Математическая энциклопедия. Смотреть значение Континуум-гипотеза в других словарях
Русско-английский перевод КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА
Еще значения слова и перевод КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА с английского на русский язык в англо-русских словарях.
Что такое и перевод КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА с русского на английский язык в русско-английских словарях.
More meanings of this word and English-Russian, Russian-English translations for КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА in dictionaries.
- КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА — Continuum hypothesis
- КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА — continuum hypothesis
- КОНТИНУУМ — m. continuum
- ГИПОТЕЗА — f. hypothesis, conjecture
Russian-English Dictionary of the Mathematical Sciences - КОНТИНУУМ — Continuum
Русско-Американский Английский словарь - ГИПОТЕЗА — Hypothesis
Русско-Американский Английский словарь - ГИПОТЕЗА — hypothesis (pl . -ses) строить гипотезы — frame / form hypotheses; hypothesize рабочая гипотеза — working hypothesis
- КОНТИНУУМ — continuum
- ГИПОТЕЗА
Русско-Английский словарь общей тематики - ГИПОТЕЗА — hypothesis
Новый Русско-Английский биологический словарь - ГИПОТЕЗА — Hypothesis
Russian Learner"s Dictionary - ГИПОТЕЗА — hypothesis
Russian Learner"s Dictionary - ГИПОТЕЗА
Русско-Английский словарь - ГИПОТЕЗА — ж. hypothesis (pl . -ses) строить гипотезы — frame / form hypotheses; hypothesize рабочая гипотеза — working hypothesis
Russian-English Smirnitsky abbreviations dictionary - КОНТИНУУМ — continuum
Russian-English Edic - ГИПОТЕЗА — hypothesis
Russian-English Edic - ГИПОТЕЗА — жен. hypothesis выдвигать гипотезу — to set up a hypothesis, to offer/advance a hypothesis - на основе гипотезы - строить …
Русско-Английский краткий словарь по общей лексике - ГИПОТЕЗА — Assumption
Британский Русско-Английский словарь - ГИПОТЕЗА — (на основании умозаключений) inference юр.
Русско-Английский экономический словарь - ГИПОТЕЗА — hypothesis (pl. -ses); рабочая ~ working hypothesis; строить ~ы frame/form hypotheses
Русско-Английский словарь - QD - ГИПОТЕЗА — см. на основе гипотезы
Русско-Английский научно-технический словарь переводчика - КОНТИНУУМ — continuum
Современный Русско-Английский словарь по машиностроению и автоматизации производства - ГИПОТЕЗА — hypothesis
Русско-Английский толковый словарь терминов и сокращений по ВТ, Интернету и программированию - ГИПОТЕЗА — см. существует гипотеза о том, что … the hypothesis of life on Mars is compatible with the absence of increased …
Русско-Английский словарь идиом по космонавтике - ГИПОТЕЗА — hypothesis
Русско-Английский биологический словарь - ГИПОТЕЗА — ТЕОРИЯ, ГИПОТЕЗА см.также ФАКТЫ, ЭКСПЕРИМЕНТ Нет ничего практичнее хорошей теории. Роберт Кирхгоф Теории первого класса предсказывают, теории второго класса …
English-Russian aphorisms, русские афоризмы - КОНТИНУУМ — муж. continuum continuum
Большой Русско-Английский словарь - ГИПОТЕЗА — жен. hypothesis строить гипотезы гипотез|а - ж. hypothesis (pl. -ses) рабочая ~ working hypothesis строить ~ы frame/form hypotheses
Большой Русско-Английский словарь - КОНТИНУУМ — континуум continuum
- ГИПОТЕЗА — гипотеза hypothesis
Русско-Английский словарь Сократ - РАЗРЕЗАЕМЫЙ — adj. cut; разрезаемый континуум, cut continuum
Russian-English Dictionary of the Mathematical Sciences - ЗМЕЕВИДНЫЙ — adj. coiled, wound, snakelike; змеевидный континуум, snake-like continuum; змеевидная кривая, snake-like curve
Russian-English Dictionary of the Mathematical Sciences - WEBLESS CONTINUUM — мат. несотканный континуум
- — мат. уникогерентный континуум
Большой Англо-Русский словарь - — уникогерентный hereditarily unicoherent continuum ≈ наследственно уникогерентный континуум hereditarily unicoherent subcontinuum ≈ наследственно уникогерентный подконтинуум - hereditarity unicoherent - unicoherent …
Большой Англо-Русский словарь - TWO-DIMENSIONAL CONTINUUM — мат. двумерный континуум
Большой Англо-Русский словарь - TRIODIC CONTINUUM — мат. триодический континуум
Большой Англо-Русский словарь - TREE-LIKE CONTINUUM — мат. древовидный континуум
Большой Англо-Русский словарь - TORUS-LIKE CONTINUUM — мат. торовидный континуум
Большой Англо-Русский словарь - STRATIFIED — 1) напластованный 2) наслоенный 3) расслоенный 4) стратифицированный 5) тонкополосный 6) слоистый 7) многослойный ∙ completely stratified system ≈ вполне …
Большой Англо-Русский словарь - SPACE-TIME MANIFOLD
Большой Англо-Русский словарь - SPACE-TIME CONTINUUM — мат. пространственно-временной континуум
Большой Англо-Русский словарь - SNAKE-LIKE CONTINUUM — змеевидный континуум
Большой Англо-Русский словарь - SMOOTH CONTINUUM — мат. гладкий континуум
Большой Англо-Русский словарь - SINGULAR CONTINUUM — мат. сингулярный континуум
Большой Англо-Русский словарь - SEMIAPOSYNDECTIC CONTINUUM — мат. полуапосиндектический континуум
Большой Англо-Русский словарь - SATURATED CONTINUUM — мат. насыщенный континуум
Большой Англо-Русский словарь - HYPOTHESIS
Большой Англо-Русский словарь -
Большой Англо-Русский словарь - CONTINUUM — сущ. континуум the health-illness continuum ≈ череда болезней и выздоровлений (математика) континуум (физическое) сплошная среда (физическое) непрерывный спектр (временной) континуум
Большой Англо-Русский словарь - CONTINUUM — continuum.ogg kənʹtınjʋəm n (pl тж. -nua) 1> мат. континуум 2> физ. плошная среда 3> физ. непрерывный спектр 4> лингв. …
Англо-Русско-Английский словарь общей лексики - Сборник из лучших словарей - HYPOTHESIS — 1) гипотеза 2) допущение; предположение 3) постулат. hypothesis states that — гипотеза утверждает, что hypothesis under test — проверяемая гипотеза proof from a hypothesis — …
Англо-Русский научно-технический словарь - CONTINUUM — n (pl тж. -nua) 1) мат. континуум 2) физ. сплошная среда 3) физ. непрерывный спектр 4) лингв. (временной) континуум
Новый большой Англо-Русский словарь - Апресян, Медникова - CONTINUUM — n (pl тж. -nua) 1> мат. континуум 2> физ. плошная среда 3> физ. непрерывный спектр 4> лингв. (временной) континуум
Большой новый Англо-Русский словарь - HYPOTHESIS — сущ. ; мн. hypotheses гипотеза, догадка, предположение to advance, formulate, propose a hypothesis — выдвинуть гипотезу to confirm a hypothesis …
Англо-Русский словарь по общей лексике - HYPOTHESIS — сущ.; мн. hypotheses гипотеза, догадка, предположение to advance, formulate, propose a hypothesis — выдвинуть гипотезу to confirm a hypothesis — подтверждать гипотезу null hypothesis …
Англо-Русский словарь общей лексики - NULL HYPOTHESIS — нулевая гипотеза; предположение об отсутствии корреляции между переменными. нулевая гипотеза; гипотеза, предсказывающая отсутствие связи между переменными.
Англо-Русский социологический энциклопедический словарь Русский словарь Colier - CAPITAL-SKILL COMPLEMENTARITY HYPOTHESIS — эк. тр. гипотеза комплиментарности "капитал-квалификация"*, гипотеза комплиментарности между капиталом и квалификацией*(гипотеза о том, что увеличение цены капитала ведет к сокращению …
Новый англо-русский толковый словарь по менеджменту и экономике труда - HYPOTHESIS — сущ. гипотеза, догадка, предположение to advance, formulate, propose a hypothesis ≈ выдвинуть гипотезу to confirm a hypothesis ≈ подтверждать гипотезу …
- — наследственно hereditarily decomposable continuum ≈ наследственно разложимый континуум hereditarily disconnected space ≈ наследственно несвязное пространство hereditarily effective operation ≈ наследственно …
Новый большой Англо-Русский словарь
Copyright © 2010-2019 сайт, AllDic.ru. Англо-русский словарь Онлайн. Бесплатные русско-английские словари и энциклопедия, транскрипция и переводы английских слов и текста на русский.
Free online English dictionaries and words translations with transcription, electronic English-Russian vocabularies, encyclopedia, Russian-English handbooks and translation, thesaurus.
КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА
Гипотеза Г. Кантора (G. Cantor, 1878), состоящая в том, что всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R. Эквивалентная формулировка (при наличии выбора аксиомы
): (см. Алефы
).
Обобщение этого равенства на произвольные кардинальные числа наз. обобщенной континуум-гипотезой: для всякого ординального числа a В отсутствии аксиомы выбора обобщенная К.-г. формулируется в виде где k, т.
- переменные для бесконечных кардинальных чисел. Из (2) вытекают аксиома выбора и (1), а из (1) и аксиомы выбора вытекает (2). Д. Гильберт (D. Hilbert) в своем знаменитом списке проблем поставил под номером 1 проблему доказать гипотезу континуума Кантора (проблема континуума). В рамках традиционного теоретико-множественного решения проблема не поддавалась решению. Среди математиков росло убеждение в принципиальной неразрешимости проблемы континуума. Лишь после того, как был найден способ сведения математич. понятий к теоретико-множественным, выявлены аксиомы, сформулированные на теоретико-множественном языке, к-рые можно положить в основу реально встречающихся математич. доказательств, и формализованы логич. средства вывода, стало возможным точно поставить, а затем и решить вопрос о формальной неразрешимости К.-г. Формальная неразрешимость понимается в смысле не существования формального вывода в системе Цермело - Френкеля ZF как для К.-г., так и для ее отрицания. В 1939 К. Гёдель (К. Godel) установил недоказуемость отрицания обобщенной К.-г. (а следовательно, н недоказуемость отрицания К.-г.) в системе ZF с аксиомой выбора (системе ZFC), в предположении, что ZF непротиворечива (см. Конструктивное по Гёделю множество
).
В 1963 П. Коэн (P. Cohen) показал невыводимость К.-г. (а следовательно, и невыводимость обобщенной К.-г.) из аксиом ZFC при условии непротиворечивости ZF (см. Вынуждения метод
).
Являются ли эти результаты окончательными в проблеме континуума? Ответ на этот вопрос зависит от отношения к посылке о непротиворечивости ZF и, что. более существенно, к тому экспериментальному факту, что всякое содержательное математич. доказательство (традиционной классич. математики), после того как оно найдено, может быть адекватным образом формализовано в системе ZFC. Факт этот нельзя не только доказать, но даже точно сформулировать, поскольку всякое уточнение поднимает аналогичный вопрос об адекватности уточнения уточняемому. На теоретико-модельном языке К. Гёдель и П. Коэн построили модели для ZFC, в к-рых где т- произвольный, наперед заданный несчетный регулярный кардинал, а k +
- первое кардинальное число, большее к.
Каково возможное поведение функции 2 k
в различных моделях ZFC? Известно, что на регулярных кардиналах kфункция эта может вести себя как угодно, подчиняясь лишь условиям где cf
(т) -
наименьший кардинал конфинальный т(см. кардинальное число
).
Для сингулярных (т. е. не регулярных) кзначение функции 2 k
может зависеть от ее поведения на меньших кардинальных числах. Так, напр., если равенство (1) пмеет место для всех a Лит.
: Коэн П. Дж .,
Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; Ваumgаrtnеr J. Е., Prikry K.,"Amer. Math. Monthly", 1977, v. 84, № 2, p. 108- 113. В. Н. Гришин.
Дискуссии вокруг оснований теории множеств естественно подводили к вопросу о научной легальности не только самой этой теории, но и шире -о границах научного, и математического в частности, познания вообще. Наиболее острые споры были связаны с обсуждением основных проблем теории множеств: континуум-гипотезы, проблемы обоснования аксиомы выбора, попыток преодоления так называемых парадоксов теории множеств. Здесь мы конкретно можем увидеть, насколько трудны и порой непроходимы оказались те «дороги свободы», которые предложила математике теория множеств Кантора. Рассмотрим эти вопросы ближе.
Проблема континуума задала одно из центральных направлений развития теории множеств, а континуум-гипотеза стала одной из наиболее привлекающих внимание математиков XX столетия задач. В списке важнейших математических проблем, представленных Д. Гильбертом в 1900 г. на II Международном конгрессе математиков в Париже, континуум-гипотеза стояла первой. Континуум-гипотеза непосредственно связана с фундаментальной двойственностью самих оснований математической науки. Основными объектами математики являются число (натуральное) и пространство, и все содержательные результаты этой науки суть то или иное «соединение» одного начала с другим. Откуда возникает естественное стремление попытаться объединить число и пространство, дискретность и непрерывность в чем-то третьем, найти какой-то общий род, отдельными видами которого являлись бы эти два начала. «Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного , или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных-пожалуй, дажесамая главная-проблем оснований математики»,-пишут А. Френкель и И. Бар-Хиллел 1 . Ближайшим образом эта задача выступала (исторически) как проблема арифметизации геометрии. Решение ее оказалось отнюдь не из легких. Уже античная математика обнаруживает здесь серьезные препятствия. Существуют несоизмеримые отрезки, и поэтому длины некоторых отрезков невозможно выразить через целое число длин единичного отрезка или его частей. Античная математика, чтобы обойти эти трудности, находит здесь удивительно изящные приемы: общую теорию отношений и метод исчерпывания. Но существенно, что эти новые приемы используют уже актуальную бесконечность.
Следующий этап в решении проблемы арифметизации геометрии связан с изобретением в XVII в. аналитической геометрии. Последняя выдвинула новый взгляд на геометрию. Вместо античного понимания этой науки, где созерцание играло принципиально неустранимую роль, Декарт предлагает некоеисчисление отрезков, которое должно было, в принципе, решить все возможные геометрические задачи 2 . Но тем самым задачаарифметизации геометрического пространства, сведения его к чисто числовой конструкции вставала еще острее. Возникающее также в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисление рассматривали геометрические конструкции в «бесконечно малом» 3 и делали проблему арифметизации пространства еще более актуальной. Однако проблема эта не поддавалась решению почти три века. И только во второй половине XIX в. появляются арифметические теории действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд), позволяющие каждой точке пространства поставить в соответствие число. Они также существенно используют актуальную бесконечность. Кантор, последовательно и настойчиво проводя программу сведения всей математики к теоретико-множественным конструкциям, завершает всю эту линию развития, обнаруживая вместе с тем и непреодолимые апории, к которым она приводит. Хотя, конечно, следует отметить, что создатель теории множеств характерно отклонился от того направления, в котором традиционно стремились решить проблему преодоления противоположности между числом и пространством. Кантор ищет не «арифметизации геометрии», а более радикального сведения этих противоположностей к единой под-лежащей сущности. «Кантор желает-как он сам мне говорил на съезде естествоиспытателей в Касселе, - писал Ф. Клейн, - достигнуть "истинного слияния арифметики и геометрии" в учении о множествах, другими словами, он желает представить учение о целых числах, с одной стороны, и теорию различных образов, с другой стороны, а также еще многое другое как равноправные и объединенные главы общего учения о множествах или совокупностях» 1 .
В вопросе о континууме Кантор был убежденным противником понимания его как некой данности, как некой априорной формы мышления (идеи ли или в кантовском смысле, как априорной формы созерцания, -безразлично). Кантору нужна была конструкция континуума ; только она могла бы, с одной стороны, удовлетворить насущные нужды развивающейся математики, а с другой-вписаться в ту общефилософскую перспективу, в которой осознавал науку Кантор:понять - значит сконструировать. Поэтому создателя теории множеств не удовлетворяют концепции континуума у Аристотеля и Фомы Аквинского: обе они исходили из некой предзаданности идеи континуума, некоего неразложимого созерцания. «Всякая арифметическая попытка определения этойтайны рассматривается как незаконное посягательство и с соответствующей энергией отвергается. Робкие натуры испытывают при этом впечатление, как если бы в вопросе о континууме речь шла не о математико-логическом понятии, а о каком-то религиозном догмате» 1 . Кантор не был робкой натурой и вопреки тысячелетней традиции старался дать конструктивную модель континуума. Конечно, его не могла также удовлетворить и атомистическая модель, восходящая еще к Эпикуру и Лукрецию.
Вопрос, согласно Кантору, мог ставиться только в терминах теории множеств: если в арифметическом пространстве n измерений задано некоторое множество Р, то при каком условии его можно назвать континуумом? Кантора вдохновляли на этом пути некоторые полученные им результаты по разложению точечных множеств. Во-первых, это была теорема о равномощности всехn -мерных пространств. Значит, как бы 2 все проблемыn -мерных множеств сводились к проблемам точечных множеств на прямой. Во-вторых, Кантор нашел некоторые множества, названные им совершенными , которые, казалось, выделяли существеннейшие свойства континуума. Примером канторовского совершенного множества может быть следующая конструкция:
Из сегмента на прямой мы выбрасываем среднюю треть: интервал (; ). Потом из оставшихся сегментов и [; 1] мы также выбрасываем средние трети: интервалы (; ) и (;). Далее из оставшихся сегментов мы опять выбрасываем средние трети и продолжаем этот процесс до бесконечности. То, что остается в результате 1 , называется канторовским совершенным множеством . Непосредственно видно, что множество получается очень «разреженным», на первый взгляд кажется даже, что в нем вообще ничего не остается. Но в то же время очевидно, что точки 0, , , , , , например, войдут в предельное множество. Более того, оказывается, это предельное множество будет несчетным, и его мощность будет равна мощности континуума, т.е. мощности точек на исходном сегменте . Канторовское совершенное множество обладает, кроме того, еще тем замечательным свойством, что каждая его точка является так называемой точкой конденсации . Это означает, что в любой окрестности этой точки содержится бесконечное несчетное множество других точек этого же совершенного множества. Это свойство, по Кантору, должно было как бы представить теоретико-множественную модель «плотности» континуума.
Для полного же описания свойств континуума важно еще одно свойство: связность . Множество Т связно, по Кантору, если любые две его точки можно соединить ломаной с вершинами, также принадлежащими этому множеству, и с длинами звеньев меньше любого наперед заданного e. «По моему мнению,-пишет Кантор,-эти два предиката-"совершенный" и "связный"-представляют собой необходимые и достаточные признаки континуума, и поэтому я определяю точечный континуум в G n [ в арифметическомn -мерном пространстве.-В.К. ] каксовершенное связное множество . Здесь "совершенный" и "связный"-не просто слова, а вполне общие предикатыконтинуума , понятийно охарактеризованные самым строгим образом при помощи предыдущих определений» 1 . Канторовские построения в теории точечных множеств оказали существенное влияние и на другие разделы математики, в частности топологию. Однако должно прямо признать, что:
1) канторовское определение континуума есть только некоторая частная модель континуума;
2) говоря о необходимых и достаточных признаках континуума, Кантор, вопреки своему желанию, признает, что имеет в виду некоторуюинтуицию континуума , вопрос о философском смысле которой остается открытым;
3) открытым, следовательно, остается и вопрос о соответствии интуиции континуума его конкретным моделям, в частности канторовской.
В этой же работе 1883 г. «Основы общего учения о многообразиях», из которой мы только что цитировали, Кантор объявляет, что надеется вскоре доказать, что мощность множества точек континуума в точности равна мощности так называемого второго числового класса. Это утверждение и называется континуум-ги по те зой. По-другому это записывают обычно следующим образом:
Слева здесь стоит мощность стандартной числовой модели континуума, а a 1 представляет собой первое кардинальное число, следующее заa 0 - мощностью счетного множества.
Канторовские надежды на быстрое доказательство этого результата оказались несостоятельными. Более того, переписка Кантора показывает, какие титанические усилия прилагал он для решения проблемы и какие сокрушительные разочарования, взлеты и падения пришлось ему здесь пережить, переходя -временами лишь в течение одного месяца-от полной уверенности в доказанности результата к обнаружению ошибки в доказательстве и потом-к такой же полной уверенности в ложности континуум-гипотезы... Некоторые биографы считают, в частности, что именно перенапряжения и неудачи с доказательством континуум-гипотезы послужили причиной возникновения тяжелой психической болезни Кантора.
Как показала история, трудности с континуум-гипотезой имели достаточно объективную природу. В 1908 г. Э. Цермело сумел сформулировать аксиоматику теории множеств, что позволило начать исследования оснований теории множеств с помощью параллельно развивающихся методов математической логики. В 1931 г. К. Гедель доказал свою знаменитую теорему о неполноте, которая утверждала, что в любой достаточно богатой логической системе, содержащей, как минимум, элементарную арифметику, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью методов этой же системы. Возникло подозрение, что канторовская континуум-гипотеза является как раз подобным утверждением. В 1963 г. П. Коэн доказал этот результат: было показано, что континуум-гипотеза независима от системы аксиом теории множеств Цермело-Френкеля. Другими словами, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Коэн вообще склонялся к тому, что континуум-гипотеза, скорее всего, не верна. Дело в том, что a 1 , мощность второго числового класса, представляет собой множество всех упорядочений счетного множества. Они получаются с помощью достаточно элементарных операций над ординальными числами применением так называемых первого и второго принципов порождения чисел (прибавления единицы и взятия пределов фундаментальных последовательностей). С другой стороны, мощность континуума 2 a 0 есть мощность достаточно богатого множества функций на a 0 . Коэн пишет: «Таким образом, С 1 больше, чем a n , a w , a a , где a = a w , и т.д. С этой точки зрения С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения. Быть может, следующие поколения научатся яснее видеть эту проблему и выражаться о ней более красноречиво» 2 . Читая эти строки, невозможно не вспомнить о предшествовавших поколениях. Эта несводимость континуума к некоторой постепенной конструктивной процедуре, о которой говорит Коэн, как бы воскрешает античное и средневековое представление о континууме как неразложимой исходной данности , как о естественном пределе человеческой аналитической способности. Несмотря на дерзкое предприятие множества «неробких натур» - и прежде всего самого создателя теории множеств Кантора - представить континуум как некоторую аналитическую конструкцию, после целого века дискуссий наука как бы возвращается к исходной, впрочем, подтвержденной тысячелетним опытом размышлений, точке зрения. Наука как бы делает круг, еще раз подтверждая, что познание - это прерогатива не только науки, но и мудрости.
Гипотеза Г. Кантора (G. Cantor, 1878), состоящая в том, что всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R. Эквивалентная формулировка (при наличии выбора аксиомы): (см. Алефы). Обобщение этого равенства на произвольные кардинальные числа наз. обобщенной континуум-гипотезой: для всякого ординального числа a В отсутствии аксиомы выбора обобщенная К.-г. формулируется в виде где k, т.- переменные для бесконечных кардинальных чисел. Из (2) вытекают аксиома выбора и (1), а из (1) и аксиомы выбора вытекает (2). Д. Гильберт (D. Hilbert) в своем знаменитом списке проблем поставил под номером 1 проблему доказать гипотезу континуума Кантора (проблема континуума). В рамках традиционного теоретико-множественного решения проблема не поддавалась решению. Среди математиков росло убеждение в принципиальной неразрешимости проблемы континуума. Лишь после того, как был найден способ сведения математич. понятий к теоретико-множественным, выявлены аксиомы, сформулированные на теоретико-множественном языке, к-рые можно положить в основу реально встречающихся математич. доказательств, и формализованы логич. средства вывода, стало возможным точно поставить, а затем и решить вопрос о формальной неразрешимости К.-г. Формальная неразрешимость понимается в смысле не существования формального вывода в системе Цермело - Френкеля ZF как для К.-г., так и для ее отрицания. В 1939 К. Гёдель (К. Godel) установил недоказуемость отрицания обобщенной К.-г. (а следовательно, н недоказуемость отрицания К.-г.) в системе ZF с аксиомой выбора (системе ZFC), в предположении, что ZF непротиворечива (см. Конструктивное по Гёделю множество). В 1963 П. Коэн (P. Cohen) показал невыводимость К.-г. (а следовательно, и невыводимость обобщенной К.-г.) из аксиом ZFC при условии непротиворечивости ZF (см. Вынуждения метод). Являются ли эти результаты окончательными в проблеме континуума? Ответ на этот вопрос зависит от отношения к посылке о непротиворечивости ZF и, что. более существенно, к тому экспериментальному факту, что всякое содержательное математич. доказательство (традиционной классич. математики), после того как оно найдено, может быть адекватным образом формализовано в системе ZFC. Факт этот нельзя не только доказать, но даже точно сформулировать, поскольку всякое уточнение поднимает аналогичный вопрос об адекватности уточнения уточняемому. На теоретико-модельном языке К. Гёдель и П. Коэн построили модели для ZFC, в к-рых где т- произвольный, наперед заданный несчетный регулярный кардинал, а k+- первое кардинальное число, большее к. Каково возможное поведение функции 2k в различных моделях ZFC? Известно, что на регулярных кардиналах kфункция эта может вести себя как угодно, подчиняясь лишь условиям где cf (т) - наименьший кардинал конфинальный т(см. кардинальное число). Для сингулярных (т. е. не регулярных) кзначение функции 2k может зависеть от ее поведения на меньших кардинальных числах. Так, напр., если равенство (1) пмеет место для всех a Гипотеза
— ж. греч. ипотеза, предположение, догадка, умозрительное положение. Гипотетический, -тичный; гадательный, предполагаемый. Гипотека ж. или ипотека, гипотечный залог, ручательство,........ Гипотеза
— гипотезы, ж. (греч. hypothesis) (книжн.). Научное предположение, не доказанное, но обладающее нек-рой вероятностью и объясняющее ряд явлений, без него необъяснимых (науч.). Создать........ Гипотеза Ж.
— 1. Научное предположение, выдвигаемое для объединения каких-л. явлений и требующее проверки, подтверждения опытным путем. 2. разг. Любое предположение, догадка, допущение. Гипотеза
— -ы; ж. [от греч. hypothesis - предположение]. Гипотеза
— (греч. hypothesis - основание, предположение), предположительное суждение о закономерной (причинной) связи явлений; форма развития научных знаний. Континуум
— -а; м. [лат. continuum - непрерывное, сплошное] Гипотеза
— предположение, имеющее под собой научную основу, выдвигаемое для объяснения экономических процессов и явлений и в целях их предвидения. В экономике гипотезы связаны........ Гипотеза Естественного Уровня
— англ. nnatural-rate hypotesis предположение, сделанное американским экономистом Н.Грегори Мэнкью в труде "Макроэкономика" о том, что динамика объемов производства, занятости и........ Гипотеза Нормы Права
— - в теории Гипотеза Об Информационной Роли Дивидендов
— (Information Content of Dividends Hypothesis) – предположение о том, что дивиденды, объявляемые компанией, содержат информацию о планах этой компании. Гипотеза Ожиданий (expectations Hypothesis)
— гипотеза о том, что фьючерсная цена актива совпадает с его ожидаемой ценой на дату выполнения фьючерсного контракта. Гипотеза Предпочтительной Ликвидности
— Утверждение о том, что большая степень ликвидности имеет Гипотеза Решения
— часть процедуры принятия решения в теории управления, объединяющая исходные данные и цели решения. Г.р. дает возможность оценить достижимость цели. Гипотеза Случайного Шага
— (random walk hypothesis) – теория, согласно которой последующие — - Гипотеза Чрезмерной Реакции
— Предположение о том, что Гипотеза Шумпетера
— предполагает, что Гипотеза Эффективного Рынка
— - гипотеза, согласно которой при полном доступе рынка к информации, цена акции на данный момент является лучшей оценкой будущей цены; рынки считаются эффективными, если........ Денежная Гипотеза
— утверждение, что сокращение Рабочая Гипотеза (в Маркетинге)
— предположение относительно содержания проблемы и путей её решения. Шумпетерианская Гипотеза
— предположение, выдвинутое Й. Шумпетером, о роли Щумпетерианская Гипотеза
— - предположение о роли Гипотеза
— - в теории права структурный элемент нормы права, который указывает на условия ее действия. Так, Г. нормы права, касающейся отказа судьи принять заявление по гражданскому........ Гипотеза Нормы Права
— - в теории права - структурный элемент нормы права, который указывает на условия ее действия. Так, например, Г.н.п., касающейся отказа судьи принять заявление по гражданскому........ Гипотеза Совершения Преступления
— - допущение, что преступление было осуществлено определенным способом; метод криминалистического мышления, применяемый при раскрытии уголовно наказуемого деяния........ Денежная Гипотеза
— - утверждение, что сокращение предложения денег является причиной большинства экономических кризисов. Щумпетерианская Гипотеза
— - предположение о роли монополии в обществе, в соответствии с которым, несмотря на потери от высоких монополистических цен и меньшего объема производства при тех же........ Германна Альтерационная Гипотеза
— (L. Hermann, 1838-1914, нем. физиолог) см. Альтерационная теория возбуждения. Гипотеза Стволовой Линии
— гипотеза, согласно которой рост опухоли после имплантации (в эксперименте) происходит за счет лишь части клеток, составляющих стволовую (или камбиальную) линию клеток........ Гипотеза Геи
— ГИПОТЕЗА «ГЕИ», научная теория, которая определяла соотношения между разными процессами, протекающими на Земле - химическими, физическими и биологическими. Была популярна........ Континуум-гипотеза, первая проблема Гильберта, относится к
задачам оснований математики и теории множеств. Она тесно связана с
такими простыми и естественными вопросами, как "Сколько?", "Больше
или меньше?", и практически любой старшеклассник может понять, в чем
состоит эта проблема. Тем не менее, нам потребуются некоторые
дополнительные сведения, чтобы ее сформулировать. Эквивалентность множеств
Рассмотрим следующий пример. В школе проходит вечер танцев. Как
определить, кого больше на этом вечере: девочек или мальчиков? Можно, конечно, пересчитать тех и других и сравнить два
полученных числа. Но гораздо проще дать ответ, когда оркестр
заиграет вальс и все танцующие разобьются на пары. Тогда, если все
присутствующие танцуют, значит, каждому нашлась пара, т. е.
мальчиков и девочек одинаковое количество. Если же остались только
мальчики, значит, мальчиков больше, и наоборот. Этот способ, иногда более естественный, чем непосредственный
пересчет, называется принципом разбиения на пары
, или
принципом взаимно однозначного соответствия
. Рассмотрим теперь совокупность объектов произвольной природы ---
множество
. Объекты, входящие в
множество, называются его элементами
. Если элемент x
входит в множество X
, это обозначают так: x X
. Если множество X 1
содержится в
множестве X 2
, т. е. все элементы множества
X 1
являются также элементами X 2
,
то говорят, что X 1
--- подмножество
X 2
, и кратко записывают так: X 1 X 2
. Множество конечно
, если в нем конечное число элементов.
Множества могут быть как конечными (например, множество учеников в
классе), так и бесконечными (например,
--- множество всех натуральных чисел 1,2,3,...
).
Множества, элементами которых являются числа, называются
числовыми
. Пусть X
и Y
--- два множества. Говорят, что между
этими множествами установлено взаимно однозначное
соответствие
, если все элементы этих двух множеств разбиты на
пары вида (x,y)
, где x X
, y Y
, причем каждый элемент из X
и каждый элемент
из Y
участвует ровно в одной паре. Пример, когда все девочки и мальчики на танцевальном вечере
разбиваются на пары, и есть пример взаимно однозначного соответствия
между множеством девочек и множеством мальчиков. Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное
соответствие, называются эквивалентными
или
равномощными
. Два конечных множества эквивалентны тогда и
только тогда, когда в них одинаковое количество элементов. Поэтому
естественно считать, что если одно бесконечное множество
эквивалентно другому, то в нем "столько же" элементов. Однако,
опираясь на такое определение эквивалентности, можно получить весьма
неожиданные свойства бесконечных множеств. Бесконечные множества
Рассмотрим любое конечное множество и любое его собственное
(непустое и не совпадающее с ним самим) подмножество. Тогда
элементов в подмножестве меньше
, чем в сам множестве, т. е.
часть меньше целого
. Обладают ли бесконечные множества таким свойством? И может ли
иметь смысл утверждение, что в одном бесконечном множестве "меньше"
элементов, чем в другом, тоже бесконечном? Ведь про два бесконечных
множества мы можем пока только сказать, эквивалентны они или нет. А
существуют ли вообще неэквивалентные бесконечные множества? Далее мы последовательно ответим на все эти вопросы. А для начала
приведем забавную фантастическую историю из книги Н. Я. Виленкина
"Рассказы о множествах". Действие
происходит в далеком будущем, когда жители разных галактик могут
встречаться друг с другом. Поэтому для всех путешествующих по
космосу построена огромная гостиница, протянувшаяся через несколько
галактик. В этой гостинице бесконечно много номеров
(комнат), но,
как и положено, все комнаты пронумерованы, и для любого натурального числа n
есть комната с
этим номером. Однажды в этой гостинице проходил съезд космозоологов, в котором
участвовали представители всех галактик. Так как галактик тоже
бесконечное множество, все места в гостинице оказались занятыми. Но
в это время к директору гостиницы приехал его друг и попросил
поселить его в эту гостиницу. "После некоторых размышлений директор обратился к администратору
и сказал: Поселите его в # 1. Куда же я дену жильца этого номера? --- удивленно спросил
администратор. А его переселите в # 2. Жильца же из # 2 отправьте в # 3, из
# 3 --- в # 4 и т. д." Вообще, пусть постоялец, живущий в номере k
, переедет в
номер k+1
, как это показано на следующем рисунке: Тогда у каждого снова будет свой номер, а # 1 освободится. Таким образом, нового гостя удалось поселить --- именно потому,
что номеров в гостинице бесконечно много. Первоначально участники съезда занимали все номера гостиницы,
следовательно, между множеством космозоологов и множеством
было установлено взаимно однозначное соответствие:
каждому космозоологу дали по номеру, на двери которого написано
соответствующее ему натуральное число. Естественно считать, что
делегатов было "столько же", сколько имеется натуральных чисел. Но
приехал еще один человек, его тоже поселили, и количество
проживающих увеличилось на 1. Но их снова осталось "столько же",
сколько и натуральных чисел: ведь все поместились в гостиницу! И
если обозначить количество космозоологов через 0
,
то мы получим "тождество" 0 = 0 +1
. Ни для какого конечного 0
оно, разумеется, не выполнено. Мы пришли к удивительному выводу: если к множеству, которое
эквивалентно , добавить еще один элемент, получится множество, которое
снова эквивалентно
. Но ведь совершенно ясно, что делегаты-космозоологи
представляют собой часть
того множества людей, которые
разместились в гостинице после приезда нового гостя. Значит, в этом
случае часть не "меньше" целого, а "равна" целому! Итак, из определения эквивалентности (которое не приводит ни к
каким "странностям" в случае конечных множеств) следует, что часть
бесконечного множества может быть эквивалентна всему множеству. Возможно, что известный математик Больцано ,
который пытался в своих рассуждениях применять принцип взаимно
однозначного соответствия, испугался таких непривычных эффектов и
поэтому не стал дальше развивать эту теорию. Она показалась ему
совершенно абсурдной. Но Георг Кантор
во второй половине XIX века вновь заинтересовался этим вопросом,
стал исследовать его и создал теорию множеств
, важный раздел
оснований математики. Продолжим наш рассказ про бесконечную гостиницу. Новый постоялец "не удивился, когда на другое утро ему предложили
переселиться в #1,000,000
. Просто в гостиницу прибыли
запоздавшие космозоологи из галактики ВСК-3472, и надо было
разместить еще 999,999
жильцов". Но потом произошла какая-то накладка, и в эту же самую гостиницу
приехали на съезд филателисты .
Их тоже было бесконечное множество --- по одному представителю от
каждой галактики. Как же их всех разместить? Эта задача оказалась весьма сложной. Но и в этом случае нашелся
выход. "В первую очередь администратор приказал переселить жильца из # 1
в # 2. А жильца из # 2 переселите в # 4, из # 3 --- в # 6, вообще,
из номера n
--- в номер 2n
. Теперь стал ясен его план: таким путем он освободил бесконечное
множество нечетных номеров и мог расселять в них филателистов. В
результате четные номера оказались занятыми космозоологами, а
нечетные --- филателистами... Филателист, стоявший в очереди
n
-м, занимал номер 2n-1
". И снова всех удалось
разместить в гостинице. Итак, еще более удивительный эффект: при
объединении двух множеств, каждое из которых эквивалентно
, вновь получается множество, эквивалентное
. Т. e. даже при "удвоении" множества мы получаем
множество, эквивалентное исходному! Счетные и несчетные множества
Рассмотрим следующую цепочку:
. (
--- это множество целых чисел, а
--- множество рациональных чисел, т. е. множество
чисел вида p/q
, где p
и q
--- целые, q0
.) Все эти множества бесконечны. Рассмотрим вопрос об
их эквивалентности. Установим взаимно однозначное соответствие между
и
: образуем пары вида (n,2n)
и (-n,2n+1)
,
n
, а также пару (0,1)
(на первое место в каждой
паре ставится число из
, а на второе --- из
). Есть и другой способ установить это соответствие, например,
выписать все целые числа в таблицу, как показано на рисунке, и,
обходя ее по стрелочкам, присваивать каждому целому числу некоторый
номер. Таким образом, мы " пересчитаем
" все целые числа:
каждому z
сопоставляется некоторое натуральное число (номер) и
для каждого номера есть такое целое число, которому этот номер
приписывается. При этом явную формулу выписывать не обязательно. Таким образом,
эквивалентно
. Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел,
называется счетным
. Такое множество можно "пересчитать":
пронумеровать все его элементы натуральными числами. На первый взгляд, рациональных чисел на прямой "намного больше"
чем целых. Они расположены всюду плотно
: в любом сколь угодно
малом интервале их бесконечно много. Но оказывается, что множество
также счетно. Докажем сначала счетность +
(множества всех положительных рациональных
чисел). Выпишем все элементы +
в такую таблицу: в первой строке --- все
числа со знаменателем 1 (т. е. целые), во второй --- со знаменателем
2 и т. д. (см. рисунок). Каждое положительное рациональное число
обязательно встретится в этой таблице, и не однажды
(например, число 1====...
встречается в каждой строке этой
таблицы)
. А теперь мы пересчитаем эти числа: идя по стрелочкам, присваиваем
каждому числу номер (или пропускаем это число, если оно уже
встречалось нам раньше в другой записи). Поскольку мы двигаемся по
диагоналям, то мы обойдем всю таблицу (т. е. рано или поздно
доберемся до любого из чисел). Итак, мы указали способ пронумеровать все числа из +
, т. е. доказали, что +
счетно. Заметим, что этот способ нумерации не сохраняет порядка: из двух
рациональных чисел большее может встретиться раньше, а может --- и
позже. Как же быть с отрицательными рациональными числами и нулем? Так
же как с космозоологами и филателистами в бесконечной гостинице.
Пронумеруем +
не всеми натуральными числами, а только
четными (давая им номера не 1, 2, 3, ..., а 2, 4, 6, ...), нулю
присвоим номер 1, а всем отрицательным рациональным числам присвоим
(по такой же схеме, что и положительным) нечетные номера, начиная с
3. Теперь все рациональные числа занумерованы натуральными,
следовательно,
счетно. Возникает естественный вопрос: Может быть, все бесконечные
множества счетны?
Оказалось, что
--- множество всех точек на числовой прямой ---
несчетно. Этот результат, полученный Кантором в прошлом веке,
произвел очень сильное впечатление на математиков. Докажем этот факт так же, как это сделал Кантор: с помощью диагонального процесса
. Как мы знаем, каждое действительное число x
можно записать
в виде десятичной дроби: Предположим теперь, что нам удалось пересчитать все
действительные числа. Тогда их можно расположить по порядку: Чтобы прийти к противоречию,
построим такое число y
, которое не сосчитано
, т. е. не
содержится в этой таблице. Для любой цифры a
определим цифру следующим образом: Например, если Итак, с помощью диагонального процесса мы получили действительное
число y
, которое не совпадает ни с одним из чисел таблицы,
ведь y
отличается от каждого x k
по крайней
мере k
-й цифрой десятичного разложения, а разным записям, как
мы знаем, соответствуют различные числа. Доказать континуум-гипотезу --- значит, вывести ее из этих
аксиом. Опровергнуть ее --- значит, показать, что если ее добавить к
этой системе аксиом, то получится противоречивый
набор
утверждений. Решение проблемы
Оказалось, что первая проблема Гильберта имеет совершенно
неожиданное решение. В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что
континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть
. Это означает, что если взять стандартную систему аксиом
Цермело---Френкеля (ZF
) и добавить к ней континуум-гипотезу в
качестве еще одной аксиомы, то получится непротиворечивая
система утверждений. Но если к ZF
добавить отрицание
континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь
получится непротиворечивая
система утверждений. Таким образом, ни континуум-гипотезу, ни ее отрицание
нельзя
вывести из стандартной системы аксиом. Этот вывод произвел очень сильный эффект и даже отразился в
литературе (см. эпиграф). Как же поступать с этой гипотезой? Обычно ее просто присоединяют
к системе аксиом Цермело---Френкеля. Но каждый раз, когда что-либо
доказывают, опираясь на континуум-гипотезу, обязательно указывают,
что она была использована при доказательстве.Смотреть значение Континуум-гипотеза
в других словарях
Толковый словарь Даля
Толковый словарь Ушакова
Толковый словарь Ефремовой
1. Научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-л. явлений и требующее проверки, подтверждения опытным путём. Строить,........
Толковый словарь Кузнецова
Политический словарь
1. Книжн. Совокупность каких-л. тесно связанных друг с другом явлений, процессов и т.п. Языковой к. Социальный к.
2. Матем. Непрерывное........
Толковый словарь Кузнецова
Экономический словарь
Экономический словарь
права - структурный
элемент нормы права, который указывает на
условия ее
действия. Так, например, Г.н.п., касающейся
отказа судьи принять........
Экономический словарь
Экономический словарь
Экономический словарь
ценность
при прочих равных условиях. Также теория,
идея которой состоит в том, что
форвардный........
Экономический словарь
Экономический словарь
изменение цен финансовых инструментов не зависят от предыдущих (исторических) изменений. Согласно гипотезе........
Экономический словарь
метод криминалистического расследования, применяемый при раскрытии уголовно наказуемого деяния;
допущение, что
преступление было осуществлено к.-л. определенным........
Экономический словарь
инвесторы слишком бурно реагируют на неожиданные новости, что приводит к преувеличенным изменениям цен на
акции и к последующей корректировке.
Экономический словарь
потери общества от деятельности монополий компенсируются усовершенствованием технологий, которые обусловлены деятельностью этих же монополий.........
Экономический словарь
Экономический словарь
предложения денег является причиной большинства экономических кризисов. Сторонниками этой гипотезы являются А. Шварц и М. Фридмен.
Экономический словарь
Экономический словарь
потери от высоких монополистических цен и меньшего........
Экономический словарь
монополии в обществе, в соответствии с которым, несмотря на
потери от высоких монополистических цен и меньшего
объема производства........
Экономический словарь
Юридический словарь
Юридический словарь
Юридический словарь
Юридический словарь
Юридический словарь
Большой медицинский словарь
Большой медицинский словарь
Научно-технический энциклопедический словарь
А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя)
Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза
x=A, 1 2 ... n ...,
где A
--- целое число,
не обязательно положительное, а 1 , 2 , ..., n , ... --- цифры (от 0 до 9). Это представление
неоднозначно: например,
½=0,50000...=0,49999...
(в одном варианте
записи, начиная со второй цифры после запятой, идут одни нули, а в
другом --- одни девятки). Чтобы запись была однозначной, мы в таких
случаях всегда будем выбирать первый вариант. Тогда каждому числу
соответствует ровно одна его десятичная запись.
x 1 =A, 1 2 3 4 ...
x 2 =B, 1 2 3 4 ...
x 3 =C, 1 2 3 4 ...
x 4 =D, 1 2 3 4 ...
=
Положим 
(у этого числа k
-я цифра после
запятой равна 1 или 2, в зависимости от того, какая цифра стоит на
k
-м месте после запятой в десятичной записи числа
x k
).
x 1 = 2,1345...
x 2 =
-3,4215...
x 3 =
10,5146...
x 4 =
-13,6781...
.....................
то =0,2112...
