В чем сущность способа замены плоскостей проекций. Метод замены плоскостей проекций
Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П1 и П2 новыми плоскостями П4 (рис. 8.4). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рис. 8.5). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.
Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 8.4). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости. Выберем новую плоскость проекций П4, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П1. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П1П2 в систему П1П4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А4В4 будет натуральной величиной отрезка АВ.
Рисунок 8.4. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций
Задача 2: Определить расстояние от точки C до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис. 8.5).
Рисунок 8.5. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций
ь объекту проецирования новые, частные по отношению к ним, положения.
Поверхности вращения
Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси.
Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.
Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности.
Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана.
Линия пересечения плоскости главного меридиана с поверхностью вращения называется главным меридианом.
Пересечение поверхностей вращения плоскостью
При пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская фигура сечения. Построение проекций линии сечения необходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, удаленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.
Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точки фигуры сечения соединяют плавной линией.
Развертки поверхностей вращения
Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала моделей различных сооружений, форм для металлических отливок, сосудов, трубопроводов, резервуаров и т.п.
Приближенные развертки
Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой.
Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку.
При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.
Конус вращения
На виде сверху конус изображается кругом, являющимся одновременно горизонтальной проекцией основания конуса и его боковой поверхности (рис. 26). Центр круга – горизонтальная проекция вершины конуса. Главный вид и вид слева – равнобедренные треугольники.
Пусть в конусе имеется призматическое отверстие и точка А (А 2) лежит на линии пересечения конуса с отверстием.
Конус можно рассматривать как линейчатую поверхность, на которой точки могут быть построены с помощью прямолинейных образующих. Проекция А 1 точки А построена с помощью проекций l2 и l1 образующей l.
Все проекции сферы – окружности. Диаметр их равен диаметру сферы. На каждом изображении проводят центровые линии.
На рис. 27 представлен чертёж сферы, усечённой двумя плоскостями, и показано построение точки А (А 1, А 2, А 3) на поверхности сферы.
Рис. 26. Конус вращения
Рис. 27. Сфера
Если рассматривать конус как поверхность вращения, то для решения задачи на построение точки интересно объединить его со сферой и тором.
В разновидностях аксонометрических проекций отсутствуют перспективные искажения, вследствие чего изображение получается условным и простым. Форму предмета можно строить точно по размерам (если нужно) и изображать ее «не как вижу, а как надо» с пониманием объективной сущности предмета. В этом заключается особенность технического рисунка и простота его выполнения, позволяющие сравнительно быстро приобрести необходимые навыки.
Развертка поверхности цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов. Одну сторону прямоугольника берут равной высоте цилиндра, другую - длине окружности основания.
К прямоугольнику, пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.
Развертка поверхности конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса.
Построение выполняется следующим образом:
1. Проводят осевую линию и из точки S, взятой на ней, описывают радиусом, равным длине S<4 образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса. Точку S соединяют с конечными точками дуги.
2. К полученной фигуре пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса. Центр круга должен лежать на осевой линии так, чтобы круг касался дуги развертки боковой поверхности.
Длину окружности при построении p;i шерток цилиндра и мщусм можно определить по формуле С nD или графически. Для графического построения делят окружность на несколько частей, а затем откладывают их на прямой (для цилиндра) или на дуге окружности (для конуса).
Часто графическое решение задач существенно упрощается, если заданные плоскости проекций заменить на новые, такие, что в результате замены геометрические объекты займут частное положение.
Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что заданные плоскости последовательно заменяются на новые при неизменном положении геометрических объектов в пространстве. Каждая новая плоскость проекций располагается перпендикулярно незаменяемой плоскости проекций.
Важно отметить, что обе заданные плоскости проекций нельзя заменить сразу. Когда требуется замена двух плоскостей проекций, нужно заменить сначала одну, а затем другую, т.е. сделать два преобразования.
При введении новой фронтальной плоскости проекций координаты Z всех геометрических объектов остаются неизменными как в исходной системе плоскостей проекций, так и в новой; при введении новой горизонтальной плоскости проекций неизменными и в исходной, и в новой системе плоскостей проекций остаются координаты Y.
Указанные положения наглядно проиллюстрированы на рис. 37, где показаны преобразования, которые необходимо выполнить при введении (замене) новой плоскости проекций П 4 .
СПОСОБЫ ВРАЩЕНИЯ И ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО
ПЕРЕНОСА
Суть метода вращения состоит в том, что при неизменном положении основных плоскостей проекций изменяется положение заданных геометрических образов относительно них путем вращения объектов вокруг некоторой оси до тех пор, пока объекты не занимают частное положение в исходной системе плоскостей.
В качестве осей вращения удобнее принимать проецирующие прямые или прямые уровня, причем точки геометрических объектов вращаются в плоскостях, параллельных или перпендикулярных заданным плоскостям проекций. При повороте какого-либо геометрического образа радиус поворота у каждой его точки свой, а угол поворота для всех точек одинаков. На комплексном чертеже при использовании метода вращения принято показывать положение оси вращения.
При вращении вокруг горизонтально-проецирующей прямой i горизонтальная проекция А 1 точки А перемещается по окружности, а фронтальная (А 2) - по прямой, представляющей собой проекцию окружности той плоскости, в которой вращается точка А (рис. 38).
Отметим, что проекции точек на фронтальной плоскости проекций лежат на прямых, перпендикулярных исходным линиям связи. Используя это, можно не задаваться изображением оси вращения и не устанавливать величину его радиуса, на чем и основан метод плоскопараллельного перемещения как частный случай метода вращения. Рассмотрим способ плоскопараллельного переноса на примере решения задачи об определении натуральной величины треугольника ABC (рис. 39).
Решение. Заданный треугольник надо расположить так, чтобы горизонтальная проекция горизонтали плоскости треугольника оказалась перпендикулярной оси X. Поскольку горизонталь плоскости треугольника после такого преобразования станет фронтально-проецирующей прямой, а все горизонтали плоскости параллельны, плоскость треугольника ABC станет фронтально-проецирующей. Сущность следующего преобразования – сделать плоскость треугольника параллельной горизонтальной плоскости проекций. Для этого линию А 2 = В 2 = нужно расположить параллельно оси X. Тогда треугольник A 1 = B 1 = C 1 = станет представлять натуральную величину треугольника ABC.
ЧЕТЫРЕ ИСХОДНЫЕ ЗАДАЧИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
Подавляющее большинство метрических задач рассматривает прямые и плоскости. Если заранее известно, какие построения нужно выполнить, чтобы прямая (или плоскость) общего положения заняла частное, решение многих метрических задач значительно облегчается.
Частных положений, как у прямой, так и у плоскости - два (прямая (плоскость) уровня и проецирующая). Это означает, что существуют четыре исходные задачи преобразования чертежа, в результате которых: прямая общего положения становится прямой уровня; прямая общего положения становится проецирующей; плоскость общего положения переходит в проецирующую; плоскость общего положения становится плоскостью уровня.
Для решения подобных задач воспользуемся методом замены плоскостей проекций, хотя каждая из них может решаться как способом вращения, так и способом плоскопараллельного переноса.
Задача 1. Преобразовать прямую общего положения (АВ) в прямую уровня (рис. 40). Для решения задачи введем новую фронтальную плоскость проекций П 4 , расположенную параллельно горизонтальной проекции A 1 B 1 прямой (АВ). Т.к. при введении новой фронтальной плоскости проекций координаты Z точек А и В не изменяются, дальнейшие построения ясны из
чертежа, причем проекция А 4 В 4 представляет собой натуральную величину отрезка [АВ]. Таким образом, решение рассмотренной задачи преобразования комплексного чертежа представляет собой еще один способ нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения.
Задача 2. Прямую общего положения необходимо преобразовать в положение проецирующей прямой (рис. 41).
Решение. Задача решается путем двух преобразований, поскольку нужно сделать две замены плоскостей проекций: первой прямая общего положения переводится в положение прямой уровня, а второй полученная прямая уровня переводится в проецирующую. Первое преобразование представляет собой решение рассмотренной выше задачи. Т.к. вводимая во втором преобразовании плоскость проекций (П 5) является новой горизонтальной плоскостью проекций, точка А 5 располагается на линии проекционной связи А 4 А 5 на расстоянии, равном величине координаты Y точки А в системе плоскостей проекций П 1 -П 4 .
Овладев алгоритмом решения приведенной задачи, можно легко найти расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, от точки до плоскости, а также натуральную величину двугранного угла (представив линию пересечения двух плоскостей в виде проецирующей прямой).
Задача 3. Перевести плоскость общего положения, заданную треугольником ABC, в проецирующую (рис. 42).
Решение. Плоскость, заданная любым способом, представима как множество соответствующих прямых уровня - либо ее горизонталей, либо фронталей. Поэтому преобразования нужно проводить так, чтобы прямые уровня плоскости спроецировались в точки. Тогда плоскость спроецируется в совокупность точек, расположенных на одной прямой. Следовательно, если в заданной плоскости общего положения провести прямые какого-либо уровня, то, расположив новую плоскость проекций перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или фронтальной проекции фронтали плоскости, можно получить соответствующую проецирующую плоскость (рис. 42).
Такой подход позволяет находить расстояния от точки до прямой, между плоскостью и параллельной ей прямой, между параллельными плоскостями.
Задача 4. Плоскость общего положения, заданную треугольником ABC, перевести в положение плоскости уровня (рис. 43).
Решение. Задача решается с помощью двух преобразований. Первым плоскость общего положения переводится в положение проецирующей (решение исходной задачи 3, изложенное выше), а вторым полученная проецирующая плоскость переводится в положение плоскости уровня (на рис. 42 это плоскость горизонтального уровня). Точки А 5 , В 5 и C s расположены от оси X, разделяющей плоскости П 4 и П 5 , на расстояниях, равных величинам координат Y для точек А, В и С в системе плоскостей проекций П 1 -П 4 .
Решение рассмотренной задачи позволяет находить натуральные величины плоских фигур (следовательно, сторон многоугольников и плоских углов). Решение этой же задачи методом плоскопараллельного переноса приведено на рис. 39.
Вопросы
1. Способы преобразования чертежа.
2. В чем заключается способ замены плоскостей?
3. Прямая какого положения используется при определении натуральной величины отрезка способы вращения?
4. Суть плоско-параллельного переноса..
5. сколько раз надо вращать плоскую фигуру вокруг проецирующей прямой для определения натуральной величины?
Тесты к теме « Четыре исходные задачи преобразования чертежа»
1. Как располагается дополнительная плоскость проекций относительно прямой при определении натуральной величины отрезка?
а) параллельно
б) перпендикулярно
в) произвольно
2. Как располагается дополнительная плоскость проекций относительно исходных плоскостей проекций?
а) перпендикулярно одной плоскости проекции
б) перпендикулярно двум плоскостям проекции
в) произвольно
3. Как располагается новая ось относительно проекций отрезка прямой при определении натуральной величины отрезка?
а) параллельно проекции отрезка, расположенной в плоскости перпендикулярной к дополнительной
б) перпендикулярно проекции отрезка, расположенной в плоскости перпендикулярной к дополнительной
в) произвольно
4. Сколько преобразований необходимо для определения натуральной величины плоской фигуры?
5. Сколько необходимо ввести дополнительных плоскостей проекции для преобразования прямой общего положения в проецирующую?
Задача 1. Преобразовать эпюр, изображенный на рис. 9.9 так, чтобы прямая общего положения оказалась параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.
Для решения задачи необходимо расположить новую плоскость проекций параллельно заданному отрезку (П 4 ║АВ). Тогда на эту плоскость проекций отрезок проецируется без изменений.
Решение этой задачи показано на рис. 9.9,б. Параллельно А 1 В 1 проведена ось Х 1 , и в системе плоскостей проекций построена новая фронтальная проекция отрезка А 4 В 4 . Очевидно, что /А 4 В 4 /=/АВ / и угол φ , образованный проекцией А 4 В 4 с осью Х 1 равен углу наклона прямой АВ к плоскости П 1 .
Задача 2. Преобразовать эпюр, изображенный на рис. 9.10 так, чтобы отрезок АВ прямой линии общего положения оказался перпендикулярным одной из плоскостей проекций.
Для решения задачи нужно произвести последовательно две замены плоскостей проекций:
1) систему заменяем системой , расположив плоскость П 4 параллельно АВ ;
2) от системы переходим к , расположив плоскость П 5 перпендикулярно прямой АВ . Выполненные построения приведены на рис. 9.10.
Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую.
Для решения данной задачи необходимо ввести новую плоскость проекций так, чтобы она была перпендикулярна заданной плоскости Γ(АВС) и одной из плоскостей проекций, т.е. перпендикулярна линии их пересечения. Линией пересечения плоскости Γ с плоскостью проекций является соответствующий след плоскости Γ. Поэтому новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна одному из следов данной плоскости или одной из ее линий уровня, которая параллельна соответствующему следу.
На рис.9.11 показано преобразование плоскости Γ(АВС) в проецирующую. Для этого в плоскости Γ проведена горизонталь h(h 2 h 1) и перпендикулярно к ней, а, следовательно, и ко всей плоскости Γ введена новая плоскость П 4 , для чего ось Х 1 новой системы плоскостей проекций проведена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Х 1┴ h 1, и в соответствии с известным правилом построена новая проекция А 4 В 4 С 4 треугольника АВС , представляющая отрезок прямой линии. После проведенных построений плоскость Γ(АВС) П 4 и с плоскостью П 1 составляет угол a.
Задача 4. Преобразовать плоскость общего положения Γ(АВС) в плоскость уровня.
Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня производится последовательно двумя заменами плоскостей проекций - вначале плоскость общего положения преобразуется в проецирующую, затем полученная проецирующая плоскость преобразуется в плоскость уровня.
На рис.9.12 для преобразования плоскости Γ в проецирующую введена новая плоскость проекций П 4 , перпендикулярная плоскости Γ . Ось новой системы плоскостей проведена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали. Полученная проекция А 4 В 4 С 4 является вырожденной проекцией плоскости Γ, т.к. плоскость Γ является проецирующей по отношению к плоскости П 4 .
Для преобразования проецирующей плоскости в плоскость уровня введена новая плоскость проекций П 5 , параллельная плоскости Γ . Ось Х 2 новой системы плоскостей проекций параллельна вырожденной проекции А 4 В 4 С 4 плоскости Γ . При построении новой проекции А 5 В 5 С 5 использованы расстояния от заменяемых проекций А 1 В 1 С 1 до оси Х 1. Так как в новой системе плоскостей проекций плоскость Γ(АВС) является параллельной плоскости П 5 , то на эту плоскость проекций она проецируется в натуральную величину.
Рассмотренные четыре основные задачи лежат в основе решения многих других задач способом замены плоскостей проекций. Рассмотрим примеры решения некоторых задач.
Пример 1. Преобразовать плоскость Γ общего положения, заданную следами, в проецирующую (рис. 9.13).
Плоскость Γ преобразуем во фронтально-проецирующую. Известно, что горизонтальный след фронтально-проецирующей плоскости перпендикулярен оси Х, следовательно новую ось Х 1 проводим перпендикулярно к Γ П1 . Через точку, в которой Γ П1 ∩ Х 1 = Γ Х1 пройдет фронтальный след Γ П4 . Для определения его направления достаточно найти одну точку. В качестве такой точки можно взять произвольную точку 1∈Γ и указать ее фронтальную проекцию 1 4 на новой плоскости П 4. Через Γ Х1 и 1 4 проводим Γ П4 .
Пример 2. Определить расстояние от точки Т до плоскости Σ общего положения, заданной DАВС (рис. 9.14)
Плоскость Σ(АВС) преобразуем в проецирующую, для чего в плоскости построим горизонталь h(h 2 h 1) . Перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали проведем ось Х 1 новой системы плоскостей проекций . Строим новые проекции точек А 4 В 4 С 4 , откладывая расстояния от оси Х 1 , равные расстояниям от заменяемых проекций А 2 В 2 С 2 до оси Х.
Плоскость Σ(АВС) оказалась перпендикулярной плоскости проекций П 4 и спроецировалась на эту плоскость в прямую линию. На плоскость П 4 переносим точку Т(Т 4) и опускаем перпендикуляр на плоскость D (АВС) . Т 4 К 4 ┴ (А 4 В 4 С 4) , где К – основание перпендикуляра. Расстояние от точки Т до плоскости DАВС на плоскости П 4 проецируется без искажения. |Т 4 К 4 |= |ТК|. Возвращаем проекции перпендикуляра на плоскость , для этого из точки Т 1 проводим проекцию перпендикуляра Т 1 К 1 параллельно оси Х 1 и перпендикулярно h 1 . Дальнейшие выполненные построения показаны на рис. 9.14.
Способы преобразования проекций и их
применение к решению задач
Сущность способа замены плоскостей рассмотрим на примере. На (рис. 5.1). дана точка А в системе плоскостей проекций p 1 / p 2 . Заменим одну из них, например p 2 , другой вертикальной плоскостью p 4 ^ p 1 , т.е. перейдём к новой системе плоскостей проекций p 4 / p 1 . Определим новую фронтальную проекцию точки А 4 , использую для этого неизменность координаты Z точки А , т.к. горизонтальная плоскость проекций p 1 является общей для исходной и новой системы. На эпюре из горизонтальной проекции А 1 проведём линию связи, перпендикулярную к новой оси x 14 и отложим координату Z точки А .
Рис. 5.1. Способ замены плоскостей.
Способом замены плоскостей определяют натуральную величину прямой, плоскости, определяют расстояние между прямыми, плоскостями и т.д. При решении задач приходится менять последовательно либо одну, либо две плоскости проекций так, чтобы геометрические объекты оказались в частном положении относительно новой системы.
Рассмотрим задачи на преобразование прямой и плоскости:
Задача: Дана прямая АВ общего положения (рис. 5.2). Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую.
Рис. 5.2.
Решение: Прямую общего положения возможно преобразовать в проецирующую прямую только двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Т.к. плоскость проекций, перпендикулярная к прямой общего положения, не будет перпендикулярна не к p 1 , не к p 2 . Первоначально заменим плоскость проекций p 2 на p 4 (^ p 1) параллельно прямой АВ , новая ось проекций x 14 || А 1 В 1 . Построим новую фронтальную проекцию А 4 В 4 , отложив неизменную координату Z . Прямая АВ преобразована в новой системе p 1 / p 4 во фронталь, А 4 В 4 – натуральная величина отрезка прямой, а угол a - угол наклона прямой к плоскости проекций p 1 . Затем заменим плоскость проекций p 1 на p 5 (^ p 4) перпендикулярно прямой АВ , новая ось проекций x 45 ^ А 4 В 4 . Построим новую горизонтальную проекцию А 5 В 5 , отложив неизменную координату Y , прямая АВ , Выражается в точку A 5 º B 5 и является горизонтально – проецирующей прямой в новой системе плоскостей p 4 / p 5 .
Задача: Даны две параллельные прямые линии АВ и СD (рис. 5.3). Определить расстояние между ними.
Рис. 5.3.
Решение: Чтобы определить расстояние между параллельными прямыми, необходимо преобразовать их в проецирующие прямые. Этого можно добиться двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Первая замена плоскости проекций p 1 на p 5 параллельно данным прямым, новая ось проекций Х 25 || С 2 D 2 || А 2 В 2 . Прямые АВ и СD преобразованы в новой системе плоскостей проекций p 2 / p 5 в горизонтали. Вторая замена плоскости проекций p 2 на p 4 перпендикулярно прямым АВ и СD , новая ось проекций x 45 ^ С 5 D 5 ^ (А 5 В 5) На новую горизонтальную плоскость p 5 прямые АВ и СD проецируются в точки A 5 º B 5 , C 5 º D 5 . Измеряем расстояние между точками.
Задача: Дана плоскость, треугольник АВС общего положения (рис. 5.4). Определить натуральную величину треугольника АВС .
Рис. 5.4.
Решение: Чтобы определить натуральную величину плоскости, необходимо расположить её параллельно плоскости проекций. Плоскость общего положения невозможно сразу преобразовать в плоскость уровня, т.к. параллельная ей новая плоскость проекций не будет перпендикулярна ни к p 1 , ни к p 2 . Поэтому, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций, преобразовав данную плоскость сначала в проецирующую, а затем в плоскость уровня.
Заменим плоскость проекций p 2 на p 4 перпендикулярно треугольнику АВС . Чтобы определить направление p 4 , проведём в треугольнике АВС горизонталь h . Новая плоскость проекций p 4 будет перпендикулярна горизонтали, новая ось проекций x 14 ^ h 1 . На линии связи откладываем неизменные координаты Z A , Z B , Z C . Новая фронтальная проекция A 4 B 4 C 4 в системе плоскостей p 1 /p 2 представляет собой прямую линию, плоскость (АВС ) преобразована во фронтально проецирующую.
Затем заменим плоскость проекций p 1 на плоскость p 5 параллельно треугольнику АВС , новая ось проекций x 45 || А 4 В 4 С 4 , неизменной остаётся координата Y . В новой системе плоскостей p 4 / p 5 треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня. Новая горизонтальная проекция А 5 В 5 С 5 – натуральная величина треугольника АВС .
Способ вращения
Суть способа вращения состоит в том, что геометрический объект вращают в пространстве вокруг выбранной оси i до требуемого положения относительно плоскостей проекций. Траектории движения точек объекта являются дугами окружностей, центр которых находится на оси вращения.
Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.
Замена одной плоскости проекции
Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.
Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П 1 , П 2 . Введем дополнительную горизонтальную пл. П 4 . Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П 2 и пересечет её по оси x 1 . Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.
В новой системе плоскостей положение точки A"" не изменится. Чтобы найти точку A" 1 , которая является проекцией т. А на плоскость П 4 , проведем из A"" перпендикуляр к оси x 1 . На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x 1 отложим отрезок A x 1 А" 1 , равный отрезку A x A".
Данные построения основаны на равенстве ординат точек A" и А" 1 . Действительно, в системе плоскостей П 1 , П 2 и в системе П 2 , П 4 точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П 2 на одно и то же расстояние.
Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П 1 , П 4 (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П 4 , которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П 1 и пересечет её по оси x 1 .
В системе П 1 , П 4 положение точки B" останется неизменным. Чтобы найти точку B"" 1 , проведем из B" перпендикуляр к оси x 1 . На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x 1 отложим отрезок B x 1 B"" 1 равный отрезку B x B"". Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B"" и B"" 1 .
Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A" и A"" – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П 1 , П 2 . Введем первую дополнительную плоскость П 4 и определим новую горизонтальную проекцию A" 1 точки A, как это было описано ранее.
Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П 2 , П 4 в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П 5 перпендикулярно горизонтальной пл. П 4 . Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x 2 = П 4 ∩ П 5 . Из точки A" 1 , положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x 2 . На нем от точки A x 2 отложим отрезок A x 2 A"" 1 равный отрезку A""A x 1 .
Использование метода замены при решении задач
Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П 4 проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.
На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П 1 , П 4 так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h 0 α введем дополнительную фронтальную плоскость П 4 .
Новый фронтальный след f 0 α 1 строится по двум точкам. Одна из них, X α 1 , лежит на пересечении h 0 α с осью x 1 . Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N"" 1 на плоскости П 4 .
Определение расстояния между параллельными плоскостями
Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.
Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f 0 β 1 и f 0α1 , параллельных друг другу.
