Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента
Величайший учёный Древнего мира – Архимед (ок. 287–212 до н. э.) общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества. Его вклад в математику огромен, а имя овеяно легендами. Именно Архимед придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам и вплотную подошёл к понятию определённого интеграла, опередив человечество почти на два тысячелетия. Архимеду принадлежат точные формулировки законов природы, сохранившиеся в неприкосновенности на все времена.
Архимед первый дерзнул исчислить размеры окружающего нас мира. Он определил границы для числа π , доказав, что: 3 10/71 . Но более всего Архимед гордился найденной им формулой, с помощью которой можно найти объём шара , и в память об этом потомки изобразили шар и цилиндр на его могильном камне.
Следуя идеям Архимеда, можно доказать тот результат, который доставил ему высшую творческую радость. Например, докажем теорему: объём шара радиуса 1 равен 4/3 π .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы будем опираться на следующие две формулы стереометрии: объём цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен πR 2 H и объём конуса с радиусом основания R и высотой H равен 1/3 πR 2 H . Последнюю формулу также нашел Архимед. Давайте, перейдём к доказательству. Для этого нужно вспомнить детские игрушки, которые называют пирамидками. Вспомним их устройство: имеется подставка с вертикальной палочкой и набор колечек разного размера, но сделанные из одинакового материала. Надо нанизать эти колечки на палочку так, чтобы размеры колечек увеличивались по мере приближения к подставке. Тогда получится фигура, похожая на конус.
По Архимеду доказательство теоремы очень легко понять с помощью подобных игрушек. Только надо сделать не одну – коническую, а три разных – цилиндрическую, когда тоненькие колечки будут иметь радиус 1, и если их собрать вместе, то они образуют цилиндр высоты 1, коническую – из таких же тоненьких колечек, но разных радиусов, из которых можно собрать конус радиуса основания 1, и полушаровую, собрав из колечек полушар радиуса 1.
А теперь возьмём аптекарские весы с плоскими чашами и, как Архимед, поставим на одну чашу собранную из колечек игрушку-цилиндр, а на другую – конус и полушар, причём конус поставим основанием на чашу весов, а полушар – "на голову", чтобы плоское основание полушара было сверху и расположено горизонтально.
Пусть высоты колечек одинаковы и равны δ , где δ – очень малое число. Подсчитаем, каков объём колечек, находящихся на одной и той же высоте h . У цилиндрического колечка этот объём равен πδ , у конического π(1 - h) 2 δ , а у полушарового колечка π(1 - (1 - h) 2)δ (ибо радиус колечка у конуса равен 1 - h , а у полушара, по теореме Пифагора, он равен (1 - (1 - h) 2) 1/2 .
Суммарный объём на каждой из чаш весов оказался одинаковым. Но если δ очень мало, то коническая игрушка будет почти неотличима от конуса, полушаровая – от полушара, а цилиндрическая – всегда цилиндр.
В пределе получаем, что объём полушара радиуса 1 равен объёму цилиндра с радиусом основания и высотой 1, минус объём конуса с радиусом основания и высотой 1. Откуда и следует доказательство теоремы Архимеда: объём шара радиуса 1 равен 4/3 π .
Объем шара Теорема Объем шара радиуса R равен 4/3 πR 3 R x B O C M A Доказательство Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке O и выберем ось Ox произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M. Обозначим радиус этого круга через R, а его площадь через S(x), где x-абсцисса точки М. Выразим S(x) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим R = OC²-OM² = R²-x² Так как S (x) = п r ², то S (x) = п (R²-x²). Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е., для всех х, удовлетворяющих условию –R x R. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = –R, b = R, получаем: R R R R R V = п (R²-x²) dx = п R² dxп - x²dx = п R²x - пx³/3 = 4/3 пR³. -R -R -R -R -R Теорема доказана x
Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора А) Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке 1 секущая плоскость α, проходящая ч-з т.В, разделяет шар на 2 шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного к секу- щей плоскости, называются высотами сегментов. х АВ=h α О А С Шаровой сегмент Рис.1
Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рис.1 h =АВ), то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле: V = пh² (R-1/3h). · Б) Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между 2-мя параллельными секущими плоскостями (рис.2). Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов 2-ух шаровых сегментов. А В С х Рис.2 Шаровой слой
В) Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90 градусов, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (рис.3). Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объём V шарового сектора вычисляется по формуле: V = 2/3 пR² h h O R r Рис.3 Шаровой сектор
Площадь сферы В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для неё не пригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развёртки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанных многогранников стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани =>
">
«Определение сферы и шара» - Шаровой слой. Определение шара. Вокзалы Западной Европы. Символ шара. Сфера и плоскость. Шаровой сектор. Взаимное расположение сферы и плоскости. Точка. Шаровой сегмент. Планеты имеют форму шара. Определение сферы. Касательная плоскость. Радиус сферы. Площадь сферы. Шар символизировал удачу. Символ будущего.
«Чем отличается сфера от шара» - Уравнение сферы. Определение сферы. Уравнение сферы радиуса R. Предметы окружающей обстановки. Окружность. Координаты центра. Представление о сфере. Вывести уравнение сферы. Центр сферы. Шар. Сфера. Понятие сферы. Круг. Сфера и шар.
«Шар» - Организация творческой исследовательской деятельности учащихся. Три уровня самостоятельной деятельности: репродуктивный (тренировочный); реконструктивный; творческий (поисковый). Конус. Повторение теоретических положений. Тема: «Шар, вписанный в пирамиду, призму, конус». Исследова-тельская практика, процесс работы над темой.
««Сфера и шар» 11 класс» - Расстояние от центра сферы до плоскости. Площадь поверхности сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Радиус сечения. Определение сферы. Сфера и плоскость. Расположение. Сфера. Как изобразить сферу. Шар. Определение сферы, шара. Взаимное расположение окружности и прямой. Координаты центра. Физкультминутка.
«Касательная плоскость к сфере» - Сфера и шар. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Уравнение сферы. Взаимное расположение прямой и плоскости. В отличие от боковой поверхности конуса или цилиндра, сферу невозможно развернуть на плоскость. Касательная плоскость к сфере.
«Задачи на шар и сферу» - Шар вписан в цилиндр. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Цели и задачи. Устный тест: «Тела вращения». Шар и сфера. Установите соответствие. Решение задач по готовым чертежам. Конус. Площадь сферы. Работа у доски.
Всего в теме 12 презентаций
Цели урока:
образовательные:
- обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Тела вращения”;
- вывести формулу объема шара.
Воспитательные:
- показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей; воспитание вычислительных навыков;
- показать связь с историей; воспитание самостоятельности; воспитание стремления к самореализации.
Развивающие: совершенствование, развитие, углубление знаний, умений и навыков по теме; развитие пространственного воображения; развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать.
Оборудование: учебник геометрии 10–11класс, автор Л.С. Атанасян; компьютер; мультимедейный проектор; модели геометрических фигур (шар, цилиндр); презентация .
Ход урока
I. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Актуализация опорных знаний.
1) Устная работа. Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел.
- Цилиндр.
- Конус.
- Усеченный конус.
2) Проверка творческой домашней работы . Презентации учащихся по решению задач с открытого банка ЕГЭ, типа В9.
III. Изучение новой темы.
Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.
Вспомните, определение шара и его элементов. (Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.)
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара).
Теорема: Объем шара равен
Доказательство:
Мы уже знаем, что можно вычислять объемы тел с помощью интегральной формулы. V=
Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.
(Учитель объясняет вывод формулы объема шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях.)
Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис. 178).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим
Так как S(x)=пr 2 ,то S(x)=п(R 2 -x 2).
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
Теорема доказана.
Физкультминутка (для глаз).
IV. Формирование умений и навыков учащихся.
Проблемная задача. При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.
Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?
Задача (Архимеда ):
Дано: в цилиндр вписан шар.
Найти: отношение объемов цилиндра и шара.
Ответ: 1,5.
Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах. (Небольшое сообщение учащихся об Архимеде. )
Задачи из ЕГЭ (В9):
1. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Решение: (Опираемся на открытие Архимеда. )
2. Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?
Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.
Поверхность шара S 1 = 4пR 2 , стала S 2 = 4пR 2 /9 = 4п (R/3) 2 = 4пr 2
Видим, что r =R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.
Объем V 1 = 4/3 ПR 3 , а объем V 2 = 4/3 пr 3 = 4/3 п(R/3) 3 =4/3 пR 3 /27 = V 1 / 27.
V. Итог урока.
Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.
Диагностика (рефлексия).
На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.
Беседа по следующим вопросам:
Что было интересного сегодня на уроке?
Что вызвало трудности?
Какие умения приобрели сегодня?
Где могут пригодиться эти умения?
Домашнее задание.
П.71 № 712, II уровень №714 с презентацией.
