Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений.

А можно ли под знак дифференциала подводить нелинейную функцию? Да, если подынтегральное выражение представляет собой произведение двух множителей: один множитель — сложная функция от какой-то нелинейной функции, а другой множитель есть производная от этой нелинейной функции. Рассмотрим сказанное на примерах.

Найти неопределенные интегралы.

Пример 1 . ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + C.

Что представляет собой данное подынтегральное выражение? Произведение степенной функции от (х 2 + х + 2) и множителя (2х + 1), который равен производной от основания степени: (х 2 + х + 2)" = 2х + 1.

Это и позволило нам подвести (2х + 1) под знак дифференциала:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Формула 1). )

Проверка. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)′=1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f (x).

Пример 2. ∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6 + C

И чем этот пример отличается от примера 1? Да ничем! Та же пятая степень с основанием (х 3 – х 2 + 3х + 1) умножается на трехчлен (3х 2 – 2х + 3), который является производной основания степени: (х 3 – х 2 + 3х + 1)" = 3х 2 – 2х + 3. Это основание степени мы и подвели под знак дифференциала, от чего значение подынтегрального выражения не изменилось, а затем применили ту же формулу 1). (Интегралы )

Пример 3.

Здесь производная от (2х 3 – 3х) даст (6х 2 – 3), а у нас

имеется (12х 2 – 6), то есть выражение в 2 раза большее, значит, подведем (2х 3 – 3х) под знак дифференциала, а перед интегралом поставим множитель 2 . Применим формулу 2) (лист ).

Вот что получится:

Сделаем проверку, учитывая, что:

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

1. ∫(6х+5) 3 dx. Как будем решать? Смотрим в лист и рассуждаем примерно так: подынтегральная функция представляет собой степень, а у нас есть формула для интеграла степени (формула 1) ), но в ней основание степени u и переменная интегрирования тоже u.

А у нас переменная интегрирования х , а основание степени (6х+5) . Сделаем замену переменной интегрирования: вместо dx запишем d (6х+5). Что изменилось? Так как, то, что стоит после знака дифференциала d, по умолчанию, дифференцируется,

то d (6x+5)=6dx, т.е. при замене переменной х на переменную (6х+5) подынтегральная функция возросла в 6 раз, поэтому перед знаком интеграла ставим множитель 1/6. Записать эти рассуждения можно так:

Итак, мы решили этот пример введением новой переменной (переменную х заменили на переменную 6х+5). А куда записали новую переменную (6х+5)? Под знак дифференциала. Поэтому, данный метод введения новой переменной часто называют методом (или способом) подведения (новой переменной) под знак дифференциала .

Во втором примере мы вначале получили степень с отрицательным показателем, а затем подвели под знак дифференциала (7х-2) и использовали формулу интеграла степени 1) (Интегралы ).

Разберем решение примера 3.

Перед интегралом стоит коэффициент 1/5. Почему? Так как d (5x-2)=5dx, то, подведя под знак дифференциала функцию u=5x-2, мы увеличили подынтегральное выражение в 5 раз, поэтому, чтобы значение данного выражения не изменилось — надо было разделить на 5, т.е. умножить на 1/5. Далее, была использована формула 2) (Интегралы) .

Все простейшие формулы интегралов будут иметь вид:

∫f (x) dx=F (x)+C , причем, должно выполняться равенство:

(F (x)+C)"=f (x).

Формулы интегрирования можно получить обращением соответствующих формул дифференцирования.

Действительно,

Показатель степени n может быть и дробным. Часто приходится находить неопределенный интеграл от функции у=√х. Вычислим интеграл от функции f (x)=√x, используя формулу 1) .

Запишем этот пример в виде формулы 2) .

Так как (х+С)"=1, то ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Заменяя 1/х² на х -2 , вычислим интеграл от 1/х².

А можно было получить этот ответ обращением известной формулы дифференцирования:

Запишем наши рассуждения в виде формулы 4).

Умножив обе части полученного равенства на 2, получим формулу 5).

Найдем интегралы от основных тригонометрических функций, зная их производные: (sinx)"=cosx; (cosx)"=-sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Получаем формулы интегрирования 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

После изучения показательной и логарифмической функций, добавим еще несколько формул.

Основные свойства неопределенного интеграла.

I. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

(∫f (x) dx)"=f (x).

II. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С.

∫dF (x)=F (x)+C или ∫F"(x) dx=F (x)+C.

Обратите внимание: в I, II и III свойствах знаки дифференциала и интеграла (интеграла и дифференциала) «съедают» друг друга!

IV. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла.

∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k - постоянная величина, не равная нулю.

V. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины, причем, k ≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:

Можно записать:

Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .

Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .

Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.

Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:

F (x)+C , где С — любое действительное число.

Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .

Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».

f (x) dx — подынтегральное выражение,

f (x) — подынтегральная функция,

х — переменная интегрирования.

F (x) — первообразная для функции f (x) ,

С — некоторая постоянная величина.

Теперь рассмотренные примеры можно записать так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Что же означает знак d?

d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.

Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) После значка дифференциала d стоит х х , а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).

Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.

∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).

Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Страница 1 из 1 1

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Факт 1. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F "(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )" = (cos x ) .

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

∫

f (x )dx

где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

∫

f (x )dx = F (x ) +C

где C - произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

Пример 1. Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

(2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2. Найти множества первообразных функций:

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z .

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F"(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F"(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F"(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

(3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Замена переменной. Интегрирование по частям.

Определение. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F`(x) = f(x) .

(-cos x )` = sin x

(1 -cos x)` = sin x

Функция f(x) непрерывная функция на отрезке .

Теорема. Если функция F1 (x) b F2 (x) - две первообразные от функции f(x) на отрезке , то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство .

F1 `(x) = f(x) (1)

F2 `(x) = f(x) , то F1 `(x) - F2 `(x) = Const .

φ(x ) = F1 - F2

φ` (x ) = F1 ` - F2 ` = 0

Т.е. обозначим:

F1 (x) - F2 (x) = φ(x ) (2)

Тогда на основании равенств (1) будет:

F1 `(x) - F2 ` (x ) = f(x) - f(x) = 0 или φ` (x ) = ` = 0 при любом значении x на отрезке . Но из равенства φ` (x ) = 0 следует, что φ(x ) есть постоянная.

Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ(x ), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке . Какова ни была точка x на отрезке , мы имеем в силу теоремы Лагранжа.

φ (x ) - φ (a ) = φ` (x ) (x-a) , где a< x< x .

Так как φ` (x ) = 0, то φ (x ) - φ (a ) = 0 или φ (x ) = φ (a ) (3)

Таким образом, функция φ(x ) в любой точке x отрезка сохраняет значения φ(a ), а это значит, что функция φ(x ) является постоянной на отрезке . Обозначая постоянную φ(a ) через С, из равенств (2), (3) получ аем:

F1 (x) - F2 (x) = С

Определение. Если функция F (x) является первообразной для f (x) , то выражение F (x) + С называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx. Таким образом, по определению,

∫ f (x) dx = F (x) + С , если F (x) = f (x) .

При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией , f (x) dx - подынтегральным выражением , знак ∫ - знаком интеграла.

Из этого определения следуют свойства:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F`(x) = f (x) , то и

(∫ f (x) dx)` = (F (x) + C)` = f (x) (4)

Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

d (∫ f (x) dx) = f (x) dx (5)

Это получается на основании формулы (4)

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

∫ dF (x) = F (x) + C

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциала от обоих частей равенства равны dFx) )

Таблица неопределённых интегралов.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Линейные свойства.

Интегрирование - есть линейная операция.

1. ∫ dx = ∫ f1 (x) dx + ∫ f2 (x) dx

∫ a f (x) dx = a ∫ f (x) dx

∫ f (x) dx = F (x) + C

2. ∫ f (x+c) dx = F (x+c) + C

3. Подстановка. 1-ый способ вычисления неопределённых интегралов.

x = φ (t), тогда ∫ f (φ (t)) φ` (t) dt = F (x) + C = ∫ f (x) dx

x = φ (t) dx dt = φ`

Интегрирование по частям.

Пусть u и v - две дифференцируемые функции от x . Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле:

d(uv) = udv + vdu

Отсюда, интегрируя, получаем:

uv = ∫ udv + ∫vdu

или ∫ udv = uv - ∫vdu

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv , чтобы отыскание функции v по её дифференциалу dv и вычисление интеграла ∫ v du составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла ∫ u dv .

Пример. ∫ x sin x dx = ∫ - x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + C

Т.к. u = v , dv = sin x dx и du = dx , v = - cos x.

Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или "антипроизводных") означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F (x ) + С для функции f (x ) учитывает константу интегрирования C . По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки - её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование - широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.

Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.

Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).

Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям - обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.

Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

(2)

Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть

(3)

Поскольку этот урок - вводный в решение задач интегрирования, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование - операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть "антипроизводной".

Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной . Это следующие формулы:

Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании . Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями . Примерами таких интегралов могут быть следующие:

Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов.

Находим неопределённые интегралы вместе

Пример 1. Найти неопределённый интеграл

.

Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем ответ:

.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл

Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:

.

Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби - одночлен, можем почленно разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:

.

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:

Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл

Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов.

Главная » Грамматика » Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений.