Как решать кубические уравнения. Различные методы решения уравнений третьей степени

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и определения

1.3 Формула Кардано

2. Решение задач

Заключение

Введение

Уравнения. Можно утверждать наверняка, что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком с ними. Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом». Дальше - больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами. Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида

a0xn + a1xn - 1 + … + an = 0

ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а0 ¹ 0, так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи - в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n = 3 и 4. История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела.

Цель работы - исследовать различные методы решения уравнений третьей степени.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

-Анализ научной литературы;

-Анализ школьных учебников;

-Подбор примеров для решения;

-Решение уравнений различными методами.

Работа состоит из двух частей. В первой рассматриваются различные методы решения уравнений. Вторая часть посвящена решению уравнений различными способами.

1. Теоретическая часть

1 Основные понятия и определения

Кубическое уравнение - это уравнение третьей степени вида:

Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпывается тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Итак, возможны только три случая:

Если? > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.

Если? < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Если? = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант так же равен нулю.

Корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующим образом:

1.2 Методы решения кубических уравнений

Наиболее распространенный метод решения кубических уравнений - метод перебора.

Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень.

Вторая стадия решения - это деление многочлена на двучлен x - x1. Согласно теореме Безу это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет) оставшиеся два корня.

Решение двучленного кубического уравнения

Двучленное кубическое уравнение имеет вид (2)

Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент A, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:

Из первой скобки находим, а квадратный трехчлен имеет лишь комплексные корни.

Возвратные кубические уравнения

Возвратное кубическое уравнение имеет вид и B -коэффициенты.

Проведем группировку:

Очевидно, что x=-1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена легко находятся через дискриминант.

1.3 Формула Кардано

В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.

Для кубического уравнения (1) находятся значения с помощью подстановки: x= (2), и уравнение приводится к виду:

неполное кубическое уравнение, в котором будет отсутствовать слагаемое содержащее вторую степень.

Считаем, что уравнение имеет коэффициентами комплексные числа. Данное уравнение, всегда будет иметь комплексные корни.

Обозначим один из таких корней: . Введем вспомогательную неизвестную u и рассмотрим многочлен f(u)=.

Обозначим корни этого многочлена через? и?, по теореме Виетта (см. стр. 8):

Подставим в уравнение (3), выражение (4), получаем:

C другой стороны из (5): (7)

Отсюда следует, т.е из формул (6), (7), что числа являются корнями уравнения:

Из последнего уравнения:

Два других корня, находятся по формуле:

1.4 Тригонометрическая формула Виета

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

Очевидно, что любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида (4), просто поделив его на коэффициент a. Итак, алгоритм применения этой формулы:

Вычисляем

2. Вычисляем

3. а) Если, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

б) Если, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

Тогда единственный корень(вещественный):

Мнимые корни:

В) Если, то уравнение имеет меньше трех различных решений:

2. Решение задач

Пример 1. Найти действительные корни кубического уравнения

Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:

Из первой скобки находим, квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена

Пример 3. Найти корни кубического уравнения

Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной.

Свободный член равен 36. Запишем все его делители:

Подставляем их по очереди в равенство до получения тождества:

Таким образом, является корнем. Ему соответствует

Разделим на, используя схему Горнера.

Коэффициенты многочлена2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

Получаем

Найдем корни квадратного трехчлена:

Очевидно, что, то есть его кратным корнем является.

Пример 4.Найти действительные корни уравнения

является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена.

Так как дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Пример 5. Найти корни кубического уравнения 2.

Следовательно,

Подставляем в формулу Кардано:

принимает три значения. Запишем их.

При имеем

При имеем

При имеем

Разобьем эти значения по парам, которые в произведении дают

Первая пара значений и

Вторая пара значений и

Третья пара значений и

Возвращаемся к формуле Кардано

Таким образом,

Заключение

кубический уравнение трехчлен

В результате выполнения курсовой работы были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени, такие, как метод перебора, формула Карано, формула Виета, методы решения возвратных, двучленных уравнений.

Список использованных источников

1)Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов», М., 1986.

2)Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-го класса средней школы, 1977.

)Омельченко В.П. Математика: учебное пособие / В.П. Омельченко, Э.В.Курбатова. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005.- 380с.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Кубические уравнения имеют вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0). Способ решения таких уравнений известен уже несколько столетий (он был открыт в 16 веке итальянскими математиками). Решить некоторые кубические уравнения довольно сложно, но при правильном подходе (и хорошем уровне теоретических знаний) вы сможете решать даже самые сложные кубические уравнения.

Шаги

Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} , где коэффициенты c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} могут быть равны 0 {\displaystyle 0} , то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть d {\displaystyle d} . Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения .

• Если свободный член есть, используйте другой метод решения (смотрите следующие разделы).

1. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную x {\displaystyle x} , которую можно вынести за скобки: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .

   • Пример. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 {\displaystyle 3x^{3}+-2x^{2}+14x=0} . Если вынести x {\displaystyle x} за скобки, вы получите x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 {\displaystyle x(3x^{2}+-2x+14)=0} .

2. Обратите внимание, что уравнение в скобках - это квадратное уравнение вида ( a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ), которое можно решить при помощи формулы ({-b +/-√ (). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.

   • В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
   • Решение 1: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12.8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}
   • Решение 2: 2 − 12.8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}

3. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические - три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите "х" за скобки, третье решение всегда равно 0 {\displaystyle 0} .

   • Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0 {\displaystyle 0} , равно 0 {\displaystyle 0} . Так как вы вынесли x {\displaystyle x} за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя ( x {\displaystyle x} и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0 {\displaystyle 0} , чтобы все уравнение равнялось 0 {\displaystyle 0} .

   Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

   1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член. Описанный в предыдущем разделе метод не годится для решения кубических уравнений, в которых присутствует свободный член. В этом случае вам придется воспользоваться методом, который описан в этом или следующем разделах.

      • Пример. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 {\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6} . Здесь перенесите свободный член d = − 6 {\displaystyle d=-6} на левую сторону уравнения, чтобы на правой стороне получить 0 {\displaystyle 0} : 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 {\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0} .

   2. Найдите множители коэффициента a {\displaystyle a} (коэффициент при x 3 {\displaystyle x^{3}} ) и свободного члена d {\displaystyle d} . Множители числа - это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 6 {\displaystyle 6} являются числа 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 6 {\displaystyle 6} ( 6 × 1 {\displaystyle 6\times 1} и 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} ).

      • В нашем примере a = 2 {\displaystyle a=2} и d = 6 {\displaystyle d=6} . Множители 2 {\displaystyle 2} - это числа 1 {\displaystyle 1} и 2 {\displaystyle 2} . Множители 6 {\displaystyle 6} - это числа 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , и 6 {\displaystyle 6} .

   3. Разделите множители коэффициента a {\displaystyle a} на множители свободного члена d {\displaystyle d} . Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.

      • В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} ( 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} ) на множители d {\displaystyle d} ( 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 6 {\displaystyle 6} ) и получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь добавьте к этому ряду чисел их отрицательные значения: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целые решения данного вам кубического уравнения находятся в этом ряду чисел.

   4. Теперь вы можете найти целые решения вашего кубического уравнения, подставив в него целые числа из найденного ряда чисел. Но если вы не хотите тратить время на это, воспользуйтесь . Такая схема подразумевает деление целых чисел на значения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} данного кубического уравнения. Если остаток равен 0 {\displaystyle 0} , целое число является одним из решений кубического уравнения.

      • Деление по схеме Горнера - непростая тема; для получения дополнительной информации по ней перейдите по ссылке, указанной выше. Вот пример того, как найти одно из решений данного вам кубического уравнения при помощи деления по схеме Горнера: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Так как остаток 0 {\displaystyle 0} , то одним из решений уравнения является целое число − 1 {\displaystyle -1} .

   Использование дискриминанта

   1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} . Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.

      • Пример. math>x^3-3x^2+3x-1. Здесь a = 1 {\displaystyle a=1} , b = − 3 {\displaystyle b=-3} , c = 3 {\displaystyle c=3} , d = − 1 {\displaystyle d=-1} . Не забывайте, что когда перед x {\displaystyle x} коэффициента нет, то это значит, что коэффициент равен 1 {\displaystyle 1} .

   2. Вычислите △ = b 2 − 3 a c {\displaystyle \triangle _{0}=b^{2}-3ac} . В этом методе потребуется провести несколько сложных вычислений, но если вы уясните его, вы сможете решать самые сложные кубические уравнения. Для начала вычислите △ 0 {\displaystyle \triangle _{0}} , одну из нескольких важных величин, которые нам понадобятся, подставив соответствующие значения в формулу.

      • В нашем примере: b 2 − 3 a c {\displaystyle b^{2}-3ac} (− 3) 2 − 3 (1) (3) {\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)} 9 − 3 (1) (3) {\displaystyle 9-3(1)(3)} 9 − 9 = 0 = △ 0 {\displaystyle 9-9=0=\triangle _{0}} 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) {\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)} − 54 + 81 − 27 {\displaystyle -54+81-27} 81 − 81 = 0 = △ 1 {\displaystyle 81-81=0=\triangle _{1}}

   3. Вычислите Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27a 2 . Теперь вычислите дискриминант уравнения при помощи найденных значений Δ0 и Δ1. Дискриминант - это число, дающее вам информацию о корнях многочлена (вы, возможно, уже знаете, что дискриминант квадратного уравнения равен b 2 - 4ac ). В случае кубического уравнения, если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение, потому что график такого уравнения пересекает ось X по крайней мере в одной точке.

      • Если подставить в эту формулу соответствующие значения величин, вы получите возможные решения данного вам кубического уравнения. Подставьте их в исходное уравнение и если равенство соблюдено, то решения правильные. Например, если, подставив значения в формулу, вы получили 1, подставьте 1 в x 3 - 3x 2 + 3x - 1 и получите 0. То есть равенство соблюдено, и 1 является одним из решений данного вам кубического уравнения.

Цели урока.

1. Углубить знания учащихся по теме “ Решение уравнений высших степеней” и обобщить учебный материал.
2. Познакомить учащихся с приёмами решения уравнений высших степеней.
3. Научить учащихся применять теорию делимости при решения уравнений высших степеней.
4. Научить учащихся выполнять деление “уголком” многочлена на многочлен.
5. Развивать умения и навыки работы с уравнениями высших степеней.

Развивающая:

1. Развитие внимания учащихся.
2. Развитие умения добиваться результатов труда.
3. Развитие интереса к изучению алгебры и навыков самостоятельной работы.

Воспитывающая:

1. Воспитание чувства коллективизма.
2. Формирование чувства ответственности за результат работы.
3. Формирование у учащихся адекватной самооценки при выборе отметки за работу на уроке.

Оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.

В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.

А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.

1) Решение линейного уравнения.

Линейным называется уравнение вида , где по определению. Такое уравнение имеет единственный корень .

2) Решение квадратного уравнения.

Квадратным называется уравнение вида , где . Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения . Для уравнение корней не имеет, для имеет один корень (два одинаковых корня)

Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение -й степени имеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).

Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена на множители или с использованием замены переменной.

3) Решение кубического уравнения.

Решим кубическое уравнение

Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:

Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: ; ;.

4) Решение биквадратного уравнения.

Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид (т.е. уравнения, квадратные относительно ). Для их решения вводят новую переменную .

Решим биквадратное уравнение .

Введём новую переменную и получим квадратное уравнение , корнями которого являются числа и 4.

Вернёмся к старой переменной и получим два простейших квадратных уравнения:

Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

; ;.

Попробуем решить уравнение используя выше изложенные приёмы.

НЕ УДАЕТСЯ!!!

4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида , где многочлен n-й степени

Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида :

1) Многочлен -й степени имеет не более корней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.

2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.

3) Если на концах отрезка значения многочлена имеют разные знаки (т.е. ,), то на интервале находится хотя бы один корень. Это утверждение широко используется для приближенного вычисления корней многочлена.

4) Если число является корнем многочлена вида , то этот многочлен можно представить в виде произведения , где многочлен (-й степени. Другими словами, многочлена вида можно разделить без остатка на двучлен . Это позволяет уравнение -й степени сводить к уравнению (-й степени (понижать степень уравнения).

5) Если уравнение со всеми целыми коэффициентами (причём свободный член ) имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена . Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).

5 этап работы. Показать как применяется теория делимости для решения уравнений высших степеней. Рассмотреть примеры решения уравнений высших степеней, в которых для разложения левой части на множители используется способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

Пример 1. Решим уравнение .

Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения.

Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ах3 + bх2 + сх + d = 0, а ≠ 0

Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у – (b/3а), кубическое уравнение можно привести к более простому (каноническому) виду: у3 + pу + q = 0, где p = - b2 + с, q = 2b – bс + d

3а2 а 27а3 3а2 а решение этого уравнения можно получить с помощью формулы Кардано.

1. 1 История кубических уравнений

Термин «кубическое уравнение» ввели Р. Декарт (1619 г.) и У. Оутред (1631г.).

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате доказательств задач алгебры и алмукабалы «Омара Хайя» (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1953 г.).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 г.), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторили Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнём с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида ах3 + bх2 + сх + d = 0, где а ≠ 0, разделить на а, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0. (1)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3.

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь а на х и перегруппируем слагаемые:

(х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3. (2)

Мы видим, что надлежащим образом b, а именно взяв b = P/3, можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0 только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим уравнение х3 + Pх2 + Qх + R = 0 и (х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3 и приведём подобные:

(х + b)3 + (Q – 3b2)х + R – b3 = 0.

Если здесь сделать замену y = х + b, получим кубическое уравнение относительно у без члена с у2: у3 + ру + q = 0.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении х3 + Pх2 + Qх + R = 0 с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида х3 + рх + q = 0. (3)

1. 2 История формулы Кардано

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545 году.

Автор этой формулы Никколо Тарталья. Он создал это решение в 1535 г. специально для участия в математическом состязании, в котором, естественно, победил. Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.

Результаты Кардано в этой формуле относятся к рассмотрению так называемого неприводимого случая, в котором уравнение имеет три значения (действительных значений, в те времена не было ни мнимых, ни даже отрицательных чисел, хотя попытки в этом направлении были). Однако, вопреки тому, что Кардано указал в своей публикации на авторство Тартальи, формулу называют именем Кардано.

1. 3 Формула Кардано

Теперь давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

(а + b)3 = а3 + b3 + 3аb(а + b).

Сравните эту запись с уравнением х3 + рх + q = 0 и попробуйте установить связь между ними. Подставим в нашу формулу х = а + b: х3 = а3 + b3 + 3аbх, или х3 – 3аbх – (а3 + b3) = 0

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения х3 + рх + q = 0, достаточно решить систему уравнений а3 + b3 = - q, а3 + b3 = - q, или

3аb = - p,а3b3 = - p 3,

3 и взять в качестве х сумму а и b. Заменой и = а3, v = b3 эта система приводится к совсем простому виду: и + v = - q, иv = - p 3.

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и и v – корни уравнения t2 + qt – (p/3)3 = 0.

Выпишем эти корни: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Переменные а и b равны кубическим корням из t1 и t2, а искомое решение кубического уравнения х3 + рх + q = 0 – сумме этих корней: х = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.

Эта формула известна как формула Кардано.

Решаем уравнения

Прежде, чем посмотреть на формулу Кардано в работе, поясним, как по одному корню кубического уравнения х3 + рх + q = 0 найти другие его корни, если они есть.

Пусть известно, что наше уравнение имеет корень h. Тогда его левую часть можно разложить на линейный и квадратный множители. Делается это очень просто. Подставляем в уравнение выражение свободного члена через корень q = - h3 – ph и пользуемся формулой разности кубов:

0 = х3 – h3 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h2) + p(x - h) = (x – h)(x2 + hx + h2 + p).

Теперь можно решить квадратное уравнение х2 + hx + h2 + p = 0 и найти остальные корни данного кубического уравнения.

Итак, мы во всеоружии и, казалось бы, можем справиться с любым кубическим уравнением. Давайте попробуем свои силы.

1. Начнем с уравнения х3 + 6х – 2 = 0

Подставляем в формулу Кардано p = 6 и q = -2 и после несложных сокращений получаем ответ: х = 3√4 – 3√2. Что ж, формула вполне симпатичная. Только перспектива выносить множитель х – (3√4 – 3√2) из левой части уравнения и решать остающееся квадратное уравнение со «страшными» коэффициентами для вычисления других корней не очень-то вдохновляет. Однако, присмотревшись к уравнению внимательнее, можно успокоиться: функция в левой части строго возрастает и поэтому может обращаться в нуль только один раз. Значит, найденное число – единственный действительный корень уравнения.

у у = х3 + 6х – 2

3√4 – 3√2 х

Рис. 1 График функции у = х3 + 6х – 2 пересекает ось абсцисс в одной точке - 3√4 – 3√2.

2. Следующий пример – уравнение х3 + 3х – 4 = 0.

Формула Кардано дает х = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

Как и в предыдущем примере, мы видим, что этот корень единственный. Но не нужно обладать сверхпроницательностью, чтобы, глядя на уравнение, угадать его корень: х = 1. Приходится признать, что формула выдала обычную единицу в таком причудливом виде. Между прочим, упростить это громоздкое, но не лишенное изящества выражение алгебраическими преобразованиями не удается – кубические иррациональности в нем неустранимы.

3. Ну а теперь возьмем уравнение, заведомо имеющее три действительных корня. Составить его легко – просто перемножим три скобки вида х – b. Нужно только позаботиться, чтобы сумма корней равнялась нулю, ведь, по общей теореме Виета, она отличается от коэффициента при х2 только знаком. Самый простой набор таких корней – это 0, 1 и – 1.

Применим формулу Кардано к уравнению х (х – 1)(х + 1) = 0, или х3 – х = 0.

Полагая в ней p = -1 и q = 0, получаем х = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

у у = х (х - 1)(х + 1)

Рис. 2 Уравнение х (х – 1)(х + 1) = 0 имеет три действительных корня: -1, 0 и 1. Соответственно график функции у = х (х – 1)(х + 1) пересекает ось абсцисс в трех точках.

Под знаком квадратного корня появилось отрицательное число. Такое бывает и при решении квадратных уравнений. Но квадратное уравнение в этом случае не имеет действительных корней, а у кубического их целых три!

Более тщательный анализ показывает, что мы попали в эту ловушку не случайно. Уравнение х3 + px + q = 0 имеет три действительных корня тогда и только тогда, когда выражение Δ = (q/2)2 + (p/3)3 под квадратным корнем в формуле Кардано отрицательно. Если Δ > 0, то действительный корень один (рис. 3, б), а если Δ = 0, то их два (один из них – двукратный), за исключением случая p = q = 0, когда все три корня сливаются.

у Δ 0 у = -pх - q у = х3

0 х 0 х у = -pх - q у = х3 а) б)

Рис. 3 Кубическое уравнение х3 + px + q = 0 можно представить в виде х3 = -px – q. Отсюда видно, что корням уравнения будут соответствовать абсциссы точек пересечения двух графиков: у = х3 и у = -px – q. Если Δ 0 – один.

1. 4 Теорема Виета

Теорема Виета. Если целое рациональное уравнение степени n, приведенное к стандартному виду, имеет n различных действительных корней х1, х2,. хn, то они удовлетворяют равенствам: х1 + х2 + + хn = - а1 , а0 х1х2 + х1х3 + + хn-1хn = а2 а0 х1 · х2 · · хn = (-1)nаn.

Для корней уравнения третьей степени а0х3 + а1х2 + а2х + а3 = 0, где а0 ≠ 0 справедливы равенства х1 + х2 + х3 = - а1, а0 х1х2 + х1х3 + х2х3 = а2, а0 х1х2х3 = - а3.

1. 5 Теорема Безу. Схема Горнера

Решение уравнений тесно связано с разложением многочленов на множители. Поэтому при решении уравнений важно все, что связано с выделением в многочлене линейных множителей, т. е. с делением многочлена А(х) на двучлен х – α. Основой многих знаний о делении многочлена А(х) на двучлен х – α, является теорема, принадлежащая французскому математику Этьену Безу (1730-1783 гг.) и носящая его имя.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х – α равен А(α) (т. е. значению многочлена А(х) при х = α).

Найдем остаток от деления многочлена А(х) = х4 – 6х3 + 8 на х + 2.

Решение. По теореме Безу остаток от деления на х + 2 равен А(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72.

Удобный способ нахождения значений многочлена при заданном значении переменной х ввел английский математик Вильямс Джордж Горнер (1786-1837 гг.). Этот способ впоследствии получил название схемы Горнера. Он состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк. Например, чтобы вычислить А(-2) в предыдущем примере, в верхней строке таблицы перечисляем коэффициенты данного многочлена, записанного в стандартной форме х4 – 6х3 + 8 = х4 + (-6)х3 + 0 · х2 + 0 · х + 8.

Коэффициент при старшей степени дублируем в нижней строке, а перед ним записываем значение переменной х = -2, при котором вычисляется значение многочлена. Получается следующая таблица:

Пустые клетки таблицы заполняем по следующему правилу: крайнее справа число нижней строки умножается на -2 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. По этому правилу в первой пустой клетке стоит число (-2) · 1 + (-6) = -8, во второй клетке ставится число (-2) · (-8) + 0 = 16, в третьей клетке – число (-2) · 16 + 0 = - 32, в последней клетке – число (-2) · (-32) + 8 = 72. Полностью заполненная по схеме Горнера таблица выглядит так:

2 1 -8 16 -32 72

Число в последней клетке и есть остаток от деления многочлена на х + 2, А(-2) = 72.

На самом деле из полученной таблицы, заполненной по схеме Горнера, можно записать не только остаток, но и неполное частное

Q(x) = x3 – 8x2 + 16x – 32, так как число, стоящее на второй строке (не считая с последнего), - это коэффициенты многочлена Q(x) – неполного частного от деления на х + 2.

Решим уравнение х3 – 2х2 – 5х + 6 = 0

Выпишем все делители свободного члена уравнения: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

х = 1, х = -2, х = 3

Ответ: х = 1, х = -2, х = 3

2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулирую основные выводы о проделанной работе.

В процессе работы я познакомился с историей развития проблемы решения уравнения третьей степени. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что осознанно занимает место формулы Кардано в решении некоторых уравнений третьей степени. Я убедился в том, что формула решения уравнения третьей степени существует, но из-за её громоздкости она не популярна и не очень надежна, так как не всегда достигает конечного результата.

В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: как узнать заранее, какие корни имеет уравнение третьей степени; можно ли кубическое уравнение решить графическим способом, если можно, то как; как оценить приближенно корни кубического уравнения?

Главная » Словарный запас » Как решать кубические уравнения. Различные методы решения уравнений третьей степени