0 разделить на 5 сколько будет. Деление на ноль
Каждый из нас со школы вынес как минимум два незыблемых правила: «жи и ши — пиши с буквой И» и «на ноль делить нельзя «. И если первое правило можно объяснить особенностью Русского языка, то второе вызывает вполне логичный вопрос: «А почему?»
Почему нельзя делить на ноль?
Не совсем понятно, почему об этом не говорят в школе, но с точки зрения арифметики ответ очень даже прост.
Возьмем число 10 и поделим его на 2 . Это подразумевает, что мы взяли 10 каких-либо предметов и расставили их по 2 равным группам, то есть 10: 2 = 5 (по 5 предметов в группе). Этот же пример можно записать и с помощью уравнения x * 2 = 10 (и х здесь будет равен 5 ).
Теперь, на секунду представим, что на ноль делить можно, и попробуем 10 делить на 0 .
Получится следующее: 10: 0 = х , следовательно х * 0 = 10 . Но наши расчеты не могут быть верны, так как при умножении любого числа на 0 всегда получается 0 . В математике не существует такого числа, которое при умножении на 0 давало бы, что-то кроме 0 . Следовательно, уравнения 10: 0 = х и х * 0 = 10 не имеют решения. Ввиду этого и говорят, что на ноль делить нельзя.
Когда можно делить на ноль?
Есть вариант, при котором деление на ноль все же имеет некоторый смысл. Если мы делим сам ноль то получаем следующее 0: 0 = х , а значит х * 0 = 0 .
Предположим, что х=0 , тогда уравнение не вызывает никаких вопросов, все идеально сходится 0: 0 = 0 , а значит и 0 * 0 = 0 .
Но что если х ≠ 0 ? Предположим, что х = 9 ? Тогда 9 * 0 = 0 и 0: 0 = 9 ? А если х=45 , то 0: 0 = 45 .
Мы действительно можем делить 0 на 0 . Но это уравнение будет иметь бесконечное множество решений, так как 0: 0 = чему угодно .
Почему 0: 0 = NaN
Пробовали ли Вы когда-нибудь поделить 0 на 0 на смартфоне? Так как ноль деленный на ноль дает абсолютно любое число, программистам пришлось искать выход из данной ситуации, ведь не может же калькулятор игнорировать ваши запросы. И они нашли своеобразный выход: при делении ноль на ноль вы получите NaN (not a number — не число) .
Почему x: 0 = ∞ а x: -0 = — ∞
Если Вы попробуете на смартфоне разделить какое-либо число на ноль,то ответ будет равен бесконечности. Все дело в том, что в математике 0 иногда рассматривается не как «ничего», а как «бесконечно малая величина». Следовательно, если любое число поделить на бесконечно малую величину, получится бесконечно большая величина (∞) .
Так можно ли делить на ноль?
Ответ, как это часто бывает, неоднозначен. В школе, лучше всего, зарубить себе на носу, что на ноль делить нельзя — это избавит Вас от ненужных сложностей. А вот если будете поступать на математический факультет в университете, на ноль все-таки делить придется.
Математическое правило относительно деления на ноль всем людям рассказывали еще в первом классе общеобразовательной школы. «Делить на ноль нельзя», - учили всех нас и запрещали под страхом подзатыльника делить на ноль и вообще обсуждать эту тему. Хотя некоторые учителя младших классов все-таки пробовали объяснить на простейших примерах, почему нельзя делить на ноль, но эти примеры были настолько нелогичны, что проще было просто запомнить это правило и не задавать лишних вопросов. Но все эти примеры были нелогичными по той причине, что логически объяснить это в первом классе нам учителя не могли, так как в первом классе мы и близко не знали, что такое уравнение, а логически это математическое правило объяснить можно только с помощью уравнений.
Все знают, что при делении любого числа на ноль выйдет пустота. Почему именно пустота, мы рассмотрим потом.
Вообще в математике только две процедуры с числами признаются независимыми. Это сложение и умножение. Остальные же процедуры считаются производные от этих двух процедур. Рассмотрим это на примере.
Скажите, сколько будет, например, 11-10? Мы все моментально ответим, что это будет 1. А как мы нашли такой ответ? Кто-то скажет, что это и так понятно, что будет 1, кто-то скажет, что от 11 яблок отнял 10 и посчитал, что получилось одно яблоко. С точки зрения логики все правильно, но вот по законам математики эта задача решается по-другому. Нужно вспомнить, что основными процедурами считаются сложение и умножение, поэтому нужно составить такое уравнение: х+10=11, а только потом х=11-10, х=1. Заметим, что сложение идет на первом месте, а только потом на основе уравнения мы можем отнимать. Казалось бы, зачем столько процедур? Ведь ответ и так очевиден. Но только такими процедурами можно объяснить невозможность деления на ноль.
Например, мы делаем такую математическую задачу: хотим 20 поделить на ноль. Итак, 20:0=х. Чтобы узнать, сколько же будет, нужно вспомнить, что процедура деления вытекает из умножения. Другими словами, деление-это производная процедура от умножения. Поэтому нужно составить уравнение из умножением. Итак, 0*х=20. Вот тут и тупик. Какое бы число мы не множили на ноль, все равно будет 0, но не 20. Вот отсюда и вытекает правило: делить на ноль нельзя. Ноль делить на любое число можно, а вот число на ноль - увы, нельзя.
Отсюда появляется еще один вопрос: а можно ли ноль делить на ноль? Итак, 0:0=х, значит 0*х=0. Это уравнение можно решить. Возьмем, например, х=4, значит 0*4=0. Получается, что если разделить ноль на ноль, получится 4. Но и здесь все не так просто. Если мы возьмем, например, х=12 или х=13, то выйдет тот же ответ (0*12=0). Вообще, какое бы мы число не подставляли, все равно выйдет 0. Поэтому, если 0:0, то получится бесконечность. Вот такая нехитрая математика. К сожалению, процедура деления ноль на ноль тоже бессмысленна.
Вообще, цифра ноль в математике самая интересная. К примеру, все знают, что любое число в нулевой степени дает единицу. Конечно, с таким примером в реальной жизни мы не встречаемся, но вот с делением на ноль жизненные ситуации попадаются очень часто. Поэтому запомним, что делить на ноль нельзя.
Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.
Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.
Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.
Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, - , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.
Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным - ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 - 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.
А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот - увы, никак нельзя.
А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.
Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х - 20 = 7*х - 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х - 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/ (х - 5). Сократим дроби на (х - 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.
Строгий запрет на деление на ноль налагается ещё в младших классах школы. Дети обычно и не задумываются о его причинах, но на самом деле знать, почему что-нибудь запрещается, и интересно, и полезно.
Арифметические действия
Арифметические действия, которые изучаются в школе, неравноценны с точки зрения математиков. Они признают полноправными только две из этих операций - сложение и умножение. Они входят в само понятие числа, и все остальные действия с числами так или иначе строятся на этих двух. То есть невозможно не только деление на ноль, но и деление вообще.
Вычитание и деление
Чего же не хватает остальным действиям? Опять же, из школы известно, что, например, вычесть из семи четыре - значит, взять семь конфет, четыре из них съесть и посчитать те, что останутся. Но математики поеданием конфет и вообще воспринимают их совершенно иначе. Для них есть только сложение, то есть запись 7 - 4 означает число, которое в сумме с числом 4 будет равно 7. То есть для математиков 7 - 4 - это краткая запись уравнения: х + 4 = 7. Это не вычитание, а задача - найти такое число, которое нужно поставить вместо х.
То же самое относится к делению и умножению. Деля десять на два, младшеклассник раскладывает десять конфет на две одинаковые кучки. Математик же и здесь видит уравнение: 2 · х = 10.
Так и выясняется, почему запрещено деление на ноль: оно просто невозможно. Запись 6: 0 должна превращаться в уравнение 0 · х = 6. То есть требуется найти число, которое можно умножить на ноль и получить 6. Но известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это сущностное свойство ноля.
Таким образом, нет такого числа, которое, умножаясь на ноль, давало бы какое-то число, отличное от ноля. Значит, у этого уравнения нет решения, нет такого числа, которое соотносилось бы с записью 6: 0, то есть она не имеет смысла. О её бессмысленности и говорят, когда запрещают деление на ноль.
Делится ли ноль на ноль?
А можно ли ноль разделить на ноль? Уравнение 0 · х = 0 не вызывает затруднений, и можно взять за х этот самый ноль и получить 0 · 0 = 0. Тогда 0: 0 = 0? Но, если, например, принять за х единицу, тоже получится 0 · 1 = 0. Можно принять за х вообще какое угодно число и делить на ноль, и результат останется прежним: 0: 0 = 9, 0: 0 = 51 и так далее.
Таким образом, в это уравнение можно вставить совершенно любое число, и невозможно выбрать какое-то конкретное, невозможно определить, какое число обозначается записью 0: 0. То есть и эта запись тоже не имеет смысла, и деление на ноль всё равно невозможно: он не делится даже сам на себя.
Такова важная особенность операции деления, то есть умножения и связанного с ним числа ноль.
Остаётся вопрос: но вычитать его можно? Можно сказать, что настоящая математика начинается с этого интересного вопроса. Чтобы найти ответ на него, необходимо узнать формальные математические определения числовых множеств и познакомиться с операциями над ними. Например, существуют не только простые, но и делениекоторых отличается от деления обычных. Это не входит в школьную программу, но университетские лекции по математике начинаются именно с этого.
На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.
В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.
Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.
Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки?
Получится бесконечное число "нулевых долек". Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей.
Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично
а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0. А отсюда:
а=b. То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения.
Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4
. Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: "Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?"
Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.
А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений.
Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.
