние от точки, изображающей это число, до начальной точки на координатной прямой.

Затем формулируется правило нахождения модуля числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным, ибо модуль числа – это расстояние, что модуль положительного числа и нуля он равен самому числу, а для противоположного – противоположному числу и противоположные числа имеют равные модули |-а|=|а|.

По учебнику Ю.Н. Макарычева, модуль встречается в дополнительных упражнениях в главе 7 «Графики», параграфа «функции и их графики».

Например: определите область определения у=10/(|х|-1)

А в 8 классе при решении неравенств с одной переменной и их системы.

В учебнике Никольского 8 класс рассматривают функцию у=|х| и ее график у= х, если х≥0

Х, если х≤0

В курсе девятилетней школы рассматриваются простейшие уравнения с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля. К ним относится уравнения вида |ах+в|=с.

При решении таких уравнений надо различить случаи:

Если с < 0, то уравнение |ах+в|=с не имеет корней.

Если с = 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно уравнению ах+в=0.

Если с > 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно ах+в= -с или ах+в=с.

Кроме указанного вида уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, учащиеся 8 класса встречается еще с уравнениями вида |ах+в|= ах+в или вида |ах+в|= -(ах+в). К таким уравнениям сводится, например, уравнения √ х²=х, √х²-4х+4=2-х.

Так как равенство |m|=m верно тогда и только тогда, когда m≥0,

а равенство |m|=-m верно тогда и только тогда, когда m ≤ 0,

то уравнение |ах+в|= ах+в равносильно неравенству ах+в≥0,

а уравнение |ах+в| = -(ах+в) равносильно неравенству ах+в≤0.

Из неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, в курсе девятилетней школы рассматриваются только неравенства вида |ах+в|>в и |ах+в|<в.

В качестве дополнительных заданий даются более сложные задания, например, двойное неравенство к<|ах+в|< m. Это двойное неравенство можно записать в виде системы |ах+в| > к

|ах+в|< m и, решив каждое из неравенств системы, найти пересечение множеств их решений с помощью координатной прямой.

Способы решений неравенств:

1. Решение связывается с понятием расстояния между точками координатной прямой.

2. Исходя из определения модуля.

3. Наглядно – графический прием.

4. В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений - по одному на каждом промежутке. Этот метод называется методом интервалов.

Главная » Глаголы » Элективный курс «Абсолютная величина (модуль). Элективный курс по математике "абсолютная величина"